\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence % \linebreak[2] 
et suites}	
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\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
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\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{2}
\debutCha{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{I wish I was special}{Radiohead (Extrait de Creep)}{Kid A est le quatrième album du groupe de rock britannique Radiohead, il est sorti en 2000.
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Ce disque comporte une majorité de chansons composée principalement de synthétiseurs et de boîtes à rythmes (Kid A, Idioteque, Everything in Its Right Place...), tout en gardant des sonorités pop/rock (In Limbo) et en explorant d'autres univers comme le free-jazz (The National Anthem).
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo de la journaliste canadienne 
Naomi Klein. Les membres du groupe pensaient d'ailleurs au départ à appeler l'album No Logo, en hommage à ce livre qui décrit 
la société de consommation.}{0.5}{0.8}
\setcounter{NumLecon}{2}
%\thispagestyle{stylecha}
\TITRE{thom.eps}{0.3}

\begin{abstract}
\noindent Même si elles ne constituent qu’un cas particulier des \textit{fonctions numériques} (celles définies sur $I\subset \N$), les suites méritent une étude à part entière car elles jouent un rôle extrêmement important à la fois en mathématiques et en physique. Elles permettent en effet dans les deux cas de fournir une approximation du  \og réel \fg. Après avoir 
mis en place un raisonnement important et fait quelques rappels de première, 
nous appronfondirons la notion de limite de suite, puis nous parlerons d’applications importantes, en particulier les 
suites adjacentes. 
\end{abstract}

Dans tout le chapitre, $n$ et $n_0$ désignent des entiers naturels.

\section{Démonstration par récurrence}
\subsection{Exemple introductif}
\Act{\\
\noindent Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=u_n + \dfrac{1}{n(n+1)}  \end{array} \right.$\\\\
Chaque terme de cette suite se calcule à partir du précédent. On dit que cette suite est définie $\dots\dots\dots\dots\dots$. \\
\underline{But} : \textit{On souhaiterait obtenir une formule $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ de $u_n$ en fonction de $n$, afin de pouvoir calculer 
n'importe quel terme rapidement (sans devoir calculer chacun des précédents). }\\
\begin{enumerate}
 \item La suite est-elle géométrique ? arithmétique ?
 \item Calculant les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$ sous forme de fraction irréductible.
 \item Que vous attendez-vous à trouver pour $u_6$ ? Calculer $u_6$.
 \item Conjecturer une valeur pour $u_{101}$ ? Ce résultat est-il certain ?
\item Quelqu'un a eu le courage de calculer $u_7$, $u_8$, $\dots$, jusqu'à $u_100$ et a trouvé $u_{100}=\dfrac{100}{101}$. \\
Calculer $u_{101}$.\\\\
\textit{Attention, une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines conjectures se 
révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé d'une propriété \textbf{supposée} résultant d'un certain nombre d'observations. }\\
\textbf{Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus ? }\\
 \item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété définie pour $n\in\N$, par : $ \mathscr P(n) : \og u_n=\dots\dots\dots\dots\dots\dots \fg$\\
Supposons un instant, que pour un certain entier $k$, on a calculé $u_k$ et on a effectivement trouvé $u_k=\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, 
\begin{enumerate}
\item Quelle sera l'expression du terme suivant $u_{k+1}$ ?
 \item La propriété $\mathscr P(k+1)$ est-elle vraie elle aussi ?\\
Autrement dit $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$.\\
On dit que la propriété $\mathscr P$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. 
\end{enumerate}
\item Connaissant $u_6$, quel terme en déduisez-vous grâce à la question 6. ? \\
Puis quel autre terme ? 
\item Au final on a vu que la propriété $\mathscr P$ était vraie au rang $n=\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$,
 $\dots\dots$,  $\dots\dots$ et $\dots\dots$. On dit que la propriété est  $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. \\
Mais comme la propriété $\mathscr P$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ elle sera vraie au rang $\dots\dots$, puis au rang $\dots\dots$, 
puis au rang $\dots\dots$, etc.\\
Quel conclusion pouvez-vous en tirer ?\\
\end{enumerate}
\noindent Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence}.
}


\subsection{Principe et exemples}

\Cadre[Principe du raisonnement par récurrence]{Soit $\mathscr P$ une propriété définie sur $\N$ (ou sur une partie de $\N$). Si  :
\begin{itemize}
\item La propriété est \underline{initialisée} à un certain rang $n_0$ (i.e si $\mathscr P(n_0)$ est vraie)
\item La propriété est \underline{héréditaire} à partir du rang $n_0$ (i.e si pour $n\geq n_0$ $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$)
\end{itemize}
Alors : \\
La propriété est vraie à tout rang plus grand que $n_0$.}

\Expl{Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N^*$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=2u_n + 1  \end{array} \right.$\\\\
Démontrer que $u_n=2^n-1$ pour tout $n\in\N^*$.}

\Sol{Pour $n\in\N^*$, notons $\mathscr P(n): \og u_n=2^n-1 \fg$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_1=1$ et $2^1-1=1$ \\
Par conséquent $\mathscr P(1)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain rang $ n\geq 1$, ie que $u_n=2^n-1$.\\
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie, i.e montrons que $u_{n+1}=2^{n+1}-1$.\\
On a $u_{n+1}=2u_n+1=2\times (2^n-1)+1$ d'après notre hypothèse.\\
Donc $u_{n+1}=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1$.
Donc $\mathscr P(n+1)$ est vraie et la propriété est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion} : On a montré par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$, la fonction $u_n=2^n-1$.
\end{itemize}

}

\Expl{
 Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, 
définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$ pour tout $x\in\R$.\\
On rappelle que $(x^2)'=2x$ et $(uv)'=u'v+uv'$.
}

\Sol{Notons $\mathscr P(n):f_n$ est dérivable sur $\R$ et $f'_n(x)=nx^{n-1}$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $f_2(x)=x^2$ et on sait que : $f'_2(x)=2x$ (démontré en 1ère). \\
Par conséquent $\mathscr P(2)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain rang $ n\geq 0$.\\
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie, i.e montrons que $f_{n+1}$ est une fonction dérivable et que $f_{n+1}'(x)=(n+1)x^n$.
\\
On a $f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x^n\times x=f_n(x)\times f_1(x)$. Or le produit de deux fonctions dérivables est une fonction 
dérivable, par conséquent $f_{n+1}$ est dérivable.\\
De plus, sa dérivée vaut :
$$ f'_{n+1}(x)=f'_n(x)f_1(x)+f_n(x)f'_1(x)=nx^{n-1}x+x^{n-1}x=nx^n+x^n=(n+1)x^n$$
Donc la propriété est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion} : On a montré par récurrence que pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, 
définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$.
\end{itemize}}


\Exos{n$^{\circ}$ 45-46-48-49-52-54 p 40}



%\newpage
\section{Généralités}
\subsection{Présentation des suites : rappels}

\Defc{
Une suite numérique est une fonction de $\N$ dans $\R$, définie à partir d'un certain rang $n_0$. 
On la note $u$, $(u_n)$ ou encore $(u_n)_{n \geq n_0}$.\\
L'image de l'entier $n$ par $u$ se note $u_n$ et est appelé \textbf{terme d'indice $n$ de la suite $u$}.
}



\Expls{
La suite $(u_n)_{n\leq 12}$ définie par $ u_n=\sqrt{n-11.4}$. 
On dit qu'elle est définie \textit{explicitement} (en fonction de $n$)\\
La suite de Fibonacci $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\u_1=1\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \end{array} \right.$. \\
On dit qu'elle est définie \textit{par récurrence} (un ou des termes initaux et relation entre termes).
}

\Rqs{
\item En fait $u_n=u(n)$
\item On représente en général une suite dans le plan en plaçant les points de coordonées $(n;u_n)$.
 \item Il est équivalent de dire $u_{n+1}=2u_n+3$ et $u_n=2u_{n-1}+3$.\\
 }
 

\subsection{Sens de variation d’une suite : rappels}
%\subsubsection{Définition}
\Defc{Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit qu'à partir du rang $n_0$, la suite $(u_n)$ est :
\begin{itemize}
\item \textbf{croissante}  si  $\forall n\geq n_0$ on a $u_n\leq u_{n+1}$, 
\item \textbf{décroissante} si $\forall n\geq n_0$ on a $u_n\geq u_{n+1}$,
\item \textbf{monotone}  si elle est croissante ou décroissante à partir du rang $n_0$
\item \textbf{stationnaire}  si $\forall n\geq n_0$, on a $u_n=u_{n+1}$
(si la suite est définie à partir du rang $n_0$ alors on dit que la suite est \textbf{constante})
\end{itemize} 
}

\Rq{On définit de même la stricte monotonie, mais à l'aide d'inégalités strictes.}

\Expl{La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$ est strictement croissante, puisqu'on ajoute à chaque terme 
précédent un nombre positif.
}

\noindent \Rq{Le nombre $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$ est une somme de termes tous de la forme $k^2$. \\
On l'écrira sous la forme $\sum\limits_{k=1}^{n} k^2$. \\
Ainsi  $\sum\limits_{k=1}^{4} k^2$ désigne la somme de tous les termes $k^2$ obtenus en remplaçant 
$k$ par 1, par 2, par 3 et par 4.
}

\Expls{
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=1$ et $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$ est strictement décroissante.\\
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=-1$ et $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$ est strictement croissante.\\
}


\Cexpl{
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=1$ et $u_n=-\dfrac{u_{n-1}}{2}$ n'est pas monotone !
}

\Act{(5 p 13) Le plan est muni d'un repère orthonormé (unité graphique 2cm).
\begin{enumerate}
 \item Représenter la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$ sur trois graphiques.
\item Représenter sur chacun des graphiques les premiers termes de trois suites $u$, $v$ et $w$ définies par :
\begin{itemize}
 \item Pour $n\geq 0$, $u_n=\sqrt{n+2}$.
 \item $v_0=6$ et pour $n\geq 0$, $v_{n+1}=f(v_n)=\sqrt{v_n+2}$
\item $w_0=-1$ et pour $n\geq 0$, $w_{n+1}=f(w_n)=\sqrt{w_n+2}$
\end{itemize}
\item Que penser des affirmations suivantes :
\begin{itemize}
 \item \og Si $f$ est croissante, une suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(n)$ est une suite croissante \fg \, ?
 \item \og Si $f$ est croissante, une suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(u_n)$ est une suite croissante \fg \, ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Thc{On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$ pour tout $n \geq n_0$, avec $f$ définie sur l' intervalle $[n_0;+\infty[$. \newline
Si la fonction $f$ est (strictement) monotone  sur $[n_0;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est (strictement) monotone 
et possède le même sens de variation que la fonction $f$.}


\Dem{\begin{enumerate}
\item \underline{Cas 1} : Si $f$ est strictement croissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement croissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.
\item \underline{Cas 2} : Si $f$ est strictement décroissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement décroissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}


\Cexpl{La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, définie par une fonction 
non croissante, comme le montre l'exemple où $f(x)=x+\sin(\pi x)$ et $u_n=f(n)=n$. \\
\textit{Les tracer sur la calculatrice.}
}

\Cexpl{Soit $u(_n)$ une suite telle que $u_{n+1}=f(u_n)$. La monotonie de $f$ n'entraîne pas celle de $u$, 
comme le montre l'exemple où $u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}$. \\
\textit{Les tracer sur papier, en choisissant deux valeurs possibles pour $u_0$.}
}

\Expl{
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\cos \dfrac{\pi}{n}$ pour $n\geq 1$\newline
Notons $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par $ \qquad \qquad  f(x)=\cos \dfrac{\pi}{x}$\newline
On a en dérivant : $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  f'(x)=\dfrac{\pi}{x^2}\sin \dfrac{\pi}{x}$\newline
Or, pour $x\geq 1$, $ \dfrac{\pi}{x}\in]0;\pi]$ donc $\sin \dfrac{\pi}{x}\geq 0\Longleftrightarrow f'(x)\geq 0$, 
donc la fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, par conséquent la suite $(u_n)$ est croissante.
}\\


\Cadre[Méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite ]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$.\\
\item[$\blacktriangleright$] Comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1, lorsque $u_n >0$ pour tout $n$.\\
\item[$\blacktriangleright$] Montrer par récurrence que pour tout $n$ on a $u_{n+1}\leq u_n$ ou  $u_{n+1}\geq u_n$. 
\item[$\blacktriangleright$] Utiliser le théorème précédent.
\end{itemize}
}

\Expl{
Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1$\newline
On voit que $u_{n+1}-u_n > 0$, et donc que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur $\N$
}
\Expl{Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_n=2\times5^n$ , on a $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$u_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5$$
On voit que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$, et donc que $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
}
\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=16 \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n} \end{array} \right.$$
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $u_{n+1}<u_n$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=16$ et $u_1=4$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie\\
On a donc : 
\begin{eqnarray*}
& 0\leq u_{n+1}< u_n & \text{ puisque $\mathscr P(n)$ est vraie}\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq \sqrt{u_{n+1}}< \sqrt{u_n} & \text{ puisque $x\longmapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\R^+$ }\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq u_{n+2} < u_{n+1}\\
\Longleftrightarrow & \mathscr P(n+1) \text{ est vraie }
\end{eqnarray*}
On vient de démontrer par récurrence que $u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in\N$, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
}


 
\Exos{n$^{\circ}$ 31-32 p 38 + 43 p 39 }

\subsection{Suite majorée, minorée, bornée}
\Defc{On considère une suite $(u_n)$. 
\begin{itemize}
\item On dit que $(u_n)$ est majorée s'il existe $M\in\R$ tel que $u_n<M, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est minorée s'il existe $m\in\R$ tel que $u_n>m, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée i.e s'il existe $m\in\R$ et $M\in\R$ tel que $$ m<u_n<M, \quad \forall n\in\N$$ 
\end{itemize}}

\Rqs{
\item $(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe $M\in\R$ tel que $\mid u_n\mid<M$. \\
En effet si $\mid u_n\mid<M$ alors on a : $-M<u_n<M$ et $(u_n)$ est bornée. \\
Réciproquement si $(u_n)$ est bornée alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<u_n<b$. \\
Choisissons $M=max(\mid a\mid; \mid b \mid)$, dans ce cas on a $-M\leq a$ et $b\leq M$, et donc : $\mid u_n\mid<M$
\item Si $M$ est un majorant de $(u_n)$, alors tout nombre supérieur à $M$ l'est aussi.
}

\Cadre[Pour montrer qu'une suite est bornée, on peut :]{
\begin{itemize}
 \item Raisonner sur des inégalités équivalentes
 \item Etudier la fonction associée
\item Faire une récurrence
\end{itemize}
}

\Expl{Soit la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\dfrac{(-1)^n+\sin n}{n^2}$. Montrons que $(u_n)$ est bornée.
\begin{eqnarray*}
& -1-1\leq (-1)^n+\sin n\leq 1+1 & \text{en effet $-1\leq (-1)^n\leq 1$ et $ -1\leq \sin n\leq 1$}\\
\Longleftrightarrow & -2\leq (-1)^n+\sin n \leq 2 \quad \text{et}\quad 0\leq \dfrac{1}{n^2}\leq 1 \\
\Longleftrightarrow & -2\leq u_n \leq 2
\end{eqnarray*}}


\Expl{Soit la suite $(u_n)$ définie par : \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$\\
Montrer, par récurrence, que cette suite est bornée.
}

\Sol{Il est clair que $(u_n)$ est minorée par $0$. Mais par quoi est-elle majorée ??\\
Le calcul des premiers termes, donne ici une indication : $ u_1\simeq 2,45\qquad u_2\simeq 2,91\qquad u_3\simeq 2,98$.\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : \og $0\leq u_n\leq 3$ \fg 
\textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie de manière évidente puisque $u_0=0$.\\
\textbf{Hérédité} : Supposons qu'il existe un rang $n$ tel que $\mathscr P(n)$ est vraie. 
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ l'est aussi.\\
Dans ce cas on a : $\qquad \qquad \qquad  0\leq u_n \leq 3$\\
Par conséquent : $ \qquad \qquad \qquad 6\leq 6+u_n\leq 9$\\
Et par passage à la racine : $\qquad \qquad \sqrt{6}\leq \sqrt{6+u_n}\leq 3$ \\
Au final : $ \qquad \qquad \qquad \sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq 3\Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq 3$\\
Conclusion :  $\mathscr P(n+1)$ est vraie, donc $\forall n\in\N$ on a $ 0\leq u_{n+1}\leq 3$, d'où $(u_n)$ est bornée.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 34 p 38}

\newpage
\section{Comportement asymptotique d’une suite : rappels}
\subsection{Notion de convergence et divergence }
\Defc{On dit qu'une suite \textbf{admet une limite} $\ell$ (ou \textbf{converge vers $\ell$}) lorsque 
tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient aussi  tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. 
On note $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$. \\
Une suite qui ne converge pas est dite \textbf{divergente}.}

\Rq{On utilise en général un intervalle centré en $\ell$.}

\Expls{
La suite $\left( \dfrac{1}{n}-2\right)_{n\in\N}$ converge vers $-2$.\\
La suite $\left(\dfrac{3n^2-4}{-2n^2+5}\right)_{n\in\N} $ est convergente et admet pour limite $-\dfrac{3}{2}$.\\
La suite $(u_n)_{n\in\N}$ de terme général $u_n=(-1)^n$ est divergente car elle n'admet pas de limite.
}

\Rqs{
\item Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite
\item Graphiquement, la notion de limite se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. 
\item De manière plus formelle : $\forall \varepsilon >0 $, il existe un rang $N$ tel que pour tout indice $n \geq N $, on a $\mid u_n-l\mid \leq \varepsilon$ 
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,1.1)(24.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{24} \def\ymin{1.1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,1.1)(26.1,2.3)
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\psclip{%
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}
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\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
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\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.55) \uput[r](0.7,1.52){$\epsilon$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.45)\uput[r](0.7,1.47){$\epsilon$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.25){de la suite sont dans la bande hachurée d'épaisseur choisie}
\uput[ur](10,1.20){(ici, $\varepsilon=0.05$)}
 \uput[ur](9,1.7){Illustration avec la suite $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=\ymin]{-}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{3}{2}$
}

\Thc{Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est unique}

\Dem{Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$ telles que $\ell_1<\ell_2$. 
\\Notons $d=\ell_2-\ell_1$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et
 de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Par conséquent $I_1\cap I_2$ est un intervalle contenant tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Or, $I_1\cap I_2=\emptyset$, ce qui est absurde. Par conséquent la suite $(u_n)$ ne peut admettre qu'une limite.
}\\


\Defc{On dit qu'une suite diverge vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (dépendant du $A$ considéré). On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \\
On définit de même la divergence vers $-\infty$ à l'aide 
d'intervalle du type $]-\infty;A[$. On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.}

\Expls{Les suites $\left(n\right)_{n\in\N}$ et $\left( n^3-n^2+n-1 \right)_{n\in\N} $ sont divergentes vers $+\infty$.
}

\Rq{
Dire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ revient à dire que :
\begin{itemize}
 \item Tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient tous les termes de la suite, sauf un nombre fini d'entre eux.
\item Le terme général $u_n$ est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang.
\item Quelque soit le nombre choisi $A$, il existe un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs à $A$. 
\item Formellement : $\forall A$, il existe un rang $N$ tel que pour tout indice $n\geq N$ on a $u_n \geq A$
\end{itemize}
}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
Montrer, par récurrence, que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$}

\Sol{Soit $A\in\N$. Comme la suite $(u_n)$ est croissante, on veut montrer qu'il existe $n_0\in\N$ tel que $u_{n_0}>A$. 
En effet, dans ce cas l'intervalle ouvert $]A;+\infty[$ contiendra tous les termes de la suite à partir de $n_0$. 
\\
Notons $\mathscr P(A)$ la propriété suivante : Il existe $ n_0\in\N$ tel que $u_{n_0}>A$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie, en effet $u_1>0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(A)$ soit vraie, montrons que $\mathscr P(A+1)$ est vraie, ie qu'il existe $n_1$ à partir duquel 
tout les termes de la suite sont supérieur à $A+1$.
On remarque que $$u_{2n}=u_n+\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\geq u_n+n\times \dfrac{1}{2n}=u_n+\dfrac{1}{2}$$
Puisque $\mathscr P(A)$ est vraie, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$,  par conséquent :
$$ u_{4n_0}\geq u_{2n_0}+\dfrac{1}{2}\geq u_{n_0}+1>A+1$$
Donc à partir de $n_1=4n_0$, tous les termes de la suite sont supérieurs à $A+1$. Ainsi $\mathscr P(A+1)$ est vraie.
\end{itemize}
On vient de démontrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite qui diverge vers $+\infty$
}\\

\Expls[Limites de référence]{
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
\item[\textbf{2.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\item[\textbf{3.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$
\item[\textbf{4.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{3mm}}

\Dem[Hors Programme]{
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$. \\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
On remarque que $u_n >A \Longleftrightarrow \sqrt{n}>A \Longleftrightarrow n > A^2$.\\
Si on choisit $n_0=A^2+1$ alors $u_{n_0}=\sqrt{A^2+1}>A$. \\
Comme de plus la suite est croissante (car de la forme $u_n=f(n)$ avec $f$ croissante), 
tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir de $n_0$. Donc ce $n_0$ convient.
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
d'un certain rang $n_0$.\\
On remarque que $u_n >A \Longleftrightarrow n^2 > A \Longleftrightarrow \sqrt{n}>A $.\\
Si on choisit $n_0$ le premier entier supérieur strictement à $\sqrt{A}$ alors $u_{n_0}=(n_0)^2>A$. \\
Comme de plus la suite est croissante (car de la forme $u_n=f(n)$ avec $f$ croissante), 
tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$ à partir de $n_0$. Donc ce $n_0$ convient.
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$\\
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$.\\
On remarque que $ \dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel entier $n_0$ on a :
$ 0 < u_n <\varepsilon \Longleftrightarrow 0<\dfrac{1}{n}<\varepsilon 
\Longleftrightarrow 0< \dfrac{1}{\varepsilon} <n$\\
Si on choisit $n_0$ le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{\varepsilon}$ alors $u_{n_0}=\dfrac{1}{n_0}<\varepsilon$. \\
Comme de plus la suite est décroissante (car de la forme $u_n=f(n)$ avec $f$ décroissante), 
tous les termes de la suite appartiennent à $I$ à partir de $n_0$. Donc ce $n_0$ convient.
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$.\\
On remarque que $ \dfrac{1}{n}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel entier $n_0$ on a :
$ 0 < u_n <\varepsilon \Longleftrightarrow 0<\dfrac{1}{n^2}<\varepsilon 
\Longleftrightarrow 0< \dfrac{1}{\varepsilon} < n^2  \Longleftrightarrow 0< \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} < n $\\
Si on choisit $n_0$ le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ alors $u_{n_0}=\dfrac{1}{n_0^2}<\varepsilon$. \\
Comme de plus la suite est décroissante (car de la forme $u_n=f(n)$ avec $f$ décroissante), 
tous les termes de la suite appartiennent à $I$ à partir de $n_0$. Donc ce $n_0$ convient.
\end{enumerate}
}

\Rq{Si $(u_n)$ admet une limite, alors toute sous-suite de $(u_n)$ admet la même limite.\\
On utilisera en général ce résultat 
\begin{itemize}
 \item Pour les suites récurrentes, afin de déterminer la limite, solution de l'équation $\ell = f(\ell)$
 \item Pour sa contraposée, en montrant que deux sous-suites de $(u_n)$ n'ont pas la même limite, donc que $(u_n)$ n'admet pas de limite.
\end{itemize}
La réciproque est fausse.}
 
\newpage
 \subsection{Règles opératoires et propriétés}

\subsubsection{Opérations sur les limites}
Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites.

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
   $a\in\R$ & $a+b$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $a\times b$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $\pm\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b\in \R$ alors le produit $a_n b_n$ tend vers $0$. \\
  
\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{b_n}{a_n}$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $\dfrac{b}{a}$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b \neq 0$ alors le quotient $ \dfrac{b_n}{a_n} $ tend vers $\pm \infty$.\\

\Rq{Il faut être conscient que tous les résultats de ces tableaux se démontrent (et certains ne sont pas évidents), 
nous ne présenterons ici aucune démonstration et nous admettrons tous ces résultats.}


\subsubsection{Les formes indéterminées}
    
\Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}


\subsubsection{Suites explicites}

\Defc{Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $]a;+\infty[$, $(a\in\R)$.
\begin{itemize}
       \item $f$ tend vers $\ell \in\R$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient 
toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
 \item $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle $]\lambda;+\infty[$ 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
\item $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle $]-\infty ; \lambda[$ 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.
      \end{itemize}
}

\Rq{
Des définitions analogues existent pour $f$ définie sur $]-\infty;a[$ et quand $x\to-\infty$ (avec $-x$ assez grand).
}

 \Thc{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ du type $[a;+\infty[$ où $a\in\R^+$ et $(u_n)$ une suite 
définie par $u_n=f(n)$. 
 \begin{enumerate}
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty$ 
\end{enumerate}}

\Rqs{
\item Notons que la réciproque du résultat précédent est fausse, par exemple la suite $u_n=\cos(2\pi n)$ est constante et égale à $1$ donc admet bien une limite tandis que la fonction $x\longmapsto \cos(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.
\item Grâce à ce théorème, on récupère toutes les règles de calculs sur les limites (consulter les fiches de premières en annexes). 
\item Rappelons les deux résultats importants :
\begin{itemize}
 \item[$\ast$] La limite en l'infini d'une expression polynômiale est la limite du terme de plus haut degré.
\item[$\ast$]  La limite en l'infini d'une expression rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
\end{itemize}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 1-3-11 p 73}




\subsection{Théorèmes de comparaison }


\Thc[Théorème de comparaison]{
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que : $\forall n\in\N,\quad u_n\leq v_n$
\begin{itemize}
\item Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ alors $(v_n)$ aussi.
\item  Si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$ alors $(u_n)$ aussi.
\end{itemize}}

\Dem{Considérons $A$ un réel. Supposons que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ : dans ce cas, à partir d'un certain rang $N$ tous les termes de la suite $(u_n)$ vérifient : $ u_n>A$, par conséquent on aussi à partir du rang $N$, $v_n>A$, ce qui prouve que $(v_n)$ diverge vers $+\infty$. \\
La deuxième démonstration est analogue.}

\Expls[Comportement asymptotique des suites géométriques]{
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item Si $q>1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$
\item Si $q=1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=1$
\item Si $-1<q<1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$
\item Si $q<-1$, on a $(q^n)$ n'admet pas de limite.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Sol{
On commence par démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli :
$$ \text{$\forall x \geq 0$ et $\forall n\in\N$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$
\begin{itemize}
\item Si $q\in]1;+\infty[$ alors $q=q'+1$ avec $q'>0$ et on a $q^n=(1+q')^n \geq 1+nq'$.\\
Or $(1+nq')$ tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$. Donc  $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$.
\item Si $q=1$ alors $(q^n)$ est constante égale à 1 (donc convergente vers $1$) .
\item Si $q\in]–1;1[$. On pose $q'=\dfrac{1}{|q|}$. Alors $q'>1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} (q')^n=+\infty$. \\
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=\pm\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{(q')^n}=0$.
\item Si $q\in]-\infty;-1]$, alors $(q^{2n})$ tend vers $+\infty$ tandis que $(q^{2n+1})$ tend vers $-\infty$. \\
Donc $(q^n)$ n'a pas de limite.
\end{itemize} 
}

\Exos{n$^{\circ}$ 7-8 p 73 + 27-28 p 75}

\Thc[Théorème des gendarmes]{Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que :
\begin{enumerate}
\item à partir d'un certain rang $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=\ell$
\end{enumerate}
Alors on a $ \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=\ell$}\\

\Dem{Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$
Notons $n_0$ le rang à partir duquel on a $u_n\leq v_n\leq w_n $\\
$n_1$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans $I$ et $n_2$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ sont contenus dans $I$. \\
Notons $N=max(n_0;n_1;n_2)$, alors on a :
\begin{itemize}
\item à partir du rang $N$, $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item D'après le point précédent, tous les termes de la suite $v_n$ sont contenus dans $I$
 à partir du rang $N$, ce qui prouve que la suite $(v_n)$ converge vers $\ell$
\end{itemize}}\\

\Rq{Précisons que tous les théorèmes de comparaison vus dans cette partie, ainsi que les opérations sur les limites sont valables 
pour les fonctions.}\\

\Exos{n$^{\circ}$ 4 p 73}

%\newpage



\section{Bornes, sens de variation et limites}
\subsection{Premiers résultats}
\Thc{Si $(u_n)$ est une suite de nombres réels positifs à partir d'un certain rang et de limite $\ell$, alors $\ell\geq 0$.
 }

\Dem{Soit $n_0$ l'indice à partir duquel tous les termes de la suite sont positifs.\\
Supposons $\ell<0$ et considérons l'intervalle $I=\left]\dfrac{3\ell}{2};\dfrac{\ell}{2}\right[$.\\
$I$ est un intervalle ouvert contenant $\ell$. Donc il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes de la suite sont contenus dans $I$.\\
Soit $N=max(n_0;n_1)$. Tous les termes de la suites d'indice supérieur à $N$ sont dans $I$ et sont positifs. Mais $I$ ne contient 
que des négatifs. Ceci est donc absurde et $\ell \geq 0$.
}

\Corc{\begin{enumerate}
       \item Si $(u_n)$ est une suite de nombres réels négatifs à partir d'un certain rang et de limite $\ell$, alors $\ell\geq 0$
\item Soit $(u_n)$ une suite  de limite $\ell$ et majorée par un réel $M$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \leq M$.
\item Soit $(u_n)$ une suite  de limite $\ell$ et minorée par un réel $m$ à partir d'un certain rang, alors $m\leq \ell$.
\item Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes telles que pour tout entier $n$ : $u_n < v_n$ (resp $u_n \leq v_n$)
alors dans ces deux cas on a : $$ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n\leq \lim\limits_{n \to +\infty}v_n$$
      \end{enumerate}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
 \item Similaire à la preuve précédente en supposant $\ell > 0$ et en considérant l'intervalle $\left]\dfrac{\ell}{2};\dfrac{3\ell}{2}\right[$.
 \item La suite $(M-u_n)$  est positive à partir d'un certain rang, donc sa limite $M-\ell$ est positive. D'où $M \geq \ell$
\item La suite $(u_n-m)$  est positive à partir d'un certain rang, donc sa limite $\ell-m$ est positive. D'où $m \leq \ell$
\item La suite $(v_n-u_n)$ est positive et donc sa limite $\lim\limits_{n \to +\infty}v_n - \lim\limits_{n \to +\infty}u_n$ est positive. \\
D'où $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n\leq \lim\limits_{n \to +\infty}v_n$
\end{enumerate}
}

\Thc{Si $(u_n)$ est une suite convergente alors $(u_n)$ est bornée.}

\Dem{Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, alors tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $]\ell-1;\ell+1[$ 
à partir d'un certain rang $N$. On a alors pour tout $n \geq N$ : $$ \ell-1< u_n<\ell+1$$
Notons $m=min(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell-1)$ et $M=max(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell-1)$, alors on a :
$$ \forall n\in\N \qquad m\leq u_n\leq M$$
ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est bornée.}


\Thc[Admis]{Toute suite croissante et majorée de réels converge.\\
Toute suite décroissante et minorée de réels converge.}

\Rq{
Ce théorème permet de démontrer la convergence de certaines suites sans avoir à déterminer leur limite.
}

\Expl{
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ sur $\N^*$. Cette suites est décroissante minorée par $1$, donc elle converge.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 40-46-43-44 p 76 + Vrai-faux p 74}


\Thc{
Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.\\
Toute suite décroissante non minorée diverge vers $+\infty$.
}

\Dem{
Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée; et un intervalle $I=]A;+\infty$ ($A\in\R$). 
La suite $u$ n'étant pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} \geq A$. \\
La suite $u$ étant croissante, tous les termes après le rang $n_0$ sont supérieurs à $A$, donc contenus dans $I$.\\
Donc la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.\\
La deuxième partie découle de la première, en considérant la suite $(-u_n)$, croissante non majorée.
}

\Rq{Notons que tous les résultats sur les suites de cette partie sont également vrais pour des fonctions.}

\subsection{Suites adjacentes}

\Act{}
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
 \item On considère la courbe $ \mathscr C$ représentative de la fonction inverse : $x \mapsto f(x)=\dfrac{1}{x}$ pour $x\in[1;2]$.\\
On voudrait trouver une valeur approchée de l'aire comprise entre $\mathscr C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
\begin{enumerate}
 \item On découpe l'intervalle $[1;2]$ en $5$ intervalles de même amplitude.
\begin{enumerate}
 \item Donner les valeurs $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_5$ des bornes des intervalles.
 \item Déterminer les images de ces valeurs par $f$.
 \item En considérant les aires des $5$ rectangles dont l'un des sommets est sur la courbe $\mathscr C$, déduire, 
l'expression de l'aire hachurée sur chacun des dessins ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(2.3,1.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{2.2} \def\ymin{0} \def\ymax{1.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2.9cm,yunit=2.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(2.2,1.5)
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.5}{2.5}{\F}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=8pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](1,0)(2,0)(2,0.5)(1.8,0.5)(1.8,0.55555)(1.6,0.55555)(1.6,0.625)(1.4,0.625)(1.4,0.71428)(1.2,0.71428)(1.2,0.83333)(1,0.83333)(1,0)
}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.2,0.83333)(1,0.83333)
\psline[linestyle=dashed](1.4,0)(1.4,0.71428)(1.2,0.71428)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.625)(1.4,0.625)
\psline[linestyle=dashed](1.8,0)(1.8,0.55555)(1.6,0.55555)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)(1.8,0.5)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\quad %\qquad
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(2.3,1.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{2.2} \def\ymin{0} \def\ymax{1.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2.9cm,yunit=2.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(2.2,1.5)
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.5}{2.5}{\F}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=8pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](1,0)(2,0)(2,0.55555)(1.8,0.55555)(1.8,0.625)(1.6,0.625)(1.6,0.71428)(1.4,0.71428)(1.4,0.83333)(1.2,0.83333)(1.2,1)(1,1)(1,0)
}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.2,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.4,0)(1.4,0.83333)(1.2,0.83333)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.71428)(1.4,0.71428)
\psline[linestyle=dashed](1.8,0)(1.8,0.625)(1.6,0.625)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.55555)(1.8,0.555555)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
 \item On découpe désormais l'intervalle $[1;2]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
\begin{enumerate}
 \item Donner les valeurs $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_k$, $\dots$, $x_n$ des bornes des intervalles.
 \item Déterminer $f(x_k)$ pour tout $0\leq k \leq n$.
 \item Calculer en fonction de $n$ la somme des aires des $n$ rectangles côte à côte de même largeur, situés \og sous \fg \, la courbe $\mathscr C$ 
et dont l'un des sommets est sur la courbe $\mathscr C$ (sur le même principe que ci-dessus). \\
Même question pour les rectangles situés \og au-dessus \fg \, de la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item On considère désormais les suites $(u_n)$ définies pour tout $n\in\N^*$ par 
$$u_n=\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{2n}=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}$$ 
$$v_n=\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{2n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n+k}$$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les quatre premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ à $10^{-2}$ près.
 \item Représenter les points correspondants sur un axe gradué.
 \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante et la suite $(v_n)$ décroissante.
 \item Calculer $v_n-u_n$ et démontrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n-u_n = 0$.
 \item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement asymptotique des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
 \item En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_{50}$ et $v_{50}$.\\
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\Rq{Sur le même principe, Archimède (III$^e$ avant JC) décida d'encradrer l'aire d'un cercle de rayon 1 
par celle d'un polygône régulier inscrit dans ce cercle et par celle d'un polygône régulier exinscrit. \\
En augmentant le nombre de côtés des polygônes, les aires (croissantes pour les inscrits, décroissantes sinon) se rapprochent 
tous de l'aire du cercle, à savoir $\pi$.\\
Voici les illustrations pour les triangles (3 côtés), les hexagones (6 côtés), les dodécagones  (12 côtés) et les icosikaitétragones ou tétraicosagones  (24 côtés)
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_tr.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_hexa.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_dode.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_ico.eps} 
\end{center}
Il démarre cette approximation avec un polygone à 3 côtés, et termine avec un polygone ayant 96 côtés. \\
Au fur et à mesure de son calcul, il encadre de plus en plus $\pi$, pour arriver à $3.14084507 < \pi < 3,14285714$
}\\

\Defc{Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées : 
$$\left\{ \begin{array}{l} (u_n) \text{ est croissante} \\ (v_n) \text{ est décroissante}  \\ \lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n) =0 \end{array} \right.$$
On dit ques les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont \textit{adjacentes}.
}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par : $$ u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$$
et la suite $(v_n)$ définie pour $n\geq 1$ par $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$\\
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. }

\Thc{Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes alors $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $l$.\\
De plus, $\forall n\in\N$ on a : $\qquad \qquad u_n\leq u_{n+1}\leq l\leq v_{n+1}\leq v_n$}

\Dem{On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
Montrons tout d'abord que $u_n\leq v_n$ pour tout $n\in\N$.\\
Soit $n\in\N$. Notons $w_n=v_n-u_n$, on a : 
$$ w_{n+1}-w_n=v_{n+1}-u_{n+1}-(v_n-u_n)=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)$$
Comme $(v_n)$ est décroissante $v_{n+1}-v_n\leq 0$.\\
Comme $(u_n)$ est croissante $u_{n+1}-u_n\geq 0$.\\
Par conséquent $ w_{n+1}-w_n \leq 0$ pour tout $n$ et $(w_n)$ est une suite décroissante.\\
On a donc pour tout $m>n$, $w_m\leq w_n \Longleftrightarrow v_m-u_m \leq v_n-u_n$.\\
Par passage à la limite dans cette inégalité lorsque $m\longrightarrow +\infty$ on obtient :
$$ 0\leq v_n-u_n \Longleftrightarrow u_n\leq v_n$$
On a finalement : $$ u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$$
Donc $(u_n)$ est une suite croissante majorée par $v_0$, on sait alors qu'elle converge vers un certain réel $l$.\\
De même $(v_n)$ est une suite décroissante minorée par $u_0$, donc elle converge vers un certain réel $l'$.\\
D'où $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=l'-l$. \\
Or $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=0$. Par unicité de la limite on obtient : $l=l'$}

\Expl{En considérant les deux suites de l'exercice précédent, déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de leur limite commune $l$ \footnote{On cherche à partir de quel entier $n$ on a $v_n-u_n\leq 10^{-3}$} }

\Exos{n$^{\circ}$ 47-48 p 77}

\end{document}