\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence et Suites}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\setcounter{section}{4}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection{Suites adjacentes} 

\begin{enumerate}
 \item On considère la courbe $ \mathscr C$ représentative de la fonction inverse : $x \mapsto f(x)=\dfrac{1}{x}$ pour $x\in[1;2]$.\\
On voudrait trouver une valeur approchée de l'aire comprise entre $\mathscr C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
\begin{enumerate}
 \item On découpe l'intervalle $[1;2]$ en $5$ intervalles de même amplitude.
\begin{enumerate}
 \item Donner les valeurs $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_5$ des bornes des intervalles.
 \item Déterminer les images de ces valeurs par $f$.
 \item En considérant les aires des $5$ rectangles dont l'un des sommets est sur la courbe $\mathscr C$, déduire, 
l'expression de l'aire hachurée sur chacun des dessins ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(2.3,1.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{2.2} \def\ymin{0} \def\ymax{1.3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2.9cm,yunit=2.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(2.2,1.3)
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.5}{2.5}{\F}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=8pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](1,0)(2,0)(2,0.5)(1.8,0.5)(1.8,0.55555)(1.6,0.55555)(1.6,0.625)(1.4,0.625)(1.4,0.71428)(1.2,0.71428)(1.2,0.83333)(1,0.83333)(1,0)
}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.2,0.83333)(1,0.83333)
\psline[linestyle=dashed](1.4,0)(1.4,0.71428)(1.2,0.71428)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.625)(1.4,0.625)
\psline[linestyle=dashed](1.8,0)(1.8,0.55555)(1.6,0.55555)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.5)(1.8,0.5)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\quad %\qquad
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(2.3,1.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{2.2} \def\ymin{0} \def\ymax{1.3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2.9cm,yunit=2.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(2.2,1.3)
\psset{xunit=2.9cm , yunit=2.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.5}{2.5}{\F}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=8pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psline[linestyle=solid,linecolor=gray](1,0)(2,0)(2,0.55555)(1.8,0.55555)(1.8,0.625)(1.6,0.625)(1.6,0.71428)(1.4,0.71428)(1.4,0.83333)(1.2,0.83333)(1.2,1)(1,1)(1,0)
}
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.2,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.4,0)(1.4,0.83333)(1.2,0.83333)
\psline[linestyle=dashed](1.6,0)(1.6,0.71428)(1.4,0.71428)
\psline[linestyle=dashed](1.8,0)(1.8,0.625)(1.6,0.625)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.55555)(1.8,0.555555)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
 \item On découpe désormais l'intervalle $[1;2]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
\begin{enumerate}
 \item Donner les valeurs $x_0$, $x_1$, $\dots$, $x_k$, $\dots$, $x_n$ des bornes des intervalles.
 \item Déterminer $f(x_k)$ pour tout $0\leq k \leq n$.
 \item Calculer en fonction de $n$ la somme des aires des $n$ rectangles côte à côte de même largeur, situés \og sous \fg \, la courbe $\mathscr C$ 
et dont l'un des sommets est sur la courbe $\mathscr C$ (sur le même principe que ci-dessus). \\
Même question pour les rectangles situés \og au-dessus \fg \, de la courbe $\mathscr C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item On considère désormais les suites $(u_n)$ définies pour tout $n\in\N^*$ par 
$$u_n=\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{2n}=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}$$ 
$$v_n=\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{2n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{n+k}$$ 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les quatre premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ à $10^{-2}$ près.
 \item Représenter les points correspondants sur un axe gradué.
 \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante et la suite $(v_n)$ décroissante.
 \item Calculer $v_n-u_n$ et démontrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n-u_n = 0$.
 \item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement asymptotique des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
 \item En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_{50}$ et $v_{50}$.\\
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\Rq{Sur le même principe, Archimède (III$^e$ avant JC) décida d'encradrer l'aire d'un cercle de rayon 1 
par celle d'un polygône régulier inscrit dans ce cercle et par celle d'un polygône régulier exinscrit. \\
En augmentant le nombre de côtés des polygônes, les aires (croissantes pour les inscrits, décroissantes sinon) se rapprochent 
tous de l'aire du cercle, à savoir $\pi$.\\
Voici les illustrations pour les triangles (3 côtés), les hexagones (6 côtés), les dodécagones  (12 côtés) et les tétraicosagones  (24 côtés).
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_tr.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_hexa.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_dode.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{pi_ico.eps} 
\end{center}
Il démarre cette approximation avec un polygone à 3 côtés, et termine avec un polygone ayant 96 côtés. \\
Au fur et à mesure de son calcul, il encadre de plus en plus $\pi$, pour arriver à $3.14084507 < \pi < 3,14285714$
}\\


\end{document}
