\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les Nombres Complexes}	
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDmCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\vspace{-5mm}
\Exoi{%Centres étrangers, 2010
\hfill(5 points)\\
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a$, $b$, $c$.\\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
On rappelle que $(\vec u ; \overrightarrow{AB})=\arg(b-a) \,[2\pi]$.\\
Montrer que $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right) \, [2\pi]$.\\\\
\textbf{Partie B}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
On considère le point $A$ d'affixe $1+i$. On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe :
$$z'=\dfrac{z-1-i}{z}$$
Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe i.
\item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $|z'|=1$.
\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ?
\end{enumerate}
}

\vspace{-5mm}

\Exoi{ %2009
\hfill(5 points)\\
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$,
on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui  tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
		\item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		\item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 
	tels que $z'=z$).\\\\\\
 On cherche  à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
		\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
		\item Montrer que les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
	\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précèdentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}
}





\end{document}