\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Introduction \`a la \linebreak[2] th\'eorie des graphes}	
\newcommand{\Cl}{T$^{\circ}$ ES Sp\'ecialit\'e}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\setcounter{NumLecon}{1}


\debutCha{melancolie.eps}{Autoportrait (1937-38, complété en 1960) \fg \, et \\ \og La chanteuse mélancolique (1955)}{Joan Miro}
{Ce qui est important, ce n'est pas de finir une oeuvre, mais d'entrevoir qu'elle permette un jour de 
commencer quelque chose}{Joan Miro}{Joan Mir\`o (1893 - 1983) est un peintre, sculpteur, graveur et céramiste catalan. 
C'est l'un des principaux représentants du mouvement surréaliste. Son œuvre reflète son attrait pour le subconscient, 
pour \og l'esprit enfantin \fg\,, et pour son pays. \\
À ses débuts, il montre de fortes influences fauvistes, 
cubistes et expressionnistes, avant d'évoluer vers une peinture plane avec un certain côté naïf. 
Le tableau intitulé \textit{La ferme} (voir à la fin de ce cours), peint en 1920, est l'une des toiles les plus connues de 
cette époque.\\
À Paris, son œuvre devient plus onirique. Dans de nombreux entretiens et écrits des années 1930, Miró manifeste son désir 
d'abandonner les méthodes conventionnelles de la peinture, pour \og les tuer, les assassiner ou les violer \fg\,, 
et favoriser ainsi une forme d'expression contemporaine. 
Il ne veut aucunement se plier aux exigences ni à l'esthétique de ces méthodes, pas même dans sa démarche 
vers le surréalisme.\\
L'un de ses plus grands projets est la création à Barcelone de la \og Fondation Miró \fg\, en 1975, 
centre culturel et artistique dévolu à la présentation des nouvelles tendances de l'art contemporain. 
Elle est initialement alimentée par un important fond offert par le maître. 
}{0.55}{0.88}

\setcounter{NumLecon}{1}
\TITRE{poisson_chantant.eps}{0.8}

\begin{flushright}
 \textit{Le poisson chantant}  
\end{flushright}

\begin{Intro}{Un peu d'histoire}{
L’histoire de la théorie des graphes débute peut-être avec les travaux d’Euler au
$ XVIII^{\textrm{ème}}$ siècle et trouve son origine dans l’étude de certains problèmes, tels que celui
des ponts de Königsberg, (les habitants de Königsberg se
demandaient s’il était possible, en partant d’un quartier quelconque de la ville, de
traverser tous les ponts sans passer deux fois par le même et de revenir à leur point
de départ), la marche du cavalier sur l’échiquier (un cavalier peut-il parcourir toutes les cases d'un échiquier
 une seule fois chacune ?)
 ou le problème de coloriage de
cartes (combien de couleurs suffisent pour colorier une carte géographique de façon à ce 
que deux pays limitrophes ne soient pas coloriés de la même couleur ? ).\\
La théorie des graphes s’est alors développée dans diverses disciplines telles
que la chimie, la biologie, les sciences sociales. Depuis le début du $XX^{\textrm{ème}}$  siècle,
elle constitue une branche à part entière des mathématiques.\\
De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les connex-
ions d’un ensemble complexe en exprimant les relations entre ses éléments : réseau
de communication, réseaux routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits électriques,. . .
Les graphes constituent donc une méthode de pensée qui permet de modéliser
une grande variété de problèmes en se ramenant à l’étude de sommets et d’arcs.
Les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent effectués par des informaticiens, du fait de l’importance qu’y revêt l’aspect algorithmique.}
\end{Intro}


\section{Euler et les graphes}
\subsection{Exercices de recherche}
\Act{Les élèves cherchent les 4 problèmes ci-dessous, pendant une heure environ. \\
Peu à peu se dégage de lui-même le vocabulaire de bases (arêtes, sommets, ordre, sommets adjacents, ...). Les élèves travaillent
sans le savoir sur la notion de degré d'un sommet, graphes complets, chaîne et cycle eulérienne, le théorème d'Euler.}
\newpage

\Exop{
Peut-on parcourir une fois et une seule les arêtes des graphes ci-dessous sans lever le crayon ?}
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  \begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  &  & B \\ 
 &  & E \\ 
D &  &  &  & C 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,1}{1,5}
\ncline{1,1}{3,1}
\ncline{1,1}{2,3}
\ncline{1,5}{3,5}
\ncline{1,5}{2,3}
\ncline{3,5}{3,1}
\ncline{3,5}{2,3}
\ncline{3,1}{2,3}

\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  &  & B \\ 
 &  & E \\ 
D &  &  &  & C \\ 
 &  & F 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,1}{1,5}
\ncline{1,1}{3,1}
\ncline{1,1}{2,3}
\ncline{1,5}{3,5}
\ncline{1,5}{2,3}
\ncline{3,5}{3,1}
\ncline{3,5}{2,3}
\ncline{3,5}{4,3}
\ncline{3,1}{2,3}
\ncline{3,1}{4,3}
 \end{center}
\end{multicols}



%\Exop{\begin{itemize}
%       \item Dans une toute petite ville, il y a 7 appareils téléphoniques. 
%Est-il possible de les relier par des fils téléphoniques pour que chaque 
%appareils soit reliés à 2 autres ? 3 autres ?
% \item 8 appareils ?
 %     \end{itemize}
%}

\Exop{
Le nombre de personnes ayant vécu ou qui vivent encore sur la terre et qui ont donnée un nombre impair de poignées de 
mains est-il pair ou impair ?
}

\Exop{
Au XVIIIème siècle, les habitants de Königsberg (actuellement Kaliningrad, région de la Russie
frontalière de la Pologne et de la Lituanie) aimaient se promener le dimanche. La ville de Königsberg
comprenait 7 ponts, disposés selon le schéma ci-dessous. Le souhait des habitants de Königsberg
était de faire un trajet passant une fois et une seule par chaque pont. Comment faire ?
\begin{center}
\includegraphics{ponts.eps} 
\end{center}
}

\Exop{
Peut-on aligner tous les pions d’un jeu de domino suivant la règle du domino ? On commencera par
étudier la question avec un jeu dont les dominos comportent les chiffres jusqu'à n, pour n=2,3,4.\\
}

\subsection{Généralités}

\Defc{
\begin{itemize}
 \item Un \textbf{graphe} est un ensemble fini de points et de lignes reliant certains
de ces points.
 \item Un \textbf{sommet} du graphe est un point du graphe. Le nombre de sommets est l’\textbf{ordre} du graphe.
 \item Une \textbf{arête} du graphe est une ligne reliant deux sommets. On dit alors que les sommets sont \textbf{adjacents}.
\begin{itemize}
 \item Une arête reliant un sommet à lui-même est appelée \textbf{boucle}.
 \item Une arête orientée est appelée \textbf{arc} et est représentée par une flèche. On parle alors de \textbf{graphe orienté}.
\end{itemize}
 \item Le \textbf{degré d’un sommet} est égal au nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.8]{ex1.eps}
\end{center}
Le graphe 1 est non orienté d'ordre 5 ; les sommets A et B sont adjacents, ce qui n'est pas le cas des sommets A et C ; le sommet E est isolé ;
le degré du sommet D est 3.\\
Le graphe 2 est orienté d'ordre 7. Le sommet E est d'ordre 3.
}

\Rq{Les graphes étudiés dans ce cours seront en général des \textbf{graphes simples}, ie sans boucles et tel que entre deux sommets,
il y ait au plus une arête. On ne le précisera donc pas.}

\Exos{Declic n$^{\circ} 1-3-5-14$}

\Ptec{
La somme des degrés de tous les sommets d'un graphe est un nombre pair.
}

\Dem{Cette somme vaut le double du nombre total d'arêtes, puisque la somme des degrés d'un graphe est en fait le nombre total d'extrémités des arêtes du graphe.}

\Expl{Dans le graphe 2, il y a 7 arêtes. La somme des degrés est $4+3+2+2+3=14$.}

\Defc{Un \textbf{graphe complet} est un graphe dont tous les sommets sont adjacents 2 à 2. }

\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{ex3.eps}
 \begin{psmatrix}[mnode=circle]
 &  & A \\ 
 &  &  &   B \\ 
F &  &  &  &     C \\ 
 & E \\ 
 &  &  &  &   D 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,3}{2,4}
\ncline{2,4}{5,5}
\ncline{2,4}{3,1}
\ncline{3,5}{4,2}
\ncline{5,5}{4,2}
\ncline{4,2}{3,1}\\
\textbf{Graphe 4}
\end{center}
\end{multicols}
Le graphe 3 est complet mais pas le graphe 4 
}

\Rq{Dans un graphe complet, on constate que l'ordre de chacun des sommets est $n-1$ et que le nombre d'arêtes est $\dfrac{n(n-1)}{2}$. 
}




\Exos{Declic n$^{\circ} 6-16 (DM)-17-18-20 $ p 240}

\Exop{Représenter la situation suivante ci-dessous à l'aide d'un graphe :\\
Trois pays envoie chacun à une conférence deux espions ; chaque espoins doit espionner tous les espions des autres pays.
}

\Exop{Une ligue de football comporte 5 équipes.
\begin{itemize}
 \item Il est décidé par le bureau de la ligue que lors d'un we d'entraînement, chaque équipe jouera quatre matches
(deux équipes ne peuvent pas se rencontrer plus d'une fois). Comment l'organiser (chacun est libre de ses règles d'organisation) ?
 \item Le calendrier étant trop chargé, les organisateurs décident que chaque équipe ne jouera que trois matches. Comment l'organiser ?
\end{itemize}
}

\Exop{
M. et Mme Euler assistent à une réunion. Il y a trois autres couples dans l'assistance et plusieurs
poignées de mains sont échangées. Personne ne serre sa propre main et les époux ne se serrent pas
la main. Deux personnes quelconques de l’assemblée se serrent la main au plus une fois. M. Euler
constate que les 7 autres personnes ont échangé des poignées de mains en nombres tous distincts.
Combien de poignées de mains M. et Mme Euler ont-ils échangé avec les autres membres de la
réunion ?
}


\subsection{Théorème d'Euler}

\Defc{
Une \textbf{chaîne} est une suite d'arêtes mises bout à bout, reliant deux sommets du graphe.\\
La \textbf{longueur} d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui la composent.\\
Un graphe est dit \textbf{connexe} s'il existe une chaîne entre deux sommets quelconques de ce graphe.
}

\Expls{Donner des exemples de chaînes dans les graphes 1 et 2. \\
Le graphe 1 n'est pas connexe, le graphe 2 si.}

\Rq{Il peut arriver qu'une arête soit prise plusieurs fois.}

\Exos{n$^{\circ} 9-11$ p 240 et $5$ p 259}

\Defc{
Une \textbf{chaîne fermée} est une chaîne dont l'origine et l'extrémité sont confondues ; un \textbf{cycle} est une chaîne fermée composée d'arêtes 
toutes distinctes.
}


\Expls{Donner des exemples de chaînes fermées et cycles sur les graphes 5 et 6.
\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
  \begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  &  & B \\ 
 &  & E \\ 
D &  &  &  & C 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,1}{1,5}
\ncline{1,1}{3,1}
\ncline{1,1}{2,3}
\ncline{1,5}{3,5}
\ncline{1,5}{2,3}
\ncline{3,5}{3,1}
\ncline{3,5}{2,3}
\ncline{3,1}{2,3}
Graphe 5
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  &  & B \\ 
 &  & E \\ 
D &  &  &  & C \\ 
 &  & F 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,1}{1,5}
\ncline{1,1}{3,1}
\ncline{1,1}{2,3}
\ncline{1,5}{3,5}
\ncline{1,5}{2,3}
\ncline{3,5}{3,1}
\ncline{3,5}{2,3}
\ncline{3,5}{4,3}
\ncline{3,1}{2,3}
\ncline{3,1}{4,3}
Graphe 6
 \end{center}
\end{multicols}
}


\Defc{
Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chaque arête du graphe. Si cette chaîne est fermée,
on parle de cycle eulérien.
}

\Expls{Sur les graphes 5 et 6}

\Thc[Euler]{Un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement si ce graphe est connexe 
et le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2.\\
Un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair.}

\Dem{\textbf{Condition nécessaire pour la chaîne :}
On considère un sommet qui n'est pas une extrémité. Chaque fois que la chaîne passe par ce sommet, elle l'atteint
par une arête et en repart par une autre. Comme chaque arête est utilisée dans la chaîne une fois et une seule, chaque 
arête incidente à ce somment peut être associée à une autre arête incidente à ce même sommet. Donc tous les sommets 
sont pairs, sauf éventuellement les deux extrémités.\\
\textbf{Condition nécessaire pour le cycle :}
Un cycle est un cas particulier de la chaîne. Or le cas des extrémités de degré impair est exclu, donc le graphe ne contient 
pas de sommet impair.\\\\
\textbf{Condition suffisante pour la chaîne :}
\textit{La partie réciproque du théorème est un peu plus délicate à démontrer. Mais elle présente l'avantage de
fournir un procédé de construction d'un cycle eulérien, et à ce titre mérite peut-être d'être exposée aux
élèves sur un exemple. De plus, l'utilisation de sous-graphes est efficace pour la résolution de nombreux
problèmes, et à ce titre a valeur de méthode.}\\\\
Notons tout d'abord que la partie sur la chaîne se déduit de celle sur le cycle aisément : si deux sommets seulement sont de
degré impair, on peut les relier provisoirement par une arête et mettre en œuvre un cycle eulérien. Le cycle obtenu sera
transformé en simple chaîne par suppression de l'arête rajoutée.\\\\
Soit donc un graphe G dont tous les sommets sont de degré pair.
Choisissons un sommet $A_1$ et une arête incidente à $A_1$, puis considérons l’autre extrémité de cette arête : ce
deuxième sommet étant de degré pair, on peut en repartir par une autre arête, et atteindre un « autre »
sommet. Si ce dernier est différent de $A_1$, on peut en repartir à nouveau (car son degré est pair). Ainsi de
suite. Comme le graphe possède un nombre fini d'arêtes, la chaîne ainsi formée se referme tôt ou tard en $A_1$,
formant un cycle $C_1$.\\
Ce cycle peut être eulérien (s'il utilise toutes les arêtes du graphe). Dans le cas contraire, chacune des composantes restantes
vérifie les hypothèses du théorème : elle est finie, connexe, et ses sommets sont de degré pair. De plus,
comme le graphe G est connexe, chacune des composantes restantes peut être relié à un sommet
appartenant à $C_1$.\\
Choisissons un tel sommet $A_2$ pour une des composantes restantes : le même procédé de construction
développé plus haut permet d'obtenir un nouveau cycle $C_2$ contenant $A_2$. On peut l'insérer dans le cycle $C_1$
au niveau de $A_2$.
L'itération de ce procédé jusqu'à épuisement des arêtes, qui est certain puisque le graphe est fini, permet
d'écrire pour G un cycle eulérien.
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.82]{cycle_euler.eps}
\end{center}
}

\Rq{On n'oubliera pas de reprendre les exercices d'introduction.}


%\Exop{
%Cinq pays sont représentés ci-contre avec leurs frontières. Est-il possible de partir d'un pays et d'y revenir en franchissant 
%chaque frontière une fois et une seule ?
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{exo5.eps} 
%\end{center}
%}

\Exos{Declic n$^{\circ} 12-13-14-19$ p 260 + $46-49$ p 264}





\section{Coloriage des sommets d'un graphe}
\subsection{Exercices de recherche}
\Act{Laisser les élèves chercher les 3 exercices suivants.}

\Exop{
On trouve ci-après le graphe d'incompatibilité de six produits chimiques. Quel est le nombres de wagons nécessaires à leur transport ?
\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
 &  & P1 \\ 
P6 &  &  & P2 \\ 
 & P5 \\ 
 &  & P4 &  & P3 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,3}{2,4}
\ncline{1,3}{4,3}
\ncline{2,4}{4,5}
\ncline{2,4}{3,2}
\ncline{4,5}{4,3}
\ncline{3,2}{2,1}
\end{center}
}

\Exop{
Une chèvre, un chou et un loup  se trouvent sur la rive d'un fleuve. Un passeur souhaite les transporter sur l'autre rive
mais sa barque étant trop petite, il ne peut transporter qu'un seul d'entre eux à la fois. Comment doit-il procéder
afin de ne jamais laisser ensemble sans surveillant le loup et la chèvre, ainsi que la chèvre et le chou ?
}

\Exop{
\begin{multicols}{2}
 On veut colorer chaque pays de la carte ci-dessous de telle sorte que deux pays voisins ne soient pas
de la même couleur. Montrer qu’il faut disposer d’au moins quatre couleurs et que quatre couleurs
suffisent. (Deux pays dont les frontières n’ont qu’un nombre fini de points communs ne sont pas
considérés comme voisins).
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{carte.eps} 
\end{center}
\end{multicols}
}\\


\subsection{Couleur et graphes}
\Act{Activité 4 p 250}

\Defc{\textbf{Colorer} un graphe consiste à affecter une couleur (une lettre, un nom, une forme ...) à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets 
adjacents ne portent pas la même couleur. \\
Le \textbf{nombre chromatique} d'un graphe est le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorer.}

\Expls{Reproduire le graphe sur les produit chimiques.}\\


\Defc{Un \textbf{sous-graphe} d'un graphe $G$ est un graphe composé de certains sommets de $G$ et de toutes les arêtes qui relient ces sommets. 
}

\Expl{Un sous-graphe du graphe 4 est :
\begin{center}
 \begin{psmatrix}[mnode=circle]
 &  &  &   B \\ 
F   \\ 
 & E \\ 
 &  &  &  &   D 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{1,4}{4,5}
\ncline{1,4}{2,1}
%\ncline{3,5}{4,2}
\ncline{4,5}{3,2}
\ncline{3,2}{2,1}
\end{center}
}
 

\Defc{Un sous-graphe est stable si ses sommets ne sont reliés par aucune arête.
}

\Expl{
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.9]{graphe_stable.eps}
\end{center}
}

\Exos{n$^{\circ} 8$ p 241}

\Ptec{
Le nombre chromatique d'un graphe est supérieur ou égal à celui de chacun de ses sous-
  graphes.
}

\Dem{
Ce résultat découle de la définition même du nombre chromatique.
}



\Act{Activité 6 p 251}
\Ptec{Dans un graphe complet d'ordre $n$, le nombre chromatique $K_n$ est exactement $n$.
}

\Expls{Faire les dessins pour les graphes complets d'ordre $3$, $4$ et $5$.}\\

\Ptec[Conséquence]{
Tout graphe qui contient un sous-graphe complet d’ordre n a un nombre chromatique
supérieur ou égal à n.
}\\


\Ptec{
Le nombre chromatique d'un graphe est inférieur ou égal à $\Delta +1$, $\Delta$ étant le plus haut degré des
sommets.
}

\Dem{
Soit un graphe, et $\Delta$ le degré maximum de ses sommets. Donnons nous une palette de $(\Delta +1)$
couleurs. \\
Pour chaque sommet du graphe on peut tenir le raisonnement suivant : ce sommet est
adjacent à $\Delta$ sommets au plus, et le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces
   sommets est donc inférieur ou égal à $\Delta$. Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans
      la palette, avec laquelle nous pouvons colorer notre sommet.
}\\

\Rq{Il a été démontré que tout graphe planaire (pouvant être déssiné sans que les arêtes ne se croisent) peut être colorier en 4 couleurs 
\textit{Appel et Haken (1976)}.\\
Ce problème engendra une littérature considérable pendant près de deux siècles, et contribua largement au développement de la théorie
des graphes. Enfin en 1976, une réponse positive fut apportée par deux américains. Pour cela, ils utilisèrent
l'informatique, tant le nombre de cas à étudier est grand (1482 configurations). C'est la première fois qu'un théorème
était démontré par cette voie.\\
Aujoud'hui, on a ramené le nombre de configurations à étudier à environ 700, mais la dméonstration requiert toujours un ordinateur.}


\Cadre[Algorithme de coloration de Welsh et Powell]{
\textit{Cet algorithme couramment utilisé permet d’obtenir une assez bonne coloration d’un graphe, c’est à dire une
coloration n’utilisant pas un trop grand nombre de couleurs. Cependant il n’assure pas que le nombre de
couleurs utilisé soit minimum (et donc égal au nombre chromatique du graphe).}
\begin{enumerate}
 \item Classer les sommets du graphe dans l’ordre décroissant de leur degré, et attribuer à chacun des
sommets son numéro d’ordre dans la liste obtenue.\\
 On obtient une liste ordonnée de sommets $X_1$, $X_2$, ... $X_n$ tels que :
$$\textrm{degré} (X_1) \geq \textrm{degré} (X_2) \geq ... \geq \textrm{degré} (X_n)$$
\item En parcourant la liste dans l’ordre, attribuer une couleur non encore utilisée au premier sommet non
encore coloré, et attribuer cette même couleur à chaque sommet non encore coloré et non adjacent à
un sommet de cette couleur.
\item S’il reste des sommets non colorés dans le graphe, revenir à l’étape 2.
Sinon, la coloration est terminée.
\end{enumerate}
}

\Expl{Appliquer cette méthode au graphe suivant :
\begin{center}
 \begin{psmatrix}[mnode=circle]
2 &  & 5 &  & 6 \\ 
 & 3 &  & 7 \\ 
1 &  & 4 &  & 8 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-}
\ncline{3,1}{1,1}
\ncline{3,1}{2,2}
\ncline{3,1}{3,3}
\ncline{1,1}{2,2}
\ncline{1,1}{1,3}
\ncline{2,2}{3,3}
\ncline{2,2}{1,3}
\ncline{3,3}{1,3}
\ncline{3,3}{2,4}
\ncline{3,3}{3,5}
\ncline{1,3}{1,5}
\ncline{1,3}{2,4}
\ncline{1,5}{2,4}
\ncline{1,5}{3,5}
\ncline{2,4}{3,5}
\end{center}
}

\Exos{TD 4 p 257 + n$^{\circ} 32-34-40-41-42-44-55$ p263}


\begin{epigraphe}
 {
Humaniser l'esprit : Est-ce l'objet de l'art ?}{Miro}{Joan}
\end{epigraphe}



\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.91]{bleu.eps}
\includegraphics[scale=0.85]{ET.eps}
\includegraphics[scale=0.7]{sculpture.eps}
\includegraphics[scale=0.81]{images.eps}
\includegraphics[scale=0.7]{ferme.eps}
\end{center}

Dans l'ordre : 
\begin{multicols}{3}
 
\begin{itemize}
 \item \textit{Bleu 2} (1961)
 \item \textit{Le carnaval d'Arlequin } (1924)
 \item \textit{Femme} (1981)\\
 \item \textit{L'oiseau lunaire} (1967)
 \item \textit{La ferme} (1921-22)
\end{itemize}

\end{multicols}





\end{document}
