\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Equations diff\'erentielles \linebreak[2] et fonction exponentielle}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\setcounter{NumLecon}{5}
\debutCha{charles_schulz_1.eps}{Peanuts}{Charles Schulz}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston
 Moore (Sonic Youth)}{Peanuts
est le nom d'un comic strip écrit et dessiné quotidiennement, sans interruption et sans assistance par 
l'Américain Charles M. Schulz (1922 - 2000) d'octobre 19501 jusqu'à sa mort, en février 2000. 
Il aura écrit au total 17 897 strips dont 2 506 éditions du dimanche.\\
Peanuts est une série de gags qui tournent autour de deux personnages centraux, 
un garçon maladroit, malchanceux et déprimé, Charlie Brown et son chien, Snoopy. Le strip s'appuie sur le principe 
du running gag où les mêmes situations entre les personnages reviennent tout au long 
de la bande dessinée. De plus, chacun des personnages a ses particularités, ses obsessions et ses accessoires propres, 
qui ressurgissent chaque fois qu'ils apparaissent.\\
Le comic a été, à partir des années 1960 un succès planétaire. 
La popularité du strip et le nombre colossal de licences pour des publicités ou produits dérivés ont fait 
de Charles M. Schulz une des célébrités les plus riches du monde.
À la mort de Schulz, le comic était publié dans plus de 2 600 journaux, dans 75 pays différents 
et dans 21 langues. }{0.34}{0.7}
\setcounter{NumLecon}{5}

\TITRE{charles_schulz_2.eps}{0.6}

\begin{abstract}
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés 
par une fonction $f$ qui est proportionnelle à sa dérivée $f'$. (Par exemple, le phénomène de désintégration de 
noyaux radioactifs)\\
Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type.\\
Plus particulièrement, que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée ?\\
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle ! Mais cette fonction 
est sans intérêt. Notre objectif est d'en rechercher d'autres.
\end{abstract}





\section{Généralités}

\subsection{Exemple de fonction proportionnelle à sa dérivée}

\Act{
Le radon est un gaz radioactif qui se désintègre avec le temps. On a pu observé qu'une quantité quelconque de radon 
perd environ $16.5\%$ de sa masse chaque jour.\\
\begin{enumerate}
 \item Pour étudier l'évolution d'une masse initiale $m$ de radon sur plusieurs jours, on peut dans un premier 
temps modéliser la situation en considérant la suite $(M_n)$ où $M_n$ désigne la masse de radon restant au bout de $n$ jours
($n$ entier).
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la nature de la suite $(M_n)$ ?\\
\textbf{La suite $(M_n)$ est donc géométrique de raison $1-\dfrac{16.5}{100}=0.835$.
}
 \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, il existe un réel $r(n)$, ne dépendant que de $n$, tel que 
$$M_n=r(n) \times m$$
\textbf{On en déduit que $M_n=M_0 \times q^n = m \times 0.835^n$. On a bien que $M_n=r(n) \times m$.
}
\end{enumerate}
\item La désintégration du radon ne se faisant pas à un instant donné, mais de manière continue, il paraît plus pertinent de modéliser la situation par
une fonction $M$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$.\\
Pour tout réel positif $x$, le réel $M(x)$ est la masse de radon restant au bout de $x$ jours ($x$ réel positif).\\
Compte tenu de ce qui précède, il paraît alors naturel de faire l'hypothèse que, pour toute masse initiale $m$ de radon,
la masse $M(x)$ restant au bout de $x$ jours ($x$ réel positif) est $r(x) \times n$ où $r(x)$ est un réel 
ne dépendant que de $x$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que, pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$M(x+y)=r(x+y) \times m$$ 
\textbf{On sait que $M(x)=r(x) \times m$ pour tout $x$, donc on a aussi $M(x+y)=r(x+y) \times m$ pour 
tout $(x,y) \in \R^2$.\\
}
\item Justifier que pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$M(x+y)=r(y) \times M(x)$$
\textbf{On sait que $M(x+y)$ correspond à la masse restante au bout de $y$ jour(s) à partir de la masse 
restante au $x^{\textrm{ieme}}$ jour.\\
Donc on a $M(x+y)=r(y)\times M(x)$.
 }
 \item Déduire des deux questions précédentes que 
$$r(x+y)=r(x) \times r(y)$$
\textbf{On a $M(x+y)=r(x+y)m$ et $M(x+y)=r(y)M(x)=r(y)r(x)m$.\\
Nécessairement on a  $r(x+y)=r(x)r(y)$.
}\\
\begin{center}
\textit{On dit que $r$ transforme les somme en produit.}\end{center}
\end{enumerate}
 \item En supposant qu'une telle fonction $r$ existe et soit non nulle, regardons ce qui se passe si 
de plus elle est dérivable.
\begin{enumerate}
 \item Soit $x$ un réel positif strictement (fixé). On pose $g : y \mapsto r(x+y)$ définie sur $\R^+$.\\
Montrer que $g'(y)=r(x) \times r'(y)$.\\
\textbf{On a $g(y)=r(x+y)=r(x)r(y)$. Or, $x$ étant fixé, $r(x)$ est un nombre constant.\\
Donc $g'(y)=r(x)r'(y)$
}
 \item En remplaçant $y$ par $0$ dans la relation précédente, déduire que $r'(x)=k \times r(x)$ où $k$ est un réel. \\
\textbf{On a $g'(y)=r(x)r'(y)$ pour tout $y\in\R^+$ donc en particulier $g'(0)=r(x)r'(0)$.\\
Or $g'(0)=r'(x+0)=r'(x)$. Donc $r'(x)=r(x) \times r(0) = k \times r(x)$ avec $k=r'(0)$.
}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textit{Ceci est vrai pour tout $x$, donc la fonction $r$, si elle existe, est proportionnelle à sa dérivée.\\
Elle vérifie une équation différentielle.}
\end{center}\end{enumerate}
}


\newpage
\subsection{Définition}
\Defc{
Une équation différentielle est une équation :
\begin{itemize}
\item où l'inconnue est une fonction, que l'on note habituellement  $y$
\item dans laquelle apparaît certaines dérivées de $y$, comme par exemple l'équation suivante :
$$ y''(x)=3y'(x)+2y(x) $$
que l'on s'autorise à noter $y''=3y'+2y$. 
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item L'équation $y'=y$ est une équation différentielle, dont nous ne connnaissons pas encore de solution.
 \item L'équation $y'=x$ est une équation différentielle, dont nous savons que $y=\dfrac{x^2}{2} $ est une solution 
 étant entendu que, dans une équation différentielle l'inconnue est 
une fonction. $y$ désigne donc une fonction.
\end{itemize}
}

\Defc{On appelle solution d'une équation différentielle $(E)$ tout couple $(f,I)$ où $f$
 est une fonction qui vérifie $(E)$ sur $I$. On dira que $f$ est solution de $(E)$ sur $I$. \\
Résoudre une équation différentielle sur $I$ c'est trouver toutes les fonctions solutions de $(E)$ sur $I$.
}


\Rqs{
\item Lorsqu'on ne précise pas l'intervalle $I$, il s'agit de l'intervalle $\R$.
\item 
Rechercher les primitives d'une fonctions continue $f$ sur un intervalle $I$, c'est résoudre sur $I$ l'équation différentielle :
$$y'=f(x)$$
}

\Exop{Trouver les fonctions solutions sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ y'=\sin x$
\item $y'=0$
\item $y''=0$
\item $y''=x$
\item $y'=5x(x^2+3)^4$
\item $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


On distingue plusieurs types d'équation différentielle :
\begin{itemize}
\item Les linéaires à coefficients constants sans second membre du premier ordre :
$$ y'+5y=0$$
\item Les linéaires à coefficients constants avec second membre du premier ordre :
$$ y'+5y=\sin x$$
\item Les linéaires à coefficients constants sans second membre du second ordre :
$$ 2y''-3y'+5y=0$$
\item Les linéaires à coefficients variables sans second membre du premier ordre :
$$ y'-5xy=0$$
\item Les équations différentielles non linéaire :
$$ y'\times y =0$$
 \item etc
\end{itemize}

\Rq{Nous n'étudierons que des équations différentielles des deux premiers types.}

\subsection{Construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler}

\begin{enumerate}
\item \textit{L'importance d'une condition initiale}\\
Supposons qu'il existe une fonction $f$, non nulle, définie et dérivable sur $\R$ telle que :
$$ f'=f\text{ sur }\R$$
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda\in\R$. On pose $g=\lambda f$. Démontrer que : $$ g'=g  \text{ sur }\R$$
Conclure.
\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
Montrer que $f+g$ vérifie la même condition. Conclure.
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$ vérifiant les conditions :
$$(P) \left\{ \begin{array}{l} y'=y \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  :
$$ c(x)=f(x)f(-x)$$
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.\\
En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
\item Démontrer que si $g$ est une fonction qui vérifie $(P)$ alors $g=f$.
 \footnote{On pourra considérer et dériver la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ }\\
Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Rq{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution alors il en existe une infinité, puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1)$ s'il existe une solution à notre équation alors elle est unique.}

Dans la suite, la fonction $f$ est l'unique solution \footnote{On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe. La preuve rigoureuse de cette existence sera faite ultérieurement.} satisfaisant la condition $(P)$ i.e :

$$(P) \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$

Nous allons maintenant essayer de tracer la représentation graphique de $f$ grâce à la méthode d'Euler.
\pagebreak
\begin{enumerate}
\item[2.] \textit{Vers la représentation graphique}\\
On rappelle que si $f$ est dérivable en $a$, alors pour des valeurs de $h$ proche de $0$ on a :
$$ f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$$
Il s'agit d'une approximation affine de $f$, la méthode d'Euler repose sur cette approximation.
\begin{enumerate}
\item En utilisant les conditions satisfaites par $f$, démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ f(a+nh)\simeq (1+h)^n f(a)$$
\item On note $(u_n)$ la suite définie, sur $\N$, par :
$$ u_n=(1+h)^n f(a)$$
Démontrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
\item Dans cette question, on suppose que $a=0$. On a donc :
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n$$
\begin{enumerate}
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\Rq{C'est cette suite $(u_n(x))$ définie par :$$ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$ que nous utiliserons pour montrer rigoureusement l'existence de la fonction exponentielle.}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs de $n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\\
\Rq{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. En fait on a : $$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}

\textit{Conclusion} : Cette fonction $f$ vérifiant les conditions$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$ est appelée \textbf{fontion exponentielle}. \\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. nous verrons, dans le cours, que cette fonction possède des propriétés remarquables notamment celle de transformer des \og somme \fg{} en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Equations différentielles linéaires du premier ordre}
\subsection{Equations différentielles du type $y'=y$}
\Thc{Le problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
admet une unique solution sur $\R$
}

\Rq{Autrement dit il n'existe qu'une et une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ }

\Dem{L'existance est délicate et admise provisoirement (même si on pourrait la démontrer en utilisant des suites adjacentes).\\
L'unicité a été démontrée en TP
}\\

\Defc{On appelle \underline{fonction exponentielle} l'unique fonction solution, sur $\R$, du problème différentiel :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
On la note $\exp$. Ainsi :
$$ \exp(0)=1\qquad \text{et}\qquad \exp'(x)=\exp(x)$$
}\\
 
 
\Ptec{\begin{enumerate}
\item $\exp(0)=1$
\item $\exp$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R$ $\exp'(x)=\exp(x)$
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(-x) \times \exp(x) = 1 \Longleftrightarrow \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)} $
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(x)\neq 0$
\item Pour tout réel $x$ on a :
$ \exp(x)>0$
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item[\textbf{1. et 2.}] En effet puisque $\exp$ est solution du problème différentiel.
\item[\textbf{3. et 4.}] On a démontré dans le TP d'introduction que si $f$ était solution du problème différentiel alors pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)f(-x)=1 $$
et par conséquent comme $\exp$ est l'unique solution de ce problème on a pour tout réel $x$ :
$$ \exp(x)\times \exp(-x)=1 \qquad \textrm{ et } \exp(x) \neq 0$$
\end{enumerate}
}
\DemS{
\begin{enumerate}
\item[\textbf{5.et 6.}] On sait déjà que $\exp(0)=1 >0$. Supposons qu'il existe un réel $x_1$ tel que $\exp(x_1)<0$ alors comme la fonction $\exp$ est 
dérivable sur $\R$, elle y est aussi continue et d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une 
solution à l'équation $\exp(x)=0$, ce qui est absurde. Par conséquent $\exp(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
 On a donc pour tout réel $x$ :
$$ \exp'(x)=\exp(x)>0$$
La fonction $\exp$ est donc strictement croissante sur $\R$.
\end{enumerate}
}\\

\Thc{Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors $$ (\exp(u))'=u' \times \exp(u)$$}

\Dem{On sait que $$ (v\circ u)'=u' \times v'(u)$$
On applique ce résultat pour $v=\exp$.}

\Expls{Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$ f(x)=\exp(3x^2+1)\qquad \text{et} \qquad g(x)= \exp(-2x+1)$$
Pour tout réel $x$ : $f'(x)=6x\exp(3x^2+1)$. \\
Or $\exp(X) >0$ pour tout $X$. Donc $f'(x)$ est positif si et seulement $6x>0$ si et seulement si $x>0$.\\
Finalement, $f$ est strictement décroissante sur $\R^-$ et strictement croissante sur $\R^+$.\\
Pour tout $x$, $g'(x)=-2\exp(-2x+1)$. \\Donc $g'(x) <0$ pour tout $x$ et $g$ est strictement décroissante sur $\R$.
}



\subsection{Equations différentielles du type $y'=ay$ ($a\in\R$)}

Nous allons utiliser le travail fait précédemment.

\Thc{Le problème différentiel $ y'=a y$ avec $a \in\R$ admet une infinité de solutions. \\
Ce sont les fonctions $f$ de la forme $$f(x)=K\exp(ax) \qquad \textrm{ où } K \textrm{ parcourt } \R$$
}

\Dem{
\begin{itemize}
\item Vérifions déjà que ces fonctions sont solutions.\\
Soit $f$ une telle fonction, ie de la forme $f(x)=K\exp(ax)$. Alors pour tout réel $x$ :
$$ f'(x)=K \times a \exp'(ax)=a \times K \exp(ax) = af(x)$$
\item Montrons que les fonctions de cette forme sont les seules à être solutions au problèeme différentiel.\\
 Soit $f$ une solution quelconque du problème différentiel. On considère alors la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=f(x)\exp(-ax)$$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ ($f$ et l'exponentielle le sont) et pour tout réel $x$ :
$$ g'(x)=f'(x)\exp(-ax)-af(x)\exp(-ax)$$
Comme $f$ est solution du problème différentiel on a $f'=af$, par conséquent $$ g'(x)=0$$
Donc $g$ est constante sur $\R$. Notons $K$ cette constante. On a alors 
$$K=f(x)\exp(ax) \Longleftrightarrow f(x)=K\exp(ax)$$
\end{itemize}
}

\Rq{Soit $x_0$ et $y_0$ deux réels. Le problème différentiel $\left\{ \begin{array}{l} y'=a y\\ y(x_0)=y_0  \end{array} \right.$
admet une unique solution $f$.\\
En effet, on sait que les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $f$ de la forme $f(x)=K\exp(ax)$. \\
De plus on a :
$$f(x_0)=y_0 \Longleftrightarrow K\exp(ax_0)=y_0 \Longleftrightarrow K=y_0\exp(-ax_0)$$
Comme $K$ est entièrement déterminé, on a bien l'unicité et $f(x)=y_0\exp(-ax_0)\exp(ax)$. 
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Résoudre l'équation différentielle $2y'+3y=0$ et $y(0)=5$.\\
On commence par réécrire l'équation sous la forme $y'=ay$ :\\
$2y'+3y=0 \Longleftrightarrow y'=-\dfrac{3}{2}y$. \\
Donc les solutions sont les fonctions du type $f:x\longmapsto K\exp\left(-\dfrac{3}{2}x\right)$ avec $K\in\R$.\\
Cherchons la constante : \\
On sait que $f(0)=5$ donc on cherche $K$ tel que $K\exp\left(-\dfrac{3}{2} \times 0\right)=5 \Longleftrightarrow K \exp(0)=5 \Longleftrightarrow K=5$.\\
D'où $f(x)= 5\exp\left(-\dfrac{3}{2}x\right)$.
 \item Résoudre l'équation différentielle $\left\{ \begin{array}{l} y'=3y \\ y(2)=7  \end{array} \right.$.\\
Les solutions sont les fonctions du type $f:x\longmapsto K\exp\left(3x\right)$ avec $K\in\R$.\\
De plus $f(2)=7 \Longleftrightarrow K\exp\left(3 \times 2\right)=7 \Longleftrightarrow K=7\exp\left(-6\right)$.\\
D'où $f(x)= 7\exp(-6)\exp\left(3x\right)$.
\end{itemize}
}

\Exos{n$^{\circ} 30$ à 34 p 129}

\Exop{Les observations relevées pour l'étude d'une population $p$ d'une bactérie dans une certaine préparation biologique ont conduit à envisager le modèle suivant :
\begin{itemize}
\item le temps $t$ en heures
\item $p$ est une fonction de $t$ dérivable sur $[0;+\infty[$ et $p'=2,5p$ et $p(0)=10$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(t)$
\item Donner un ordre de grandeur de cette population au bout de $10$ heures.
\end{enumerate}
}

\Exop{
Au début d'une épidémie, on constate que $0.01\%$ de la population est contaminé.
Pour $t$ appartenant à $[0;30]$, on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.
On a donc $y(0)=0.01$.\\
On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur $[0;30]$ est dérivable, strictement positive et vérifie :
$$y'=0.05y(10-y)$$
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle $[0;30]$ par $z=\dfrac{1}{y}$.\\
Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=0.05 y (10-y)\\ y(0)=0.01  \end{array} \right.$$
si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions :
$$\left\{ \begin{array}{l} z'=-0.5z+0.05 \\ z(0)=100  \end{array} \right.$$
\item \begin{enumerate}
       \item En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$.
 \item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exop{
On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intevalle $]0;+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle :
$$(E) \quad xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2$$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fontion $g$ définie sur l'intevalle $]0;+\infty$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
est solution de l'équation différentielle $(E') \quad y'=2y+8$.
\item Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x)=xh(x)$ est solution de $(E)$.
       \end{enumerate}
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$.
\item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe
par le point $A(2;0)$ ? Si oui, la préciser.
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Résoudre l'équation différentielle $$2y'+y=0 \quad (E)$$
dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\item On considère l'équation différentielle :
$$2y'+y=\exp\left(-\dfrac{x}{2}\right)(x+1) \quad (E')$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
$$f(x)=\exp\left(-\dfrac{x}{2}\right)(mx^2+px)$$
soit solution de $(E')$.
\item Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.\\
Montrer que $g$ est solution de l'équation $(E')$ si et seulement si $g-f$ est solution de l'équation $(E)$.\\
Résoudre l'équation $(E')$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{
Partie $A$ :
On donne un entier naturel $n$ strictement positif et on considère l'équation différentielle :
$$(E_n)  \quad y'+y=\dfrac{x^n}{n!}\exp(-x)$$
\begin{enumerate}
 \item On fait l'hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et dérivables sur $\R$, vérifient,
 pour tout$ $x réel $g(x)=h(x)\exp(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $g$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si pour tout $x$ réel 
$$h'(x)=\dfrac{x^n}{n!}$$
\item En déduire la fonction $h$ associée à une solution $g$ de $(E_n)$, sachant que $h(0)=0$. 
Quelle est alors la fonction $g$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\phi$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $\phi - g$ est solution de l'équation $(F) \quad y'+y=0$.
\item Résoudre $(F)$.
 \item Déterminer la solution générale $\phi$ de l'équation $(E_n)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E_n)$ vérifiant $f(0)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Partie $B$ : On pose pour tout $x$ réel, $f_0(x)=\exp(-x)$, et $f_1(x)=x\exp(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $f_1$ est solution de l'équation différentielle $y'+y=f_0$.
\item Pour tout entier strictement positif $n$, on définit la fonction $f_n$ comme la solution de l'équation différentielle $y'+y=f_{n-1}$
vérifiant $f_n(0)=0$.\\
En utilisant la partie $A$, montrer par récurrence que, pour tout $x$ réel et tout $n \geq 1$, $f_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}\exp(-x)$.
\end{enumerate}
}

\Exop{
On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant la condition :
$$(C) \quad \left\{ \begin{array}{lr} f(-x)f'(x)=1 & \textrm{ pour tout nombre réel } x \\ f(0)=-4  \end{array} \right.$$
(où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$) et de trouver cette fonction.
\begin{enumerate}
 \item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition $(C)$ et on considère alors la fonction $g$
définie sur $\R$ par $g(x)=f(-x)f(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule par sur $\R$.
 \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer sa valeur.
\item On considère l'équation différentielle $(E) \quad : \quad y'=\dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette équation
et qu'elle vérifie $f(0)=-4$.
\end{enumerate}
\item Question de cours :
\begin{enumerate}
 \item On sait que la fonction $x \mapsto \exp\left(\dfrac{x}{16}\right)$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation
$(E)$ est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la forme $x \mapsto K\exp\left(\dfrac{x}{16}\right)$, où $K$ est un nombre réel quelconque.
\item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle $(E)$ prenant la valeur $-4$ en $0$.
 \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\R$ satisfaisant $(C)$ et préciser quelle est cette fonction.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Equation différentielle $y'=ay+b$ avec $a$ et $b$ réels, $a\neq 0$}


\Thc{Soit $a\in\R^*$ et $b\in\R$. Le problème différentiel :
$$ y'=ay+b$$ admet une infinité de solutions. Ce sont les fonctions $f$ de la forme : 
 $$ f(x)=K\exp(ax)-\dfrac{b}{a}\qquad \text{ où } K \text{ parcourt } \R$$}
 
\Rq{On remarque que la partie $K\exp(ax)$ est la solution de l'équation correspondante sans second membre $y'=ay$
et que $-\dfrac{b}{a}$ est en fait l'unique solution constante de équation différentielle $y'=ay+b$.\\
On retiendra davantage les méthodes que les formules ... 
 }


 \Dem{
Remarquons que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $ g(x)=-\dfrac{b}{a}$ est une solution particulière de $y'=ay+b$. \\
On a en effet $g'=0$ et $ag+b=a\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b=0$.\\\\
Soit $f$ une solution quelconque de $(E)$. (On sait déjâ qu'il en existe au moins une, $g$).
On a sur $\R$ :
$$\left\{ \begin{array}{l} f'=af+b\\ g'=ag+b  \end{array} \right.$$
En retranchant membre à membre on obtient :
$$ (f-g)'=a(f-g)$$
Par conséquent la fonction $f-g$ est solution de l'équation différentielle $y'=ay$ dont on connait 
la forme des solutions. 
D'où , pour tout $x\in\R$ : $\qquad  f(x)-g(x)=K\exp(ax)\qquad \text{ avec } K\in\R$.\\
Finalement, pour tout $x\in\R$ on obtient :
$$ f(x)=K\exp(ax)+g(x)=K\exp(ax)-\dfrac{b}{a}$$
Ainsi l'équation différentielle $y'=ay+b$ admet une infinité de solutions de la forme 
$$ f(x)=K\exp(ax)-\dfrac{b}{a}\qquad \text{où } K \text{ parcourt } \R$$
}


\Expl{Résoudre, sur $\R$, l'équation différentielle $ \sqrt{2}y'-2y=1$.\\
On commence par réécrire l'équation sous la fome du théorème :
$$ \sqrt{2}y'-2y=1 \Longleftrightarrow y' = \sqrt{2}y + 1 $$
Donc les solutions sont les fonctions $f$ de la forme $f(x)=K\exp(x\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
où $K$ parcourt $\R$.
}

\Rq{Soit $a\in\R^*$ et $b\in\R$. Le problème différentiel $\left\{ \begin{array}{l} y'=ay+b \\ y(x_0)=y_0  \end{array} \right.$
admet une unique solution $f$.\\
En effet, d'après le théorème précédent, l'équation différentielle $y'=ay+b$ admet une infinité de solutions de la forme 
$$ f(x)=K\exp(ax)-\dfrac{b}{a}\qquad \text{K}\in\R$$
Si, de plus $y(x_0)=y_0$, alors $f$ est solution si et seulement si 
\begin{eqnarray*}
 f(x_0)=y_0 & \Longleftrightarrow & K\exp(ax_0)-\dfrac{b}{a}=y_0 \\
& \Longleftrightarrow & K=\left( y_0 + \dfrac{b}{a}\right) \exp(-ax_0) 
\end{eqnarray*}
Comme $K$ est entièrement déterminé, $f$ aussi, d'où l'unicité et 
$f(x)=\left(y_0+ \dfrac{b}{a}\right)\exp(-ax_0)\exp(ax)-\dfrac{b}{a}$
}

\Expl{Résoudre, sur $\R$, l'équation différentielle $ \sqrt{2}y'-2y=1$ avec la condition initiale $y(0)=2$.\\
On sait d'apère l'exemple précédent que les solutions $f$ sont de la forme $f(x)=K\exp(x\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.\\
De plus on a $f(0)=2 \Longleftrightarrow K\exp(0)-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2 \Longleftrightarrow K=2+\dfrac{1}{\sqrt{2}} $.\\
Donc la solution du problème différentielle est $f(x)= \left(2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\exp(x\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
}

\Exop{
Résoudre le problème différentiel suivant :
 $$\left\{ \begin{array}{l} y'+2y=6 \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$ 
}



\Exop{La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.\\
$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle :
$$f'(t)+\dfrac{1}{2}f(t)=10$$
La température est exprimée en derés Celsius et le teps $t$ en heures.\\
Déterminer $f(t)$ pour $t\geq 0$ sachant que pour $t=0$, la températue de l'objet est $220 ^{\circ}$ C.
}

\section{Relation fonctionnelle et conséquences}
\subsection{$f(x+y)=f(x)f(y)$}
\Thc{Pour tous réels $a$ et $b$ : 
$$ \exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)$$
\textit{La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.}}

\Dem{Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=\exp(x+a)\exp(-x)$$
On a alors $g(0)=\exp(a)\exp(0)=\exp(a)$.\\
De plus on a pour tout $x\in\R$ :
\begin{eqnarray*}
g'(x)&=&\exp'(x+a)\exp(-x)-\exp(x+a)\exp'(-x)\\
&=&\exp(x+a)epx(-x) - \exp(x+a)\exp(-x)\\
&=&0 
\end{eqnarray*}
Par conséquent la fonction est constante sur $\R$ et on a, pour tout $x\in\R$ :
$$ \exp(x+a)\exp(-x)=\exp(a) \Longleftrightarrow 
\exp(x+a)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(-x)}$$
Or, on sait que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ \exp(x)=\dfrac{1}{\exp(-x)}$$
Par conséquent on peut conclure que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ \exp(x+a)=\exp(a)\times \exp(x)$$
En choisissant $x=b$ on obtient le résultat voulu. }

\Rq{Réciproquement, toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction du type :
$$ f(x)=\exp(ax)\qquad \text{où}\qquad a\in\R$$
Nous admettrons ce résultat.}

\Ptec{Pour tous réels $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$
\item $\exp(na)=[\exp(a)]^n$, $n\in\Z$
\item $\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(a)}$ pour $n\geq 1$\\
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{Pour tous réels $a$ et $b$ on a, d'après le théorème précédent :
\begin{enumerate}
\item $\exp(a-b)=\exp(a)\exp(-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$\\
Remarquons qu'en prenant $a=0$ dans la relation précédente, on obtient retrouve le résultat :
$$\exp(-b)=\dfrac{\exp(0)}{\exp(b)}=\dfrac{1}{\exp(b)} $$
\item On raisonne par récurrence sur $n\in\N$ afin de démontrer la propriété $\mathscr P(n) $ : $\exp(na)=[\exp(a)]^n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$ on a :
$\exp(0\times a)=\exp(0)=1$ et $(\exp(a))^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain entier $n$, montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. 
On a :
\begin{eqnarray*}
\exp((n+1)a)&=&\exp(na+a) \\
&=& \exp(na)\exp(a)\qquad \text{puisque }\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\\
&=& [\exp(a)]^n \exp(a)\qquad \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& [\exp(a)]^{n+1}
\end{eqnarray*}
Ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.
\\
On vient de démonter que pour tout $n\in\N$ :$\exp(na)=[\exp(a)]^n$\\
\end{itemize}
 \item[] Qu'en est-il si $n<0\Longleftrightarrow -n>0$ ?\\
On sait que $$ \exp(-na)\exp(na)=1$$
Donc :
$$ \exp(na)=\dfrac{1}{\exp(-na)}=\dfrac{1}{(\exp(a))^{-n}}=[\exp(a)]^n$$
Ainsi pour tout $n\in\Z$ on a :
$$\exp(na)=[\exp(a)]^n$$
\item Un petit rappel d'abord, la racine $n-ième$ d'un nombre réel positif est l'unique solution de l'équation $x^n=r$.
\\On a pour tout $n\geq 1$ $\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)^n=\exp\left(n\times \dfrac{a}{n}\right)=\exp(a)$, par conséquent :
$$\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(a)} $$
\end{enumerate}
}

\subsection{Nouvelle notation}
\Cadre[Notation]{On note $e$ le nombre $\exp(1)$ :
$$ e=\exp(1)\simeq 2,718$$}

\Rq{\begin{itemize}
\item On a vu dans le TD d'introduction que :
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$
\item Avec les propriétés de la fonction exponentielle, on a alors $\forall n\in\Z$, 
$$ \exp(n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n=e^n$$
De plus, comme l'exponentielle transforme les sommes en produits, on a, pour tous $n$ et $m$ dans $\Z$ :
$$ e^{n+m}=\exp(n+m)=\exp(n)\exp(m)=e^ne^m$$
d'où la notation suivante :
\end{itemize}}

\Cadre[Notation]{Soit $x\in\R$. On note $$ e^x=\exp(x)$$}

\Rq{Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les entiers. }

Résumons désormais, à l'aide de cette nouvelle notation, toutes les propriétés rencontrées sur la fonction exponentielle :

\Cadre[Résumé]{\begin{multicols}{2}Pour tout $x\in\R$, pour tout $y\in\R$, pour tout $n\in\Z$ et pour toute fonction $u$ dérivable sur $I$, on a
\begin{enumerate}
\item $e^0=1$
\item $(e^x)'=e^x$
\item $e^1=e$
\item $e^xe^{-x}=1$
\item $e^x>0$
\item $e^xe^y=e^{x+y}$
\item $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$
\item $e^{nx}=\left(e^x\right)^n$
\item $\left(e^{u}\right)'=e^u \times u'$
\item $ e^{\frac{x}{n}}=\sqrt[n]{e^x}$, $n\geq 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{Simplifier :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ e^{x+2}e^{-x+2}$
\item $ \dfrac{e^{-2x+1}}{e^{-x+1}}$
\item $ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
\item $ \sqrt{\left(e^{-2x+1}\right)^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Cadre[Solutions des équations différentielles]{
\begin{itemize}
 \item Le problème différentiel :
$\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$
admet une unique solution sur $\R$ : $$f(x)=e^x$$
 \item Soit $a\in\R$. Le problème différentiel :
$\left\{ \begin{array}{l} y'=a y\\ y(x_0)=y_0  \end{array} \right.$
admet une unique solution sur $\R$ :
$$f(x)=K_0e^{ax} \qquad \text{ où } K_0 \text{ est une constante qui dépend de la condition initiale.}$$
\item Soit $a\in\R^*$ et $b\in\R$. Le problème différentiel :
$\left\{ \begin{array}{l} y'=a y\\ y(x_0)=y_0  \end{array} \right.$
admet une unique solution sur $\R$ :
 $$ f(x)=K_0e^{ax}-\dfrac{b}{a}\qquad \text{ où } K_0 \text{ est une constante qui dépend de la condition initiale } $$
\end{itemize}
}




\Exop{Répondre par vrai ou faux :
\begin{itemize}
 \item La fonction $\exp$ est l'unique fonction égale à sa dérivée.
 \item Si $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=-2$ alors pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2\exp(x)$
 \item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\exp(2x+1)$ est telle que $f'=2f$
 \item La fonction $\exp$ est l'unique fonction telle que pour tous réels $x$et $y$ on a $f(x+y)=f(x)f(y)$
 \item Pour tout réel $x$ on a $\dfrac{\exp(3x+2)}{\exp(x+2)}=\exp(3)$
 \item Si $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ telle que pour tout réel $x$ et tout réel $y$ , $f(x+y)=f(x)f(y)$ et $f(0)=1$ alors il existe un réel $k$ tel que $f'=kf$
 \item Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\N$ et $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\exp(u_n)$.\\
Si $(u_n)$ est arithmétique alors $(v_n)$ est géométrique.
\end{itemize}
}




\section{Etude de la fonction exponentielle}




\end{document}
