\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Annales sur les suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\Exoi{%2010
\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :
\[ f(x) = 6 -  \dfrac{5}{x + 1}.\]
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
\begin{enumerate}
\item  Etude de propriétés de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$[ l'équation $f(x) = x$.
		 \\
On note $\alpha$ la solution. 
		\item Montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$, alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[0~;~\alpha]$.
		 \\
De même, montrer que si $x$ appartient à l'intervalle $[\alpha, + \infty[$ alors $f(x)$ appartient à l'intervalle $[\alpha~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Etude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$
\\
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique représenté ci-dessous, sont représentées les courbes d'équations $y = x$ et $y=f(x)$.
Placer le point $A_{0}$ de coordonnées $\left(u_{0}~;~0\right)$, et, en utilisant ces courbes, construire à partir de $A_{0}$ les points $A_{1}$,~$A_{2}$,~$A_{3}$  et $A_{4}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{1},~u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Quelles conjectures peut-on mettre quant au sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Etude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$\\
\emph{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incompleète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'eévaluation.}\\
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ suivant les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$ ?
\end{enumerate} }
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x}
\end{pspicture} 
\end{center}


\Exoi{%2009
\textbf{VRAI OU FAUX}\hfill (2 points)\\
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. 
\item  Toute suite $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs et décroissante converge vers $0$.
\end{enumerate}}

\Exoi{%2009
\textit{Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. }\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
	\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
	\item  Etudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :
\[ nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] 
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\\
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\nombre{2009}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}


\Exoi{%2008 
\textit{Certains résultats de la PARTIE A pourront être utiliseés dans la PARTIE B, 
mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. } \hfill (4 points)\\
 \textbf{PARTIE A :} On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  
\\
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{PARTIE B : } Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier 
naturel $n$, on considère la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 \\
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.  Justifier dans chaque cas. 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}
}
\Exoi{%2009 
\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. 
		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. 
\\
A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite de premier terme $w_{0}$ et telle que, pour tout nombre entier naturel $n, w_{n+1} = \dfrac{1}{2}w_{n} + 3$.
\\
 On suppose que $w_{0}$ est strictement suprieur  6.\\
Les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont-elles adjacentes ? Justifier. 
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(24,15)
\psline(-6,-6)(15,15)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\Exoi{%2008 
\hfill (5 points)\\
\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
 \end{center}
 \textbf{Partie A}
 \\
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ dfinies sur $\N$ et vrifiant la relation suivante :
\\
pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.
\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'quation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\
\\
On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{o}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux rels.}\]
\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.\\
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}
 \textbf{Partie B}
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}}


\end{document}


