\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence et Suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 

 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\section{Démonstration par récurrence}
\subsection{Exemple introductif}
\noindent Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=u_n + \dfrac{1}{n(n+1)}  \end{array} \right.$\\\\
Chaque terme de cette suite se calcule à partir du précédent. On dit que cette suite est définie $\dots\dots\dots\dots\dots$. \\
\underline{But} : \textit{On souhaiterait obtenir une formule $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ de $u_n$ en fonction de $n$, afin de pouvoir calculer 
n'importe quel terme rapidement (sans devoir calculer chacun des précédents). }

\begin{enumerate}
 \item La suite est-elle géométrique ? arithmétique ?
 \item Calculant les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$ sous forme de fraction irréductible.
 \item Que vous attendez-vous à trouver pour $u_6$ ? Calculer $u_6$.
 \item Conjecturer une valeur pour $u_{101}$ ? Ce résultat est-il certain ?
\item Quelqu'un a eu le courage de calculer $u_7$, $u_8$, $\dots$, jusqu'à $u_100$ et a trouvé $u_{100}=\dfrac{100}{101}$. \\
Calculer $u_{101}$.\\\\
\textit{Attention, une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines conjectures se 
révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé d'une propriété \textbf{supposée} résultant d'un certain nombre d'observations. }\\
\textbf{Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus ? }\\
 \item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété définie pour $n\in\N$, par : $ \mathscr P(n) : \og u_n=\dots\dots\dots\dots\dots\dots \fg$\\
Supposons un instant, que pour un certain entier $k$, on a calculé $u_k$ et on a effectivement trouvé $u_k=\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, 
\begin{enumerate}
\item Quelle sera l'expression du terme suivant $u_{k+1}$ ?
 \item La propriété $\mathscr P(k+1)$ est-elle vraie elle aussi ?\\
Autrement dit $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$.\\
On dit que la propriété $\mathscr P$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. 
\end{enumerate}
\item Connaissant $u_6$, quel terme en déduisez-vous grâce à la question 6. ? \\
Puis quel autre terme ? 
\item Au final on a vu que la propriété $\mathscr P$ était vraie au rang $n=\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$, $\dots\dots$,
 $\dots\dots$,  $\dots\dots$ et $\dots\dots$. On dit que la propriété est  $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. \\
Mais comme la propriété $\mathscr P$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ elle sera vraie au rang $\dots\dots$, puis au rang $\dots\dots$, 
puis au rang $\dots\dots$, etc.\\
Quel conclusion pouvez-vous en tirer ?
\end{enumerate}

\noindent Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence}.


\end{document}