\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}


\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Les suites arithm\'etiques \linebreak[2] et suites g\'eom\'etriques}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 \setcounter{NumLecon}{2}
\debutAideCha

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est \textbf{arithm\'etique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}+r}}

\Expl{L\'ea d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il ajoute $10\euro$ . Si on note $u_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{\text{i\`eme}}$ ann\'ee. On a : 
 \begin{center}
  $\left\{ \begin{array}{l} u_0=100 \\ u_{n+1}=u_n+10 \end{array} \right.$\\ 
 \end{center}
 $u$ est donc une suite arithm\'etique de raison 10 et de premier terme 100.}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est \textbf{g\'eom\'etrique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}\times q}} 

\Expl{Max d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il gagne $3\%$ de plus. Si on note $v_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{i\`eme}$ ann\'ee, on a : 
\begin{center}
 $\left\{ \begin{array}{l} v_0=100 \\ v_{n+1}=v_n\times1,03 \end{array} \right.$\\
\end{center}
 $v$ est donc une suite g\'eom\'etrique de raison 1,03 et de premier terme 100.}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
On considère désormais une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$.\\

\Ptec{Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}+(n-p)r}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}+nr}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, L\'ea dispose de $300\euro$ sur son compte. En effet $u_n=100+10n$ et donc : 
$
 u_{20}=100+10\times20=300$
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
On considère désormais une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$.\\

\Ptec{Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}\times q^{n}}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, Max dispose de $180,61\euro$ sur son compte. En effet $v_n=100\times1,03^n$ et donc : 
$
 v_{20}=100\times1,03^{20}=180,61$
}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\


\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Ce sont les points d'abscisse entière positive de la droite de coefficient directeur $r$ et passant 
par le point de coordonnées $\left(n_0; u_{n_0}\right)$

\Expl{$u_0=-1$ et $r=0.5$, \qquad\quad $v_0=1$ et $r=-0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,-1)
\psdot(1,-0.5)
\psdot(2,0)
\psdot(3,0.5)
\psdot(4,1)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,1.5)
\psdot(1,1)
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0)
\psdot(4,-0.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Si $q>0$, ce sont les points d'abscisse entière positive d'une courbe exponentielle.
\Expl{$u_0=1$ et $r=1.5$, \qquad $v_0=5$ et $r=0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-0.9)(7.6,17.6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{17.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,1)
\psdot(1,1.5)
\psdot(2,2.25)
\psdot(3,3.375)
\psdot(4,5.0625)
\psdot(5,7.59375)
\psdot(6,11.390625)
\psdot(7,17.0859375)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(7.6,10.3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{10.3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,5)
\psdot(2,2.5)
\psdot(3,1.25)
\psdot(4,0.625)
\psdot(5,0.3125)
\psdot(6,0.15625)
\psdot(7,0.078125)
\psdot(0,10)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{minipage}
\\
\end{tabular}


\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$\\
\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante ;\\
\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=-\infty$
\end{itemize}}




\Expl{\[
      r=10>0 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(u_n)$ est croissante}
      \]
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ (avec $q>0$) alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in [0;1[$ alors $(u_n)$ est décroissante et convergente vers $0$, ie $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=0$
\item Si $q=1$ alors  $(u_n)$ est constante égale à  $1$
\item Si $q>1$ alors $(u_n)$ est croissante et divergente vers $+\infty$, ie la $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$.
\end{itemize}}




\Expl{\[
       q=1,03>1 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(v_n)$ est divergente}
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite arithm\'etique de premier terme $p$ et de dernier terme $d$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=n\times \dfrac{p+d}{2}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       u_{10}+u_{11}+...+u_{20}=11 \times \dfrac{u_{10}+u_{20}}{2}=2200
      \]

}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8.5cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite g\'eom\'etrique de raison $q\neq 1$ et de premier terme $p$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=p\times \dfrac{1-q^n}{1-q}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       v_{1}+v_2+...+v_{20}=v_{1} \times \dfrac{1-1,03^{20}}{1-1,03}=2767,65
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\Applic{Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bail.\footnote{Un bail est un contrat de location}\newline
\underline{1$^{er}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200 \euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5 \euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.\newline
\underline{2$^{ème}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois juqu'à la fin du bail.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (i.e du $36^{ème}$ mois).
\item Quel est le contrat globablement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? 
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_1=200$ tel que $u_{n+1}=u_n+5$ et la suite $(v_n)$ géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $v_0=200$ tel que $v_{n+1}=1,02\times v_n$\\
Pour le premier contrat le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois sont donnés par $u_2$ puis $u_3$ :
$$ u_2=u_1+5=200+5=205\euro\qquad \qquad u_3=u_2+5=205+5=210\euro$$
Pour le deuxième contrat le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois sont donnés par $v_2$ puis $v_3$ :
$$ v_2=v_1\times 1,02=200\times 1,02=204\euro\qquad \qquad v_3=v_2\times 1,02=204\times 1,02=208,08\euro$$
\item Le loyer du dernier mois est donnée par $u_{36}$ pour le premier contrat et $v_{36}$ pour le deuxième contrat :
$$ u_{36}=u_1+(36-1)\times 5=200+35\times 5=375\euro \qquad \qquad v_{36}=v_1\times 1,02^{35}=200\times 1,02^{35}\simeq 400 \euro$$
\item Pour cela il faut calculer la somme des 36 premiers loyers i.e il faut calculer $S_1$ et $S_2$ où :
$$ S_1=u_1+u_2+\dots+u_{36}=\dfrac{36\times (200+375)}{2}=18\times 575=10350 \euro$$
Et $$S_2=v_1+v_2+\dots +v_{36}=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02} \simeq 10398 \euro$$
Au final le premier contrat semble plus avantageux et permettrait de réaliser une économie d'environ $40\euro$
\end{enumerate}}

\Exos{n$^{\circ}$ 37 + 38 + 39 + 40 p 39}

\end{document}
