\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les Nombres Complexes}	
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDmCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\vspace{-5mm}
\Exoi{%Centres étrangers, 2010
\hfill(5 points)\\
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\\
\textit{Montrer que $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right) \, [2\pi]$.}
$$(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AC})=
-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AC})
=\arg\left(c-a\right) -\arg\left(b-a\right)=\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)  \,[2\pi] $$ 
\textbf{Partie B}
$A(1+i)$ \textit{et}  $z'=\dfrac{z-1-i}{z}$
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item \textit{Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe i.}
$$z_{B'}=\dfrac{i-1-i}{i}=\dfrac{-1}{i}=\dfrac{-i}{i^2}=i$$
\item \textit{Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.}\\
Supposons que $z'=1$, alors on a $\dfrac{z-1-i}{z}=1 \Longleftrightarrow z-1-i=z \Longleftrightarrow -1-i=0 $ ce qui est absurde. \\
Donc l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
\end{enumerate}
\item \textit{Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $|z'|=1$.}
$$|z'|=1 \Longleftrightarrow |\dfrac{z-1-i}{z}|=1 \Longleftrightarrow \dfrac{|z-1-i|}{|z|}=1 \Longleftrightarrow |z-1-i|=|z| \Longleftrightarrow |z-z_A| = |z|$$
Donc l'ensemble cherché est celui des points à égale distance de $A$ et $O$, ie la médiatrice de $[AO]$.
\item \textit{Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ?}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{z-1-i}{z} \in \R & \Longleftrightarrow & \arg\left(\dfrac{z-1-i}{z}\right) = 0 \, [\pi] \\
& \Longleftrightarrow & \arg\left(\dfrac{z-z_A}{z}\right) = 0 \, [\pi] \\ 
& \Longleftrightarrow & \left(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{AM}\right) = 0 \, [\pi] \\ 
& \Longleftrightarrow & O, \, A \, \textrm{ et } M \textrm{ sont alignés}
\end{eqnarray*}
Donc l'ensemble cherché est la droite $(AO)$ privé de $O$, car $z\neq 0$.
\end{enumerate}
}

\vspace{-5mm}

\Exoi{ %2009
\hfill(5 points)\\
$A(2)$ et $B(-2)$ \textit{et} $z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.$
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item \textit{Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.}
\begin{eqnarray*}
z_{P'} & = & \dfrac{\overline{z_P}(z_P - 2)}{\overline{z_P} - 2}=\dfrac{(1-i)(1+i-2)}{1-i-2}=\dfrac{(1-i)(-1+i)}{-1-i} 
=\dfrac{(1-i)(-1+i)^2}{(-1-i)(-1+i)}\\
&=&\dfrac{(1-i)(1-2i-1)}{2}=-i(1-i)=-i-1=-1-i=-z_P
 \end{eqnarray*}
		\item \textit{Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.}\\
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AP}$ est $z_{\overrightarrow{AP}}=z_P-z_A=1+i-2=-1+i$.\\
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{BP'}$ est $z_{\overrightarrow{BP'}}=z_B-z_{P'}=-1-i-(-2)=1-i=-z_{\overrightarrow{AP}}$.\\
Donc les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{BP'}$ sont colinéaires et les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		\item \textit{Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.}
\begin{eqnarray*}
(\overrightarrow{PP'};\overrightarrow{AP})&=&\arg\left(\dfrac{z_P-z_A}{z_{P'}-z_P}\right)=\arg\left(\dfrac{-1+i}{-2-2i}\right)
=\arg\left(\dfrac{-1+i}{-2(1+i)}\right)\\
&=&\arg\left(-1+i\right)-\left[\arg(-2)+\arg(1+i)\right]=\dfrac{3\pi}{4}-\pi-\dfrac{\pi}{4}
=-\dfrac{\pi}{2} \, [2\pi] 
\end{eqnarray*}
Donc les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item \textit{Déterminer l'ensemble des points invariants par $f$. }
$$z'=z \Longleftrightarrow \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}=z \Longleftrightarrow \overline{z}(z-2)=z(\overline{z}-2) = z\overline{z}-2\overline{z}=z\overline{z}-2z 
\Longleftrightarrow \overline{z}=z \Longleftrightarrow z\in\R$$
L'ensemble des points est l'axe des réels, privé de $A$, car $\overline{z_A}-2=0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \textit{Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.}
$$(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)=z\overline{z}-2(z+\overline{z})+4=|z|^2-2Re(z)+4 \in \R
$$
		\item \textit{En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.}
$$\dfrac{z' + 2}{z - 2}=\dfrac{\overline{z}(z-2)+2(\overline{z}-2)}{\overline{z} - 2}\times \dfrac{1}{z-2}=\dfrac{\overline{z}z-2\overline{z}+2\overline{z}-4}{(\overline{z}-2)(z-2)}
=\dfrac{|z|^2-4}{(\overline{z}-2)(z-2)}\in\R$$
		\item \textit{Montrer que les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.}\\
Pour $M\neq A$, on a $(\overrightarrow{BM'};\overrightarrow{AM})=\arg{\left(\dfrac{z'+2}{z-2}\right)}=0\, [\pi]$.\\
Donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM'}$ sont colinéaires et les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item \textit{Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{z'-z}{z-z_A}&=&\dfrac{\overline{z}(z-2)-z(\overline{z}-2)}{\overline{z} - 2}\times \dfrac{1}{z-2}=
\dfrac{\overline{z}z-2\overline{z}-\overline{z}z+2\overline{z}}{(\overline{z}-2)(z-2)} \quad \textrm{cette quantité existe car } M\neq A\\
&=&\dfrac{-2\overline{z}+2z}{(\overline{z}-2)(z-2)}=\dfrac{4 Im(z)}{(\overline{z}-2)(z-2)} \in i\R
\end{eqnarray*}
D'où $(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{MM'})=\arg{\left(\dfrac{z'-z}{z-2}\right)}=\dfrac{\pi}{2}\, [\pi]$.\\
Les droites $(AM)$ et $(MM')$ sont perpendiculaires.
	\item $M\neq A$. \textit{Déduire des questions précèdentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.}
\begin{itemize}
 \item On trace la parallèle à $(AM)$ passant par $B$ (elle existe car $M\neq A$).
 \item On trace la perpendiculaire à $(AM)$ passant par $M$ (elle existe car $M\neq A$).
 \item Le point $M$ est l'intersection des deux droites tracées (il existe car ces droites sont perpendiculaires).
\end{itemize}
Le faire pour $Q(3-2i)$.
\end{enumerate}
}





\end{document}