\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{D\'eriv\'e et Primitives}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha



\Exop[Etude d'une fonction rationnelle]{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\begin{enumerate}
\item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.\begin{enumerate}
\item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. 
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\item Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
variation de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrez qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$,
et $d$ tels que
$$f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$$
\item Déduisez en que $\mathscr C$ admet une asymptote oblique $\Delta$
et étudiez la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$.
\\
Vérifiez en particulier que $\mathscr C$ rencontre $\Delta$ en un
unique point $\Delta$. 
\end{enumerate}
\item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...}
\item \begin{enumerate}
\item  Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
fait que $g(\alpha)=0$.}
\item Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }


\Exop{
Déterminer les primitives sur $I$ de chacune des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $f:x\mapsto 3x^2-2x+2$, $I=\R$
 \item $g:x\mapsto x+2+\dfrac{1}{x^3}$, $I=\R^{+*}$
 \item $h:x\mapsto \dfrac{3x^2+4x-2}{x^4}$, $I=\R^{+*}$
\item $k:x\mapsto -3(-3x-2)^2$, $I=\R$
\item $l:x\mapsto \dfrac{x+1}{(x^2+2x-3)^2}$, $I= \left] 1;+\infty \right[$
\item $m:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{-2x+4}}$, $I=]-\infty;2[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exop{
Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$  vérifiant la condition indiquée.
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $f:x\mapsto 4x^2-3x+2$, $I=\R$ et $F(-1)=0$
 \item $f:x\mapsto 3x+1+\dfrac{1}{x^2}$, $I=\R^{-*}$ et $F(-2)=1$
 \item $f:x\mapsto (2x+1)^3$, $I=\R$ et $F(0)=1$
 \item  $f:x\mapsto \cos 3x$, $I=\R$ et $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



\Exop[Equation Fonctionnelle]{
Une équation fonctionnelle est une équation dont l'inconnue est une fonction.  Nous en étudierons bientôt deux exemplaires en cours~:
$$f(x+y)=f(x)\times f(y)\qquad \text{et}\qquad f(xy)=f(x)+f(y)$$
Pour l'heure, nous allons nous contenter de rechercher  les fonctions définies sur $\R$ vérifiant pour tous réels $x$ et $y$~:
                                $$ f(x+y)=f(x)+f(y)$$
Les deux parties sont indépendantes.\\
\bigskip
\textbf{PARTIE A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrez que pour tout entier naturel $n$, $f(n)=n\times f(1)$
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Montrez que pour tout entier naturel non nul $p$,
$f(1)=p\times f(1/p)$.
\item Déduisez-en que pour tout rationnel $r$, $f(r)=r\times f(1)$
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{PARTIE B}
\medskip \\
On suppose que $f$ est dérivable en 0 et que $f'(0)=a$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)/x$ pour $x\neq0$ et $g(0)=a$.
\begin{enumerate}
\item Calculez $f(0)$.
\item Montrez que $g$ est continue en 0.
\item Montrez que $g(2x)=g(x)$ pour tout réel $x$.
\item Déduisez-en que $g(x)=g(x/2^n)$ pour tout réel $x$ et tout
entier naturel $n$.
\item Déduisez-en que $g$ est une fonction constante.\footnote{Où on
utilise un théorème du cours sur la continuité}
\item Déduisez-en une expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ en
fonction de $a$.
\item Réciproquement, vérifiez que les fonctions trouvées à la
question 5) sont solutions du problème. Concluez. Comparez avec les résultats de la partie A.
\end{enumerate}}


\end{document}

