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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence % \linebreak[2] 
et suites}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{2}
\debutCha{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{I wish I was special}{Radiohead (Extrait de Creep)}{Kid A est le quatrième album du groupe de rock britannique Radiohead, il est sorti en 2000.
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Ce disque comporte une majorité de chansons composée principalement de synthétiseurs et de boîtes à rythmes (Kid A, Idioteque, Everything in Its Right Place...), tout en gardant des sonorités pop/rock (In Limbo) et en explorant d'autres univers comme le free-jazz (The National Anthem).
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo de la journaliste canadienne 
Naomi Klein. Les membres du groupe pensaient d'ailleurs au départ à appeler l'album No Logo, en hommage à ce livre qui décrit 
la société de consommation.}{0.5}{0.8}
\setcounter{NumLecon}{2}
%\thispagestyle{stylecha}
\TITRE{thom.eps}{0.3}

\begin{abstract}
\noindent Même si elles ne constituent qu’un cas particulier des \textit{fonctions numériques} 
(celles définies sur $I\subset \N$), les suites méritent une étude à part entière car elles jouent 
un rôle extrêmement important à la fois en mathématiques et en physique. Après quelques rappels, nous approfondirons
les notions vues en première, en particulier sur les suites arithmétiques et géométriques.
\end{abstract}

Dans tout le chapitre, $n$ et $n_0$ désignent des entiers naturels.

\section{Démonstration par récurrence}
\subsection{Exemple introductif}
\Act{\\
\noindent Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N^*$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=0 \\ u_{n+1}=u_n + \dfrac{1}{n(n+1)}  \end{array} \right.$\\\\
Chaque terme de cette suite se calcule à partir du précédent. On dit que cette suite est définie \textbf{par récurrence}. \\
\underline{But} : \textit{On souhaiterait obtenir une formule \textbf{expllicite} de $u_n$ en fonction de $n$, afin de pouvoir calculer 
n'importe quel terme rapidement (sans devoir calculer chacun des précédents). }\\
\begin{enumerate}
 \item La suite est-elle géométrique ? arithmétique ? \\
Ni l'un ni l'autre \textit{(on ajoute toujours un nombre pour passer d'un terme au suivant, mais ce nombre n'est pas constant)}.
 \item Calculer les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$ sous forme de fraction irréductible.
On a $u_1=0$, $u_2=u_1+\dfrac{1}{1(1+1)}=0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.\\
$u_3=u_2+\dfrac{1}{2(2+1)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$.\\
$u_4=u_3+\dfrac{1}{3(3+1)}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$.\\
$u_5=u_4+\dfrac{1}{4(4+1)}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{4}{5}$.
 \item Que vous attendez-vous à trouver pour $u_6$ ? Calculer $u_6$.\\
On s'attend à trouver $u_6=\dfrac{5}{6}$.\\
Par le calcul on obtient : $u_6=u_5+\dfrac{1}{5(5+1)}=\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{5}{6}$.
 \item Conjecturer une valeur pour $u_{101}$ ? Ce résultat est-il certain ?\\
Il semblerait que $u_{101}=\dfrac{100}{101}$. Ce résultat n'est pas certain pour autant.
\item Quelqu'un a eu le courage de calculer $u_7$, $u_8$, $\dots$, jusqu'à $u_{100}$ et a trouvé $u_{100}=\dfrac{99}{100}$. \\
Calculer $u_{101}$.\\
$u_{101}=u_{100}+\dfrac{1}{100(100+1)}=\dfrac{99}{100}+\dfrac{1}{100 \times 101}=\dfrac{100}{101}$ après calculs.
\\\\
\textit{Attention, une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines conjectures se 
révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé d'une propriété \textbf{supposée} résultant d'un certain nombre d'observations. }\\
\textbf{Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus ? }\\
 \item Notons $\mathscr P(n)$ la propriété définie pour $n\in\N$, par : $ \mathscr P(n) : \og u_n=\dfrac{n-1}{n} \fg$\\
Supposons un instant, que pour un certain entier $p$, on a calculé $u_p$ et on a effectivement trouvé $u_p=\dfrac{p-1}{p}$, 
\begin{enumerate}
\item Quelle sera l'expression du terme suivant $u_{p+1}$ ?\\
On aura $u_{p+1}=u_p+\dfrac{1}{p(p+1)}$ d'après l'énoncé.\\
Or par hypothèse on a $u_p=\dfrac{p-1}{p}$, donc on peut calculer 
$$u_{p+1}=\dfrac{p-1}{p} + \dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{(p-1)(p+1)+1}{p(p+1)} = \dfrac{p^2-1+1}{p(p+1)} = \dfrac{p^2}{p(p+1)} = \dfrac{p}{p+1} $$
 \item La propriété $\mathscr P(p+1)$ est-elle vraie elle aussi ?\\
Donc, sous l'hypothèse que $\mathscr P(p)$ soit vraie,  la propriété $\mathscr P(p+1)$ est également vraie.\\
Autrement dit $\mathscr P(p) \Longrightarrow \mathscr P(p+1)$.\\
On dit que la propriété $\mathscr P$ est \textbf{héréditaire}. 
\end{enumerate}
\item Connaissant $u_6$, quel terme en déduisez-vous grâce à la question 6. ? \\
Puis quel autre terme ?  \\
Comme $u_6$ vérifie la propriété, on sait que $u_7$ aussi, donc on a $u_7=\dfrac{6}{7}$.\\
On connait donc également $u_8$.
\item Au final on a vu que la propriété $\mathscr P$ était vraie au rang $n=1$, $2$, $3$, $4$, $5$,
 $6$,  $7$ et $8$. On dit que la propriété est  \textbf{initialisée}. \\
Mais comme la propriété $\mathscr P$ est \textbf{héréditaire} elle sera vraie au rang $9$, puis au rang $10$, 
puis au rang $11$, etc.\\
Quel conclusion pouvez-vous en tirer ?\\
On en conclut que la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$. Donc on a, pour tout $n \geq 1$, $u_n=\dfrac{n-1}{n}$.
\end{enumerate}
\noindent Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence}.
}


\subsection{Principe et exemples}

\Cadre[Principe du raisonnement par récurrence]{Pour démontrer qu'une formule (ou une propriété) dépendant d'un entier naturel $n$ est vraie, pour tout entier $n$, on procède en deux étapes :
\begin{enumerate}
 \item On montre que la formule est vérifiée pour le rang initial (en général $n=0$ ou $n=1$) ;
 \item On montre que la propriété est héréditaire, ie :
\begin{itemize}
 \item On suppose que la formule est vraie pour un certain rang $p$ ; 
 \item on démontre que cela entraine qu'elle est vraie au rang $p+1$
\end{itemize}
\end{enumerate}
On peut alors conclure que la formule est vraie pour tout entier naturel $n$.
}
 

\Expl{Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N^*$ par : $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=2u_n + 1  \end{array} \right.$\\\\
Démontrer que $u_n=2^n-1$ pour tout $n\in\N^*$.}

\Sol{Pour $n\in\N^*$, notons $\mathscr P(n): \og u_n=2^n-1 \fg$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_1=1$ et $2^1-1=1$ \\
Par conséquent $\mathscr P(1)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain rang $ n\geq 1$, ie que $u_n=2^n-1$.\\
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie, i.e montrons que $u_{n+1}=2^{n+1}-1$.\\
On a $u_{n+1}=2u_n+1=2\times (2^n-1)+1$ d'après notre hypothèse.\\
Donc $u_{n+1}=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1$.
Donc $\mathscr P(n+1)$ est vraie et la propriété est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion} : On a montré par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$, la fonction $u_n=2^n-1$.
\end{itemize}
}

\Expl{
 Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, 
définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$ pour tout $x\in\R$.\\
On rappelle que $(x^2)'=2x$ et $(uv)'=u'v+uv'$.
}

\Sol{Notons $\mathscr P(n):f_n$ est dérivable sur $\R$ et $f'_n(x)=nx^{n-1}$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $f_2(x)=x^2$ et on sait que : $f'_2(x)=2x$ (démontré en 1ère). \\
Par conséquent $\mathscr P(2)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain rang $ n\geq 0$.\\
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie, i.e montrons que $f_{n+1}$ est une fonction dérivable et que $f_{n+1}'(x)=(n+1)x^n$.
\\
On a $f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x^n\times x=f_n(x)\times f_1(x)$. Or le produit de deux fonctions dérivables est une fonction 
dérivable, par conséquent $f_{n+1}$ est dérivable.\\
De plus, sa dérivée vaut :
$$ f'_{n+1}(x)=f'_n(x)f_1(x)+f_n(x)f'_1(x)=nx^{n-1}x+x^{n-1}x=nx^n+x^n=(n+1)x^n$$
Donc la propriété est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion} : On a montré par récurrence que pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, 
définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$.
\end{itemize}}


\Exos{n$^{\circ}$ 34 - 36 p 310}

\section{Généralités}
\subsection{Suites et représentation graphique}

\Defc{
Une suite numérique est une fonction de $\N$ dans $\R$, définie à partir d'un certain rang $n_0$. 
On la note $u$, $(u_n)$ ou encore $(u_n)_{n \geq n_0}$.\\
L'image $u(n)$ de l'entier $n$ par $u$ se note $u_n$ et s'appele \textbf{terme d'indice $n$ de $u$}. 
Si $n_0=0$, on a donc :
$$\begin{array}{lclc}
   (u_n) \, : & \N & \to & \R \\ & n & \mapsto &  u_n
          \end{array}$$
}

\Expls{
La suite $(u_n)_{n\geq 12}$ définie par $ u_n=\sqrt{n-11.4}$. 
Ses termes sont $u_{12}=\sqrt{0.6}$, $u_{13}=\sqrt{1.6}$, $u_{14}=\sqrt{2.6}$, $\dots$ \\
On dit qu'elle est définie \textit{explicitement} (en fonction de $n$)\\
La suite de Fibonacci $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\u_1=1\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \end{array} \right.$. \\
On dit qu'elle est définie \textit{par récurrence} (un ou des termes initaux et relation entre termes).\\
Ses premiers termes sont $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3 = 2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $\dots$
}

\Rqs{
%\item En fait $u_n=u(n)$
 \item Il est équivalent de dire $u_{n+1}=2u_n+3$ et $u_n=2u_{n-1}+3$.
\item On représente en général une suite explicite dans le plan en plaçant les points de coordonées $(n;u_n)$.
 \item On représente les suites récurrente sur l'axe des abscisses, mais en utilisant le plan.\\
}

\textit{Dans la suite du cours, on considèrera une suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie sur $\N$ (donc $n_0=0$) par simplicité d'écriture. Les résultats
restent valables cependant pour une suite définie à partir de n'importe quel rang $n_0$.}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item TD 3 p 304 : questions 1 et 2
\item Soit la suite $(v_n)_{n\geq 0}$ définie par $v_n=0.5n + 400$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer ses 5 premiers termes.
 \item Représenter ces termes dans le plan, sur un autre graphique de même échelle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Représenter une suite explicite $u_n=f(n)$]{
\begin{itemize}
 \item On trace dans le plan la courbe représentative $\mathscr C$ de $f$,
\item Les termes de la suites sont les points d'abscisses entières de $\mathscr C$
\end{itemize}
}\\

\Cadre[Représenter une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ :]{
\begin{itemize}
 \item On trace dans le plan la courbe représentative $\mathscr C$ de $f$,
 \item On trace la droite $\Delta$ d'équation $y=x$,
 \item On place le premier terme de la suite, par exemple $u_{0}$, sur l'axe des abscisses,
 \item Comme $u_1=f(u_0)$, $u_1$ est l'image de $u_0$ par $f$, $u_1$ est l'ordonnée du point 
$M_0$ de $\mathscr C$ d'abscisse $u_0$,
 \item Pour obtenir $u_2=f(u_1)$, on \og rabat \fg\, $u_1$ sur l'axe des abscisse grâce à $\Delta$ ; $u_2$ est alors l'ordonnée
de $M_1$ de $\mathscr C$ d'abscisse $u_1$,
 \item On procède pareil pour les termes suivants
\end{itemize}
}

\begin{multicols}{2}
\Expl{On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par 
$$\left\{\begin{array}{l}
          u_0=1 \\ u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2
         \end{array}\right.$$
Sa fonction associée $f$ est définie par $$f:x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$$ }
\Rq{On constate que les termes de la suite se rapprochent d'une valeur limite, 
celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et la première bissectrice. 
}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)(0,4)(4,4)(4,0)(4,6)(0,6)(6,6)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)(0,6.89897)(6.89897,6.89897)(6.89897,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)(0,7.25318)(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,4){\small $u_1$}
\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,6){\small $u_2$}
\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\newpage
\begin{multicols}{2}
\Expl{On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par 
$$\left\{\begin{array}{l}
u_0=7 \\ u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} \sqrt{u_n}-1          
         \end{array}\right.$$
Sa fonction $f$ est définie par $$f=x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$$}
\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-6.2,-7)(8.5,4.5)
\def\xmin{-6.2} \def\xmax{8} \def\ymin{-7} \def\ymax{4.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)(-5.66667,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5.66667,0)(-5.66667,2.77777)(0,2.77777)(2.77777,2.77777)(2.77777,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(2.77777,0)(2.77777,-2.85186)(0,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,0)(-2.85186,0.90123)(0,0.90123)(0.90123,0.90123)(0.90123,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.90123,0)(0.90123,-1.60083)(0,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,0)(-1.60083,0.06721)(0,0.06721)(0.06721,0.06721)(0.06721,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.06721,0)(0.06721,-1.04482)(0,-1.04482)(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](7.3,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,-5.9){\small $u_1$}
\uput[-90](-5.9,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,3.2){\small $u_2$}
\uput[-90](3.2,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,-3.3){\small $u_3$}
\uput[-90](-3.3,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,1.3){\small $u_4$}
\uput[-90](1.3,0){\small $u_4$}
\uput[180](0,-2){\small $u_5$}
\uput[-90](-2,0){\small $u_5$}
\uput[180](0,0.3){\small $u_6$}
\uput[-90](0.3,0){\small $u_6$}
\uput[180](0,-1.3){\small $u_7$}
\uput[-90](-1.3,0){\small $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\subsection*{A la calculatrice}

\Cadre[Calcul des termes d'une suite à la calculatrice]{
Voir p 297 + p 301
}\\

\Cadre[Représentation graphique]{
Voir p 301
}



\subsection{Sens de variation d’une suite : rappels}
%\subsubsection{Définition}
\Defc{Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est :
\begin{itemize}
\item \textbf{croissante}  si  $\forall n\geq 0$ on a $u_n\leq u_{n+1}$, 
\item \textbf{décroissante} si $\forall n\geq 0$ on a $u_n\geq u_{n+1}$,
\item \textbf{monotone}  si elle est croissante ou décroissante à partir du rang $0$
\end{itemize} 
}

\Rq{On définit de même la stricte monotonie, mais à l'aide d'inégalités strictes.}

\Expls{La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$ est strictement croissante, puisqu'on ajoute à chaque terme 
précédent un nombre positif.\\
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=1$ et $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$ est strictement décroissante.\\
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=-1$ et $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$ est strictement croissante.
}

\Cexpl[Il existe des suites non monotones]{
La suite définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_0=1$ et $u_n=-\dfrac{u_{n-1}}{2}$ n'est pas monotone !
}

\Expls{La suite arithmétique définie par le terme initial $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+r$
est :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 \item croissante si et seulement si $r\geq 0$,
 \item décroissante si et seulement si $r\leq 0$.
\end{itemize}
\end{multicols}
La suite géométrique définie par le terme initiale $u_0$ \textit{positif} et la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n\times q$ est :
\begin{itemize}
 \item croissante si et seulement si $q>1$,
 \item décroissante si et seulement si $0<q<1$,
 \item non monotone si et seulement si $q<0$
\end{itemize}
Si $u_0$ est négatif, le sens de variation est contraire.
}


\Act{Le plan est muni d'un repère orthonormé (unité graphique 2cm).
\begin{enumerate}
 \item Représenter la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+2}$ sur trois graphiques.
\item Représenter sur chacun des graphiques les premiers termes de trois suites $u$, $v$ et $w$ définies par :
\begin{itemize}
 \item Pour $n\geq 0$, $u_n=\sqrt{n+2}$.
 \item $v_0=6$ et pour $n\geq 0$, $v_{n+1}=f(v_n)=\sqrt{v_n+2}$
\item $w_0=-1$ et pour $n\geq 0$, $w_{n+1}=f(w_n)=\sqrt{w_n+2}$
\end{itemize}
\item Que penser des affirmations suivantes :
\begin{itemize}
 \item \og Si $f$ est croissante, une suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(n)$ est une suite croissante \fg \, ?
 \item \og Si $f$ est croissante, une suite $(u_n)$ telle que $u_n=f(u_n)$ est une suite croissante \fg \, ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Thc{On considère la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur l' intervalle $[0;+\infty[$. \newline
Si la fonction $f$ est (strictement) monotone  sur $[0;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est (strictement) monotone 
et possède le même sens de variation que la fonction $f$.}


\Dem{\begin{enumerate}
\item \underline{Cas 1} : Si $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$\newline
Pour tout entier $ n\geq 0$, on a $n < n+1 \stackrel{f\, \nearrow}{\Longrightarrow} f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$.\\
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.
\item \underline{Cas 2} : Si $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq 0$,  on a $$n<n+1 \stackrel{f\, \searrow}{\Longrightarrow} f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}


\Expl{La suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{n + 2}$ est croissante car la fonction associée
$\begin{array}{lclc}
  f : & ]-2;+\infty[ & \to & \R \\ & x &\mapsto & \sqrt{x+2} 
 \end{array}$ est croissante sur $]0; + \infty[$
}

\Cexpl[Le théorème est faux pour les fonctions définies par récurrence]{
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}$. 
L'activité précédente montrait que le sens de variation dépendait de la valeur du premier terme.
}


\Att[La réciproque de ce théorème est fausse]{
On peut trouver une suite croissante, définie par une fonction non croissante.\\
Faire un dessin.\\
}

\Cadre[Méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite ]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$.\\
\item[$\blacktriangleright$] Comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1, lorsque $u_n >0$ pour tout $n$.\\
\item[$\blacktriangleright$] Montrer par récurrence que pour tout $n$ on a $u_{n+1}\leq u_n$ ou  $u_{n+1}\geq u_n$. \\
\item[$\blacktriangleright$] Utiliser le théorème précédent.
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Soit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a $u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$.\\
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1$\newline
On voit que $u_{n+1}-u_n > 0 \Longleftrightarrow u_{n+1} > u_n$ \, pour tout $n$ : la suite est donc strictement croissante sur $\N$.
\item Soit la suite $(v_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $v_n=2\times5^n$ , on a $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $v_{n+1}=2\times 5^{n+1}$.\\
Ainsi pour tout $n$ on a $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5$.\\
On voit que $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}> 1 \Longleftrightarrow v_{n+1}>v_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
\item On considère la suite $(w_n)$ définie par : $\left\{ \begin{array}{l} w_0=16 \\ w_{n+1}=\sqrt{w_n} \end{array} \right.$\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $w_{n+1}<w_n$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $w_0=16$ et $w_1=4$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie. 
On a donc : 
\begin{eqnarray*}
& 0\leq w_{n+1}< w_n & \text{ puisque $\mathscr P(n)$ est vraie}\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq \sqrt{w_{n+1}}< \sqrt{w_n} & \text{ puisque $x\longmapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $\R^+$ }\\
\Longleftrightarrow & 0 \leq w_{n+2} < w_{n+1}\\
\Longleftrightarrow & \mathscr P(n+1) \text{ est vraie }
\end{eqnarray*}
Ce qui montre par récurrence que $w_{n+1}<w_n$, $\forall n\in\N$, ce qui prouve que $(w_n)$ est  décroissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 17-18-19 + 25 + 37 p 308 }

\subsection{Suite majorée, minorée, bornée}
\Defc{On considère une suite $(u_n)_{n\in\N}$. On dit que  $(u_n)$  est :
\begin{itemize}
\item majorée s'il existe $M\in\R$ tel que $u_n<M, \quad \forall n\in\N$
\item minorée s'il existe $m\in\R$ tel que $u_n>m, \quad \forall n\in\N$
\item bornée si elle est majorée et minorée i.e s'il existe $m\in\R$ et $M\in\R$ tel que $$ m<u_n<M, \quad \forall n\in\N$$ 
\end{itemize}}

\Rqs{
\item $(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe $M\in\R$ tel que $\mid u_n\mid<M$. \\
En effet si $\mid u_n\mid<M$ alors on a : $-M<u_n<M$ et $(u_n)$ est bornée. \\
Réciproquement si $(u_n)$ est bornée alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<u_n<b$. \\
Choisissons $M=max(\mid a\mid; \mid b \mid)$, dans ce cas on a $-M\leq a$ et $b\leq M$, et donc : $\mid u_n\mid<M$
\item Si $M$ est un majorant de $(u_n)$, alors tout nombre supérieur à $M$ l'est aussi.
}

\Cadre[Pour montrer qu'une suite est bornée, on peut :]{
\begin{itemize}
 \item Raisonner sur des inégalités équivalentes
 \item Etudier la fonction associée
\item Faire une récurrence
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Soit la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définie par $ u_n=\dfrac{3+(-1)^n}{n^2}$. Montrons que $(u_n)$ est bornée.
\begin{eqnarray*}
&& -1\leq (-1)^n\leq 1  \\
&\Longleftrightarrow & 2\leq 3 + (-1)^n \leq 4  \\
& \Longleftrightarrow & 2 \leq u_n \leq 4 \quad \text{car }\quad 0\leq \dfrac{1}{n^2}\leq 1
\end{eqnarray*}
 \item Soit la suite $(u_n)$ définie par : \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$\\
Montrons, par récurrence, que cette suite est bornée. \\
Il est clair que $(u_n)$ est minorée par $0$. Mais par quoi est-elle majorée ??\\
Le calcul des premiers termes, donne ici une indication : $ u_1\simeq 2,45\qquad u_2\simeq 2,91\qquad u_3\simeq 2,98$.\\
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : \og $0\leq u_n\leq 3$ \fg 
\textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie de manière évidente puisque $u_0=0$.\\
\textbf{Hérédité} : Supposons qu'il existe un rang $n$ tel que $\mathscr P(n)$ est vraie. 
Montrons que $\mathscr P(n+1)$ l'est aussi.\\
Dans ce cas on a : $\qquad \qquad \qquad  0\leq u_n \leq 3$\\
Par conséquent : $ \qquad \qquad \qquad 6\leq 6+u_n\leq 9$\\
Et par passage à la racine : $\qquad \qquad \sqrt{6}\leq \sqrt{6+u_n}\leq 3$ \\
Au final : $ \qquad \qquad \qquad \sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq 3\Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq 3$\\
Conclusion :  $\mathscr P(n+1)$ est vraie, donc $\forall n\in\N$ on a $ 0\leq u_{n+1}\leq 3$, d'où $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 29-31-32-35 p 309}


\section{Comportement asymptotique d’une suite : rappels}
\subsection{Notion de convergence et divergence }
\Defc{Soit $\ell \in\N$. On dit qu'une suite \textbf{admet une limite} $\ell$ (ou \textbf{converge vers $\ell$}) lorsque 
tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient aussi  tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. 
On note $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$. \\
Une suite qui ne converge pas est dite \textbf{divergente}.}

\Rq{On utilise en général un intervalle centré en $\ell$.}

\Expls{
La suite $\left( \dfrac{1}{n}-2\right)_{n\in\N}$ converge vers $-2$.\\
La suite $\left(\dfrac{3n^2-4}{-2n^2+5}\right)_{n\in\N} $ est convergente et admet pour limite $-\dfrac{3}{2}$.\\
La suite $(u_n)_{n\in\N}$ de terme général $u_n=(-1)^n$ est divergente car elle n'admet pas de limite.
}

\Rq{
Graphiquement, la notion de limite se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. 
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,1.1)(24.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{24} \def\ymin{1.1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,1.1)(26.1,2.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{25}{\G}
\psplot{25}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.55) \uput[r](0.7,1.52){$\epsilon$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.45)\uput[r](0.7,1.47){$\epsilon$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.25){de la suite sont dans la bande hachurée d'épaisseur choisie}
\uput[ur](10,1.20){(ici, $\varepsilon=0.05$)}
 \uput[ur](9,1.7){Illustration avec la suite $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=\ymin]{-}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rqs{
\item Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{3}{2}$
\item On notera que si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est unique (admis).}

\Defc{On dit qu'une suite diverge vers $+\infty$ lorsque tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient 
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (dépendant du $A$ considéré). On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \\
On définit de même la divergence vers $-\infty$ à l'aide 
d'intervalle du type $]-\infty;A[$. On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.}

\Expls{Les suites $\left(n\right)_{n\in\N}$ et $\left( n^3-n^2+n-1 \right)_{n\in\N} $ sont divergentes vers $+\infty$.
}

\Rqs{
\item Une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite
\item Dire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ revient à dire que :
\begin{itemize}
 \item[$\blacktriangleright$]  Tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient tous les termes de la suite, sauf un nombre fini d'entre eux.
\item[$\blacktriangleright$]  Le terme général $u_n$ est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang.
\item[$\blacktriangleright$]  Quelque soit le nombre choisi $A$, il existe un rang à partir duquel tous les termes sont supérieurs à $A$. 
\end{itemize}
}

\Expls[Limites de référence]{
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
\item[\textbf{2.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\item[\textbf{3.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$
\item[\textbf{4.}] $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{3mm}}
 
\subsection{Règles opératoires et propriétés}

\subsubsection{Opérations sur les limites}
\noindent Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites.

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n+b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
   $a\in\R$ & $a+b$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (a_n b_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $a\times b$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $\pm\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b\in \R$ alors le produit $a_n b_n$ tend vers $0$. \\
  
\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{b_n}{a_n}$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.85}}>{\centering}m{3cm} *{3}{|>{\centering}m{3cm}} |} \hline
         \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $a_n$}{lim $b_n$} 
&\makebox[3em]{$b\neq 0$}&\makebox[3em]{$+\infty$}&\makebox[3em]{$-\infty$}\tabularnewline\hline
      $a\neq 0$ & $\dfrac{b}{a}$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\indent Si $a=0$ et si $b \neq 0$ alors le quotient $ \dfrac{b_n}{a_n} $ tend vers $\pm \infty$.\\

\Rq{Il faut être conscient que tous les résultats de ces tableaux se démontrent (et certains ne sont pas évidents), 
nous ne présenterons ici aucune démonstration et nous admettrons tous ces résultats.}


\subsubsection{Les formes indéterminées}
    
\Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}

\subsubsection{Suites explicites}

 \Thc{Soit $f$ une fonction définie sur $[0;+\infty[$ et $(u_n)_{\N}$ une suite 
définie par $u_n=f(n)$. 
 \begin{enumerate}
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$
\item Si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ alors $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty$ 
\end{enumerate}}

\Rqs{
\item Notons que la réciproque du résultat précédent est fausse.
\item Grâce à ce théorème, on récupère toutes les règles de calculs sur les limites (consulter les fiches de premières en annexes). 
\item Rappelons les deux résultats importants :
\begin{itemize}
 \item[$\ast$] La limite en l'infini d'une expression polynômiale est la limite du terme de plus haut degré.
\item[$\ast$]  La limite en l'infini d'une expression rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré.
\end{itemize}
}

\Expl{Soit $(u_n)_{\N}$ la suite de terme général $u_n=\dfrac{2n^2+n-1}{n^2+1}$. \\
Sa fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+x-1}{x^2+1}$
est telle que $$\lim\limits_{x\to + \infty} f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2}=2$$
Donc la suite $(u_n)$ converge vers $2$. 
}

\Exos{n$^{\circ}$ 45 p 311}

\subsubsection{Image d'une suite}

\Thc{Soient $\alpha$ et $\lambda$ sont réels, ou $+\infty$ ou $-\infty$.\\
Si une suite $(u_n)_{\N}$ a pour limite $\alpha$ et si une fonction $f$ a pour limite $\lambda$ lorsque $x \to \alpha$, alors
la suite définie par $v_n=f(u_n)$ a pour limite $\lambda$.
}

\Expl{
Soient $(u_n)_{\N}$ la suite de l'exemple précédent et $(v_n)$ la suite de terme général $v_n=\dfrac{u_n}{2}$. \\
Sa fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{2}$
est telle que $$\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 1$$
Donc la suite $(v_n)$ converge vers $1$. 
}

\Exos{n$^{\circ}$ 56 p 312 + 82 p 317 
}

\Exos{28-29 p 309}

\section{Suites récurrentes particulières}
\subsection{Arithmétique ou géométrique : rappels}
\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est \textbf{arithm\'etique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}+r}}

\Expl{L\'ea d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il ajoute $10\euro$ . Si on note $u_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{\text{i\`eme}}$ ann\'ee. On a : 
 \begin{center}
  $\left\{ \begin{array}{l} u_0=100 \\ u_{n+1}=u_n+10 \end{array} \right.$\\ 
 \end{center}
 $u$ est donc une suite arithm\'etique de raison 10 et de premier terme 100.}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Defc{Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est \textbf{g\'eom\'etrique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a \boite{u_{n+1}=u_{n}\times q}} 

\Expl{Max d\'epose $100\euro$ sur son compte. Tous les ans il gagne $3\%$ de plus. Si on note $v_n$ l'argent disponible sur le compte de L\'ea au bout de la $n^{i\`eme}$ ann\'ee, on a : 
\begin{center}
 $\left\{ \begin{array}{l} v_0=100 \\ v_{n+1}=v_n\times1,03 \end{array} \right.$\\
\end{center}
 $v$ est donc une suite g\'eom\'etrique de raison 1,03 et de premier terme 100.}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
On considère désormais une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$.\\

\Ptec{Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}+(n-p)r}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}+nr}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, L\'ea dispose de $300\euro$ sur son compte. En effet $u_n=100+10n$ et donc : 
$
 u_{20}=100+10\times20=300$
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
On considère désormais une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$.\\

\Ptec{Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\boite{u_{n}=u_{0}\times q^{n}}\end{center}
\end{itemize}
}
\vspace{5mm}

\Expl{Au bout de 20 ans, Max dispose de $180,61\euro$ sur son compte. En effet $v_n=100\times1,03^n$ et donc : 
$
 v_{20}=100\times1,03^{20}=180,61$
}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\


\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Ce sont les points d'abscisse entière positive de la droite de coefficient directeur $r$ et passant 
par le point de coordonnées $\left(n_0; u_{n_0}\right)$

\Expl{$u_0=-1$ et $r=0.5$, \qquad\quad $v_0=1$ et $r=-0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,-1)
\psdot(1,-0.5)
\psdot(2,0)
\psdot(3,0.5)
\psdot(4,1)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,1.5)
\psdot(1,1)
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0)
\psdot(4,-0.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Si $q>0$, ce sont les points d'abscisse entière positive d'une courbe exponentielle.
\Expl{$u_0=1$ et $r=1.5$, \qquad $v_0=5$ et $r=0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-0.9)(7.6,17.6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{17.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,1)
\psdot(1,1.5)
\psdot(2,2.25)
\psdot(3,3.375)
\psdot(4,5.0625)
\psdot(5,7.59375)
\psdot(6,11.390625)
\psdot(7,17.0859375)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(7.6,10.3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{10.3}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(1,1)
\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,5)
\psdot(2,2.5)
\psdot(3,1.25)
\psdot(4,0.625)
\psdot(5,0.3125)
\psdot(6,0.15625)
\psdot(7,0.078125)
\psdot(0,10)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{minipage}
\\
\end{tabular}


\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$\\
\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante ;\\
\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=-\infty$
\end{itemize}}




\Expl{\[
      r=10>0 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(u_n)$ est croissante}
      \]
}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ (avec $q>0$) alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in [0;1[$ alors $(u_n)$ est décroissante et convergente vers $0$, ie $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=0$
\item Si $q=1$ alors  $(u_n)$ est constante égale à  $1$
\item Si $q>1$ alors $(u_n)$ est croissante et divergente vers $+\infty$, ie la $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$.
\end{itemize}}




\Expl{\[
       q=1,03>1 \Longleftrightarrow \text{ la suite $(v_n)$ est divergente}
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\ \\

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite arithm\'etique de premier terme $p$ et de dernier terme $d$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=n\times \dfrac{p+d}{2}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       u_{10}+u_{11}+...+u_{20}=11 \times \dfrac{u_{10}+u_{20}}{2}=2200
      \]

}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8.5cm}
\Thc{
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite g\'eom\'etrique de raison $q\neq 1$ et de premier terme $p$ est :
\begin{center}
\boite{
 S=p\times \dfrac{1-q^n}{1-q}
}
\end{center}
}


\Expl{\[
       v_{1}+v_2+...+v_{20}=v_{1} \times \dfrac{1-1,03^{20}}{1-1,03}=2767,65
      \]

}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\Applic{Un étudiant loue une chambre pour $3$ ans. On lui propose deux types de bail.\footnote{Un bail est un contrat de location}\newline
\underline{1$^{er}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200 \euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $5 \euro$ par mois jusqu'à la fin du bail.\newline
\underline{2$^{ème}$ contrat :}\newline
\indent Un loyer de $200\euro$ pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois juqu'à la fin du bail.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
\item Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois (i.e du $36^{ème}$ mois).
\item Quel est le contrat globablement le plus avantageux pour un bail de $3$ ans ? 
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_1=200$ 
et la suite $(v_n)$ géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $v_0=200$.\\
Pour le premier contrat le loyer du deuxième mois et du troisième mois sont donnés par $u_2$ puis $u_3$ :
$$ u_2=u_1+5=200+5=205\euro\qquad \qquad u_3=u_2+5=205+5=210\euro$$
Pour le deuxième contrat le loyer du deuxième mois et du troisième mois sont donnés par $v_2$ puis $v_3$ :
$$ v_2=v_1\times 1,02=200\times 1,02=204\euro\qquad \qquad v_3=v_2\times 1,02=204\times 1,02=208,08\euro$$
\item Le loyer du dernier mois est donnée par $u_{36}$ pour le premier contrat et $v_{36}$ pour le deuxième contrat :
$$ u_{36}=u_1+(36-1)\times 5=200+35\times 5=375\euro \qquad \qquad v_{36}=v_1\times 1,02^{35}=200\times 1,02^{35}\simeq 400 \euro$$
\item Pour cela il faut calculer la somme des 36 premiers loyers i.e il faut calculer $S_1$ et $S_2$ où :
$$ S_1=u_1+u_2+\dots+u_{36}=\dfrac{36\times (200+375)}{2}=18\times 575=10350 \euro$$ $$S_2=v_1+v_2+\dots +v_{36}=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02} \simeq 10398 \euro$$
Donc le premier contrat semble plus avantageux et permettrait de réaliser une économie d'environ $40\euro$
\end{enumerate}}


\Exos{1 à 9 p 307 sur la somme de termes consécutifs}

\Exos{16 p 308 + 39 + 42 + 43 + 46-47 + 60 + 61 p 313}

\subsection{Arithmético-géométrique}

voir p300

\Exos{  62 à 64 p 313 + 78 + 79  }

\subsection{Récurrente d'ordre 2}

Pb p 302 + TP 4 p 305

\Exos{65 à 67 p 314 + 85 à 88 p 317}

Faire des annales ...

\end{document}
