\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ ES Sp\'ecialit\'e }
\author{C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace}	
\newcommand{\Cl}{TES Sp\'ecialit\'e}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
 

\setcounter{NumLecon}{7}
\debutCha{Caverne.eps}{Faites le mur}{Banksy}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore 
(Sonic Youth)}{Faites le mur ! est un film (?) ou un documentaire (documenteur !) réalisé par Banksy, sorti en salle le
 15 décembre 2010. Thierry Guetta, un commerçant français excentrique, documentariste amateur vivant à Los Angeles, présenté dans
 le film comme le cousin de l'artiste Space Invader, aurait amassé une considérable archive d'interviews et d'action de Zevs, 
Shepard Fairey, André etc. A mesure qu'il filme de manière compulsive la nouvelle génération de l'art urbain, son obsession pour 
Banksy, le célèbre pochoiriste britannique se fait plus dévorante. Ils se rencontrent enfin. Banksy incite Guetta - au vu de la 
médiocrité de ses productions audiovisuelles - à se tourner vers l'art urbain. C'est alors que naît l'artiste Mr Brainwash.}{1}{1}
\setcounter{NumLecon}{7}
\TITRE{garde.eps}{0.7}

\begin{abstract}
De nombreux problèmes économiques font intervenir plusieurs variables.\\
Si le problème étudié présente deux variables, et que l'on peut exprimer l'une d'elle en fonction de l'autre, le phénomène peut se visualiser dans le plan.\\
C'est le cas des coûts, fonction de la quantité produite, des quantités demandées par les consommateurs sur le marché, fonction du prix, du prix suivant
la quantité offerte par les producteurs ...\\
Mais il arrive qu'une troisième variable apparaisse, fonction des deux autres ; on peut alors faire une représentation dans l'espace. c'est le cas
d'un budget dépendant de deux quantités (ou de deux prix), d'un indice d'utilité fonction de deux biens consommés, d'une production dépendant du travail
et du capital investi ...\\
Bien sûr, lorsque trois variables interviennent, la visualisation dans l'espace peut aider à comprendre. Les problèmes à plus de trois variables
nécessitent souvent le calcul matriciel, mais cela ne fera pas partie du programme de cette année.\\
En particulier, un problème de programmation linéaire peut se visualiser dans l'espace.
\end{abstract}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours

\section{Repérage dans l'espace : Rappels et compléments}
 
Dans tout le chapitre, on munit l'espace d'un rep\`ere $\left(O; \vec i; \vec j ; \vec k \right)$.


\subsection{Exemple d'introduction}

\Act{
Une petite entreprise d'aliments pour bétail produit deux types d'aliments $A$ et $C$. Le programme de fabrication tient compte des contraintes
suivantes :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|}
   \hline
%\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction $f$} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Fonction $f'$}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Domaine de définition de $f'$} } \tabularnewline\hline
 Aliment & Poids en kg & Temps en minutes par kg & Dose de protéines par kg \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $A$  & $x$ & $5$ & 2\tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$C$ & $y$ & $10$ & 1 \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} Contrainte  & Maximum $5$ & Maximum $40$ & Maximum 8\tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
De plus, le bénéfice est de $1.5\euro$ par kg d'aliment $A$ et de $2\euro$ par kg d'aliment $C$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer les contraintes sous forme d'inégalités en $x$ et $y$.
\item Dans un repère $(O;\vec i ; \vec j ; \vec k)$ de l'espace, comment se représentent l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $x+y=5$ ? \\
Représenter ces points (échelle 1cm sur chaque axe).\\
Où se situent les points vérifiant $x+y \leq 5 $ ?
 \item Interpréter et représenter de même les autres contraintes sur des graphiques différents.
 \item Exprimer le bénéfice $B(x;y)$ en fonction de $x$ et $y$.\\
Quel est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient $z=B(x;y)$ ? Le représenter sur un graphique.
 \item Expliquer comment graphiquement on peut trouver la solution de ce problème de programmation linéaire.
\end{enumerate}
}

\subsection{Coordonnées de point, de vecteur}

\Thc{Pour tout point $M$ il existe un unique triplet $(x;y;z)$ tel que 
$$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$
On appelle ce triplet les coordonn\'ees de $M$, respectivement nomm\'ees \textit{abscisse}, \textit{ordonn\'ee} et \textit{c\^ote} de $M$.
\newline
$(x;y;z)$ sont aussi les coordonn\'ees du vecteurs $\overrightarrow{OM}$. On note souvent : $\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z                                                     \end{array} \right)$
}
\Expl{Placer le point $M(2;3;2.5)$ dans un repère de l'espace orthonormé.}
\psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2.25,-2.25)(3.75,3.75)
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.25,-2.25)(3.75,3.75)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(3,3)
\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)
\uput[0](-0.25,-0.25){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.5,-1.5)(0,0)
\uput[-90](-1.5,-1.5){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[180](-0.5,-0.5){1}
\psline{-}(-0.433333,-0.5)(-0.566667,-0.5)
\uput[180](-1,-1){2}
\psline{-}(-0.933333,-1)(-1.06667,-1)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot[linecolor=blue](2,1.5)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1,-1)(2,-1)(3,0)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0)(2,-1)(2,1.5)(0,2.5)
\uput[45](2,1.5){M}
\uput[45](0,2.5){M''}
\uput[-45](2,-1){M'}
\end{pspicture*}
\end{center}
\Dem{
La parall\`ele \`a $(OK)$ passant par $M$ coupe le plan $(OIJ)$ de rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$ en $M'$ de coordonn\'ees $(x;y)$ dans ce rep\'ere. \\
La parall\`ele \`a $(OM')$ passant par $M$ coupe l'axe $(OK)$ en $M''$. Il existe donc un nombre $z$ tel que $\overrightarrow{OM''}=z\vec k.$ 
De plus, $\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{M''M}$ donc le quadrilat\`ere $OM'MM''$ est un parall\'elogramme et 
$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{OM''} = x\vec i + y\vec j + z \vec k$$
}

\Rqs{
\item Deux points distincts définissent une droite
\item Trois points distincts non alignés définissent un plan. Autrement dit, $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $(ABC)$ si et seulement
si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, ie si leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
}

\Exop{Soit les points $A(5;0;0)$, $B(2;6;0)$ et $C(0;2;4)$. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et le représenter. }


\subsection{Equation de plan}
\subsubsection{Cas général}
\Ptec{
\begin{itemize}
 \item Tout plan de l'espace admet une \'equation du type $ax+by+cz=d$ o\`u $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des r\'eels.
 \item R\'eciproquement : Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des r\'eels tels que l'un moins des r\'eels $a$, $b$ ou $c$ n'est pas nul. 
L'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que $ax+by+cz=d$ est un plan.
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Si $a$, $b$ et $c$ sont tous nuls, deux cas se pr\'esentent : 
\begin{itemize}
 \item $d=0$ et la relation $ax+by+cz=d$ est toujours v\'erifi\'ee.
 \item $d\neq 0$ et la relation $ax+by+cz=d$ n'est jamais v\'erifi\'ee.
\end{itemize}
\item Un plan admet une infinit\'e d'\'equations : \\
Si $ax+by+cz=d$ est l'\'equation d'un plan, alors $k(ax+by+cz)=kd$, o\`u $k\in\R^*$ est aussi une \'equation de ce plan.
 \item Si $d\neq 0$, le plan ne passe pas par l'origine du rep\`ere. On peut alors toujours se ramener \`a une \'equation de la forme 
$a'x+b'y+c'z=1$.
}

\Expl{
Les \'equations \qquad $-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}y-\dfrac{5}{3}z=-4$, \qquad $2x-y+5z=12$ \qquad et \qquad $\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{12}y+\dfrac{5}{12}z=1$ \qquad
sont trois \'equations du m\^eme plan.
}

\subsubsection{Cas particuliers}
\Propc{
\begin{itemize}
 \item Le plan $(xOy)$ a pour \'equation $z=0$. Un plan parallèle à $(xOy)$ a une équation du type $z=k$ avec $k\in\R$.
 \item Le plan $(yOz)$ a pour \'equation $x=0$. Un plan parallèle à $(yOz)$ a une équation du type $x=k$ avec $k\in\R$.
 \item Le plan $(xOz)$ a pour \'equation $y=0$. Un plan parallèle à $(xOz)$ a une équation du type $y=k$ avec $k\in\R$.
\end{itemize}
}

\Dem{
$(xOy)$ est exactement l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace dont la c\^ote $z$ vaut $0$.\\
Un plan $\mathscr P$ parallèle à $(xOy)$ passant par $A(0,0,k)$ est exactement l'ensemble des points $M(x;y;z)$ dont la c\^ote $z$ 
vaut $k$.
}

\Expls{Soient $\mathscr P_1$, $\mathscr P_2$ et $\mathscr P_3$ trois plans de l'espace respectivement parall\`eles aux plans 
$\left(O; \vec i; \vec j \right)$, $\left(O; \vec i; \vec k \right)$ et $\left(O; \vec j ; \vec k \right)$ et passant par le point 
$C(1;3;2)$.
}
\begin{multicols}{2}\begin{center}
Plan parall\`ele au plan $\dots\dots$\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
%\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
%\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
%\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
%\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
%\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
%\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
%\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot[linecolor=black](2.55,1.55)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.45,-0.45)(2.55,-0.45)(3,0)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0)(2.55,-0.45)(2.55,1.55)(0,2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green,linestyle=solid,]{-}(0,2)(-1.8,0.2)(3.2,0.2)(5,2)(0,2)
\uput[90](2.55,1.55){C}
\uput[50](-1.3,0.2){$\mathscr P_1$}
\end{pspicture*}\\
Le plan $\mathscr P_1$ a pour \'equation $\dots\dots$ \\

Plan parall\`ele au plan $\dots\dots$\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
%\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
%\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
%\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
%\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
%\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
%\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
%\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot[linecolor=black](2.55,1.55)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.45,-0.45)(2.55,-0.45)(3,0)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0)(2.55,-0.45)(2.55,1.55)(0,2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=solid,]{-}(-0.45,-0.45)(4.55,-0.45)(4.55,3.55)(-0.45,3.55)(-0.45,-0.45)
\uput[90](2.55,1.55){C}
\uput[-140](4.45,3.55){$\mathscr P_2$}
\end{pspicture*}\\
Le plan $\mathscr P_2$ a pour \'equation $\dots\dots$
\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
Plan parall\`ele au plan $\dots\dots$\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)

\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
%\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
%\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
%\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
%\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
%\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
%\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
%\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot[linecolor=black](2.55,1.55)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.45,-0.45)(2.55,-0.45)(3,0)
\psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0)(2.55,-0.45)(2.55,1.55)(0,2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid,]{-}(3,0)(3,4)(1.2,2.2)(1.2,-1.8)(3,0)
\uput[90](2.55,1.55){C}
\uput[-110](2.9,3.7){$\mathscr P_3$}

\end{pspicture*}\\
Le plan $\mathscr P_3$ a pour \'equation $\dots\dots$ \\
\end{center}

\Propc{
Un plan parall\`ele \`a l'axe $(Oz)$ a une \'equation du type $ax+by=d$.
Un plan parall\`ele \`a l'axe $(Ox)$ a une \'equation du type $by+cz=d$.
Un plan parall\`ele \`a l'axe $(Oy)$ a une \'equation du type $ax+cz=d$.}


\begin{multicols}{2}\begin{center}
Plan parall\`ele \`a l'axe $\dots\dots$\\
(s\'ecants aux deux autres axes)\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot[linecolor=black](4,0)
\psdot[linecolor=black](-1.35,-1.35)
\uput[70](4,0){$A$}
\uput[180](-1.35,-1.35){$B$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green,linestyle=solid,]{-}(-1.35,-1.35)(4,0)(4,4)(-1.35,2.65)(-1.35,-1.35)
\psdot[linecolor=green](2.6625,1.6625)
\uput[90](2.6625,1.6625){$M$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{-}(2.6625,1.6625)(2.6625,-0.3375)
\psdot[linecolor=green](2.6625,-0.3375)
\end{pspicture*}\\
Le plan a une \'equation de la forme $\dots\dots\dots\dots$\\
(o\`u $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls)\\

Plan parall\`ele \`a l'axe $\dots\dots$\\
(s\'ecants aux deux autres axes)\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=solid,]{-}(-1.35,-1.35)(3.65,-1.35)(5,3.5)(0,3.5)(-1.35,-1.35)
\end{pspicture*}\\
Le plan a une \'equation de la forme $\dots\dots\dots\dots$\\
(o\`u $a$ et $c$ ne sont pas tous les deux nuls)\\
\end{center}
\end{multicols}

\begin{center}
Plan parall\`ele \`a l'axe $\dots\dots$\\
(s\'ecants aux deux autres axes)\\
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.525,-2.525)(5.725,4.725)
\psaxes[linewidth=1pt,showorigin=false,labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,4)
\uput[-45](0,0){O}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-0.45,-0.45)
\uput[0](-0.225,-0.225){\small $\overrightarrow{i}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[90](0.5,0){\small $\overrightarrow{j}$}
\pcline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[180](0,0.5){\small $\overrightarrow{k}$}
\psline{<-}(-1.8,-1.8)(0,0)
\uput[-90](-1.8,-1.8){$x$}
\uput[0](5,0){$y$}
\uput[90](0,4){$z$}
\uput[180](-0.45,-0.45){1}
\psline{-}(-0.338889,-0.45)(-0.561111,-0.45)
\uput[180](-0.9,-0.9){2}
\psline{-}(-0.788889,-0.9)(-1.01111,-0.9)
\uput[180](-1.35,-1.35){3}
\psline{-}(-1.23889,-1.35)(-1.46111,-1.35)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=solid,]{-}(3,0)(0,3.5)(-1.8,1.7)(1.2,-1.8)(3,0)
\end{pspicture*}\\
 Le plan a une \'equation de la forme $\dots\dots\dots\dots$\\
(o\`u $b$ et $c$ ne sont pas tous les deux nuls)\\
\end{center}

\begin{Att}
\indent Dans un plan, $ax+by=d$ est une \'equation de droite. Dans l'espace, c'est une \'equation de plan parallèle à l'un des axes.
\end{Att}

\Dem{
Un plan $\mathscr{P}$ parall\`ele \`a l'axe $(Oz)$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que le projet\'e orthogonal 
$M'$ de $M$ sur $(xOy)$ soit sur la droite $(AB)$, o\`u $A$ et $B$ sont les points d'intersection du plan $\mathscr{P}$ et 
respectivement des axes $(Ox)$ et $(Oy)$. L'\'equation du plan $\mathscr{P}$ dans l'espace est alors l'\'equation de $(AB)$ dans 
le plan $(xOy)$. Il s'agit donc d'une \'equation du type $ax+by=d$.}

\Rq{
Un plan parall\`ele \`a un axe de coordonn\'ees est d\'etermin\'e par son intersection avec le plan de coordonn\'ees form\'e 
par les deux autres axes.}

\Exop{Soient $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ les plans d'équation respectives $4x+3y=12$ et $3y+2z=12$.\\
Représenter ces plans et leur intersection.}


\subsection{Equation de droites}

\Propc{
Soient deux plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ de l'espace d'équation respective $ax+by+cz=d$ et  $a'x+b'y+c'z=d'$, avec 
$(a;b;c) \neq (0;0;0)$ et $(a';b';c')\neq (0;0;0)$.\\
Les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont parallèles si et seulement si les coefficients $a$, $b$, $c$ et $a'$, $b'$, $c'$ sont proportionnels.\\
Sinon, les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont sécants suivant une droite $\mathscr D$.\\
Cette droite est alors définie par les deux équations $\left\{\begin{array}{l}
                                                               ax+by+cz=d \\ a'x+b'y+c'z=d'
                                                              \end{array}\right.$
}

\Expl{Les plans d'équation $3x+2y-5z=1$ et $-6x-4y+10z=3$ sont parallèles.\\
Le plan d'équation $5x-2y+4z=1$ les coupent selon les droites définies par :
$\left\{\begin{array}{l}
                                                              3x+2y-5z=1 \\5x-2y+4z=1
                                                              \end{array}\right.$
et $\left\{\begin{array}{l}
                                                              -6x-4y+5z=3 \\ 5x-2y+4z=1
                                                              \end{array}\right.$
}


\Exop{
Représenter dans un même repère le plan $(ABC)$ et les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ des exemples précédents. Représenter
leur droite d'intersection en précisant les systèmes définissant chacune d'elle. En déduire le point d'intersection des trois plans.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 20-21 p 334 (Lecture de coordonnées de points)\\
n$^{\circ}$ 18-19-23-26 p 334 (coordonnées de points et équations de plans particuliers)\\
n$^{\circ}$ 35 p 336 (représentation d'un plan)\\
n$^{\circ}$ 28 à 33  p 334 (systèmes)\\
n$^{\circ}$ 37 à 40 p 336 (droites et positions relatives de plans)\\
TD 1 p 327}

\Exos{Antilles-Guyane Septembre 2003 en DM ??}

\section{Fonctions à deux variables}

\subsection{Exemple d'introduction}
Problème résolu \og Production Optimale\fg \, à photocopier p 326

\subsection{Fonctions à deux variables et surfaces}

\Defc{
Soient deux intervalles $I$ et $J$. Si pour tout couple $(x;y)$ avec $x\in I$ et $y \in J$, on peut associer un réel $z$, alors on définit une fonction
$f$ de deux variables $x$ et $y$ telle que 
$$ \begin{array}{cccc}
                                                f : & I \times J & \to & \R \\ &(x;y) & \mapsto & z=f(x,y)
                                                \end{array}$$
}

\Expls{
La production, dépendant entre autres paramètres du capital investi et du travail fourni, est souvent modélisée par des fonctions du type :
$z=Cx^{\alpha}y^{\beta}$, où $C$ est une constante liées aux autres paramètres, $\alpha$ et $\beta$ sont des réels, la variable $x$ mesure le travail
et la variable $y$ mesure le capital. Ces fonctions sont des fonctions de Coob-Douglas.\\
Par exemple, les fonctions $$ \begin{array}{cccc}
                                               f : & \R^{+*} \times \R^{+*} & \to & \R \\ &(x;y) &\mapsto & xy
                                                \end{array}, \qquad \begin{array}{cccc}
                                                g : & \R^{+*} \times \R^{+*} & \to & \R \\ &(x;y) & \mapsto & x^2y
                                                \end{array}, \qquad \text{et} \qquad \begin{array}{cccc}
                                               h : & \R^{+*} \times \R^{+*} & \to & \R \\ & (x;y) &\mapsto &\sqrt{x}y
                                                \end{array}$$
sont des fonctions de Coob-Douglas. Voir leur représentation p 321.
}

\Defc{
Soit $f$ une fonction à deux variables définie sur un ensemble $I\times J$. \\
Dans un repère de l'espace, la représentation graphique de $f$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que :
$$\left\{\begin{array}{l}
          x\in I \\ y \in J \\ z=f(x;y)
         \end{array} \right.$$
On dit que cet ensemble est la surface d'équation $z=f(x;y)$.
}

\subsection{Courbe de niveau}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{CarteIGN.eps}
\end{center}
Sur les cartes topographiques IGN, chaque point peut-être repéré par sa longitude, sa latitude et son altitude par rapport au niveau de 
la mer.\\
Les points de même altitude sont reliés entre eux et forment une courbe de niveau. Celles-ci sont obtenues plus exactement ainsi :
\begin{itemize}
 \item En découpant une zone géographique par des plans horizontaux équidistants (souvent tous les 20 m)
 \item En projetant les intersections sur un plan de référence de façon à obtenir une carte.
\end{itemize}

\Rqs{
\item Le contour extérieur d'une île est la ligne de niveau $0$.
\item Des lignes serrées traduisent une forte pente (en montée ou en descente).
\item Pour faciliter la suite du chapitre, on pourra voir les plans comme des droites mises les unes à côté des autres (à la façon d'un radeau)
et les surfaces commes des lignes de niveaux mises côte à côte.
}

\Defc{Pour tout réel $k$, la section de la surface représentative d'une fonction $f$ à deux variables par le plan d'équation $z=k$ 
s'appelle la ligne (ou courbe) de niveau $k$ de $f$.}

\Exos{
n$^{\circ}$ 42 à 44 p 336 (lectures graphiques)\\
n$^{\circ}$ 45-46-48 p 337 (nature de courbes de niveau)\\
n$^{\circ}$ 50-51-61-62 p 338 (problèmes) \\
TD  2 p 328
}

\Exos{
France Métropolitaine Juin 2007 \\
Polynésie Juin 2007 \\
Nouvelle-Calédonie Novembre 2005 \\
Nouvelle-Calédonie Novembre 2004 \\
Asie Juin 2004 \\
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes


\end{document}
