\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Complexes/1}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\Exoi{Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)$
%\item $z_2=(2+5i)^2$
\item $z_3=\left(\dfrac{1}{2}-4i\right)^2$
\item $z_4=(5-2i)(5+2i)$
\item $z_5=(1+i)(5-8i)(1-i)$
\item $z_6=\dfrac{1}{\sqrt{3}-i }$
\item $z_7=-\dfrac{1}{i}$
\item $z_8=\dfrac{8i-1}{2-3i}$
%\item $z_9=\dfrac{1}{2+i}-\dfrac{1}{2-i}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $5z+2i=(1+i)z-3$
\item $i(3-i)z-2=(2i+1)z+(2i+z)i$
\item $\dfrac{z-i}{z+1}=4i$
%\item $-\dfrac{z}{iz+1}+\dfrac{3z}{z-i}=3+i$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Lire l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} }

%\Exoi{Dans le plan complexe, on donne les points avec leurs affixes :
%$$ A(1)\qquad B(-2-i)\qquad \text{et}\qquad C(4i)$$
%Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.}

%\Exoi{\begin{enumerate}
%\item On donne les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$. Déterminer la forme algébrique des inverses de $z_1$ et $z_2$
%\item Résoudre dans $\C$ l'équation suivante d'inconnue $z$ :
%$$ i(z-3i)=2z-1+i$$ 
%\end{enumerate}}

\Exoi{$A$ et $B$ sont deux points d'affixes $z_A$ et $z_B$.
\begin{enumerate}
\item Soit $I$ le point vérifiant $2 \overrightarrow{OI}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$.\\
 Préciser la position de $I$ et calculer son affixe.
\item Déterminer l'affixe de l'isobarycentre des points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :$$z_A=3+i\qquad z_B=-2i\qquad z_C=4-3i\qquad z_D=5$$
\end{enumerate} }

\Exoi{On considère le parallélogramme $ABCD$ avec $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $$z_A=-1-5i\qquad z_B=4-3i\qquad z_C=3+3i\qquad z_D=-2+i $$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe du point $C'$, symétrique de $C$ par rapport au point $D$
\item Déterminer l'affixe du point $A'$ vérifiant : $ \overrightarrow{DA'}= \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $A'BC'D$ ?
\end{enumerate}}


\Exoi{Grâce aux propriétés du conjugué, écrire le conjugué du complexe donné sous forme algébrique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z_1=(2-3i)(-1+i)$
\item $z_2=\dfrac{i(2-i)}{i-3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}} 
\newpage
\Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe réel.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$
%\item $z'=(\overline{z}-3)(iz+2)$
\item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $M'(z')$ appartient à l'axe imaginaire.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%\item $z'=z^2-2 \overline{z}+1$
\item $z'=(z-1)( \overline{z} -i)$
\item $z'=\dfrac{iz}{2-z}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe $z=2a+b+i(b-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Pour tout complexe $z$ différent de $i$, on définit $Z=\dfrac{z+1}{z-i}$
\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+iy$ et $Z=a+ib$ avec $x$, $y$, $a$ et $b$ réels.\\
Exprimer $a$ et $b$ en fonction de $x$ et $y$
\item Déterminer et représenter dans le plan complexe l'ensemble $(E)$ des points d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel.
\end{enumerate} }

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$
\item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$
%\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$
\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$
\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow arg( \overline{z}) =arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


%\Exoi{Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ 
%}

\Exoi{Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
$$ z_1=-\sqrt{3}+i\qquad \text{et}\qquad z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$$}

\Exoi{Dans le plan complexe, on considère un point $\varOmega$ d'affixe $\omega$, $\mathscr C(\varOmega,r)$ le cercle de centre $\varOmega$ et de rayon $r$ et un point $M$ d'affixe $z$. 
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'équivalence suivante :
$$ M\in\mathscr C(\varOmega,r)\Longleftrightarrow z=\omega+re^{i\theta}\qquad \text{avec }\theta\in[0;2\pi[$$
\item Que représente l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $z=2i+3e^{i\theta}$
\end{enumerate}}

\newpage
\Exoi{Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ -2z^2+6z-5=0$
\item $(z^2+2)(z^2-4z+4)=0$
\item $(t^2-5)(t^2+6t+14)=0$
\item $(t^2+3)(2t^2+2t-4)=0$
\item $(4z^2-4z+101)(z^2+1)=0$
\item $ x^3+6x^2+13x=0$
\item $2z^4-5z^2-18=0$
\item $z^3-12z+48z-128=0$\footnote{Calculer cette expression pour $z=8$}
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que : $\qquad  z^3-1=(z-1)(z^2+az+b) \quad \forall z\in\C$
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$. On appelle $j$ la solution de partie imaginaire positive. Que vaut $j^3$ ?
\item Etablir que $j^2=\dfrac{1}{j}= \overline{j}$
\item Donner la forme algébrique de $j^n$ suivant les valeurs de l'entier $n$ dans $\N$ 
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère le nombre complexe $\qquad  z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\end{enumerate}}

%\Exoi{Pour tout nombre complexe $z$, on définit :
%$$ P(z)=z^3+2( \sqrt{2}-1)z^2+4(1- \sqrt{2})z-8$$
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $P(2)$. \\
%Déterminer une factorisation de $P(z)$ par $(z-2)$.
%\item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$
%\\
%On appelle $z_1$ et $z_2$ les solutions de l'équation autres que $2$, $z_1$ ayant une partie imaginaire positive. Vérifier que $z_1+z_2=-2 \sqrt{2}$.\\
%Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Placer, dans le plan, muni d'un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 2 cm), les points : $A$ d'affixe $2$, B et C d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$, et $I$ le milieu de $[AB]$.
%\item Démontrer que le triangle $OAB$ est isocèle.
%\\ En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{OI})$.
%\item Calculer l'affixe $z_I$ de $I$, puis le module de $z_I$.
%\item Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de $ \cos \dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{3\pi}{8}$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\Exoi{Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ (unité graphique : 8 cm).\\
On appelle $A$ le point d'affixe $-1$ et $B$ le point d'affixe $1$\\
Soit $\mathscr E$ l'ensemble des points du plan distincts de $A$, $O$ et $B$. \\
A tout point $M$ d'affixe $z$ appartenant à l'ensemble $\mathscr E$, on associe le point $N$ d'affixe $z^2$ et le point $P$ d'affixe $z^3$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que les points $M$, $N$ et $P$ sont deux à deux distincts.
\item On se propose de déterminer l'ensemble $\mathscr C$ des points $M$ appartenant à $\mathscr E$ tels que le triangle $MNP$ soit rectangle en $P$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que le triangle $MNP$ est rectangle en $P$ si, et seulement si, $ |z+1|^2+|z|^2=1 $
\item Démontrer que $ |z+1|^2+|z|^2=1 \Longleftrightarrow \left(z+\dfrac{1}{2}\right)\overline{\left(z+\dfrac{1}{2} \right)}=\dfrac{1}{4}$
\item En déduire l'ensemble $\mathscr E$ cherché.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\newpage
\Exoi{Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes :
$$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'affixe $-3$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$
\item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ En déduire une relation entre  $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $arg(z'+4)$ et $arg(z-2)$.
\item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\
Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\end{document}