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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
\setcounter{NumLecon}{1}
\debutCha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}{1.8}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{1}
\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les  nombres  complexes  portent  bien  leur  nom  !  Ils  interviennent
partout  : en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Et en plus,  ils n'ont jamais la
même  apparence  :  tantôt  sous  forme algébrique,  tantôt  sous  forme
trigonométrique, tantôt sous forme  exponentielle, ... Leur succès vient
en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer  facilement en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors détaillons ! 
\end{abstract}

\section{Introduction}
\subsection{Approche historique}
\Act{
Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule 
donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px=q$ \footnote{Vous pouvez 
essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$.} :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }$$
\begin{enumerate}
 \item Utilisez cette formule pour trouver une solution de l'équation $x^3-36=91$
 \item\begin{enumerate}
 \item Comme Bombelli à la fin de ce siècle, appliquer cette formule à l'équation $x^3-15x=4$.
 \item Quel problème est survenu ?
 \item En admettant que l'on puisse prolonger les règles usuelles de calcul aux racines carrés de nombres négatifs, 
en utilisant le symbole imaginaire $\sqrt{-1}$ (qui n'a encore aucun sens),  
calculer $ \left(2+\sqrt{-1}\right)^3$ et $ \left(2-\sqrt{-1}\right)^3$
 \item Donner alors une solution réelle de l'équation (et vérifier). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer 
avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres complexes $\dots$
}

En 1637, Descartes propose l’appellation de \og nombres imaginaires \fg, mais c’est Gauss en 
1831 qui le premier les nomme les \og nombres complexes \fg. \\
Euler, déclarant que la notation $\sqrt{-1}$ est absurde car elle conduit à une contradiction de 
la définition, introduit la notation $i$ (comme imaginaire) en 1777 pour le nombre  qui vérifie 
$i^2 =-1$. \\
L’ensemble des nombres complexes  $\C$ apparaît alors : ce sont les nombres de la forme 
$a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. Les règles de calculs dans  $\R$ sont conservées. \\
Les nombres imaginaires prennent leur statut officiel de nombres, avec pour  
représentation géométrique associée au nombre complexe $x+iy$ ($x$ et $y$ réels) le point 
du plan de coordonnées $(x;y)$ \footnote{Ce qui entraîne l'unicité de l'écriture}. \\
Ces nombres ont notamment servi pour formaliser la théorie de la relativité d’Einstein (1905). A 
notre niveau, ils sont utiles en géométrie et pour la résolution d'équations.


\subsection{Approche ensembliste}

\noindent L'équation $x+1=0$ n'a pas de solution dans $\N$, mais elle admet une solution $-1$ dans un ensemble plus grand $\Z$.\\
De même, l'équation $3x=1$ n'admet pas de solution dans $\Z$, mais elle admet $ \dfrac{1}{3}$ comme solution dans l'ensemble $\Q$ plus vaste que $\Z$\\
Et puis, l'équation $x^2=2$ n'a pas de solution dans $\Q$ ; il faut chercher dans $\R$ pour en trouver. 
\\
En clair, quand une équation n'a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) pour en trouver consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de nos connaissances, l'ensemble numérique le plus grand est $\R$. Pourtant l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solutions dans $\R$ $\dots$\\
On va donc, dans ce chapitre \og construire ? \fg enfin plutôt imaginer un ensemble plus grand que $\R$ dans lequel l'équation $x^2+1=0$ possède des solutions. On l'appellera $\C$ : ensemble des nombres complexes. Le principal élément de $\C$ sera noté $i$ ( $i$ comme imaginaire) et vérifiera $i^2=-1$. L'équation précédente possédera alors deux solutions :
$$ x^2+1=0\Longleftrightarrow (x+i)(x-i)=0\Longleftrightarrow x=i\text{ ou }x=-i$$
Je vous rassure tout de même, toute équation polynomiale à coefficient dans $\C$ admet des solutions dans $\C$ (en fait, autant que le degré de l'équation). On ne construira donc pas d'ensemble plus grand que $\C$. 


\subsection{Forme algébrique d'un nombre complexe}
\Thc[Définition]{On définit un ensemble $\C$ contenant $\R$ :
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\R$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$
\item tel que chaque élément $z$ de $\C$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme :
$$ z=x+iy\text{ avec $x$ et $y$ des nombres réels}$$ 
\end{itemize}
Les éléments de $\C$ sont appelés \textbf{nombres complexes} ou encore \textbf{nombres imaginaires}.
}

\Rqs{
\item Une idée de la preuve de l'existence d'un tel ensemble est dans la partie annexe à la fin de ce document.
\item Le prolongement des opérations de $\R$ dans $\C$ signifie que l'on garde les propriétés calculatoires de $\R$ (associativité, 
commutativité, distributivité, élément neutre, inverse ...) en remplaçant simplement $i^2$ par $-1$.
}

\Defc{Soit $z\in\C$, alors il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $z=x+iy$. 
\begin{itemize}
 \item L'écriture $x+iy$ (unique) est appelée \underline{forme algébrique} du nombre complexe $z$
 \item Le réel $x$ est la \textbf{partie réelle} de $z$ et se note $\re(z)$
 \item Le réel $y$ est la \textbf{partie imaginaire} de $z$ et se note $\im(z)$
\end{itemize}
}

\Expl{Si $z=3+4i$ alors $3$ est la partie réelle et $4$ est la partie imaginaire. }

\Att{La partie imaginaire est un \textbf{nombre réel }.}

\Exop{
Soit $z=2+3i$ et $z'=4+5i$. Déterminer la forme algébrique de $z+z'$. Donner les parties réelle et imaginaire de $zz'$.
}

\Rqs{
\item Si $\im(z)=0$ alors $z=\re(z)+i0=\re(z)$, donc $z$ est un réel et $\R \subset \C$.
\item Si $\re(z)=0$ alors $z=0+i\im(z)=i\im(z)$. On dit que $z$ est un \textbf{imaginaire pur}. 
L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\R$
}

\Thc[égalité de deux nombres complexes]{Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, alors :
$$ x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$}

\Dem{
\begin{itemize}
\item Montrons dans un premier temps que $$ x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=0$ et $y=0$ alors $x+iy=0$
\item[$\Rightarrow)$] Supposons que $y\neq 0$, dans ce cas on a : $i =-\dfrac{x}{y}$ et par conséquent $i\in\R$, or il n'existe pas de nombres réels tels que $i^2=-1$. Notre hypothèse est donc absurde, ce qui signifie que $y=0$ et donc $x+0=0\Longleftrightarrow x=0$
\end{itemize}
\item Considérons désormais deux nombres complexes $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ tels que et montrons que 
$$ z=z'\Longleftrightarrow x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=x'$ et $y=y'$ alors de manière évidente $z=z'$
\item[$\Rightarrow)$] Si $z=z'$ montrons que $x=x'$ et $y=y'$\\
Comme $z=z'$, on a $z-z'=0\Longleftrightarrow x-x'+i(y-y')=0$, par conséquent d'après la première partie de la démonstration : 
$$ x-x'=0\Longleftrightarrow x=x' \qquad \text{ et }\qquad y-y'=0\Longleftrightarrow y=y'$$
\end{itemize}
}

\Rq{Le résultat précédent peut s'énoncer de la manière suivante : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.\footnote{\underline{Humour} : Pourquoi la vie des hommes est-elle complexe ? Car elle possède une partie réelle et une partie imaginaire$\dots$}}

\Exop{On considère deux nombres complexes $z=3+2i$ et $z'=2-i$.\\
 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :
 \begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
\item $z+z'$
\item $z\times z'$
\item $z-z'$
\item $z+2z'$
\item $2z-3z'$
\item $z^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Rqs{
\item Dans $\C$, il n'y a pas de notion d'ordre, on ne pourra donc pas comparer deux nombres imaginaires.
\item On évitera l'usage abusif du symbole radical $\sqrt{\quad}$ qui reste réservé aux réels positifs.
}

\section{Interprétation géométrique}

\subsection{Le plan complexe}
%\subsection{Définition}
Dans tout le chapitre, on munit un plan orienté d'un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$. 
%Chaque nombre complexe $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des réels est associé au point $M(x;y)$ et au vecteur $\vec{u}=x\vec{e_1} + y \vec{e_2}$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.2,3) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline[linewidth=0.05]{->}(0,0)(3,2) 
\psline(-0.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-0.5)(0,2.5) 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,0)(3,2) 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2)(3,2) 
\rput(-0.3,-0.3){$O$} 
\rput(0.5,-0.3){$\vec{e_1}$} 
\rput(-0.3,0.5){$\vec{e_2}$} 
\rput(1.6,0.7){$\vec{u}$} 
\rput(4.3,2.2){$M(z)$} 
\rput(3,-0.3){\textcolor{red}{$x$}} 
\rput(-0.3,2){\textcolor{blue}{$y$}}
\rput(4,-0.3){axe réel} 
\rput(-1.5,2.6){axe imaginaire} 
\psdot(3,2) 
\end{pspicture} 
\end{center}

\Defc{
\`A tout nombre complexe $z=x+iy$, avec $(x;y)\in\R^2$, on associe le point $M$ de coordonnées
$(x,y)$ qu'on  appelle \textbf{image} du  complexe $z=x+iy$. On  le note
souvent $M(z)$. \\
Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$, on associe
son \textbf{affixe} $z=x+iy$ qu'on note souvent $z_M$. 
\\
Enfin,  à  tout   vecteur  $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$  de  coordonnées
$(x,y)$  dans le repère $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$   est associé  une affixe
$z_{\overrightarrow{u}}=x+iy$ et inversement.}\\

\Expl{à $z=2-5i$ correspond le point $M(2;-5)$ et réciproquement. L'affixe du point $M$ est le nombre complexe $z$.\\
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives  $3+i$, $-3i$, $-1$ dans un repère orthonormé direct du plan et tracer 
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$.\\
Quelle est l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ ? $-\overrightarrow{OA}$ ? $\overrightarrow{AB}$ ?  }

\Exop{Déterminer l'affixe de $ \overrightarrow{e_1}$, $ \overrightarrow{e_2}$, $-\overrightarrow{e_1}$ et de $-\overrightarrow{e_2}$ }

\Rqs{
\item On a ainsi identifié le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct et l'ensemble $\C$, 
ce qui justifie l'appellation \textbf{plan complexe} de ce type de plan.
 \item Les réels étaient déjà identifiés depuis la seconde à une droite (incluse dans le plan)
\item Cette identification permet d'affirmer que l'on ne peut pas prolonger à $\C$ la relation d'ordre de $\R$, car cela reviendrait
à comparer deux points du plan, ou deux vecteurs, ce qui n'a pas de sens.
}

\subsection{Premiers calculs géométriques}

\Ptec{Soient $M$ et $M'$ les points du plan complexe d'affixes respectives $z$ et $z'$.\\
Un point $S$ a pour affixe $z+z'$ si et seulement si $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$.\\
Autrement dit : l'affixe d'une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces deux vecteurs :
$$ aff(\vec u+\vec v)=aff(\vec{u})+aff(\vec v)$$}

\Dem{
On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, avec $x$, $y$,$x'$,$y'$ quatre réels. \\
Notons que $z+z'=(x+x') + i (y+y')$
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'} &\Longleftrightarrow & 
 \overrightarrow{OS} =xe_1 + ye_2 + x'e_1 + y'e_2 = (x+x')e_1 + (y+y')e_2 \\
& \Longleftrightarrow & S \textrm{ a pour affixe } (x+x') + i(y+y') \\
& \Longleftrightarrow & S \textrm{ a pour affixe } z+z'.
\end{eqnarray*}
}

\Rq{Les points $M(z)$ et $M'(-z)$ sont symétriques par rapport à $O$. \\
En effet $z+(-z)=0$ donc 
$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{OO}=\vec 0$.
}


\Expl{
\begin{center}
 \psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4.6,-2.6)(6.6,4.6)
\def\xmin{-4.5} \def\xmax{6.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{4.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(5.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1]
(0,0)(-4.5,-2.5)(6.5,4.5)
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[u](1,2.5){$M'(1+2i)$}
\uput[d](-2.5,-1.5){$M''(-2.5-1.5i)$}
\uput[r](2.5,1.5){$M(2.5+1.5i)$}
 \uput[ur](3.5,3.5){$S(3.5+3.5i)$}
\psline[linestyle=dashed](1,2)(3.5,3.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(1,2)
\psline{->}(0,0)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(-2.5,-1.5)
\psline{->}(0,0)(3.5,3.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}


\Ptec{Soient les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors  :
\begin{itemize}
 \item  L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ 
 \item L'affixe du point $I$ milieu de $[AB]$ est : $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$
\end{itemize}
}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Notons $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.\\
On a $ \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, donc l'affixe du vecteur 
$ \overrightarrow{AB}$ est $\left(x_B-x_A+i(y_B-y_A)\right) $\\
D'autre part, $z_B-z_A=x_B+iy_B-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$\\
Par conséquent l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $ \overrightarrow{z_B-z_A}$ 
\item Le point $I$ est le point tel que $\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)$
\end{itemize}
}

\Expl{
\begin{center}
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(8.1,8.6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{8} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{8.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(5.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1]
(0,0)(-4,-1)(8,8.5)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[dr](-3,1){$A(-3+i)$}
\uput[ur](5,7){$B(5+7i)$}
\psdot(1,4) \uput[dr](1,4){$I(1+4i)$}
\uput[dr](3,5){$\overrightarrow{AB}(8+6i)$}
\psline{->}(-3,1)(5,7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
%L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ avec $A(3+5i)$ et $B(5+8i)$ est donc $z=2+3i$ \\
}

\Cadre[Rappel]{
Soit $(A;\alpha), (B;\beta) $ deux points pondérés tels que $\alpha + \beta \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ v\'erifiant :
$$ \alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$$
Ce point s'appelle barycentre des points $A$ et $B$.
}

\Ptec{
Soit $G$ le barycentre de deux points pondérés $(A;\alpha), (B;\beta) $ (avec $\alpha + \beta \neq 0$).\\
Alors on a $z_G =\dfrac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}$.
}

\Rqs{
\item Cette propriété se généralise à $n$ points pondérés (si le barycentre existe).
\item L'affixe du barycentre est la moyenne pondérée des affixes des points.
}


\Rq{Ces applications permettent de traduire des problèmes de géométrie en relations entre nombres complexes. 
}





\section{Conjugué d'un nombre complexe.}

\Defc{On considère un nombre complexe $z=x+iy$. \\
On appelle \textbf{conjugué} de $z$
 le nombre complexe, noté $\overline{z}$, tel que $$ \overline{z}=x-iy$$ 
On dit que $z$ et $\overline{z}$ sont des \textbf{nombres complexes conjugués}. 
}\\

\underline{Interprétation géométrique du conjugué} : \\
Les images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des réels :
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.3}
\end{center}
En effet, un nombre complexe et son conjugué ont même partie réelle (abscisse) et des parties imaginaires opposées (ordonnées)

\Expl{Le conjugué de $z=4-2i$ est $ \overline{z}=4+2i$, le conjugué de $i$ est $-i$, de $7$ est $7$. }

\Rq{On a $\re(z)=\re(\overline{z})$}

\Corc[Critère pour qu'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]{On a :
$$ z+\overline{z}=2\re(z)\qquad \qquad \qquad z-\overline{z}=2i\im(z)$$
Et les propriétés suivantes : $$ z\text{ est réel}\Longleftrightarrow z=\overline{z}\qquad \text{ et } z\text{ est imaginaire pur }\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$}

\Dem{Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\re(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\im(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \im(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \re(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
}

\Thc{Pour tout nombre complexe $z=x+iy$, on a :
$$ z\overline{z}=x^2+y^2\in\R$$}

\Dem{$z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2$
}\\

\Applic{Pour écrire les nombres complexes fractionnaires sous la forme $x+iy$, i.e sous la forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.}

\Expl{$$ \dfrac{1}{3-4i}=\dfrac{3+4i}{(3-4i)(3+4i)}=\dfrac{3+4i}{25}=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i$$}

\Exop{Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $ \dfrac{1-i}{1+i}$ et $ \dfrac{1}{2+i}$ }

\Ptec{Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\overline{z}$
\item $ \overline{zz'}=\overline{z}\overline{z'}$
\item $ \overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Dem{Soit $z=x+iy$ et $z'=x-iy$ (avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels), alors :
$$ \overline{z+z'}=\overline{x+iy+x'+iy'}=\overline{x+x'+i(y+y')}=x+x'-i(y+y')$$
$$ \overline{z}+\overline{z'}=\overline{x+iy}+\overline{x'+iy'}=x-iy+x'-iy'=x+x'-i(y+y')$$
Par conséquent $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
\\
On démontre de manière similaire les autres égalités.}

\vspace{-3mm}
\Exop{Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z=\dfrac{4-5i}{3+i}$
\item $z=\dfrac{1}{2+i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exop{Déterminer le lieu des points $M$ d'affixe $z$ telle que $ \dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel.}

\Applic{Si un polynôme, à coefficients réels, admet un nombre complexe $z$ comme racine alors $ \overline{z}$ est aussi une racine de $P$ puisque, d'après les propriétés de la conjugaison (qui commute avec les exposants, les produits et les sommes) : $$ P(\bar{z}))=\overline{P(z)}$$
Et donc si $P( z )=0$ alors $ \overline{P(z)}=0$ d'où $P( \overline{z})=0$  }

\Expl{On donne $P(x)=x^2+1$. Déterminer les racines de $P$ et vérifier qu'elles sont conjuguées.\\
Vérifier que le nombre complexe $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est racine de $Q(x)=x^2+x+1$. 
Donner une autre racine de $Q$.}


\newpage
\section{Equations du second degré à coefficients réels}
\subsection{Equations du type $x^2=a$ où $a\in\R$}
\Act{
\begin{itemize}
\item Rappeler les solutions de l'équation $x^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
\item On suppose que $a<0$. Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. \\
      En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que l'on précisera.
\end{itemize}
}

\Ptec{L'équation $x^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $a\geq 0$ ce sont les réels suivants :  $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
\item Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $x=i \sqrt{-a} \qquad \text{ou} x=-i \sqrt{-a}$
\end{itemize}}\\

\Exop{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
$$ x^2=-3 \qquad z^2+\dfrac{3}{4}=0\qquad z^2=\cos^2\theta-1 \qquad x+\dfrac{1}{x}=0$$
}

\subsection{Equations du type $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$}

\Act{
Considérons le discriminant $\Delta= b^2-4ac$.
\begin{itemize}
\item Rappeler les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq 0$) lorsque $\Delta \geq 0$.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\item On suppose que $\Delta<0$. Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. \\
En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, transformer l'équation considérée en une équation produit.\\
En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que l'on précisera.\\
\end{itemize}
}

\Thc{L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède (une ou) deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : $$ z_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad z_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
}

\Exop{Résoudre, dans $\C$, les équations suivantes :
$$ 2z^2-3z+4=0\qquad \qquad x^2-2x+2=0\qquad \qquad 2z^4+z^2-10=0$$}



\section{Module et argument d'un nombre complexe}
\subsection{Module}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{complexe.4}
\end{center}
\Defc{On considère $z$ un nombre complexe, $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels).\\
Le \textbf{module} de $z$ est le nombre réel,
 noté $|z|$, défini par $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.}

\Rq{\begin{itemize}
\item Si $z$ est l'affixe d'un point $M$, le module de $z$ n'est autre que la distance $OM$ : $OM=|z|$. \\
Par conséquent si $z$ est l'affixe d'un vecteur $ \overrightarrow{AB}$ alors $|z|$ représente la distance $AB$ : $AB=|z_B-z_A|$
\item $|z| \geq 0 $ pour tout nombre complexe $z$ 
\item On a $|z|=\sqrt{z \overline{z}}$ ou encore $|z|^2=z\overline{z}$
\item $|z|=|-z|=|\overline{z}|=|-\overline{z}|$
\item Si $z=x+iy$ est réel ($y=\im(z)=0$), on a $|z|=\sqrt{x^2}=|x|$. Le module d'un nombre réel est donc sa valeur absolue, ce qui justifie la notation.
\end{itemize}}

\Expl{Si $z=3-4i$, alors $|z|=5$. Si $z=9i$ alors $|z|=9$. }

\Exop{On donne $z_A=-1+4i$ et $z_B=2-i$. Notons $A$ l'image de $z_A$ et $B$ l'image de $z_B$ ; calculer la distance $AB$.}

%\Exop{Soient $A(0;4)$ ; $B(3;0)$ et $C(6;8)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? }

\Ptec{
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C$. Alors :
\begin{enumerate}
\item $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$
\item Si $z=x+iy$ alors $|z|\geq max(|x|,|y|)$
\item $|zz'|=|z||z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$
\item $x\leq \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$ et de même $y\leq \sqrt{y^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$
\item $$|zz'|^2=zz'\times \overline{zz'}=zz'\times \overline{z}\times \overline{z'}=z \overline{z} \times z'  \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$
\item $$ \left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\times \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right) }=
\dfrac{z \times \overline{z} }{z' \times \overline{z'} }=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}$$
Comme un module est positif on obtient : $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item[\textbf{5.}] Pour comprendre l'inégalité triangulaire il suffit d'observer cette figure :
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
On a bien $OP\leq OM+OM'$\\
et donc $|z+z'|\leq |z|+|z'|$
 \begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{complexe.2}
\end{center}
\end{multicols}
\underline{Démonstration plus rigoureuse} :
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.
Or
$$|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z+z'})=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2$$
D'autre part $$(|z|+|z'|)^2=|z|^2+2|zz'|+|z'|^2$$
Il s'agit donc de comparer les \og doubles produits \fg.
Or, $z\overline{z'}+\overline{z'}z=z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}=2\Re(zz')\leq  2|zz'|$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$|z+z'|^2=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2\leq|z|^2+2|zz'|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2$$
}

\Exop{Soient $A(0;4)$, $B(3;0)$ et $C(6;8)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?}

\Applic{Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes distincts et de même module $r$, montrer que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. On a :
$$ \overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline{u}+\overline{v} }{\overline{u}-\overline{v} }=\dfrac{uv \overline{u}+uv \overline{v}  }{uv \overline{u}-uv \overline{v}}=\dfrac{|u|^2v+u|v|^2}{|u|^2-u|v|^2}= \dfrac{r^2v+ur^2}{r^2-ur^2}=-\dfrac{u+v}{u-v}$$
Ce qui prouve que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. }

\subsection{Argument d'un nombre complexe}
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.5}
\end{center}
\Rq{On note que \boite{z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)} où $r=|z|=OM$}
\end{multicols}
\Defc{Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$. \\
On appelle \textbf{argument}  de $z\neq 0$ toute mesure, en radians,  de l'angle 
$(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$. On note $\theta=\arg(z)$ 
}\\

\Rqs{ 
\item Un nombre complexe possède une infinité d'arguments ! En effet si $\theta$ est un argument de $z$, tout autre argument 
est de la forme $\theta+2k\pi$ ($k\in\Z$). L'unique argument appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$ s'appelle l'argument principal.\\
On notera par exemple $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$ ou $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$ pour signifier que 
$\arg(z)$ peut-être égal à $ \dfrac{\pi}{4}$ mais aussi à n'importe lequel des nombres $ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ où $k\in\Z$. 
\item Si $z$ est l'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ alors $z=z_B-z_A$. Par conséquent, 
$\left( \vec u ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \, [2\pi]$.
}

\Att{Le nombre complexe $z=0$ ne possède pas d'argument car, dans ce cas, 
l'angle $(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$ ne se définit pas.}

\Expl{On voit clairement de part leur position dans le plan complexe que :
\begin{multicols}{3}
 $\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]$,\\ 
$\arg(1)=0\,[2\pi]$,\\
 $\arg(-1)=\pi\,[2\pi]$, \\
$\arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]$ \\
 $\arg(i+1)=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$.
\end{multicols}
Mais ce n'est pas toujours aussi simple ! 
}

\Rq{\begin{itemize}
\item Si $z\in \R^+$ alors $\arg(z)=0[2\pi]$, si $z\in\R^-$ dans ce cas $\arg(z)=\pi[2\pi]$
\item De la même manière un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive a un argument égal à $ \dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative a un argument égal à $-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$. Par conséquent :
$$ z\in \R^*\Longleftrightarrow \arg(z)=0 \,[\pi]$$
$$ z\in i\R^* \Longleftrightarrow \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\, [\pi]$$
\end{itemize}}

\Thc{Soient $z\in\C^*$, $r\in\R^{+*}$ et $\theta \in\R$. \\
$z$ a pour module $r$ et pour argument $\theta$ modulo $2\pi$ si et seulement si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.\\
Cette écriture s'appelle une \textbf{forme trigonométrique} de $z$, elle n'est pas unique.}

\Dem{\begin{itemize}
      \item[$( \Rightarrow ) $] Vu en début de paragraphe (Pythagore).
      \item[$( \Leftarrow )$] Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ alors $|z|^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta=r^2\Longleftrightarrow |z|=r$ puisque $r>0$.\\
De plus, si $\theta'$ est un argument de $z$ alors :
$$ z=r(\cos\theta'+i\sin\theta')$$
Par conséquent $\theta'=\theta[2\pi]$ et donc $\theta$ est un argument de $z$.
     \end{itemize}
}

\Rq{Le nombre complexe nul n'a pas de forme trigonométrique (puisque pas d'argument)}

\Exop{Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z$ de module $\sqrt{5}$ et dont un argument est $\dfrac{2 \pi}{3}$
}

\Exop{Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right] $}
\Rqs{
\item L'argument d'un nombre complexe n'étant pas unique, il en va de même de la forme trigonométrique, 
contrairement à la forme algébrique.
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et des arguments égaux à un multiple de $2\pi$ près.
}



\Cadre[Méthode calculatoire pour trouver l'argument d'un nombre complexe]{Soient $(x;y)\in\R^2$ tels que $z=x+iy$.
\begin{itemize}
 \item On calcule le module de $z$. 
 \item On factorise l'écriture de $z$ par $|z|$ : $z=|z|\left(\dfrac{x}{|z|} + i \dfrac{y}{|z|} \right)$
 \item On reconnait alors la valeur d'un angle remarquable (ou d'un angle associé grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique)
 $\theta$ tel que $\cos \theta = \dfrac{x}{|z|}$ et $\sin\theta=\dfrac{1}{|z|}$
\end{itemize}
}

\Expl{
Reprenons l'exemple de $z=1+i$. On a $|z|=\sqrt{2}$ et $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$
Or $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Donc un argument de $z$ est bien 
$\dfrac{\pi}{4}$ 
}

\Rq{Il arrivera rarement que l'argument ne soit pas une valeur remarquable. Dans ce cas, on utilisera la calculatrice.}


\Exop{
Calculer un argument de $z=\sqrt{3}+i$ ,  $z'=-\sqrt{3}+i$ et de leur conjugués.
}

\Exop{Déterminer la forme algébrique et une forme trigonométrique de
 $z=-5\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] $}


\Cadre[Résumé]{
Soit $z\in\C^*$ de forme algébrique $z=x+iy$, de module $r$ et d'argument principal $\theta$. Alors :\\
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=rcos\theta  \\ y=rsin\theta
 \end{array} 
\right. \qquad 
\textrm{ et }
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \cos\theta = \dfrac{x}{r} \textrm{ et } \sin\theta = \dfrac{y}{r}
 \end{array} \right.$$
}\\

\Ptec{
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C^*$ et $n\in\Z$ : 
 \begin{enumerate}
 \item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)[2\pi]$
\item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi[2\pi]$
\item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)[2\pi]$
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Dem{Les trois premières propriétés se déduisent immédiatement de la figure suivante :
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
%\end{enumerate}
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$
%\begin{enumerate}
 \item[\textbf{5.}] $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)+\arg(z)=\arg(\dfrac{1}{z}\times z)=\arg(1)=0 \,[2\pi]$, donc 
$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \, [2\pi]$\\
Alors $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times\dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
\end{enumerate}
}
\DemS{
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{6.}] Montrons déjà par récurrence la propriété sur les entiers naturels. Soit $\mathscr{P_n} : \arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item Initialisation :\\
Si $n=0$ alors $\arg(z^0)=\arg(1) = 0 \, [2\pi]$. Donc $\mathscr P_0$ est vraie.
 \item Hérédité : Supposons qu'il existe un $k\in\N$ tel que $\mathscr P_k$ soit vraie. Montrons que $\mathscr P_{k+1}$ l'est,
 ie $\arg\left(z^{k+1}\right)=(k+1)\times \arg(z)[2\pi] $.
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(z^{k+1}\right)&= & \arg(z \times z^k ) \, [2\pi] \\
 & = & \arg(z) + \arg(z^k) \, [2\pi] \qquad \textrm{ d'après 4)} \\
 & = & \arg(z) + k\arg(z) \, [2\pi] \qquad \textrm{ (HR) }\\
 & = & (k+1) \arg(z) \, [2\pi]
\end{eqnarray*}
Donc $\mathscr P_{k+1}$ est vraie et $\mathscr P_n$ est héréditaire.
 \item Conclusion $\mathscr P_n$ est vraie pour tout $n\in\N$.
\end{itemize}
Enfin, montrons la propriété $\forall n \in \Z$. Si $n<0$, alors 
$$ \arg(z^n)=\arg\left(\dfrac{1}{z^{-n}}\right)=\arg\left(\left(\dfrac{1}{z}\right)^{-n}\right)
=-n\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=n \arg(z)[2\pi]$$
\end{enumerate}
}

\Rqs{
\item Les formes algébriques sont pratiques pour les additions
\item Les formes trigonométriques sont pratiques pour les multiplications :
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] \textbf{Pour multiplier} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{multiplie les modules} et on \textbf{additionne les arguments}.
\item[\textbullet]  \textbf{Pour diviser} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{divise les modules} et on \textbf{soustrait les arguments}
\end{itemize}
}

\Exop{Déterminer une forme trigonométrique de $z=\dfrac{1}{1+i}$ et de $z'=(1+i)\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{4}\right)$
}

\Exop{Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2 \sqrt{3}+2i$ puis de $z'=3-4i$, en déduire une forme trigonométrique de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$  }

\Exop{Soit $z=3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ et 
$z'=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$. Calculer $zz'$.
}

\vspace{-5mm}


\subsection{Applications géométriques}

\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan distincts deux à deux, d'affixes respectives 
$z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Alors : 
$$\left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad \textrm{ et } 
\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \, [2\pi]$$
}

\Dem{
$\left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{|z_D-z_C|}{|z_B-z_A|}=\dfrac{CD}{AB}$.\\\\
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\arg(z_D-z_C)-\arg(z_B-z_A)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) -
\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) +\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{e_1}\right)  
=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) \, [2\pi]
$}\\

\Cadre[Conséquences]{
\begin{tabular}{rcl}
 Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ &
$\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right) = 0 \, [\pi] $ \\\\
& $\Longleftrightarrow$ &  $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \in \R$ \\\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires  & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ \\\\
&$\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\R$
 \end{tabular}
}\\

\Cadre[Caractérisation des cercles et des médiatrices]
{\begin{itemize}
 \item Soit $ \mathscr C$ le cercle de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $R$.
$$M(z) \in \mathscr C \Longleftrightarrow \Omega M = R \Longleftrightarrow |z-\omega| = R$$
 \item Soit $\Delta$ la médiatrice d'un segment $[AB]$.
$$M(z) \in\Delta \Longleftrightarrow MA=MB \Longleftrightarrow |z-z_A|=|z-z_B|$$
\end{itemize}
}

\Exop{
Soit $z$ un nombre complexe différent de $1$ et $M$ son point image dans le plan complexe. On pose $Z=\dfrac{z+i}{z-1}$.\\
Déterminer l'ensemble :
\begin{itemize}
 \item $\mathscr E$ des points $M$ tel que $Z\in\R$.
 \item $\mathscr F$ des points $M$ tel que $|Z|=1$.
 \item $\mathscr G$ des points $M$ tel que $\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\, [2\pi]$.
\end{itemize}
}

\Exop{
On désigne par $I$, $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $1$, $2i$ et $3 + i$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
 \item Calculer l’affixe $z_C$ du point $C$ image de $A$ par la symétrie de centre $I$.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}$\\
En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi qu’une interprétation
géométrique.
 \item Soit $D$ le point d’affixe $z_D$ telle que $z_D-z_C = z_A-z_B$, montrer que $ABCD$ est
un carré.
 \item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur $\vec u =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\vec u$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{MI}$
% \item Montrer que le point $K$ défini par $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 2 \overrightarrow{AB}$
 %est le milieu du segment $[AD]$.
 \item Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tel que : $||\vec u||=2||\overrightarrow{AB}|| $.\\
Construire $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\section{Forme Exponentielle}
\subsection{Une troisième écriture}

Nous allons voir maintenant une troisième façon, fort commode, de noter les nombres complexes. \\
Soit $z$ un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$, alors on a vu que :$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$
Il s'agit ici de la forme trigonométrique d'un nombre complexe.
\Defc{Pour tout réel $\theta$ on note :
\boite{e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin\theta}
Ainsi, tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument $\theta$ admet une écriture du 
type $ z=re^{i\theta}$, appelée \textbf{forme exponentielle} de $z$.
}

\Rqs{
 \item Cette écriture n'est pas unique puisqu'elle dépend de l'argument choisi.
 \item Cette notation n'est pas aléatoire. Elle pourra être justifiée dans le chapitre sur la fonction exponentielle.
\item Pour l'instant, remarquons que cette écriture présente de nombreux avantages, 
en plus d'alléger la notation trigonométrique. En effet, considèrons deux nombres complexes $z$ et $z'$ 
de module $r$ et $r'$ et d'argument $\theta$ et $\theta'$, alors on a vu que le module de $zz'$ est $rr'$ et 
l'argument de $zz'$ est $\theta+\theta'$. Observons le calcul suivant :
$$ zz'=re^{i\theta}r'e^{i\theta'}=rr'e^{i\theta+i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$$
On retrouve donc le module et l'argument du nombre complexe $zz'$ en utilisant les règles de calculs sur les puissances.
\item $e^{i\theta}$ désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ : 
$|e^{i\theta}|=1$ et $\arg(e^{i\theta})=\theta[2\pi]$
}

\Expls{
$$e^{i0}=\cos 0+i\sin 0=1 \qquad \qquad \qquad e^{i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}=i $$ 
$$e^{2i\pi}=\cos 2\pi+i\sin2\pi=1 \qquad \qquad \qquad e^{-i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{-\pi}{2}+i\sin \dfrac{-\pi}{2}=-i $$        
       }

\Rq{Le conjugué de $e^{i\theta}$ est $ \overline{e^{i\theta}}=\cos \theta-i\sin\theta=\cos \theta+i\sin(-\theta)=\cos\left(-\theta\right)+i\sin(-\theta)= e^{-i\theta}$}


\Exop{
Dans le plan complexe, placer les points suivants :
$$A\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad B\left(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad C\left(e^{-5i\frac{\pi}{6}}\right)
\qquad D\left(1+e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)$$ 
}

\Ptec{$\forall \theta$ et $\theta'$ de $\R$ on a :
$$ e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\qquad \qquad
 \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\qquad \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}
\text{ pour tout }n\in\Z$$}

\Dem{
Simple transcription des propriétés vues sur les arguments.
}

\Exop{Soit $z=3e^{i \frac{3\pi}{4} }$ et $z'=5e^{i \frac{\pi}{12} }$, donner une forme exponentielle de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$ }

\Exop{\begin{enumerate}
\item On note $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$. Déterminer les formes exponentielles de $z_1$ et $z_2$.\\
 En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z=\dfrac{z_1^4}{z_2^3}$
\item Calculer $(1+i)^{14}$
\end{enumerate}}


\subsection{Utilisation en géométrie}


\Ptec{
Dans le plan complexe, on considère le cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ et un point
$M$ d'affixe $z$. Alors : 
$$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z=\omega + re^{i\theta} \quad \textrm{avec} \theta \in[0;2\pi[$$
}

\Dem{
On sait que $M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow M\Omega = r \Longleftrightarrow |z-\omega | = r$.\\
On appelle $\theta$ la mesure principal $\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{\Omega M} \right)$. Alors :
$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z-\omega  = re^{i\theta}$.\\
}

\Rq{Cette égalité est appelée équation paramétrique du cercle $\mathscr C$.
}

\Expl{L'ensemble des points d'affixes $z=4i+2+3e^{i\theta}$ avec $\theta \in[0;2\pi[$ représente 
le cercle de centre $\Omega(4i+2)$ et de rayon $3$.
}

\newpage

\section{Transformations du plan}
\subsection{Quelques transformations}

\Defc{On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k\neq 0$) la transformation 
pour laquelle un point $M$ du plan a pour image $M'$ tel que $ \overrightarrow{OM}=k \overrightarrow{OM'}$
} 


\Act{Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1} ; \overrightarrow{e_2})$.
On considère :
\begin{itemize}
 \item La translation $t$ de vecteur $\vec u$ d'affixe $z_{\vec u}=2+i$
 \item L'homothétie $h$ de centre $A$ d'affixe $z_A=2+4i$ et de rapport $k=-\dfrac{3}{2}$
 \item La rotation $r$ de centre $\Omega$ d'affixe $\omega=1-i$ et d'angle $\theta=\dfrac{\pi}{3}$.
\end{itemize}
On considère un point $M$ d'affixe $z$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $M_1(z_1)$ le point image de $M$ par $t$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'affixe du vecteur $\overrightarrow{MM_1}$.
 \item En déduire une expression de $z_1$ en fonction de $z$.
\end{enumerate}
 \item Soit $M_2(z_2)$ le point image de $M$ par $h$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AM_2}$ en fonction de $\overrightarrow{AM}$.
 \item En déduire une expression de $z_2-z_A$ en fonction de $z-z_A$, puis une de $z_2$ en fonction de $z$.
\end{enumerate}
 \item Soit $M_3(z_3)$ le point image de $M$ par $r$.
\begin{enumerate}
 \item Comparer $\Omega M_3$ et $\Omega M$.
 \item Déterminer une mesure de $\left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M_3} \right)$.
 \item En déduire une écriture complexe $\dfrac{z_3-\omega}{z-\omega}$ en fonction de $z$.
 \item En déduire une expression de $z_3$ en fonction de $z$.
\end{enumerate}
\item Utiliser les résultats précédents pour trouver les affixes des images par $t$, $h$ et $r$ du point $O$.
\end{enumerate}
}

\Thc{La translation de vecteur $\vec u$ d'affixe $z_{\vec u}$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que :
$z'=z+z_{\vec u}$
}

\Rq{Ajouter un nombre $a$ à une affixe, c'est translater d'un vecteur d'affixe $a$.}

\Dem{
On a $\overrightarrow{MM'}=\vec u \Longleftrightarrow z'-z = z_{\vec u}$
}


\Expl{
\begin{center}
 \psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4.6,-2.6)(6.6,4.6)
\def\xmin{-4.5} \def\xmax{6.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{4.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(5.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1]
(0,0)(-4.5,-2.5)(6.5,4.5)
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[u](1,2.5){$M(z)$}
\uput[r](2.5,1.5){$A(a)$}
 \uput[ur](3.5,3.5){$M'(z+a)$}
\psline[linestyle=dashed](1,2)(3.5,3.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(1,2)
\psline{->}(0,0)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(3.5,3.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}


\Thc{
L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\R^*$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que 
$$z'-\omega=k(z-\omega)$$
}

\Rq{Multiplier par un réel $k$ c'est changer les proportions du facteur $k$}


\Dem{
On a $\overrightarrow{\Omega M'}= k \overrightarrow{\Omega M} \Longleftrightarrow z' - \omega = k(z - \omega)$
}

\Thc{
La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que
$$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$$
}

\Rq{Multiplier par un complexe $e^{i\theta}$ de module $1$, c'est faire tourner d'un angle $\theta$.
}

\Dem{
Si $M=\Omega$, la relation $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ est triviale.\\
Supposons maintenant que $M\neq \Omega$. Alors :
$\left\{\begin{array}{l}
         \Omega M' = \Omega M \\ \left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'} \right) =\theta \, [2\pi]
        \end{array} \right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
         |z'-\omega | = |z-\omega | \\ \arg\left( \dfrac{z'-\omega}{z-\omega } \right)=\theta \, [2\pi]
        \end{array} \right.$\\
On en déduit $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$.
}

\Expls{
La rotation qui associe à un nombre complexe $z$ le nombre $z'$ suivant : 
\begin{itemize}
 \item $z'=e^{i\theta}z$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$
 \item $z'-3+i = i(z-3+i)$ est la rotation de centre $\Omega(3-i)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\item $z'= iz$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
\end{itemize}
}

\Rq{
$ABC$ est un triangle équilatéral direct si et seulement si $z_C-z_A=e^{i\frac{\pi}{3}}(z_B-z_A)$, 
puisque $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
}


\Cadre[Méthode pour reconnaître un transformation]{
Lorsqu’on a une transformation $f$ du plan dont l’écriture complexe est du type $z'=az+b$
$(a \neq 0)$, on commence par rechercher son éventuel point fixe.
\begin{itemize}
 \item Si $a = 1$ et $b = 0$, alors $f$ est l’identité (tous les points du plan sont fixes)
 \item Si $a = 1$ et $b \neq 0$, il n’y a pas de point fixe et $f$ est une translation
 \item Si $a \neq 1$, il y a un unique point fixe d’affixe $\omega$.\\
Dans ce cas, on cherche à exprimer $z'-\omega$ en fonction de $z-\omega$.
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] Si $a\in\R$ alors $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\omega$
 \item[\textbullet] Si $a$ est un complexe de module 1 $\left(a = e^{i\theta}\right)$, alors $f$ est une rotation d’angle $\theta$.
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\Expl{
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M(z)$ associe le point $M'(z')$ tel que $z'=-\dfrac{5}{2}z+2i$.
\begin{itemize}
 \item On résout $z=f(z) \Longleftrightarrow z=\dfrac{4}{7}i$.\\
La transformation $f$  admet un unique point invariant $\Omega$ d'affixe $\omega =\dfrac{4}{7}i$.
 \item On exprime $z'-\omega$ en fonctino de $z-\omega$.\\
On a $\left\{\begin{array}{l}
              z'=-\dfrac{5}{2}z+2i \\ \omega =-\dfrac{5}{2}\omega+2i
             \end{array}\right.
\Leftarrow z'-\omega = -\dfrac{5}{2}(z-\omega)$.\\
Donc $f$ est une homothétie de centre $\Omega\left(\dfrac{4}{7}i \right)$ et de rapport $-\dfrac{5}{2}$
\end{itemize}
}

\Exop{
Reconnaître les transformations du plan qui au point $M(z)$ associe le point $M_k(z_k)$ tel que :
$$z_1=z-3+2i \qquad z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)z \qquad z_3=-z \qquad z_4=2(z-i)+i \qquad z_5=-iz \qquad z_6+1=iz+i
$$
}

\Exop{
Donner l'écriture complexe de la translation de vecteur $\vec u (1;2)$, de l'homothétie de centre $A(-1+i)$ et de rapport 3,
et de la rotation de centre $B(2-4i)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$.
}

\Exop{Etant donnés $N(1+i)$ et $P(2-3i)$, déterminer les affixes des points $M$ tels que $MNP$ soit équilatéral.}


\Exop{
$ABC$ est un triangle de sens direct. On construit le point $P$  tel que $\left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow {AP} \right) = \dfrac{\pi}{2}$
et $AP=BC$. On construit de même les points $Q$ et $R$ tels que $\left(\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {BQ} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ et
$BQ = CA$, et $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow {CR} \right) = \dfrac{\pi}{2}$ et $CR = AB$.\\
Démontrer que le triangle $PQR$ a le même centre de gravité que $ABC$.
}

\newpage
\subsection{Lieux de points typiques}

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.\\

\begin{itemize}
 \item Ensemble des points $M$ tels que $AM=k$, avec $k\in\R$ : 
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] Si $k>0$ : cercle de centre $A$ et de rayon $k$ 
\item[\textbullet] Si $k=0$ : point $A$
 \item[\textbullet] Si $k<0$ : Ensemble vide\\
\end{itemize}
\item Ensemble des points $M$ tels que $MA=MB$ : 
\begin{center}
Médiatrice de $[AB]$
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \, [\pi]$ :
\begin{center}
Droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$. 
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \, [2\pi]$ :
\begin{center}
Droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \, [2\pi]$ :
\begin{center}
Segment $[AB]$
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ :
\begin{center}
Cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$.
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [2\pi]$ :
\begin{center}
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et tel que $MAB$ soit direct.
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \, [2\pi]$ :
\begin{center}
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et tel que $MAB$ soit indirect. 
\end{center}
\vspace{5mm}

\item Ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ :
\begin{center}
Cercle de diamètre $[AB]$ 
\end{center}
\vspace{5mm}

\end{itemize}

\Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés
 le cas échéant, des ensembles ci-dessus.
}



\underline{Enigme} \footnote{Réponse : La relation $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ n'est valable que si $n\in\Z$} : Trouver l'erreur dans le calcul suivant :
\begin{eqnarray*}
& e^{i2\pi}=1\\
\Longleftrightarrow & \left(e^{i2\pi}\right)^x=1^x=1\\
\Longleftrightarrow & e^{i2\pi x}=1\\
\text{ pour $x=\dfrac{1}{4}$ on obtient : }& e^{i \dfrac{\pi}{2}}=1\\
\text{ d'où : }& i=1\\
\end{eqnarray*}

\newpage

\begin{epigraphe}
{" J'étais en train de marcher le long de la route avec deux amis - le soleil se couchait - 
soudain le ciel devint rouge sang – j'ai fait une pause, me sentant épuisé, et me suis appuyé contre la grille 
- il y avait du sang et des langues de feu au-dessus du fjord bleu-noir et de la ville - mes amis ont continué à marcher, 
et je suis resté là tremblant d'anxiété - et j'ai entendu un cri infini déchirer la Nature"}
{Munch}{Edvard} 
\end{epigraphe}

%\begin{center}
 \noindent \includegraphics[scale=0.45]{cri.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{edvard-munch-01.eps}
\includegraphics[scale=0.3]{Film.eps}\\\\
\includegraphics[scale=0.251]{munch_enfant_malade.eps}
\includegraphics[scale=2.27]{vampire-1895.eps}
%\end{center}

Dans l'ordre : \vspace{-5mm}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item \textit{Le cri} (1893)
 \item \textit{L'enfant malade} (1885-86) \\
 \item \textit{?}\\\\
 \item \textit{Film de Peter Watkins} (1973)
 \item \textit{Le vampire} (1893-95)
\end{itemize}

\end{multicols}

\newpage
\section*{Annexe : Construction du corps des nombres complexes (Hors programme)}
\noindent Faute d'outils plus rigoureux 
\footnote{Vous les verrez peut-être un jour$\dots$En général on définit un nombre réel comme étant la 
limite d'une suite d'approximations par des rationnels.} 
on vous a présenté l'ensemble des nombres réels comme étant les abscisses des points d'une droite graduée. 
Additionner et multiplier des réels, c'est donc comme \og compter en dimension 1 \fg.\\
Vous utilisez depuis l'école primaire ces nombres et leurs opérations usuelles associées, 
addition et multiplication sans trop vous poser de questions. Mais elles vérifient les propriétés particulières 
suivantes :  \footnote{Lorsque un ensemble possède ces propriétés et quelques autres, on dit que c'est un corps. Certains de vos parents ont 
étudié la notion de corps en classe de $4^{ème}$, cette étude se fait désormais après le lycée$\dots$ $\Q$ est aussi un 
corps mais ce n'est pas le cas de $\Z$ ni de $\N$ (pas d'inverse pour la multiplication)} :\\
Pour tous réels $x$, $y$ et $z$ :
\begin{itemize}
\item L'addition est associative : $x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z)$ et commutative $x+y=y+x$
\item L'addition possède un élément neutre noté $0$ : $x+0=0+x=x$
\item La somme de deux réels est encore un réel.
\item Chaque élément $x$ admet un opposé noté $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$
\item La multiplication est associative 
\item La multiplication possède un élément neutre noté $1$ : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x\neq 0$ admet un inverse noté $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x =1$
\item La multiplication est distributive sur l'addition $x(y+z)=x\times y+x\times z$
\end{itemize}
Tout ceci est bien naturel et bien pratique pour compter. Maintenant, on voudrait faire le même travail en dimension $2$
 i.e pouvoir calculer avec des couples de nombres du style $(x;y)$. \\

\noindent On note l'ensemble de ces couples $\R^2$, et on souhaite définir des opérations de manière à faire de $\R^2$ un corps. 
On définit alors l'addition comme suit :
$$ (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y')$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, commutative, admet un élément neutre $(0;0)$, 
la somme de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)$ admet un opposé $(-x;-y)$. \\

\noindent Définissons maintenant la multiplication ! On a envie de la définir de la manière suivante :
$$ (x,y)\times (x';y')=(xx';yy')\qquad \text{avec $(1;1)$ comme élément neutre}$$
\underline{Problème : } L'inverse de $(x;y)$ est $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\right)$ ce qui veut dire tous 
les couples du type $(x;0)$ avec $x\neq 0$ n'admettent pas d'inverse. Or on voudrait que seul le couple
$(0;0)$ n'admettent pas d'inverse. Il faut donc changer de définition$\dots$\\

\noindent On décide d'adopter la définition suivante, moins naturelle :
$$ (x;y)\times (x';y')=(xx'-yy';xy'+x'y)$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, admet un élément neutre $(1;0)$, 
le produit de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)\neq (0;0)$
admet un inverse. Nous voici donc avec un nouveau corps. \\

\noindent  Il est temps d'établir le lien entre $\sqrt{-1}$ et $\R^2$ tel qu'on l'a construit. On remarque que : 
$$ (0;1)^2=(0;1)\times(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)$$
$(0,1)$ est alors le nombre que l'on a noté $i$, et $(-1;0)$ c'est $-1$, et on a alors $i^2=-1$. \\

\noindent Pour mieux comprendre, imaginons l'ensemble des réels comme une droite graduée 
(ici représenté par l'axe des absisses), ajoutons-y un axe des ordonnées pour passer en dimension $2$, 
alors le réel $-1$ est associé au point de coordonnées $(-1;0)$, et le nombre dont la racine carré est $-1$ est 
lui associé au point de coordonnée $(1;0)$. Nous notons $i=\sqrt{-1}$  pour
qu'il fasse moins peur. On remarque qu'en  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\R\subset\C$. \\
Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\mathscr P$  & $\longleftrightarrow$ & $\R^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}
L'ensemble des nombres complexes se note $\C$. La multiplication n'était pas naturelle dans $\R^2$, mais
observez  comme  les  calculs deviennent  faciles  dans $\C$ (pourtant équivalent) avec la règle $i^2=-1$ et en prolongeant
les règles de de calcul $\R$. 
$$(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$$
comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.\\
Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$ mais n'oubliez pas que $i^2=-1$. Alors 
$$(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$$
comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$, mais en plus simple. 
 \\
 

Dans ce chapitre, nous avons découvert ces nouveaux nombres et associer à chacun de ces nombres un point du
plan,  donc associer  des transformations du  plan à des  calculs dans
$\C$. Tout ceci nous permet de résoudre des problèmes de géométrie par le calcul, ce que nous approfondiront dans un 
deuxième chapitre...


\end{document}