\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{D\'enombrement et lois de probabilit\'e}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{10}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoCha

\textbf{\textsc{Exercice 1 : Antilles Guyane Juin 2010} \hfill 4 points}

\textbf{Une ou deux des réponses} correctes par question, pénalité de $0.25$, sans justification.

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac58$ & $\dfrac{21}{32}$ & $\dfrac{11}{32}$ & $\dfrac{3}{8}$
\end{tabular}
\end{center}
\item On tire au hasard et simultanément deux cartes d'un jeu de 32 cartes.

La probabilité de n'obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{105}{248}$ & 
$\dfrac{\binom{21}{2}}{\binom{32}{2}}$ & 
$\dfrac{21^2}{32^2}$ & 
$\dfrac{5^2}{8^2}$
\end{tabular}
\end{center}
\item On suppose que la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.

La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min et 20~min est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{1}{3}$ & 
$\dfrac{1}{5}$ & 
$\dfrac{1}{12}$ & 
$\dfrac14$
\end{tabular}
\end{center}
\item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour 
chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}. 

La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{3.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
\np{0,35} à $10^{-2}$ prés& 
$\np{0,85}^9$ & 
$\np{0,85}^9\times\np{0,15}$ & 
$\np{0,85}^9\times\np{0,15}\times 10$
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 : Métropole Juin 2010} \hfill 4 points} 
 
Une réponse correcte par question, pas de pénalité, sans justification.
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. 
On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{21}{40}$&$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}\times \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{7}{10}\times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs 
avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{3^3 \times 7^2}{10^5}$&$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^3$&
$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^3\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). 
Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. 
Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{7}{60}$&$\dfrac{14}{23}$&$\dfrac{\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\times 
\dfrac{1}{4}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramêtre $\lambda$. ($\lambda$ étant un nombre réel 
strictement positif). La probabilité de l'événement $[1 \leqslant X \leqslant 3]$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-3\lambda}$&$\text{e}^{-3\lambda} - \text{e}^{-\lambda}$&$\dfrac{\text{e}^{-\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 : Polynésie Septembre 2009} \hfill 4 points} % 
 
Vrai ou faux, pénalité de 0.5, sans justification

\begin{enumerate}
 \item Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.  
On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les événements :
\begin{itemize}
 \item A : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; 
 \item B : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Proposition 1} : La probabilité de A est égale à $\dfrac{3}{7}$
\item \textbf{Proposition 2} : La probabilité de B est égale à  $\dfrac{1}{7}$
 \end{itemize}
\item  Soient A, B et C trois événements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$.
 On sait que :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A et B sont indépendants ; 
\item[$\bullet~$] $P(\text{A}) = \dfrac{2}{5}$ ;   $P(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{3}{4}$ ; 
\item[$\bullet~$] $P(\text{C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{A} \cap \text{C}) = \dfrac{1}{10}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Proposition 3} : $P(\text{B}) = \dfrac{7}{12}$
\item \textbf{Proposition 4} : $P\left(\overline{\text{A} \cup \text{C}}\right) = \dfrac{2}{5}$.
 \end{itemize}
\end{multicols}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Proposition 5} : Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2}{3}$.
 \item \textbf{Proposition 6} : Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.
\end{itemize}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de 
paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
 
On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'événement $(X \leqslant  t)$ est donnée par : 

$P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$  
(avec $\lambda = 0,07$).
\begin{itemize}
 \item \textbf{Proposition 7} : La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près
 \item \textbf{Proposition 8} : Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore  10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 4 : Amérique du Sud Nov 2009} \hfill 4 points} %
 
\noindent On consid\`ere un questionnaire comportant cinq questions.

\noindent  Pour chacune des cinq questions pos\'ees, trois propositions de r\'eponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles \'etant exacte.

\noindent Un candidat r\'epond \`a toutes les questions pos\'ees en \'ecrivant un mot r\'eponse de cinq lettres.

\noindent Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a r\'epondu $B$  aux  premi\`ere et deuxi\`eme questions, $A$ aux troisi\`eme et quatri\`eme questions et $C$ \`a la
cinqui\`eme question.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien y a-t-il de mots-r\'eponses possibles \`a ce questionnaire~?
		\item On suppose que le candidat r\'epond au hasard \`a chacune des cinq questions
		de ce questionnaire.\\
		Calculer la probabilit\'e des \'ev\'enements suivants~:\\
		$E$~: \og le candidat a exactement une r\'eponse exacte\fg.\\
		$F$~: \og le candidat n'a aucune r\'eponse exacte\fg.\\
		$G$~: \og le mot-r\'eponse du candidat est un palindrome\fg\ (On pr\'ecise qu'un
		palindrome est un mot pouvant se lire indiff\'eremment de gauche \`a droite ou de
		droite \`a gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
	\end{enumerate}
	\item Un professeur d\'ecide de soumettre ce questionnaire \`a ses 28 \'el\`eves en leur 
	demandant de r\'epondre au hasard \`a chacune des cinq questions de ce questionnaire.
	On d\'esigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-r\'eponse ne comporte aucune r\'eponse
	exacte.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable al\'eatoire $X$ suit la loi binomiale de param\`etres
		$n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
		\item Calculer la probabilit\'e, arrondie \`a $10^{-2}$, qu'au plus un \'el\`eve n'ait fourni
		que des r\'eponses fausses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{\textsc{Exercice 5 : Pondichéry Avril 2010} \hfill 5 points} % 
 
Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à
 un joueur des boules de l'urne. A chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche 
tirée, il gagne 2~euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~euros.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

 
\emph{Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.}
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$.
		\item  Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par $X$. 
		\item  Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut :
$\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.$
		\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. 
Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20~tirages 
soit strictement supérieure à $0,999$. 
\item On suppose que $n = \nombre{1000}$. L'urne contient donc 10~boules blanches et \nombre{1000}~boules rouges.
 
Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complétement défavorable et décide d' effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à 
obtenir une boule blanche.
 
Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages 
nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi :
$\qquad \text{pour tout}~ k  \in \N,~ p(Z \leqslant  k) = \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x.$.\\
 On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50~boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \leqslant 50)$. 
		\item Calculer la probabilité conditionnelle de l'événement : \og le joueur a tiré au maximum 60~boules pour tirer une boule blanche \fg{} sachant l'événement \og le joueur a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 6 : Antilles Juin 2006} \hfill 4 points} % Antilles Juin 2006

\noindent \textbf{Partie A : }
Soit $X$ une variable al\'eatoire continue qui suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$.\\
On rappelle que $P(X\leqslant a)=\displaystyle\int_{0}^{a}\lambda\text{e}^{-\lambda t}\text{d}t$.\\
La courbe donn\'ee en annexe 1 repr\'esente la fonction densit\'e associ\'ee.
\begin{enumerate}
\item Interpr\'eter sur le graphique la probabilit\'e $P(X\leqslant 1)$.
\item Indiquer sur le graphique o\`u se lit directement le param\`etre $\lambda$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B : }
On pose $\lambda=\nombre{1,5}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X\leqslant 1)$, en donner une valeur exacte puis une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es par exc\`es.
\item Calculer $P(X\geqslant 2)$.
\item D\'eduire des calculs pr\'ec\'edents l'\'egalit\'e suivante: $P(1\leqslant X\leqslant 2)=\nombre{0,173}$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\item Calculer l'int\'egrale $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\nombre{1,5}t\text{e}^{-\nombre{1,5}t}\text{d}t$.\\
D\'eterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $F(x)$; on obtient ainsi l'esp\'erance math\'ematique de la variable $X$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

\noindent Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'\'ecart, en dixi\`emes de millim\`etres, entre le diam\`etre des 
cylindres et la valeur de r\'eglage de la machine.\\
On suppose que cet \'ecart suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda=\nombre{1,5}$.

\medskip

\noindent Si l'\'ecart est inf\'erieur \`a 1, le cylindre est accept\'e. Si l'\'ecart est compris entre 1 et 2, on proc\`ede \`a une 
rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80~\% des cas. Si l'\'ecart est sup\'erieur \`a 2, le cylindre est refus\'e.
\begin{enumerate}
\item On pr\'el\`eve au hasard un cylindre dans la production.
\begin{enumerate} 
\item Montrer que la probabilit\'e qu'il soit accept\'e est \'egale \`a $\nombre{0,915}$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\item Sachant qu'il est accept\'e, quelle est la probabilit\'e qu'il ait subi une rectification~?
\end{enumerate}
 \item On pr\'el\`eve de mani\`ere ind\'ependante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suffisamment 
important pour assimiler ce tirage \`a un tirage successif avec remise.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'e que les dix cylindres soient accept\'es~?
\item Quelle est la probabilit\'e qu'au moins un cylindre soit refus\'e~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(9,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2)(8,4)
\pscurve[linecolor=blue](-3,-0.8)(-2.5,-0.79)(-2,-0.76)(-1.5,-0.73)(-1,-0.65)(-0.5,-0.5)(0,0)(0.5,1.45)(1,2.3)(1.5,2.83)(2,3)(2.5,2.83)(3,2.3)(3.5,1.45)(4,0)(4.5,-0.5)(5,-0.65)(5.5,-0.73)(6,-0.76)(6.5,-0.79)(7,-0.8)(7.5,-0.81)(8,-0.82)
\uput[d](8,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 7 : Métropole Juin 2008} \hfill 5 points} % Metro Juin 2008
 
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre
 $\lambda$ où $X$ est un réel strictement positif.

\medskip

On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.

\begin{enumerate}
\item  Restitution organisée de connaissances
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
		\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout 
réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $\lambda = \nombre{0,00026}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(X \leqslant \nombre{1000})$ et $P (X > \nombre{1000}$).
		\item  Sachant que l'événement $(X>\nombre{1000})$ est réalisé, calculer la probabilité de l'événement 
$(X> \nombre{2000})$.
		\item  Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de \nombre{2000} heures, quelle est la probabilité qu'il tombe 
en panne avant \nombre{3000} heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}


\end{document}

