\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Limites et continuit\'e}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha


\Exoi{Soit $f(x)=\dfrac{1+2\sin x}{1+\sqrt{x} }$ sur $]0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, si $x>0$ alors $-\dfrac{1}{\sqrt{x} }\leq f(x)\leq \dfrac{3}{\sqrt{x} }$
\item En déduire que $f$ admet une limite en $+\infty$ dont on précisera la valeur.
\end{enumerate} }

\Exoi{Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote horizontale :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{3x^2-2}{x^2+1}$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{2-3x}{x^2+x+1}$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par :$f(x)=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$
Démontrer que la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x+3$ est une asymptote à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$}

\Exoi{Démontrer qu'une suite, qui est décroissante et non minorée, a pour limite $-\infty$}

\Exoi{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$ par : $u_n=1+\dfrac{1}{\sqrt{2} }+\dfrac{1}{\sqrt{3} }+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n} }$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$ et tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$, on a $ \dfrac{1}{\sqrt{k} }\geq \dfrac{1}{\sqrt{n} }$
\item En déduire que, pour tout $n\geq 1$ on a $u_n\geq \sqrt{n}$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}}

\Exoi{La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $ f(x)=\dfrac{1}{2-\cos x}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, $$ \dfrac{1}{3}\leq f(x)\leq 1$$
\item En déduire les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2-\cos x}$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x+\cos x}{2-\cos x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq 1$ et $x\neq -2$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^3-x^2-4x+5}{x^2+x-2}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ distinct de $1$ et $-2$ on ait :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x^2+x-2}$$
\item Montrer que la courbe $\mathscr C_f$, représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan, admet une asymptote oblique $\mathscr D$ et deux asymptotes verticales dont on précisera les équations.
\item Etudier la position relative de $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$
\end{enumerate}}


\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 \text{ si }x<0\\ x-1 \text{ si }x\geq 0  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$.
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ? 
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ :\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{x-1}{x^2+2}$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \sqrt{3x-1}$ sur $\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \cos (2x)$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \mid 3x-1 \mid$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Soit $(E)$ l'équation $x^3+5x=2$
\begin{itemize}
\item Démontrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;1]$.
\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
\item L'équation $(E)$ admet-elle des solutions n'appartenant pas à l'intervalle $[0;1]$ ? Justifier.
\end{itemize}}

\Exoi{Déterminer le nombre de solutions non nulles de chacune des équations suivantes et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x+\cos x=1$
\item $x^2=\sin x$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x\neq 1$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x+1}{x^3-1}$$
On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique dans un plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x\neq 1$ :
$$ f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^3-1)^2}$$ où $P$ est une fonction polynôme de degré $3$ que l'on précisera.
\item Etudier les variations de la fonction $P$ sur $\R$ et démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. En déduire le signe de $P(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer les variations de la fonction $f$ sur les intervalles où elle est définie.
\end{enumerate}}


\Exoi{Soit $f$ une fonction continue et définie sur l'intervalle $[0;1]$ et à valeurs dans l'intervalle $[0;1]$. Démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe dans $[0;1]$ \footnote{On considèrera la fonction $g$ où $g(x)=f(x)-x$}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. La courbe $\mathscr C_f$ admet-elle des asymptotes horizontales ?
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=-2x-\dfrac{1}{2}$ est asymptote oblique à $\mathscr C_f$ en $-\infty$
\end{enumerate}}


\end{document}