\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{D\'eriv\'e et Primitives}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\Exoi{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\begin{enumerate}
\item Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) \qquad f'(5)$$
\item Donner un encadrement de $f'(x)$ sur $[2;3]$.
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la parabole $\mathscr P$ d'équation $y=x^2-4x+5$.
\item Déterminer une équation de la tangente au point d'abscisse $3$ à  $\mathscr P$.
\item En quels point de $\mathscr P$ peut-on mener une tangente issue de l'origine ? Vérifier sur un dessin. 
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Justifier, pour $x$ voisin de $0$, chacune des approximations suivantes :
$$ (1+x)^3\simeq 1+3x\qquad \sqrt{1+x}\simeq 1+\dfrac{x}{2}\qquad \dfrac{1}{1+x}\simeq 1-x\qquad \sin x\simeq x\qquad \cos x\simeq 1$$
\item En déduire, sans calculatrice, une valeur approchée des nombres suivants :
\begin{multicols}{4}
$$ A=1,005^3$$
$$ B=\sqrt{1,0002}$$
$$ C=\sqrt{0,996}$$
$$ D=\dfrac{1}{0,997}$$
$$ E=\dfrac{1}{1,0007}$$
$$ F=\sin(-0,01)$$
$$ G=\cos 0,02$$
\end{multicols} 
\end{enumerate}}

\Exoi{La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $$ f:x\longmapsto 0,05(x^6-6x^5+3x^4+16x^3)$$
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement le signe de $f'(x)$ sur $[-2;5]$
\item Préciser en quels points $f$ admet un extremum relatif.
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1.5cm , yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\xmin{-2.20001} \def\xmax{5.2} \def\ymin{-15} \def\ymax{10}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.30001,-15.1)(5.3,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-2.20001,-15)(5.2,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=0.4cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.05 x 6 exp 6 x 5 exp mul sub 3 x 4 exp mul add 16 x 3 exp mul add mul}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est dérivable, puis étudier les variations de $f$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x^3+5x^2-1$
\item $f(x)=x^2(x-1)^3$
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+1}$
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}$
\item $f(x)=3-\cos^2 x$ sur $[0;\pi]$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ sur $]0;\pi[$
\item $f(x)=x-9 \sqrt{x}$
\item $f(x)=\sqrt{x}(x-1)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer sa dérivée :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\cos x^2$
\item $f(x)=\cos(\cos x)$
\item $f(x)=\sqrt{x^2-3x+5}$
\item $f(x)=\sqrt{x^4+1}$
\item $f(x)=\sqrt{5+\sin x}$
\item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} }$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $ f(x)=x \sqrt{x}-\dfrac{3}{16}x^2 $.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point $A$ d'abscisse $4$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à cette tangente. \\\textit{On vérifiera la situation correspondante sur sa calculatrice.}
\end{enumerate}}

\Exoi{Etudier le signe de $30x^3+19x^2-1$ sur $\R$}


\Exoi{On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R-\{-2;0\}$ par 
$$f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}\qquad \text{et}\qquad g(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ et de $g$ aux bornes de leur ensemble de définition. En déduire que les courbes représentatives $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ont les mêmes asymptotes.
\item Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à sa tangente en $\varOmega(-1;0)$, et les positions respectives des courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$.
\item Représenter $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ dans un même repère $(O;\vec i, \vec j)$
\item Montrer que $\varOmega$ est centre de symétrie de $\mathscr C_f$ et $(\varOmega,\vec j)$ axe de symétrie de $\mathscr C_g$
\end{enumerate}}


\Exoi{On considère la fonction $$f=x\longmapsto x+\sqrt{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est définie sur $D=]-\infty,-1[\cup [1;+\infty[$ et montrer que pour tout $x\in D$ :
\begin{equation} f(x)f(-x)=-1\end{equation}
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$, puis déduire de $(1)$ celle de $f$ en $-\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$, d'équation $y=2x$, est asymptote à $\mathscr C_f$ en $+\infty$. On pourra à nouveau utiliser $(1)$.
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et en $-1$.
\item Tracer $\mathscr C_f$ et $\Delta$
\end{enumerate} }


\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction exponentielle}
\end{large}\footnote{La fonction $f$, appelée exponentielle sera étudiée ultérieurement}\\
De nombreux phénomènes d'évolution sont modélisés par une fonction dérivable $f$ dont \textit{la dérivée $f'$ est proportionnelle à la fonction $f$ elle-même}. Nous allons observer l'une d'entre elles par la méthode d'Euler. \\
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f(0)=1$ et pour tout $x$ on a $f'(x)=f(x)$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, $\forall a, h$ ($h$ voisin de zéro), l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées s'écrit : 
$$ f(a+h)\simeq f(a)(1+h)$$
\item En déduire que, si l'on part de $f(a)$, la suite des valeurs approchées de $f(x)$ obtenus par la méthode d'Euler
 \footnote{C'est-à-dire grâce à l'approximation $f(a+h)\simeq f(a)+f'(a)h$ on obtient une valeur approchée de $f(x)$ pour certains $x$ 
afin de construire la courbe $\mathscr C_f$ de façon approchée.
}, avec le pas $h$, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?
\item Déduire de la question $2.$ que $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ pour les grandes valeurs de $n$. Donner la valeur approchée de $f(1)$ correspondant à $n=10 000$.
\item Tracer une approximation de la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{large}
\textbf{La fonction logarithme népérien}
\end{large}\\
Soit $f$ une fonction vérifiant $f(1)=0$ et pour tout $x>0$, $ f'(x)=\dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée de $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$, $f(5)$ et $f(6)$.
\item Construire une approximation de la courbe $\mathscr C_f$ sur $[1;6]$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$ et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).
\begin{enumerate}
\item \textit{\textbf{Etude d'une fonction auxiliaire $g$ où $g(x)=x^3+3x+8$}}
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $g$, et montrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $0,1$.
\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$.
\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que :
$ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{x^2+1}$
\item En déduire que $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$, et étudier la position de $\mathscr C$ par rapport à $\Delta$. \\
Vérifier en particulier que $\mathscr C_f$ rencontre $\Delta$ en un unique point de $A$.
\end{enumerate}
\item Déterminer les abscisses des points $B$ et $B'$ de $\mathscr C_f$ admettant une tangente parallèle à $\Delta$.
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$ ; en déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$.
\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr C_f$ en plaçant les points $A$, $B$ et $B'$, ainsi que les points $I$, $J$ et $K$ d'abscisses respectives $1$, $2$, et $-1$ avec leurs tangentes. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;1]$ telles que $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$. 
Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ (On pourra étudier les variations de $g-f$)}


\end{document}

