\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Suites et r\'ecurrence}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

%\Exoi{Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n}-2^n$ est un multiple de $7$.}

\Exoi{On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}  \end{array} \right.$$
où $a\in[-1;+\infty[$.\\
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ 
\footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.} 
}

\Exoi{Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$\\
Démontrer que pour tout $n\in\N$ : $ u_n=2^n$
}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. 
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item On considère la suite définie par : $ u_n=f(n)$. \\
Déduire de ce qui précède que le sens de variation de la suite $(u_n)$ et ses éventuelles bornes.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Démontrer que chacune des suites $(u_n)$ est minorée mais non bornée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+1}{\sqrt{n} }$
\item $u_n=\dfrac{n^2+\cos n}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u^2_n+1} \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est à termes positifs et étudier son sens de variation.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée et préciser un majorant et un minorant.
\end{enumerate}
}


\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de la suite $(u_n)$ où $ u_n=(-1)^n+n$
\item Que penser de l'affirmation suivante : 
\og Toute suite divergente vers $+\infty$ est nécessairement croissante.\fg
\end{enumerate}
}

\newpage
\Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$}
\vspace{-3mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item En utilisant la définition d'une suite convergente, montrer que si la suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(v_n)$, définie par $v_n=u_{n+1}$, converge également vers $l$.
\item Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $l$ définie par la donnée de son premier terme et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est une fonction continue en $l$\footnote{La continuité sera l'objet du chapitre suivant, on dit qu'une fonction $f$ est continue en $l$ si et seulement si $ \lim\limits_{x \to l} f(x)=f(l)$}.
\\Montrer que $f(l)=l$
\end{enumerate}
\item On se propose ici d'obtenir la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie par deux méthodes différentes.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Méthode 1} : Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ de la première partie en utilisant la question précédente. (on admet que la fonction $f$ est continue).
\item \textbf{Méthode 2}: La représentation graphique ayant amené à conjecturer que $(u_n)$ converge vers $5$, on s'interesse à la suite de terme général $v_n=5-u_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $$ v_{n+1}=\dfrac{4v_n}{5+\sqrt{25-4v_n} }$$
\item En déduire, que pour tout $n\in\N$ : $$ 0\leq v_n\leq \left(\dfrac{4}{5}\right)^n\times 4$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\Exoi{
On considère la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $ u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$.
\begin{itemize}
 \item Etudier le sens de variation de $(u_n)$.
 \item Montrer que pour tout $k\geq 2$ on a $\dfrac{1}{k^2} < \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$. 
 \item En déduire que $(u_n)$ est majorée par 2.
 \item Conclure sur la convergence de $(u_n)$ \footnote{Sa limite, difficile à déterminer vaut $ \dfrac{\pi^2}{6} $ }
\end{itemize} 
}

\Exoi{ On considère la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $ v_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!}$
\begin{itemize}
 \item Etudier le sens de variation de $(v_n)$.
\item Etablir que pour tout $k \geq 2$ on a $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$.
\item En déduire que $(v_n)$ est majorée par 3.
\item Conclure sur la convergence de $(v_n)$.\footnote{Sa limite est un nombre irrationnel, noté $e$ que nous définirons plus tard dans l'année.}
\end{itemize}
}

\Exoi{On considère la suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $ w_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$
\begin{itemize}
 \item Etudier le sens de variation de $(w_n)$.
\item Etablir que pour tout $n \in\N$ on a $w_n \leq \dfrac{n}{n+1}$.
\item En déduire que $(w_n)$ est majorée par 1.
\item Conclure sur la convergence de $(w_n)$.\footnote{Sa limite est un nombre irrationnel, noté $\ln(2)\simeq 0.693$ que nous définirons plus tard dans l'année.}
\end{itemize}
}


\Exoi{\textit{Moyenne arithmético-géométrique}\\
Soit $a$ et $b$ deux réels tels $a>b>0$. Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ les suites définies par :$$ a_0=a\qquad \text{et}\qquad b_0=b$$
$$ \forall n\in\N, \qquad a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\qquad \text{et}\qquad b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$
\textbf{Le but de l'exercice est de démontrer que les deux suites convergent vers une même limite.}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence, que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont positives pour tout $n\in\N$
\item Montrer que, pour tout entier $n\in\N$ on a : $ \qquad a_{n+1}^2-b_{n+1}^2\geq 0$
\item En déduire que, pour tout entier $n\in\N$ on a :
$$ a_{n+1}\geq b_{n+1}\qquad \text{ et que }\qquad a_n\geq b_n$$
\item En déduire que la suite $(a_n)$ est décroissante et que $(b_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $ 0\leq x\leq y\Longrightarrow (y-x)^2\leq y^2-x^2$. Pour cela on remarquera que $y-x\leq y+x$
\item En déduire par récurrence, que pour tout entier $n\in\N$ on a : $$ a_n-b_n\leq \dfrac{a-b}{2^n}$$
\item En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}}


\end{document}