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\newcommand{\ch}{Chapitre 0}
\newcommand{\Ch}{Divers raisonnements \linebreak[2] math\'ematiques}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

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%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
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\debutCha{goya_saturn.eps}{Autoportrait \fg \, et \\ \og Saturne dévorant un de ses enfants (1821-1823)}{Francisco Goya}
{Le sommeil de la raison engendre des monstres.}{Francisco Goya}{Franscisco Goya (1746-1828) est un peintre graveur espagnol. 
En 1786, il est nommé peintre du Roi d'Espagne, mais en 1790, Goya est éloigné de la cour, où il perd ses protecteurs.
En 1792, il tombe gravement malade et paralysé. Après plusieurs mois de maladie, Goya se remet, 
mais reste affaibli physiquement et complètement sourd. 
En 1819, Fransciso Goya  acheta une villa à l'ouest de Madrid, baptisée la villa du Sourd.
L'artiste peignit sur les murs de plâtre de la demeure une série d'images troublantes surnommées les peintures \og noires \fg \,
. Il n'avait pas l'intention des les montrer au public et ce n'est que plus tard qu'elles furent transposée sur toile
et conservées au musée du Prado (Madrid). Ce \textit{Saturne} obsédant illustre le mythe du dieu romain qui dévora ses enfants
de crainte de crainte qu'ils ne le renversent une fois devenus grands. Prenant ce mythe comme point de départ, le tableau traite peut-être 
de la colère divine, du conflit qui oppose la vieillesse et la jeunesse ou du Temps qui dévore tout. Il fut peut-être inspiré par Rubens
qui illustra ce même mythe en 1636, tableau profondément baroque, mais moins sombre que la version de Goya, dans tous les sens du terme.
Les yeux écarquillés du dieu suggèrent la folie et paranoïa et, fait troublant, Saturne paraît se livrer à son acte horrible de façon
inconsciente. 
Goya mourut à Bordeaux, en 1828, très-vieux, très-triste et très-oublié. }{0.7}{0.95}
\setcounter{NumLecon}{1}
\TITRE{goya_incendie.eps}{0.5}

\begin{flushright}
 \textit{L'incendie} (1793-1794) 
\end{flushright}

\begin{abstract}
Les premiers mathématiciens grecs utilisaient dans leurs démonstrations des lois et des règles logiques, sans les avoir explicitées,
tels que le raisonnement par l'absurde.
Cela remonterait au temps de Zénon d'Elée qui l'aurait introduit et qui en tout cas fut l'un des premiers à l'utiliser
couramment. Cette forme de raisonnement est basée sur le principe
du tiers-exclu qui stipule que toute proposition A est soit vraie soit
fausse (ce qui signifie que la proposition A est forcément vraie ou
fausse tout en ne pouvant être à la fois vraie et fausse). \\
Plus tard, Aristote est sans doute le premier à avoir étudié les lois
logiques régissant le raisonnement. C'est la
naissance de la logique formelle. Ensuite, avec les Stoïciens prennent de plus en plus
de distance par rapport au contenu et on assiste aux débuts de la
logique des propositions. Des liaisons entre propositions sont ainsi
mises en valeur : implication (conditionnelle), conjonction, et
disjonction ; et les premières tables de Vérité apparaissent. 
Il s'agit à la préhistoire du symbolisme : le contenu des propositions est oublié, celles-ci étant
désormais remplacées par des lettres. Durant les siècles suivants, on assiste surtout à
un perfectionnement de cette logique dite classique.\\

Une autre période importante dans l'histoire de la logique s'ouvre
au 19e siècle (appelée depuis logique moderne) avec la fondation de l'Algèbre de la logique par
George Boole. Boole est en effet le premier à définir un calcul
logique (dit booléen) où les expressions logiques sont exprimés par des symboles
dont on étudie les lois de combinaisons.\\
Dans la première moitié du 20e
siècle, Louis Couturat redéfinit à partir d'axiomes arbitrairement posés
les lois fondamentales du calcul booléen qu'il effectue initialement sur les
classes, mais qui peut s'appliquer aux propositions. Il montre en effet
que l'ensemble des propositions auquel on joint les opérations
suivantes : disjonction, conjonction et négation est une Algèbre de
Boole. L'intuition n'a désormais plus sa place dans cette expression de
la logique symbolisée. On s'est maintenant débarrassé de l'entrave des
valeurs de Vérité des propositions. La nouvelle loi (opération) \og négation \fg\, a fait son
apparition. Cette loi permet, entre autres, de définir la
contraposée d'une implication dont nous allons voir plus bas qu'elle
est en fait équivalente à l'implication elle-même.\\
Mais cette formalisation eut un impact sur le raisonnement par l'absurde. 
En effet, la principale critique de ce raisonnement est qu'une
démonstration ne doit pas seulement être un enchaînement rigoureux
de raisonnements car une telle démonstration ne peut que convaincre
qu'une propriété est vraie, mais ne saurait expliquer pourquoi elle est
vraie. Cela confèrerait au raisonnement par l'absurde un côté artificiel.\\
Cependant le raisonnement par l'absurde est
beaucoup plus naturel que ces critiques ont bien voulu le reconnaître.
De plus, il est indéniable que le raisonnement par l'absurde
permet souvent une meilleure compréhension et que c'est un outil
performant de recherche, y compris de recherche d'erreurs. \\

Un grand progrès a eu lieu dans le domaine de la démonstration
mathématique depuis les Grecs grâce à la logique symbolique. On a
su se détacher complètement du discours pour ne plus traiter que la
forme du raisonnement, ce qui nous a permis d'élaborer rapidement
toutes sortes de lois logiques, représentant les lois de la pensée, que
l'on peut ensuite réinvestir dans le discours mathématique qu'est la
démonstration. 

Et, probablement, cette symbolisation, loin de signer
l'arrêt de mort du raisonnement par l'absurde des Grecs, permet
plutôt de réhabiliter celui-ci en lui donnant une toute nouvelle
dimension. De plus, sa relative simplicité est son plus grand
défenseur. 





\end{abstract}


\section{Raisonnement par disjonction de cas}

\Defc{Lors d'un raisonnement par disjonction de cas, on étudie tous les cas possibles (en faisant au préalable un tri pour
restreindre le nombre de cas à étudier).}

\Expl{
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, le produit $n(n+1)$ est divisible par 2.
}


\section{Raisonnement par l'absurde et contraposée}

\Defc{Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, consistant soit à démontrer la vérité d'une 
proposition en prouvant l'absurdité de la proposition contraire, soit à montrer la fausseté d'une proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes.}

\Rq{Le principe qui établit le raisonnement par l'absurde est celui du
tiers-exclu. Ce principe stipule que, étant donnée une propriété, celle-ci est soit vraie,
soit fausse, c'est-à-dire qu'elle est forcément l'un des deux, et jamais
les deux simultanément.
}

\Defc[Propriété]{Soit $(P)$ la proposition vraie : \textit{Si A est vraie alors B est vraie} (on a $A\Rightarrow B$)\\
La contraposée de $(P)$ est la proposition \textbf{vraie} : \textit{Si B n'est pas vraie alors A n'est pas vraie} (on a (Non $B$) $\Rightarrow$ (Non $A$) 
}

\Dem{Raisonnons par l'absurde : Si A était vraie, alors B le serait aussi d'après $(P)$, ce qui est absurde. Donc la contraposée de $(P)$ est vraie.
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Soit $(P)$ : Si c'est un triangle, alors il a trois côté.\\
La contraposée de $(P)$ est : S'il n'a pas trois côté, alors ce n'est pas un triangle. 
 \item Soit $(P)$ : Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors $AB^2 + AC^2 = BC^2$\\
La contraposée de $(P)$ est : Si $AB^2 + AC^2 \neq BC^2$ alors $ABC$ n'est pas un triangle rectangle en $A$
 \item Soit $(P)$ : S'il pleut, je prends mon parapluie.\\
La contraposée de $(P)$ est : Si je ne prend pas mon parapluie alors il ne pleut pas.
\end{itemize}
}

\Rq{On peut se demander pourquoi, dans un cours, on ne
changerait pas une implication que l'on n'a su démontrer que par
contraposition, par sa contraposée qui serait alors démontrée
directement. Après tout puisque l'on sait que les deux propriétés sont
équivalentes, ce ne serait plus qu'un problème de formulation !
En fait, on remarque que finalement, la formulation retenue est
celle que l'on emploie le plus aisément ou tout simplement celle qu'on a l'habitude de rencontrer dans
les divers ouvrages : il ne faut pas oublier ce que l'on a reçu en
héritage, provenant de divers horizons, et il est tout à fait normal de
continuer à formuler certaines propriétés comme elles l'ont toujours
été, tout en sachant que dès que l'on en aura besoin, on pourra passer
de l'une à l'autre sans problèmes.
}

\Exop{
\begin{itemize}
 \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $n^2$ impair $\Rightarrow n$ impair.
 \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $n$ impair $\Rightarrow n^2$ impair.
 \item Comment traduire ces deux propriété en une seule ?
\end{itemize}
}


\Exop{
Montrons que $\sqrt{2}$ est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne s'écrit pas sous la forme d'un quotient d'entiers $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \Z$ et $q \in \Z^*$.
}



\section{Raisonnement par récurrence}

Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu'une propiété est vraie ou fausse pour tout entiers à partir d'un certain rang. 
Il faut donc avoir à démontrer quelquechose du genre :\\

\og Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq k$, la propriété $\mathscr P_n$ est vraie \fg

\Cadre[Méthode]{
Soit $\mathscr P_n$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$ et $n_0$ un entier naturel fixé. Pour démontrer 
que $\mathscr P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, on procède en trois étapes.
\begin{itemize}
 \item Initialisation de la propriété\\
On vérifie que la propriété est vraie pour l'entier $n_0$
 \item Hérédité\\
On démontre que si la propriété $\mathscr P_n$ est vraie pour un entier $k \geq n_0$ (hypothèse de récurrence) alors elle est vraie
pour l'entier $k+1$.
 \item Conclusion\\
 On peut alors conclure que la propriété $\mathscr P_n$ est vraie pour tout entier $n\ geq n_0$.
\end{itemize}
}

\Dem{
Supposons qu'il existe au moins un $n$ pour lequel $\mathscr P_n$ n'est pas vraie, appelons $n_1$ le plus petit d'entre eux.
Alors on sait que pour tout $n_0\leq n < n_1$, $\mathscr P_n$ est vraie. En particulier $\mathscr P_n$ est vraie pour l'entier 
$n_1-1$. Maius d'après le caractère héréditaire de $\mathscr P_n$ alors $\mathscr P_n$ est vraie aussi pour $n_1$. Ce qui est absurde...
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Montrer que la somme des $n$ premiers entiers vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$.
 \item On note $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.\\
Démontrer que $\forall n \in \N$ on a $0 \leq u_n \leq 3$.
\end{itemize}
}

%\vspace{20mm}

\begin{epigraphe}
{Toute la peinture est dans les sacrifices et les partis pris.}
{Goya}{Francisco} 
\end{epigraphe}


\noindent \includegraphics[scale=0.64]{maja_vestida.eps}
\includegraphics[scale=0.75]{sabbat_des_sorcieres.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{maja_nue.eps}
\includegraphics[scale=0.22]{3mai_1814.eps}
\includegraphics[scale=0.65]{pradera_de_san_isidro.eps}
\includegraphics[scale=0.69]{Tio_Paquete.eps}

Dans l'ordre : 
\begin{multicols}{3}
 
\begin{itemize}
 \item \textit{Maja Vêtue} (1797-99)
 \item \textit{Trois Mai }\\
 \item \textit{Le Sabbat des sorcières}
 \item \textit{Pradera de San Isidro} (1868-69) \\
 \item \textit{Maja Nue} (1800-03)
 \item \textit{Tio Paquete} (1820)
\end{itemize}

\end{multicols}



\end{document}
