\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Annales Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos


\Exoi{%2006
\hfill (5 points)\\
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ où $x$, $x'$, $y$ et $y'$ désignent des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{OM'}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\Re e(z'\, \overline{z})=0$\\
\item Montrer que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $\Im m(z' \,\overline{z})=0$
\\
\noindent \textbf{\textit{\underline{Applications}}} :
\item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{ON}$ soient orthogonaux ?
\item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d'affixe $ \dfrac{1}{z^2}-1$. \\ On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que les points $O$, $N$ et $P$ soient alignés.\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\overline{\left(z^2-1\right)}=-\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 $ 
\item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble cherché.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{%2007
\hfill(5 points)\\
Soient les nombres complexes :
$$ z_1=\sqrt{2}+i \sqrt{6} \qquad z_2=2+2i\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
\item Donner les modules et arguments de $z_1$ , $z_2$ et $Z$
\item En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra $2$ cm comme unité graphique. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_1$, $z_2$ et $Z$. Placer le point $B$, puis placer les points $A$ et $C$ en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
\item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2007}$.
\end{enumerate}}


\newpage


\Exoi{%(2008)
\hfill(4 points)\\
Le plan complexe est rapport au un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique :$ 4$ cm).
\\
$M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que 
\[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
\\
\textbf{A - Quelques propriétés}
\begin{enumerate}
\item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$.
\item  Démontrer que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : 
$\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$.
\end{enumerate}
\textbf{B - Construction de l'image d'un point}
\\
On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$.
\\
 On note $\mathscr{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathscr{C}$ ? \textit{(on donnera ses éléments caractéristiques)}
\item 	Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $\left|z '+ 1\right|  = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité.
		\item   Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right|  = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité  :
 $|z - 1| = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item Tracer l'ensemble $\mathscr{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathscr{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$.
\end{enumerate}
	}


\Exoi{%2009 et Liban 2010
\hfill (2 points)\\
\textbf{Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse}.
\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
On considère trois points $A$, $B$ et $C$ deux  deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$, tels que
 $\dfrac{c - a}{b - a}=2\text{i}$.\\
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
$A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$.
\end{tabular}
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \vec u ; \vec v)$, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle,
on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=\dfrac{-10}{\overline{z}}$ où $\overline{z}$ désigne le nombre conjugué de $z$.\\
\begin{tabular}{@{\textbf{Affirmation:~}}p{10cm}}
Il existe un point $M$ tel que $O$, $M$ et $M'$ ne sont pas alignés.
\end{tabular}
\end{enumerate}
}




\newpage
\Exoi{\textbf{En devoir maison}%Centres étrangers, 2010
\hfill(5 points)\\
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\\
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a$, $b$, $c$.\\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
On rappelle que $(\vec u ; \overrightarrow{AB})=\arg(b-a) \,[2\pi]$.\\
Montrer que $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right) \, [2\pi]$.\\\\
\textbf{Partie B}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.\\
On considère le point $A$ d'affixe $1+i$. On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe :
$$z'=\dfrac{z-1-i}{z}$$
Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.
\begin{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe i.
\item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $|z'|=1$.
\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel ?
\end{enumerate}
}



\Exoi{\textbf{En devoir maison} %2009
\hfill(5 points)\\
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal  direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$,
on considère les points A et B d'affixes respectives $2$ et $(-2)$ et on définit l'application $f$ qui  tout point $M$ d'affixe $z$ et différent de A associe le point $M'$ d'affixe \[z'= \dfrac{\overline{z}(z - 2)}{\overline{z} - 2}.\]
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $P'$ image par $f$ du point P d'affixe $(1 + \text{i})$.
		\item Montrer que les droites $(AP)$ et $(BP')$ sont parallèles.
		\item Etablir que les droites $(AP)$ et $(PP')$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item Determiner l'ensemble des points invariants par $f$ (c'est-à-dire l'ensemble des points 
	tels que $M'=M$).\\
 On cherche  à généraliser les propriétés \textbf{1.b} et \textbf{1.c} pour obtenir une construction de l'image $M'$ d'un point $M$ quelconque du plan.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, le nombre $(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)$ est réel.
		\item En déduire que pour tout nombre complexe distinct de $2$, $\dfrac{z' + 2}{z - 2}$ est réel.
		\item Montrer que les droites $(AM)$ et $(BM')$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
	\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
Soit $M$ un point quelconque non situé sur la droite $(AB)$. Généraliser les résultats de la question \textbf{1.c}.
	\item Soit $M$ un point distinct de A. Déduire des questions précèdentes une construction du point $M'$ image de $M$ par $f$. Réaliser une figure pour le point Q d'affixe $3 - 2\text{i}$.
\end{enumerate}
}





\end{document}