\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Annales Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\Exop{%Antilles Guyanne Juin 2005
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e}\\
\Ouv{}est un rep\`ere orthonormal du plan $\mathcal{P}$.\\
Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.\\
Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ priv\'e de O dans $\mathcal{P}$ qui \`a tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de O associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z' = \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Soit E le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ ; on appelle $E'$ son image par $F$. D\'eterminer l'affixe de $E'$ sous forme exponentielle, puis sous forme alg\'ebrique.
		\item On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. D\'eterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}

\item
	  \begin{enumerate}
	  	\item Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $K'$ l'image de K par $F$.

Calculer l'affixe de $K'$.
		\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. D\'eterminer l'image de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$.
	\end{enumerate}

\item  On d\'esigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ o\`u $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$. $R$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$.
En d\'eduire que : $\left|z' + 1\right| = \left|z'\right|$.
		\item Si on consid\`ere maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ o\`u $\theta \in ]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situ\'ees sur une droite. On pourra utiliser le r\'esultat du \textbf{a.}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

}

\Exop{%2010 Amérique du Nord
\hfill (5 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv d'unité graphique 2~cm.

On réalisera une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice.
 
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe $-2\text{i}$ et D d'affixe 1.
 
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
 
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\]  

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point E a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. 
\item  Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D$'$ associé au point D par l'application $f$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i},~ \left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.
		\item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ :		
		\[\begin{array}{l}
		 \text{BM}' \times \text{AM} = 1\\ 
		\text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.}
		\end{array}\]
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon $\sqrt{2}$. 
		\item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E$'$ associé au point E par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle BD$'$ E$'$ ? 
\end{enumerate}

}



\Exop{%Pondichéry Avril 2005
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On d\'esigne par I le point d'affixe $z_{\text{I}} =1$, par A le point d'affixe $z_{\text{A}}  = 1 - 2 \text{i}$, par B le point d'affixe $-2 + 2\text{i}$ et par ($\mathcal{C}$) le cercle de diamètre [AB].

\noindent On fera une figure que l'on compl\`etera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate} \item Déterminer le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) et calculer son rayon.

\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \cfrac{3+9\text{i}}{4+2\text{i}}$.

écrire $z_{\text{D}}$ sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle ($\mathcal{C}$).

\item Sur le cercle ($\mathcal{C}$), on considère le point E, d'affixe $z_{\text{E}}$, tel qu'une mesure en radians de $\left(\vect{\Omega\text{I}},~\vect{\Omega\text{E}}\right)$	est $\cfrac{\pi}{4}$.

\begin{enumerate} \item Préciser le module et un argument de $z_{\text{E}} + \cfrac{1}{2}$.


\item En déduire que $z_{\text{E}} = \cfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \cfrac{5\sqrt{2}}{4}\text{i}$.

\end{enumerate}

\item Soit $r$ l'application du plan P dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' + \cfrac{1}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(z + \cfrac{1}{2}\right).\]

\begin{enumerate} \item Déterminer la nature de $r$ et ses éléments caractéristiques. 

\item Soit K le point d'affixe $z_{\text{K}} =2$.

Déterminer par le calcul l'image de K par $r$. Comment peut-on retrouver géométriquement ce
 résultat ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

}

\Exop{%France Métro Sept 2004

Le plan est rapport\'e  \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv~ (unit\'e 
graphique 1 cm).

\begin{enumerate} \item R\'esoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes,
    l'\'equation suivante :
    
	\[z^2 -8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

\item On consid\`ere les points A et B qui ont pour affixes respectives 
les nombres complexes 

\[a = 4\sqrt{3} - 4\text{i} \qquad \text{et} \qquad b = 4\sqrt{3} + 
4\text{i}.\]

\begin{enumerate} \item Ecrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.

\item Calculer les distances OA, OB, AB. En d\'eduire la nature du 
triangle OAB.

\end{enumerate}

\item On d\'esigne par C le point d'affixe $c = - \sqrt{3} + \text{i}$ et par
D son image par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.

D\'eterminer l'affixe $d$ du point D.

\item On appelle G le barycentre des trois points pond\'er\'es (O ; $- 1$), (D 
; + 1), (B ; + 1).

\begin{enumerate} \item Justifier l'existence de G et montrer que ce point a
    pour affixe  $g = 4\sqrt{3} + 6\text{i}$.

\item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.

\item Montrer que les points C, D et G sont align\'es.

\item D\'emontrer que le quadrilat\`ere OBGD est un parall\'elogramme.

\end{enumerate}

\item Quelle est la nature du triangle AGC ?

\end{enumerate}
}

\Exop{%Nouvelle Calédonie Nov 2010
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. 
		\item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ecrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC .
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation r. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		
		\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] 
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exop{%Métrop 2010
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le point A d'affixe 2 et le cercle $\mathcal{C}$ de centre O passant par A.
 
Dans tout l'exercice on note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $\overline{\alpha}$ le nombre complexe conjugué du nombre complexe $\alpha$. 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\alpha^2 - 4\alpha   = 2\overline{\alpha} - 8$. 
		\item Démontrer que les points B et C d'affixes respectives $\alpha$ et $\overline{\alpha}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit D un point du cercle $\mathcal{C}$ d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\theta}$  où $\theta$ est un nombre réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point E image du point D par la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.  
		\item Justifier que le point E a pour affixe $z_{\text{E}} = \alpha \text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point F a pour affixe $z_{\text{F}} = \dfrac{\alpha}{2} + \text{e}^{\text{i}\theta}$.  
		\item On admet que le point G a pour affixe $z_{\text{G}} = \dfrac{\alpha\text{e}^{\text{i}\theta} + \overline{\alpha}}{2}$.
		 
Démontrer que $\dfrac{z_{\text{G}} - 2}{z_{\text{F}} - 2} = \dfrac{\alpha}{2}$. On pourra utiliser la question 1. a. 

En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.
 
On admet que AF$^2 = 4 - 3 \cos \theta + \sqrt{3}\sin \theta$.
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$ par $f(x) = 4 - 3 \cos x + \sqrt{3} \sin x$.
 
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8.5,3)
\psframe(8.5,3) \psline(0,2)(8.5,2)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$-\pi$} \uput[u](6,2){$\dfrac{5\pi}{6}$} \uput[u](3.5,2){$-\dfrac{\pi}{6}$} \uput[u](8.3,2){$\pi$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,1.8)(3.3,0.4)\psline{->}(3.8,0.4)(5.7,1.8)\psline{->}(6.3,1.8)(8.2,0.4) 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
}
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (Exercice 4)}

(\textbf{\`a rendre avec la copie})

\vspace{1cm}

\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,0)(1,1.732)(1,-1.732)(-1.25,1.57)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](1,1.732){B} \uput[dr](1,-1.732){C} \uput[ul](-1.25,1.57){D} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\Exop{%2009
\hfill(5 points)\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 2$ cm).
\\
On considrèe les points A, B et C d'affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B et C. 
\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}\\
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 \\
On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associs par $f$ aux points O, A, B et C.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. 
	\item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
	\item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$. 
\item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. 
\\
Déterminer les affixes des points G et G$'$. 
Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate}}




\Exop{%2009
\hfill(5 points)\\
Le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, unité graphique : $2$ cm.
\\
On appelle $\Gamma$ le cercle de centre O et de rayon 1.\\  
\emph{On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.}
\\
On appelle $F$ l'application du plan $P$ privé du point O dans $P$ qui, à tout point $M$ diffrent de $O$, 
d'affixe $z$, associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'$ définie par :
\[z' =  z + \text{i}  - \dfrac{1}{z}.\]
\begin{enumerate}
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives $a = \text{i}$ et $b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$  et leurs images $A'$ et 
$B'$ par $F$ d'affixes respectives $a'$ et $b'$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a'$ et $b'$. 
		\item Placer les points $A$, $A'$, $B$ et $B'$. 
		\item  Démontrer que $\dfrac{-b}{b' - b} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$. 
		\item  En déduire la nature du triangle $OBB'$. 
	\end{enumerate}
\item On recherche l'ensemble $(E)$ des points du plan $P$ privé du point O qui ont pour image par $F$, le point O. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z,$
		\[ z^2 + \text{i}z - 1 = \left(z + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)\left(z - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right).\] 
		\item En déduire les affixes des points de l'ensemble (E). 
		\item Démontrer que les points de (E) appartiennent  $\left(\Gamma \right)$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $\theta$ un réel. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que si $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  alors $z' = (2 \sin \theta +1)\text{i}$. 
		\item  En déduire que si $M$ appartient au cercle $\left(\Gamma \right)$ alors $M'$ appartient au segment $[A'C]$ 
où $C$ a pour affixe $- \text{i}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
}



\end{document}
