\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}vescorehunbter

\newcommand{\ch}{Chapitre 12}
\newcommand{\Ch}{Repr\'esentation de \linebreak droites et de plans}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\definecolor{bleuPlan}{rgb}{0.796078431372549,0.9607843137254902,0.9098039215686274}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{11}
\debutCha{image.eps}{Label : Musique electronique}{Steve Beckett et Rob Mitchell}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Warp Records est un label musical britannique indépendant, fondé en 1989 à Sheffield, en Yorkshire, connu pour avoir découvert
 un certain nombre d'artistes de musique électronique. Warp Records tire son origine d'un magasin de musique électronique installé
 en 1987 dans un hangar désaffecté. Le label Warp Records (Warp pour Weird And Radical Projects ou encore We Are Reasonable People 
selon d'autres sources) a été créé par Steve Beckett et Rob Mitchell en 1989.\\
Warp Records poursuivit en publiant à partir de 1992 une série de singles et d'albums sous le titre Artificial Intelligence, 
des productions d'artistes comme Aphex Twin (sous les pseudonymes Diceman et Polygon Window), Autechre, Black Dog Productions, 
Richie Hawtin et Alex Paterson (qui rejoindra plus tard The Orb).
Depuis, le label a évolué et les derniers artistes en date forment un groupe éclectique.
À la fin des années 1990, Warp Records s'est déplacé à Londres. En janvier 2004, le label a lancé un magasin de musique en ligne, 
Bleep.com, notable pour être l'un des seuls labels à éviter totalement l'utilisation de gestion numérique des droits dans les 
pistes en téléchargement.
En une quinzaine d'années, Warp Records a eu une grande influence sur la musique électronique expérimentale. Le label a développé, à l’instar de quelques 
prédécesseurs comme Factory Records, Mute Records ou encore Sarah Records, une identité visuelle reconnaissable et forte, 
accentuée par le soin apporté aux vidéo-clips de ses artistes, qui ont contribué à le faire connaître.
}{0.7}{0.7}
\setcounter{NumLecon}{11}
\TITRE{image2.eps}{0.9}


\begin{abstract}
Ce chapitre est une prolongation du précédent. Grâce aux équations cartésiennes de plan et au calcul vectoriel, nous allons pouvoir caractériser d'une autre 
manière les plans (ce qui peut parfois s'avérer pratique) et surtout les droites, qui pour l'instant sont définies comme intersection de plans
et donc déterminées par un système d'équation.\\
De plus, nous étendrons à l'espace les propriétés rencontrées sur le barycentre dans le plan, ce qui nous permmettra de caractériser
les droites, les segments, les plans et les triangles de l'espace.
\end{abstract}

Dans tout le chapitre, on munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk.                                                               

\section{Caractérisations paramétriques}
\subsection{Représentations paramétriques de droites}

\Cadre[Propriété-Définition]{
La droite $\mathscr D(A;\vec u)$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u (a;b;c)$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels
que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ avec $t\in\R$. \\
Ceci équivaut à $$\left\{ \begin{array}{l} x=\alpha t+x_A\\ y=\beta t+y_A \\ z=\gamma t+z_A  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R\\$$
Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $D(A;\vec u)$. On dit que $t$ est le paramètre.
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.64,-0.38)(5.78,3.4)
\rput[tl](4.46,2){$M$}
\rput[tl](1.32,0.9){$A$}
\psline[linecolor=vertFlash](-1.59,-0.12)(5.28,2.41)
\psline[linecolor=vertFonce]{->}(-0.2,1.82)(0.91,2.23)
\psline[linecolor=vertFonce]{->}(1.52,1.02)(4.4,2.08)
\rput[tl](0.08,2.28){$\vec{u}$}
\rput[tl](2.62,2){$t\vec{u}$}
\rput[tl](-1.88,0.54){$\mathscr D(A;\vec{u})$}
\end{pspicture*}
\end{center}
En effet :
$$ M(x;y;z)\in \mathscr D
\Longleftrightarrow  \overrightarrow{AM}=t\vec{u} ,\quad \text{où } t\in\R
 \Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x-x_A=a t\\ y-y_A=b t \\ z-z_A=c t  \end{array} \right. ,\quad \text{où } t\in\R
 \Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=a t+x_A\\ y=b t+y_A \\ z=c t+z_A  \end{array} \right. ,\quad \text{où } t\in\R
$$

\Expl{La droite dont une représentation paramétrique est $\left\{ \begin{array}{l} x=2 t+1\\ y= -t+3 \\ z=-4  \end{array} \right. $, $t\in\R$,
est la droite passant par le point $A(1;3;-4)$ et de vecteur directeur $\vec u (2;-1;0)$
}

\Rqs{
\item On peut visualiser une droite comme une route rectiligne parcourue en voiture. La représentation paramétrique nous donne la position de la voiture
en fonction du temps $t$ (possiblement négatif ici).
\item Pour ne caractériser qu'une demi-droite, il suffit de limiter les valeurs du paramètre $t$ à $[0 ; \infty[$ ou $]-\infty ; 0]$ (en fonction
de l'orientation.
\item Pour ne caractériser qu'un segment, on limitera aussi les valeurs de $t$ en fonction des extrémités.
}


\Expl{Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ passant par $A(-1;2;-3)$ et $B(1;-1;1)$.}

\Sol{Un vecteur directeur de la droite $\mathscr D$ est par exemple le vecteur $\overrightarrow{AB}(2;-3;4)$, ce qui donne par conséquent :
$$
 M(x;y;z)\in \mathscr D
 \Longleftrightarrow  \overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB} ,\quad \text{où } t\in\R
 \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+1=2 t\\ y-2=-3 t \\ z+3=4 t  \end{array} \right. ,\quad \text{où } t\in\R
 \Longleftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} x=2 t-1\\ y=-3t+2 \\ z=4 t-3  \end{array} \right. , \quad \text{où } t\in\R
$$
}


\subsection{Systèmes et Intersection dans l'espace}

\subsubsection{Intersection d'une droite et d'un plan}
Considérons un plan $P$ d'équation $ax+by+cz+d=0$
 et une droite $d$ dont on connaît une représentation paramétrique :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} x=\alpha t+x_0\\ y=\beta t+y_0 \\ z=\gamma t+z_0  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
 
Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\item 
%\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\textbf{La droite et le plan sont sécants}.\\
Ils ont un unique point commun.\\		
		\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(-1.5,-4.02)(10.564836,3.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,2.0)(0.47,-2.0)(8.47,-2.0)(10.47,2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,5.0)(7.47,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.0)(7.07,-2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](7.07,-2.0)(6.47,-5.0)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.2,0.2){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.69){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(6.3745313,-4.59){$d$}
\end{pspicture} 
}	 	
		\end{center}
%\end{multicols}
		\item \begin{center} 
\textbf{La droite et le plan sont parallèles}. 
\end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
 \item \begin{center} 
\textbf{La droite est incluse dans le plan.}\\
Ils ont une infinité de points communs.\end{center}
		\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.49,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.97,0.7)(2.67,-0.1)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(8.574532,1.21){$d$}
\end{pspicture} 
}
%\end{center}
		\item \begin{center}
		\textbf{La droite est strictement parallèle au plan.}\\
Ils n'ont aucun point commun
\end{center}
\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.49,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](10,2.5)(3,2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.5,1.9){$d$}
\end{pspicture} 
}
			%\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
	\end{enumerate}
Dans le deuxième cas, le vecteur directeur de $d$ est 
orthogonal au vecteur normal de $\mathscr P$, ce qui est facile à montrer grâce au produit scalaire.\\
Pour différencier les sous-cas, on choisit un point de $d$. Si ce point vérifie l'équation de $\mathscr P$ alors la droite est incluse dans le plan, 
sinon elle est parallèle strictement au plan.\\

C'est le premier cas qui nous intéresse, donc quand $\vec{n}(a;b;c)$ et $\vec{u}(\alpha;\beta;\gamma)$ ne sont pas orthogonaux.
On cherchera alors les coordonnées du point d'intersection $A$ de $\mathscr P$ et $d$. \\
Pour cela, il suffit de résoudre le système suivant (d'inconnue $t$) : \quad
$\left\{\begin{array}{l}
          ax+by+cz+d=0 \\ x=\alpha t+x_0\\ y=\beta t+y_0 \\ z=\gamma t+z_0  
         \end{array}\right.$\\
Ce qui revient à résoudre :
$$ a(\alpha t+x_0)+b(\beta t+y_0)+c(\gamma t+z_0)=0 \iff 
t(a\alpha+b \beta+c\gamma)=-x_0-y_0-z_0$$
Comme on a supposé $\vec{n}\cdot \vec{u}\neq 0$, on peut diviser par $ a\alpha+b \beta+c\gamma\neq 0$ et on obtient :
$$ t=\dfrac{-x_0-y_0-z_0}{a\alpha+b \beta+c\gamma}$$
Finalement, en remplaçant dans le système de représentation paramétrique de $d$, on trouve les coordonnées de $A$. 
Mais observons sur un exemple$\dots$.

\Expl{Soit $P:2x-z=0$ et $d : \left\{ \begin{array}{l} x=t-1\\ y=-3t \\ z=2  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$. \\
Déterminer les coordonnées du point $A=P\cap d$. } 

\Sol{Soit $\vec{n}(2;0;-1)$ un vecteur normal de $P$ et $\vec{u}(1;-3;0)$ un vecteur directeur de $d$, assurons nous que le point $A$ existe :
$$ \vec{n}\cdot \vec{u}=2\neq 0$$
Par conséquent $A$ existe nous pouvons déterminer ces coordonnées, en résolvant l'équation suivante :
$$ 2(t-1)-2=0\Longleftrightarrow 2t-2-2=0\Longleftrightarrow t=2$$
Ainsi, en remplaçant dans le système paramétrique de $d$ on obtient $A(2-1;-3\times 2;2)$ i.e $A(1;-6;2)$.}

\subsubsection{Intersection de deux droites}
\Act{
Considérons les droites $(d_1)\left\{ \begin{array}{l} x=t+1\\ y=2 t-3 \\ z=- t+2  \end{array} \right.$, $t\in\R$, \qquad et \qquad 
$(d_2)\left\{ \begin{array}{l} x=3t+2\\ y=-t-1 \\ z= t+1  \end{array} \right.$, $t\in\R$. \\
Etudier l'intersection des deux droites si elle existe.\\
\textit{Attention, le paramètre $t$ parcourt $\R$ pour chacune des droites. Mais à abscisse égale, il n'a pas forcémenet la même 
valeur.
Rappelez-vous les voitures ! Des routes peuvent se croiser sans pour autant que les voitures y soient au même instant...\\
\textbf{Pour résoudre le système, prenez l'habitude de lui donner un nom différent.}}
}

On donne deux droites $d$ et $d'$ dont on connaît les représentations paramétriques :
 $$ d : \left\{ \begin{array}{l} x=\alpha t+x_0\\ y=\beta t+y_0 \\ z=\gamma t+z_0  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R 
 \qquad \text{ et } \qquad d' :  \left\{ \begin{array}{l} x=\alpha' t'+x_1\\ y=\beta' t'+y_1 \\ z=\gamma' t'+z_1  \end{array} \right.\qquad \text{où } t'\in\R$$

 Il n'existe que 
	deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	   \item   \begin{center} \textbf{Les droites sont non coplanaires.} \\ 
Il n'existe aucun plan contenant ces deux droites.\\
Elles n'ont pas de point commun.\\  
   \scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-4)(10.564836,4.4464064)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,4.4264064)(7.47,0.32640624)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.32640624)(6.97,-1.6735938)
\psline[linewidth=0.04cm](6.97,-1.6735938)(6.47,-3.7735937)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.284531,0.63640624){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.2){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(6.1,-3.6){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.62640625)(8.37,-0.87359375)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.0364063){$d'$}
\end{pspicture} 
}
	   \end{center}
	\item \begin{center} \textbf{Les droites sont coplanaires.}\\
Il existe un plan contenant ces deux droites. \end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
 \item \begin{center} \textbf{Les droites sont sécantes.}\\
Elles ont un unique point commun.
\end{center}  
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](1.67,-0.2)(7.47,0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(5.0845313,0.61){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.474531,1.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
}	    
\item \begin{center}
\textbf{Les droites sont parallèles.}\\
Elles n'ont pas de point commun.
\end{center}
\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.1745312,0.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
} 	 
	\end{enumerate}\end{multicols}
\end{enumerate}
Les éventuels points d'intersections de $d$ et $d'$ sont les solutions du système d'inconnues $t$ et $t'$ :
$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha t+x_0=\alpha' t'+x_1\\ \beta t+y_0=\beta' t'+y_1 \\ \gamma t+z_0=\gamma' t'+z_1  \end{array} \right.$$

\Expl{On donne $A(1 ; -1 ; 0)$, $B(0 ; -1 ; 1)$, $C(3 ; -2 ; 0)$ et $D(2 ; -3 ; 3) $.
Etudier l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$. 
}

\Sol{$ \overrightarrow{AB}(-1;0;1) $  est un vecteur directeur de $(AB)$ par conséquent la droite $(AB)$ admet la représentation paramétrique suivante :
$$ (AB) : \left\{ \begin{array}{l} x= -t+1\\ y=-1 \\ z= t  \end{array} \right.\qquad t\in\R$$
$\overrightarrow{CD}(-1;-1:3)$ est un vecteur directeur de $(CD)$  par conséquent la droite $(CD)$ admet la représentation paramétrique suivante :
$$ (CD) : \left\{ \begin{array}{l} x= -t'+3\\ y=-t'-2 \\ z= 3t'  \end{array} \right.\qquad t'\in\R$$
On résout le système :
\qquad $  \left\{ \begin{array}{l} -t+1= -t'+3\\ -1=-t'-2 \\ t= 3t'  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -t= -t'+2\\ t'=-1 \\ t= 3t'  \end{array} \right.
\iff \left\{ \begin{array}{l} t= -3\\ t'=-1 \\ t= -3  \end{array} \right. $\\
La troisième équation est compatible avec les deux premières, nous pouvons donc affirmer :
\begin{enumerate}
\item le système admet une solution, donc les droites ont une intersection non vide, elles sont coplanaires.
\item Le système admet une unique solution qui est le couple $(t;t')=(-3;-1)$ donc les droites sont sécantes en un point $A$, dont on obtient les coordonnées en remplaçant $t$ ou $t'$ dans l'une des représentations paramétriques de $d$ ou $d'$ :
$$ A(4;-1;-3)$$
\end{enumerate}
}

\subsubsection{Intersection de deux plans}
On considère deux plans sécants $P$ et $Q$ d'équations cartésiennes respectives : 
$$ P : ax+by+cz+d=0\qquad \text{et} \qquad Q : a'x+b'y+c'z+d'=0$$
Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\item 
\begin{center}  \textbf{Les plans sont sécants.}\\
Leur intersection est une droite.\\
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.77)(9.464835,3.77)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](4.07,1.25)(2.37,1.25)(0.27,-1.75)(7.37,-1.75)(9.37,1.25)(6.17,1.25)(6.19,1.23)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](4.77,-1.65)(4.37,-2.25)(1.47,-3.75)(4.47,2.15)(7.37,3.75)(6.17,1.15)(6.17,1.15)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](6.17,1.15)(4.77,-1.65)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(1.2,-1.5){$\mathscr P_1$}
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(6.5,2.96){$\mathscr P_2$}
\psline[linewidth=0.04cm](0.47,-3.35)(8.07,2.65)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=roseBord,dash=0.16cm 0.16cm](4.17,1.25)(6.17,1.25)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord](2.37,-1.75)(4.77,-1.75)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0745312,-3.34){$d$}
\end{pspicture} 
}		
	\end{center}
\Rq{Ainsi deux plans distincts qui dont on connait deux points communs sont sécants suivant la droite définie par ces deux points.}
\item \begin{center}\textbf{Les plans sont parallèles.}\end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
                      \item \begin{center} \textbf{Les plans sont confondus.}\\
Ils ont une infinité de points communs.
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
%\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.3,-1.19){$\mathscr P = \mathscr Q$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}

\end{pspicture} 
} 	 	\end{center}
\vspace{5mm}
  	 	\item \begin{center} \textbf{Les plans sont strictement parallèles.}\\
Ils n'ont aucun point commun.\\
		\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(11.564836,2.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](3.47,2.5)(1.47,-0.5)(9.47,-0.5)(11.47,2.5)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=bleuBord,dash=0.16cm 0.16cm](2.6,1.5)(10.47,1.5)(9.2,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.0945313,-0.19){$\mathscr Q$}

\end{pspicture} 
} 
			\end{center}
\end{enumerate}
 \end{multicols}

	\end{enumerate}
Les deux derniers cas ont déjà été évoqués au chapitre précédent.\\
Attardons-nous alors sur le premier cas.
Lorsque les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite $d$. On peut trouver sa représentation paramétrique en utilisant l'une des trois coordonnées
comme paramètre et en résolvant le système 
$$\left\{\begin{array}{l} 
          ax+by+cx+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0
         \end{array}\right.$$


\Expl{Considérons les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives :
$$ P : 2x+y-z-2=0\qquad \text{et}\qquad Q : x+3y+7z -11=0 $$
\begin{enumerate}
 \item Etudier la position relative de ces plans.
 \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$, intersection de ces deux plans .
\end{enumerate}
}

\Sol{\begin{enumerate}
      \item $\overrightarrow{n}(2;1;-1)$ est un vecteur normal de $P$ et $\overrightarrow{n'}(1;3;7)$ est un vecteur normal de $Q$.\\
Or $ \vec{n}$ et $\vec{n'}$ ne sont pas colinéaires, puisque leurs coordonnées de $\vec n$ et $\vec n'$ ne sont clairement pas
proportionnelles. Donc $P$ et $Q$ sont deux plans sécants.
\item On doit résoudre : $\left\{\begin{array}{l} 
        2x+y-z-2=0 \\ x+3y+7z -11=0
         \end{array}\right.$\\
On pose par exemple $x=t$ et on ne le considère plus comme une inconnue. On a alors 
Comme $ 2t+y-z-2=0\Longrightarrow y=-2t+z+2$,  ainsi :
$$ t+3(-2t+z+2)+7z-11=0\Longleftrightarrow -5t+10z-5=0\Longleftrightarrow z=\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}$$
On remplace dans $y$ et on a  :
$$ y=-2t+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}+2=-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{3}{2}$$
On obtient une représentation paramétrique de $d$ :
$$ d :   \left\{ \begin{array}{l} x= t\\ y=-\dfrac{3}{2}t+\dfrac{3}{2} \\ z= \dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}  \end{array} \right.\qquad t\in\R $$
     \end{enumerate}
}


\subsubsection{Intersection de trois plans}
On considère trois plans $P$, $Q$ et $R$ dont on connaît une équation cartésienne :
$$ P : ax+by+cz+d=0\qquad \text{ou}\qquad  Q : a'x+b'y+c'z+d'=0\qquad \text{ou}\qquad R : a''x+b''y+c''z+d''=0$$
Il n'existe que deux possibilités :

\begin{enumerate} \item \begin{center}
                        \textbf{ Les plans n'ont pas de point commun.}
                        \end{center}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item \begin{center}
\textbf{Les trois plans sont parallèles deux à deux, dont au moins deux strictement.}
       \end{center}
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(2,-4.3)(10.264835,3)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](4.17,-0.6)(10.17,-0.6)(8.17,-2.7)(2.27,-2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](3.67,0.6)(9.67,0.6)(7.67,-1.5)(1.77,-1.5)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(2.3,-1.19){$\mathscr Q$}
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(3.4,-2.39){$\mathscr P$}
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=vertFonce,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=vertFlash](3.1,1.8)(9.1,1.8)(7.1,-0.3)(1.2,-0.3)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(2,0.01){$\mathscr R$}
\psline[linecolor=bleuBord,linestyle=dashed](10.17,-0.6)(4.17,-0.6)(2.27,-2.7)
\psline[linecolor=roseBord,linestyle=dashed](9.67,0.6)(3.67,0.6)(1.77,-1.5)
\end{pspicture} 
}      

\item \begin{center}\textbf{Deux plans sont strictement parallèles.}\end{center}
\scalebox{0.45} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-5.8448353)(10.964835,5.77)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](3.3510127,-0.85)(10.87,-0.85)(8.363671,-2.45)(0.97,-2.45)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](3.0750632,1.55)(10.67,1.55)(8.138354,-0.05)(0.67,-0.05)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=vertFonce,fillstyle=solid,fillcolor=vertFlash](6.77,1.55)(5.37,5.75)(3.37,2.85)(6.17,-5.75)(8.17,-2.95)(8.07,-2.45)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=vertFonce](7.52,-0.85)(7.27,-0.05)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(1.5,0.26){$\mathscr Q$}
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(1.5,-2.3){$\mathscr P$}
%\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(5.2,4.86){$\mathscr R$}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,linecolor=roseBord](3.77,1.55)(6.77,1.55)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,linecolor=bleuBord](4.6,-0.85)(7.52,-0.85)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord](5.07,-2.45)(8.07,-2.45) %plein bas horizontal
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=roseBord](4.27,-0.05)(7.27,-0.05) %haut
\psline[linewidth=0.04cm](7.52,-0.85)(5.07,-2.45) %diag bas
\psline[linewidth=0.04cm](4.27,-0.05)(6.77,1.55) %haut
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,linecolor=roseBord](7.27,-0.05)(6.77,1.55)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,linecolor=bleuBord](7.52,-0.85)(8.07,-2.55)
\end{pspicture} 
}                                                      

 \item \begin{center}\textbf{Les trois plans sont sécants deux à deux suivants trois droites strictement parallèles.}\end{center}
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{%\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.24,-1.6)(4.92,5.3)
\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](1.89,1.22)(4.02,0.87)(2.98,-0.51)(-1.84,0.28)(-0.8,1.66)(-0.1,1.53)
\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](2.47,-0.08)(1.43,-1.46)(-0.91,3.77)(0.13,5.15)(0.81,3.64)
\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=vertFlash](1.04,3.12)(2.04,5.47)(1,4.09)(-1.16,-0.98)(-0.12,0.4)

\psline[linecolor=bleuBord](1.89,1.22)(4.02,0.87)(2.98,-0.51)(-1.84,0.28)(-0.8,1.66)(-0.1,1.53)
\psline[linewidth=0.06cm,linecolor=bleuBord,linestyle=dotted](-0.1,1.53)(1.89,1.22)
\psline[linecolor=bleuBord](-0.7,0.09)(0.2,1.29)
\psline[linewidth=0.06cm,linecolor=bleuBord,linestyle=dotted](0.34,1.47)(0.2,1.29)

\psline[linecolor=roseBord](2.24,-0.39)(1.43,-1.46)(-0.91,3.77)(0.13,5.15)(0.81,3.64)
\psline[linewidth=0.06cm,linecolor=roseBord,linestyle=dotted](1.89,1.22)(2.47,-0.08)(1.43,-1.46)
\psline[linecolor=roseBord](1.04,3.12)(1.89,1.22)
\psline[linecolor=roseBord](0.85,-0.16)(1.89,1.22)
\psline[linewidth=0.06cm,linecolor=roseBord,linestyle=dotted](0.81,3.64)(1.04,3.12)

\psline[linecolor=vertFonce](0,1.74)(1.04,3.12)
\psline[linecolor=vertFonce](1.04,3.12)(2.04,5.47)(1,4.09)(-1.16,-0.98)(-0.39,0.04)
\psline[linewidth=0.06cm,linestyle=dotted,linecolor=vertFonce](-0.39,0.04)(-0.12,0.4)(1.04,3.12)

\rput[tl](-2.28,0.7){$\mathscr P$}
\rput[tl](-1.3,4.22){$\mathscr Q$}
\rput[tl](2.06,4.86){$\mathscr R$}
\end{pspicture*}
}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{center}\textbf{Les plans ont au moins un point commun}\end{center}
                                                                   \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item \begin{center}
\textbf{L'intersection est un point.}
\end{center}
\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.9,-2.48)(5.38,6.72)
\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan,shadow=true](-0.2,1.96)(-1.84,0.14)(3.14,0.24)(4.78,2.06)(-0.2,1.96)

\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan,shadow=true](2.17,-0.5)(0.53,-2.32)(0.07,4.4)(1.71,6.22)(2,2)

\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=vertFlash,shadow=true](1.05,-0.53)(0.88,1.98)(0.67,5.06)(0.59,6.22)(1.55,4.45)(1.84,0.21)(2.01,-2.3)

\psline[linecolor=bleuBord](-1.84,0.14)(3.14,0.24)
\psline[linecolor=bleuBord](4.78,2.06)(3.14,0.24)
\psline[linecolor=bleuBord](-1.84,0.14)(-0.2,1.96)
\psline[linecolor=bleuBord](-0.2,1.96)(4.78,2.06)
\psplot{-3.46}{5.38}{(--1.06-0.77*x)/0.05}

\psline[linecolor=roseBord](0.07,4.4)(1.71,6.22)
\psline[linecolor=roseBord](0.07,4.4)(0.53,-2.32)
\psline[linecolor=roseBord](2.17,-0.5)(2.12,0.22)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=roseBord](2.12,0.22)(2,2)
\psline[,linecolor=roseBord](2,2)(1.71,6.22)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=roseBord](1.46,-1.29)(1.91,-0.79)
\psline[,linecolor=roseBord](1.91,-0.79)(2.17,-0.5)
\psline[,linecolor=roseBord](1.46,-1.29)(0.53,-2.32)
\psline[,linecolor=roseBord](0.36,0.18)(1.29,1.22)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=roseBord](1.29,1.22)(1.74,1.71)
\psline[,linecolor=roseBord](1.74,1.71)(2,2)

\psline[linecolor=vertFonce](0.59,6.22)(1.55,4.45)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](0.88,1.98)(1.05,-0.53)
\psline[,linecolor=vertFonce](0.59,6.22)(0.67,5.06)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](0.67,5.06)(0.88,1.98)
\psline[linecolor=vertFonce](1.84,0.21)(1.55,4.45)
\psline[linecolor=vertFonce](1.84,0.21)(2.01,-2.3)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](1.05,-0.53)(1.46,-1.29)
\psline[,linecolor=vertFonce](1.46,-1.29)(2.01,-2.3)
\psline[,linecolor=vertFonce](1.29,1.22)(1.84,0.21)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](1.29,1.22)(0.88,1.98)
\rput[tl](-1.5,0.54){$\mathscr P$}
\rput[tl](-0.4,4.72){$\mathscr Q$}
\rput[tl](0.18,6.58){$\mathscr R$}
\end{pspicture*}
}
\item \begin{center}\textbf{L'intersection est une droite.}
\end{center}
\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.4,-2.32)(6.1,5.64)
\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan,shadow=true](-0.82,1.48)(-2.34,0.04)(3.7,0.28)(5.22,1.72)

\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan,shadow=true](0.67,-1.91)(-0.19,3.11)(1.33,4.55)(2.19,-0.47)

\psline[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=vertFlash,shadow=true](-0.39,-1.71)(1.62,3.55)(3.14,4.99)(1.13,-0.27)

\psline[linecolor=bleuBord](-2.34,0.04)(3.7,0.28)
\psline[linecolor=bleuBord](3.7,0.28)(5.22,1.72)
\psline[linecolor=bleuBord](-2.34,0.04)(-0.82,1.48)
\psline[linecolor=bleuBord](-0.82,1.48)(0.09,1.52)
\psline[linecolor=bleuBord](1.84,1.59)(5.22,1.72)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=bleuBord](1.84,1.59)(0.09,1.52)

\psplot{-3.4}{6.1}{(-0.24--1.44*x)/1.52}

\psline[linecolor=roseBord](-0.19,3.11)(1.33,4.55)
\psline[linecolor=roseBord](0.67,-1.91)(2.19,-0.47)
\psline[linecolor=roseBord](-0.19,3.11)(0.67,-1.91)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=roseBord](1.54,3.34)(1.84,1.59)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=roseBord](1.84,1.59)(2.08,0.22)
\psline[linecolor=roseBord](2.08,0.22)(2.19,-0.47)
\psline[linecolor=roseBord](1.54,3.34)(1.33,4.55)


\psline[linecolor=vertFonce](-0.39,-1.71)(0.5,-0.87)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](0.5,-0.87)(1.13,-0.27)
\psline[linecolor=vertFonce](1.62,3.55)(3.14,4.99)
\psline[linecolor=vertFonce](1.62,3.55)(-0.39,-1.71)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=vertFonce](1.31,0.18)(1.84,1.59)
\psline[linestyle=dashed, linecolor=vertFonce](1.31,0.18)(1.13,-0.27)
\psline[linecolor=vertFonce](1.84,1.59)(3.14,4.99)
\rput[tl](-1.5,0.62){$\mathscr P$}
\rput[tl](-0.6,3.36){$\mathscr Q$}
\rput[tl](3.36,4.94){$\mathscr R$}
\end{pspicture*}
}

\item \begin{center}
      \textbf{ Les trois plans sont confondus.}
      \end{center}
\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-0.8948355)(10.764835,4)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](3.1510127,0.8)(7.67,0.8)(5.163671,-0.8)(0.77,-0.8)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(3,-0.39){$\mathscr P=\mathscr Q = \mathscr R$}
\end{pspicture} 
}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

Le principe est le même que précédemment. On résout un système ($3 \times 3$ cette fois).\\
S'il n'y a pas de solution, les plans n'ont pas d'intersection.\\
On distingue les sous-cas en étudiant la colinéarité des vecteurs normaux des plans.\\
S'il y a une unique solution, alors les plan sont sécants en un point. \\
Si deux équations sont équivalentes, alors on est ramené au cas de l'intersection de deux plans : l'intersection est une droite.\\
Si les trois équations sont équivalentes, les trois plans sont confondus.

\Expl{Déterminer l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$ avec :
$$ P : 2x-y+z-7=0\qquad \text{ou}\qquad  Q : x+2y-z-6=0\qquad \text{ou}\qquad R : -x+y+2z-11=0$$
}

\Expl{Déterminer l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$ avec :
$$ P : 2x+3y-2z-2=0\qquad \text{ou}\qquad  Q : 4x-3y+z-4=0\qquad \text{ou}\qquad R : 2x+12y-7z-2=0$$
}

\Sol{Si $M(x;y;z)$ appartient à l'intersection des trois plans alors $x$, $y$ et $z$ vérifient le système suivant :
 $$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y-2z=2\\ 4x-3y+z=4 \\ 2x+12y-7z=2  \end{array} \right.$$
 De la deuxième équation on tire : $z=4-4x+3y$ et en reportant dans les équations $1$ et $3$ on obtient :
 $$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y-2(4-4x+3y)=2\\ 2x+12y-7(4-4x+3y)=2  \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 10x-3y-10=0\\ 30x-9y-30=0  \end{array} \right. $$
 On constate alors qu'il suffit de multiplier la première par $3$ pour obtenir la deuxième, donc ces deux équations se résument à une seule :
 $$ x=\dfrac{3}{10}y+1$$
 Posons alors $y=10t$ (avec $t$ réel), d'où  $\qquad  x=3t+1\qquad \text{et}\qquad z=18t$.\\
 Ainsi, les solutions du système sont les triplets $x$, $y$, $z$ tels que :
 $$\left\{ \begin{array}{l} x=3t+1\\ y=10t \\ z=18t  \end{array} \right.\qquad t\in\R  $$
 Il s'agit de la représentation paramétrique de la droite $\mathscr D(A;\vec{u})$ avec $A(1;0;0)$ et $\vec{u}(3;10;18)$.
}


\section{Caractérisation à l'aide du barycentre}
Les résultats établis ci-dessous sont valables aussi bien en géométrie plane qu'en géométrie dans l'espace. Aussi,
nous ne préciserons pas si les points considérés appartiennent au plan ou à l'espace (sauf lorsque nous
passerons aux coordonnées).

\subsection{Définition, existence et unicité du barycentre}

\Thc{Soient $A_1,\ A_2\,...,\,A_n$ $n$ points distincts du plan ou de l'espace. Soient $\alpha_1, \alpha_2,\dots,\alpha_n$ $n$ réels tels que $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\neq 0$, alors on appelle barycentre des points $A_1,\ A_2\,...,\,A_n$ affectés des coefficients $\alpha_1, \alpha_2,\dots,\alpha_n$ l'unique point  $G$ vérifiant :
\[\alpha_1\overrightarrow{GA_1}+\alpha_2\overrightarrow{GA_2}+\cdots+\alpha_n\overrightarrow{GA_n}=\vec{0}\]}

\Dem{On a  : 
\begin{eqnarray*}
& & \alpha_1\overrightarrow{GA_1}+\alpha_2\overrightarrow{GA_2}+\cdots+\alpha_n\overrightarrow{GA_n}=\vec{0} \\
& \Longleftrightarrow & \alpha_1\overrightarrow{GA_1}+\alpha_2\overrightarrow{GA_1}+\alpha_2\overrightarrow{A_1A_2}+\cdots+\alpha_n\overrightarrow{GA_1}+\alpha_n\overrightarrow{A_1A_n}=\vec{0}\\
\\
& \Longleftrightarrow & (\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n)\overrightarrow{GA_1}=\alpha_2\overrightarrow{A_2A_1}+\alpha_3 \overrightarrow{A_3A_1}+\dots+\alpha_n \overrightarrow{A_nA_1}\\
& \Longleftrightarrow & \overrightarrow{GA_1}=\dfrac{\alpha_2\overrightarrow{A_2A_1}+\alpha_3 \overrightarrow{A_3A_1}+\dots+\alpha_n \overrightarrow{A_nA_1}}{\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n}\\
\end{eqnarray*}
Or, nous savons qu'étant donné un point $A_1$ et un vecteur  $\vec{v}$ \footnote{Ici $\vec{v}=\dfrac{\alpha_2\overrightarrow{A_1A_2}+\alpha_3 \overrightarrow{A_1A_3}+\dots+\alpha_n \overrightarrow{A_1A_n}}{\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n}$}, il existe un unique point $G$ tel que  
$$\overrightarrow{A_1G}=\vec{v}$$
Ainsi $G$ existe et est unique.
}
.
\Rqs{\item On note usuellement : $G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item Lorsque $\alpha_1=\alpha_2=\dots =\alpha_n$ on dit que $G$ est l'isobarycentre (ou centre de gravité) des points $A_1$ ; $A_2$ ; $\dots$ ; $A_n$.
\begin{itemize}
\item L'isobarycentre de deux points $A$ et $B$ est le milieu du segment $[AB]$.
\item L'isobarycentre de trois points $A$, $B$ et $C$  est le centre de gravité du triangle $ABC$ (i.e le point d'intersection des médianes).
\end{itemize}}

\subsection{Réduction d'une somme vectorielle}

Soit $M$ un point quelconque du plan ou de l'espace, on cherche à simplifier :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$$
Notons $m=\sum_{i=1}^n \alpha_i$.

\underline{1$^{\text{er}}$ cas} : $m\neq 0$.\\
Dans ce cas on sait que le barycentre $G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular} existe et est unique.

On a :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=\sum_{i=1}^n \alpha_i (\overrightarrow{MG}+\overleftarrow{GA_i})=\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MG}+\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{GA_i}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{MG}$$

\Thc{On considère $G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular} ($m\neq 0)$), alors pour tout point $M$ du plan ou de l'espace, on a :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=m\overrightarrow{MG}$$}

\underline{2$^\text{ème}$ cas} : $m=0$.\\
Dans ce cas le barycentre $G$ n'existe pas, cependant, pour tout point $N$ du plan ou de l'espace on a :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=\sum_{i=1}^n \alpha_i (\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA_i})=\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MN}+\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{NA_i}=0\times \overrightarrow{MN}+\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{NA_i}=\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{NA_i}$$ 
Au final la somme $ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$ est indépendante du point $M$  et représente toujours le même vecteur.

\Rq{Les résultats précédents sont remarquables dans le sens où ils permettent de réduire une somme de n vecteurs à
un seul vecteur, ce qui facilite, par exemple, la recherche de lieux géométriques comme l'illustre l'exercice
suivant.}


\Exop{$ABCD$ est un carré. Déterminer les lieux géométriques suivants :
\begin{enumerate}
\item $\mathscr E=\left\{M \text{ tels que }\left|\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\right|=AB\right\}$
\item $\mathscr E'=\left\{M \text{ tels que }2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \text{ et }\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\text{ soient colinéaires.}\right\}$
\item $\mathscr E''=\left\{M \text{ tels que }\left|\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\right|\right\}$
\end{enumerate}}

%\begin{multicols}{2}
\Sol{\begin{enumerate}
\item Notons : $G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $C$ \tabularnewline\hline
$2$ & $-1$ & $1$  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\\
On a alors :
$$ \left|\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\right|=\left|\left|2 \overrightarrow{MG} \right|\right|$$
Et on cherche donc l'ensemble des points $M$ tels que :
$$ MG=\dfrac{AB}{2}$$
Il s'agit du cercle de centre $G$ et de rayon $\dfrac{AB}{2}$.
\item En notant $G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $C$ \tabularnewline\hline
$1$ & $2$ & $-1$  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\\On a alors $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2 \overrightarrow{MG'}$, ainsi on cherche $M$ tels que :
$$ \overrightarrow{MG}=k\overrightarrow{MG'}$$
Il s'agit donc de la droite $(GG')$.
\item Enfin on cherche $M$ tel que : $MG=MG'$, ainsi l'ensemble cherché est la médiatrice du segment $[GG']$.
\end{enumerate}}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.54,-1.59)(5.8,4.99)
\psline(1,0)(4,0)
\psline(4,0)(4,3)
\psline(4,3)(1,3)
\psline(1,3)(1,0)
\psline(1,3)(4,0)
\psline(4,3)(1,0)
\pscircle(1,1.5){1.5}
\psline{->}(2.5,1.48)(4,3)
\psline{->}(1,3)(2.5,4.52)
\psplot{-1.54}{5.8}{(-0.77--3.02*x)/1.5}
\psplot{-1.54}{5.8}{(-11.73--1.5*x)/-3.02}
\rput[tl](0.65,3.33){$A$}
\rput[tl](4.1,3.16){$B$}
\rput[tl](4.1,0.1){$C$}
\rput[tl](0.6,0){$D$}
\rput[tl](2.55,4.71){$G'$}
\rput[tl](0.61,1.8){$G$}
\rput[tl](2.66,1.57){$O$}
\rput[tl](-0.58,2.88){$\mathscr E$}
\rput[tl](-0.16,-0.92){$\mathscr E'$}
\rput[tl](-0.41,4.63){$\mathscr E''$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%\end{multicols}


\subsection{Propriétés du barycentre}


\Ptec[Homogénéité]{Le barycentre reste inchangé si l'on remplace les coefficients par des coefficients proportionnels non nuls.}

\Dem{Si $k\neq 0$ et alors :
$$ G=\text{\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular} }\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^n \alpha_i\overrightarrow{GA_i}=\vec{0}\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^n k\alpha_i\overrightarrow{GA_i}\Longleftrightarrow G=\text{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$k\alpha_1$ & $k\alpha_2$ & $\dots$ & $k\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}}$$}



\Ptec[Associativité]{On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre
affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.}
\Expl{$G = bar\{ (A , 1), (B, 2), (C, 3) \} = bar\{ (G', 3), (C, 3) \}$ où $G' = bar\{ (A, 1), (B, 2) \}$.\\
Et finalement, on s'aperçoit que $G$ est le milieu de $[G'C]$.}

\Dem{Soit $G=$ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}  et $G'=$ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A_1$ & $A_2$ & $\dots$ & $A_p$  \tabularnewline\hline
$\alpha_1$ & $\alpha_2$ & $\dots$ & $\alpha_p $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}  avec $p\leq n$ et $m=\sum_{i=1}^n \alpha_i \neq 0$, $m'=\sum_{i=1}^p \alpha_i \neq 0$.\\
On a donc, pour tout point $M$ du plan ou de l'espace :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=m\overrightarrow{MG}\qquad \text{et}\qquad \sum_{i=1}^p \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=m'\overrightarrow{MG'}$$ 
On souhaite montrer que $G=$\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$G'$ & $A_{p+1}$ & $\dots$ & $A_n$  \tabularnewline\hline
$m'$ & $\alpha_{p+1}$ & $\dots$ & $\alpha_n $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}  i.e que $ m\overrightarrow{GG'}+\sum_{i=p+1}^n \overrightarrow{GA_i}=\vec{0}$.\\
Or, :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=\sum_{i=1}^p \alpha_i \overrightarrow{MA_i}+\sum_{i=p+1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}\Longleftrightarrow m\overrightarrow{MG}=m'\overrightarrow{MG'}+\sum_{i=p+1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$$
Ce qui donne pour $M=G$ :
$$ \vec{0}= m\overrightarrow{GG'}+\sum_{i=p+1}^n \overrightarrow{GA_i}$$
}

\Exop{$ABCD$ est un tétraèdre et $G =$
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $C$ & $D$  \tabularnewline\hline
$1$ & $1$ & $1$ & $4 $ \tabularnewline\hline
\end{tabular} 
\\
Situer $G$.
}

\subsection{Coordonnées}

On sait que pour point $M$ du plan ou de l'espace, si $G=$ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $C$ & $D$  \tabularnewline\hline
$1$ & $1$ & $1$ & $4 $ \tabularnewline\hline
\end{tabular}  alors :
$$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}=m\overrightarrow{MG}$$

Dans un repère $(O;\vec i, \vec{j}, \vec{k}) $, pour $M=O$, il vient :
$$ \overrightarrow{OG}=\dfrac{\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{MA_i}}{m}$$

On utilise cette relation pour déterminer les coordonnées du barycentre, coordonnées qui représentent les moyenne pondérées des coordonnées des points du système.

\Exop{On donne $A(1;0;-1)$, $B(2;1;1)$ et $C(0;2;3)$. Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle $ABC$.}

\Sol{$G=$
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$A$ & $B$ & $C$   \tabularnewline\hline
$1$ & $1$ & $1$ \tabularnewline\hline
\end{tabular} par conséquent :
$$ G\left(\dfrac{1+2+0}{3};\dfrac{0+1+2}{3}; \dfrac{-1+1+3}{3}\right)$$
i.e $$G\left(1;1;1\right)$$ }

\subsection{Lien entre le barycentre et les droites et les plans}

\Thc{Soient $A$ et $B$ deux points distincts. On considère le système $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$.
\begin{enumerate}
\item Le barycentre $G$ de $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ est situé sur la droite $(AB)$.
\item La droite $(AB)$ est l'ensemble des barycentres du système $\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$.
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item
$G=bar\{(A, \alpha), (B, \beta)\}$ donc $$ \alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}=\vec{0}$$
Par conséquent (en utilisant la relation de Chasles :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$$
ce qui montre que $G\in (AB)$
\item Soit $M$ un point de la droite $(AB)$, dans ce cas les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinaires, par conséquent il existe un réel $k$ tel que :
$$ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}-k\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{MB}=\vec{0}\Longleftrightarrow (k-1)\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\vec{0}$$
Comme $k-1-1\neq 0$, il vient : $M=bar\{(A, k-1), (B, -1)\}$
\end{enumerate}}

\Thc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés (et a fortiori distincts deux à deux).
On considère le système $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ avec $\alpha + \beta + \gamma\neq  0$.
\begin{enumerate}
\item Le barycentre $G$ de $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ est situé dans le plan $(ABC)$.
\item Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des barycentres du système $\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item Comme $G=bar\{(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)\}$ on a :
$$\alpha \overrightarrow{GA}+\beta \overrightarrow{GB}+\gamma \overrightarrow{GC}=\vec{0}$$
En utilisant la relation de Chasles on trouve :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta \overrightarrow{AB}+\gamma \overrightarrow{AC} }{\alpha+\beta+\gamma}$$
Les vecteurs $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont donc coplanaires donc $G \in (ABC)$
\item Soit $M$ un point quelconque du plan $(ABC)$. Montrons que $M$ est un certain barycentre de $A$, $B$ et $C$.
\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires, donc il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :
$$ \overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow (1-\lambda-\mu) \overrightarrow{AM}+\lambda\overrightarrow{BM}+\mu\overrightarrow{CM}=\vec{0}\Longleftrightarrow M=bar\{(A, 1-\lambda-\mu), (B, \lambda), (C, \mu)\}$$
\end{enumerate}}

\Thc{Le segment $[AB]$ est l'ensemble des barycentres $A$ et $B$ à coefficients positifs. De même l'intérieur d'un triangle $ABC$ est l'ensemble des barycentres de $A$, $B$ et $C$ à coefficients strictement positifs.}

\Dem{Démontrons le premier résultat.\\
Si $\alpha=0$ alors $G=B$, dans le cas contraire si donc $\alpha \neq 0$, on a :
$$ G=bar\{(A, \alpha), (B, \beta)\}\Longleftrightarrow G=bar\left\{(A, 1), \left(B, \dfrac{\beta}{\alpha}\right)\right\}$$
Ainsi :
$$ \overrightarrow{GA}+\dfrac{\beta}{\alpha}\overrightarrow{GB}=\vec{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha}\overrightarrow{GB}$$
Si $\dfrac{\beta}{\alpha}>0$, alors les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{GB}$ ont même sens et $G\in [AB]$, sinon $G\notin [AB]$.
}

\Exop{$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ le point de $[AB]$ tel que $AB=4AJ$, $G_1$ le centre de gravité du triangle $BCD$ et, enfin $K$ est le milieu de $[AG_1]$. \\
Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\footnote{On montrera, par exemple, qu'un point est le barycentre d'un système formé par les deux autres points.}}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.66,-1.38)(4.8,5.28)
\psline(-1.64,-0.6)(0.56,4.82)
\psline(0.56,4.82)(4.32,0.78)
\psline(4.32,0.78)(3.12,-0.54)
\psline(3.12,-0.54)(-1.64,-0.6)
\psline[linestyle=dotted](-1.64,-0.6)(4.32,0.78)
\psline(0.56,4.82)(3.12,-0.54)
\psline[linestyle=dotted](-1.64,-0.6)(3.72,0.12)
\psline[linestyle=dotted](3.12,-0.54)(1.34,0.09)
\psline[linestyle=dotted](0.56,4.82)(1.93,-0.12)
\rput[tl](0.48,5.24){$A$}
\rput[tl](-1.92,-0.52){$B$}
\rput[tl](3.22,-0.54){$C$}
\rput[tl](4.4,1){$D$}
\rput[tl](1.74,-0.14){$G_1$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.25,2.35)
\rput[bl](1.32,2.42){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.01,3.47)
\rput[bl](-0.18,3.54){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exop{On considère un tétraèdre $ABCD$, on définit les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ respectivement situés sur les arêtes $[AB]$, $[AD]$, $[CB]$ et $[CD]$ par  :
$$ AP=\dfrac{1}{3}AB\qquad AQ=\dfrac{1}{3}AD\qquad CR=\dfrac{1}{3}CB\qquad \text{et}\qquad CS=\dfrac{1}{3}CD$$
Soit $I$ et $J$ les milieux de $[AC]$ et $[BD]$. Montrer que $(PS)$, $(QR)$ et $(IJ)$ sont concourantes.
\footnote{Essayons de construire un barycentre $G$ de $A$, $B$, $C$ et $D$ tel qu'en appliquant le théorème d'associativité, on obtienne $G$ 
comme barycentre de $Q$ et $R$ puis $G$ barycentre de $I$ et $J$ et enfin barycentre de $P$ et $S$.}}

\end{document}
