\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Equations diff\'erentielles \linebreak[2] et fonction exponentielle}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{6}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\Exop{Trouver les fonctions solutions sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ y'=\sin x$
\item $y'=0$
\item $y''=0$
\item $y''=x$
\item $y'=5x(x^2+3)^4$
\item $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exop{Les observations relevées pour l'étude d'une population $p$ d'une bactérie dans une certaine préparation biologique ont conduit à envisager le modèle suivant :
\begin{itemize}
\item le temps $t$ en heures
\item $p$ est une fonction de $t$ dérivable sur $[0;+\infty[$ et $p'=2,5p$ et $p(0)=10$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(t)$
\item Donner un ordre de grandeur de cette population au bout de $10$ heures.
\end{enumerate}
}

\Exop{
Au début d'une épidémie, on constate que $0.01\%$ de la population est contaminé.
Pour $t$ appartenant à $[0;30]$, on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.
On a donc $y(0)=0.01$.\\
On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur $[0;30]$ est dérivable, strictement positive et vérifie :
$$y'=0.05y(10-y)$$
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle $[0;30]$ par $z=\dfrac{1}{y}$.\\
Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions :
$$\left\{ \begin{array}{l} y'=0.05 y (10-y)\\ y(0)=0.01  \end{array} \right.$$
si et seulement si la fonction $z$ satisfait aux conditions :
$$\left\{ \begin{array}{l} z'=-0.5z+0.05 \\ z(0)=100  \end{array} \right.$$
\item \begin{enumerate}
       \item En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$.
 \item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exop{
On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intevalle $]0;+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle :
$$(E) \quad xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2$$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fontion $g$ définie sur l'intevalle $]0;+\infty$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$
est solution de l'équation différentielle $(E') \quad y'=2y+8$.
\item Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x)=xh(x)$ est solution de $(E)$.
       \end{enumerate}
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$.
\item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe
par le point $A(2;0)$ ? Si oui, la préciser.
\end{enumerate}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Résoudre l'équation différentielle $$2y'+y=0 \quad (E)$$
dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.
\item On considère l'équation différentielle :
$$2y'+y=\exp\left(-\dfrac{x}{2}\right)(x+1) \quad (E')$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
$$f(x)=\exp\left(-\dfrac{x}{2}\right)(mx^2+px)$$
soit solution de $(E')$.
\item Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.\\
Montrer que $g$ est solution de l'équation $(E')$ si et seulement si $g-f$ est solution de l'équation $(E)$.\\
Résoudre l'équation $(E')$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{
Partie $A$ :
On donne un entier naturel $n$ strictement positif et on considère l'équation différentielle :
$$(E_n)  \quad y'+y=\dfrac{x^n}{n!}\exp(-x)$$
\begin{enumerate}
 \item On fait l'hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et dérivables sur $\R$, vérifient,
 pour tout$ $x réel $g(x)=h(x)\exp(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $g$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si pour tout $x$ réel 
$$h'(x)=\dfrac{x^n}{n!}$$
\item En déduire la fonction $h$ associée à une solution $g$ de $(E_n)$, sachant que $h(0)=0$. 
Quelle est alors la fonction $g$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\phi$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $\phi - g$ est solution de l'équation $(F) \quad y'+y=0$.
\item Résoudre $(F)$.
 \item Déterminer la solution générale $\phi$ de l'équation $(E_n)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E_n)$ vérifiant $f(0)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Partie $B$ : On pose pour tout $x$ réel, $f_0(x)=\exp(-x)$, et $f_1(x)=x\exp(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $f_1$ est solution de l'équation différentielle $y'+y=f_0$.
\item Pour tout entier strictement positif $n$, on définit la fonction $f_n$ comme la solution de l'équation différentielle $y'+y=f_{n-1}$
vérifiant $f_n(0)=0$.\\
En utilisant la partie $A$, montrer par récurrence que, pour tout $x$ réel et tout $n \geq 1$, $f_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}\exp(-x)$.
\end{enumerate}
}

\Exop{
On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifiant la condition :
$$(C) \quad \left\{ \begin{array}{lr} f(-x)f'(x)=1 & \textrm{ pour tout nombre réel } x \\ f(0)=-4  \end{array} \right.$$
(où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$) et de trouver cette fonction.
\begin{enumerate}
 \item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition $(C)$ et on considère alors la fonction $g$
définie sur $\R$ par $g(x)=f(-x)f(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule par sur $\R$.
 \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $g$.
\item En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer sa valeur.
\item On considère l'équation différentielle $(E) \quad : \quad y'=\dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette équation
et qu'elle vérifie $f(0)=-4$.
\end{enumerate}
\item Question de cours :
\begin{enumerate}
 \item On sait que la fonction $x \mapsto \exp\left(\dfrac{x}{16}\right)$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. Démontrer alors que l'ensemble des solutions de l'équation
$(E)$ est l'ensemble des fonctions, définies sur $\R$, de la forme $x \mapsto K\exp\left(\dfrac{x}{16}\right)$, où $K$ est un nombre réel quelconque.
\item Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle $(E)$ prenant la valeur $-4$ en $0$.
 \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\R$ satisfaisant $(C)$ et préciser quelle est cette fonction.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{
Résoudre le problème différentiel suivant :
 $$\left\{ \begin{array}{l} y'+2y=6 \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$ 
}



\Exop{La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.\\
$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle :
$$f'(t)+\dfrac{1}{2}f(t)=10$$
La température est exprimée en derés Celsius et le teps $t$ en heures.\\
Déterminer $f(t)$ pour $t\geq 0$ sachant que pour $t=0$, la températue de l'objet est $220 ^{\circ}$ C.
}

\end{document}

