\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Rep\'erage dans le plan \linebreak et vecteurs}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2010-2011}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{}{
Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l'axe vertical des latitudes et l'axe 
horizontal des longitudes.\\
La position d'un bateau par exemple est définie par ses coordonnées sur la cartes, c'est-à-dire la longitude et la latitude.\\
Lorsque l'on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l'aide des axes verticaux et horizontaux du plan.\\
Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan.\\
De plus, nous allons découvrir une nouvelle transformation, et un nouvel outil essentiel, très utilisée notamment en physique : les vecteurs.
}\end{Intro}



\section{Repérage dans le plan}
\subsection{Repère et coordonnées}
\Defc{
Définir un repère du plan, c'est choisir 3 poitns non alignés, dans un ordre précis : $O$, $I$, $J$.\\
On note ce repère $(O,I,J)$, et :
\begin{itemize}
 \item Le point $O$ est l'origine du repère
 \item La droite $(OI)$ est l'axe des abscisses et le point $I$ donne l'unité de cet axe
 \item La droite $(OJ)$ est l'axe des ordonnées et le point $J$ donne l'unité de cet axe
\end{itemize}
}

\Expl{
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.7)(6.2,3.7)
\def\xmin{-2} \def\xmax{6} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{3.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(6.0000,6.0000)
\uput{0.3000}[-80.0000](0.0000,0.0000){O}
\uput{0.3000}[120.0000](2.0000,2.0000){J}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,2.0000){1}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){1}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.0000,2.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Rqs{
\item L'axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n'est pas une obligation
\item Si le triangle $OIJ$ est rectangle en $O$, le repère $(O,I,J)$ est dit orthogonal. Les axes du repères sont perpendiculaires.
\item Si le triangle $OIJ$ est rectangle et isocèle en $O$, le repère $(O;I;J)$ est dit orthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires
et ont la même unité.
}

\Defc{
On considère un repère $(O,I,J)$ du plan et un point $M$ quelconque.
\begin{itemize}
 \item En traçant la parallèle à $(OJ)$ passant par $M$, on obtient sur l'axe $(OI)$ l'abscisse $x_M$ du point $M$.
\item En traçant la parallèle à $(OI)$ passant par $M$, on obtient sur l'axe $(OJ)$ l'ordonnée $y_M$ du point $M$.
\item Le couple de réels $(x_M;y_M)$ est le couple de coordonnées du point $M$ dans le repère $(O,I,J)$.
\end{itemize}
}

\Expl{\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.8)(7,3.8)
\psplot{-2.5}{7}{(-0-1*x)/-1}
\psplot{-2.5}{7}{(-0-0*x)/-2}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,3)(4,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,0)(4,3)
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](6,0)(4,-2)
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4,-2)(-2,-2)
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--2-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--12-2*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-2-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--4-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-4-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--6-0*x)/-6}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-12-0*x)/-4}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--16-2*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--4-0*x)/-2}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-16-0*x)/-4}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-2-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(-4-1*x)/-1}
\psplot[linestyle=dotted]{-2.5}{7}{(--6-0*x)/-2}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=xdxdff](2,0)
\rput[bl](1.86,-0.5){\xdxdff{$I$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](0.82,1.24){\blue{$J$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.06,-0.46){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](4,3)
\rput[bl](4.08,3.12){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.08,-2.4){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](1,0)
\rput[bl](0.74,-0.46){\darkgray{$x_M$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](3,3)
\rput[bl](2.52,3.2){\darkgray{$y_M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6,0)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2,-2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,0)
%\rput[bl](-3.06,0.76){\blue{$N$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le point $M$ a pour coordonées $(\dots,\dots)$ et le point $A$ a pour coordonnées $(\dots;\dots)$
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 3-30 p 160
}

\subsection{Distance dans un repère orthonormé.}

\Act{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Calculer les distance $AB$, $AC$ et $BC$ en prenant comme unité le côté d'un carreau du quadrillage.
\item On choisit un repère orthonormé $(A,I,J)$ d'origine $A$ tel que $B(4;-2)$.
\begin{enumerate}
 \item Placer le repère $(A,I,J)$ sur la figure.
 \item Comparer $AB$ et $x_B^2+y_B^2$.
 \item Vérifier que l'on a une relation analogue avec le point $C$.
\end{enumerate}
\item Conjecturer une relation entre la distance $BC$ et les coordonnées des points $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(5.2,3.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.2,-3.2)(5.2,3.2)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.08,-1.88){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](2,2)
\rput[bl](2.08,2.12){\blue{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
}

\Ptec{
On considère un repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan et les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.\\
La distance entre les points $A$ et $B$ est :
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
l'unité de longueur étant celle commune aux deux axes.
}

\Dem{
On suppose que $x_B > x_A$ et $y_B > y_A$. \textit{Les autres cas se traitent de même}.\\
On note  $C$ le point tel que $x_C=x_B$ et $y_C=y_A$.\\
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on a d'après le théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$, ie :
$$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$$
Comme $AB$ est positif on a $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
}

\Expl{
\begin{center}
 $A(-2;0.5)$ et $B(2.5;3)$\\
 \psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2.0000,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3.0000)
\uput{0.2000}[130.0000](-2.0000,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90.0000](2.5000,3.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](2.500,0.5000){$C$}

\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.5000,3.0000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(2.5000,3.0000)(2.500,0.5000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$AB=\sqrt{(2.5-(-2))^2+(3-0.5)^2}=\sqrt{4.5^2+2.5^2}=\sqrt{26.5}\simeq 5.1$
\end{center}
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 15-20-21 p 161}

\subsection{Milieu d'un segment}

\Act{
Au vidéo-projecteur, sur géogébra, créer un 4 curseurs $a$, $b$, $c$ et $d$ prenant des valeurs entières comprises entre $-5$ et $5$.\\
Créer les points $A(a,b)$, $B(c,d)$ puis le milieu du segment $[AB]$.
\begin{enumerate}
 \item En utilisant les curseurs et en observant les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ dans la fenêtre \og algèbre \fg \, , compléter le tableau 
de valeurs suivant :
 $$\begin{array}{*{9}{|c}|}\hline
  A & (4;2) & (-3;1) & (0;5) & (1;-3) & (3;0) & (-5;4) & (2;-2) & (1;1) \\\hline
 B & (2;0) & (-5;-1) & (1;-3) & (3;-1) & (-4;2) & (0;0) & (-2;2) & (-3;5) \\\hline
C &	&	&	&	&	&	&	&	\\\hline
 \end{array}
$$
\item Conjecturer des relations entre les coordonnées du milieu du segment et celles de ses extrémités.
 \item \Defc{Si $x$ et $y$ sont deux nombres réels, la moyenne arithmétique de $x$ et $y$ est le réel $\dfrac{x+y}{2}$.}
Enoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres.
\end{enumerate}
}

\Ptec{
On considère dans le plan muni d'un repère $(O,I,J)$ les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.\\
Alors le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
}

\Dem{
\textbf{$1^{er}$ cas} : Si $x_A=x_B$ ou $y_A=y_B$\\
On suppose par exemple que  $y_A=y_B$ et $x_B >x_A$. Alors :
\begin{eqnarray*}
 M(x_M;y_M) \textrm{ est le milieu de }\left[ AB\right] 
&\Longleftrightarrow & y_M=y_A=y_B \textrm{ et } x_B-x_M=x_M-x_A \\
&\Longleftrightarrow & y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \textrm{ et } x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}
\end{eqnarray*}
La démonstration se traite de même si $x_B<x_A$ ou $x_B=x_A$.\\

\textbf{$2^{eme}$ cas} : Si $x_A\neq x_B$ et $y_A \neq y_B$\\
On pose $C$ le point tel que $x_C=x_B$ et $y_C=y_A$.\\
Soit $K$ le milieu de $[AC]$. D'après le théorème des milieux, la droite $(MK)$ est parallèle à $(BC)$.\\
Donc $x_M=x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2} = \dfrac{x_A+x_B}{2}$ d'après la partie $1$.\\
De même, on pose $L$ milieu de $[BC]$. On a $y_M=y_L=\dfrac{y_A+y_C}{2} = \dfrac{y_A+y_B}{2}$ 
}

\Expls{
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
$A(-1.5;1.5)$ et $B(3;1.5)$
 \psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-1.5000,1.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,1.5000)
\uput{0.1500}[90.0000](-1.5000,1.5000){$A$}
\uput{0.1500}[65.0000](3.0000,1.50000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.75000,1.5000)
\uput{0.1500}[90.0000](0.75000,1.50000){$M$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-1.5000,1.50000)(3.0000,1.5000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
$M(0.75;1.5)$

$A(-2;0.5)$ et $B(2.5;3)$
 \psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2.0000,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3.0000)
\uput{0.2000}[130.0000](-2.0000,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90.0000](2.5000,3.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](2.500,0.5000){$C$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](0.2500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40.0000](0.25000,0.5000){$K$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.5000,1.750)
\uput{0.3000}[-40.0000](2.5000,1.7500){$L$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.2500,1.750)
\uput{0.3500}[60.0000](0.2500,1.7500){$M$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2.0000,0.5000)(2.5000,3.0000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(-2.0000,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(2.5000,3.0000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(0.25000,-0.5000)(0.2500,3.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(-1.5000,1.75000)(3.500,1.75000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
$M(0.25;1.75)$
\end{multicols}
\end{center}
}

\Exos{
n$^{\circ}$ 7-8-9-11-13 p 160 
}

\section{Translation et vecteurs}

\subsection{Découverte d'une transformation : la translation}
\Act{On veut déplacer la figure $\mathscr F$ représentée ci-contre en s'appuyant sur les points 
$\textcolor{red}{A}$ et $\textcolor{red}{B}$ et suivant l'algorithme suivant :
\begin{multicols}{2}
\Cadre[Algorithme]{Pour transformer un point $\textcolor{blue}{P}$ en un point $\textcolor{vertFonce}{Q}$ 
(ou encore construire l'image $\textcolor{vertFonce}{Q}$ du point $\textcolor{blue}{P}$) il faut :\\
\begin{itemize}
 \item Construire le milieu $I$ du segment $[\textcolor{red}{B}\textcolor{blue}{P}]$ ;\\
 \item Construire $\textcolor{vertFonce}{Q}$ le symétrique du point $\textcolor{red}{A}$ par rapport à $I$.\\
\end{itemize}}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,0)(5.1,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.1,0)(5.1,7)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-2,4)(0,4)(-1,2)(-2,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-2,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(-1,2)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(-2,1)
\psline[linecolor=zzttqq](-2,1)(-2,4)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](-2,4)
\rput[bl](-1.92,4.12){\red{$A$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](2,6)
\rput[bl](2.08,6.12){\red{$B$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](-2,1)
\rput[bl](-2.38,1.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=blue](-1,2)
\rput[bl](-0.72,1.56){\blue{$M$}}
\rput[bl](-1.4,2.6){\zzttqq{$\mathscr F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{multicols}}
\begin{enumerate}
        \item 
\begin{enumerate}
 \item Construire l'image $M'$ du point $M$ par cet algorithme.
 \item Construire l'image du point $A$ par cet algorithme. 
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
\Cadre[Remarque]{On a \og transformé \fg\, le point $\textcolor{blue}{M}$ en un point $\textcolor{vertFonce}{M'}$, 
en suivant un algorithme qui transforme $\textcolor{red}{A}$ en  $\textcolor{red}{B}$.\\
La transformation décrite par l'algorithme s'appelle la \textbf{translation qui transforme $\textcolor{red}{A}$ en $\textcolor{red}{B}$}.
}
\item \begin{enumerate} 
       \item Quelle est la nature du quadrilatère $\textcolor{red}{AB}\textcolor{vertFonce}{M'}\textcolor{blue}{M}$ ? Le démontrer.
	\item En utilisant la constatation précédente, construire l'image $C'$ du point $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.	
      \end{enumerate}
\Cadre[Remarque]{
La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme le point $M$ en le point $M'$ tel que 
$\textcolor{red}{AB}\textcolor{vertFonce}{M'}\textcolor{blue}{M}$ soit un parallélogramme.\\
\textbf{Attention !} L'ordre des lettres est important !
}
\item \begin{enumerate}
      \item Représenter par une flèche le chemin rectiligne entre $M$ et son image par la translation qui transforme $A$ en $B$.
      \item Faire de même pour $C$, puis pour $A$.
      \item Conjecturer alors un algorithme plus simple pour construire l'image $\textcolor{vertFonce}{Q}$ d'un point  $\textcolor{blue}{P}$
      par la translation qui transforme $\textcolor{red}{A}$ en $\textcolor{red}{B}$.
       \end{enumerate}
\Cadre[Remarques]{
On symbolise le chemin rectiligne qui va de $A$ vers $B$ par un objet mathématique appelé \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$, 
représenté par une flèche de $A$ vers $B$.\\
On peut décrire le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par le chemin qu'il représente en utilisant le quadrillage.\\
On appelle également \textbf{translation de vecteur} $\overrightarrow{AB}$, la translation qui transforme $A$ en $B$.\\
On peut retenir que cette transformation revient à déplacer les points du même chemin que celui rectiligne qui va de $A$ vers $B$.
}
\item \begin{enumerate}
       \item En s'aidant de cette caractérisation, transformer $D$ en $D'$ par la translation de vecteur  $\overrightarrow{AB}$.
\item Conjecturer l'image $\mathscr F$ de  $\mathscr F'$ par la translation de vecter $\overrightarrow{AB}$.
      \end{enumerate}
\Cadre[Remarque]{
La translation conserve les longueurs, l'alignement et les angles.
}
%\item \begin{enumerate}
%        \item Construire l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{MM'}$.
%	\item  Que constatez-vous ?
%     \end{enumerate}
%\Cadre[Remarque]{
%On dit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MM'}$ sont égaux, car ils correspondent à la même translation 
%(donc au même chemin)
%}
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\Defc[Translation]{
Soient $\textcolor{red}{A}$ et $\textcolor{red}{B}$ deux points du plan.\\
La translation qui transforme $\textcolor{red}{A}$ en $\textcolor{red}{B}$ est la transformation qui associe à tout point 
$\textcolor{blue}{M}$
du plan l'unique point $\textcolor{vertFonce}{N}$ tel que les segments $[\textcolor{red}{B}\textcolor{blue}{M}]$ et 
$[\textcolor{red}{A}\textcolor{vertFonce}{N}]$ ont le même milieu.\\
Autrement dit, il s'agit de l'unique point $\textcolor{vertFonce}{N}$ tel que le quadrilatère 
$\textcolor{red}{AB}\textcolor{vertFonce}{N}\textcolor{blue}{M}$ soit un parallélogramme.
}




\Expls{
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-10.2,-3.2)(7.2,2.1)
\def\xmin{-10} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.5000,1.7000){$A$, $B$, et $M$ non alignés : }
\uput{0.3000}[0.0000](-9.000,-2.1000){$[BM]$ et $[AN]$ ont même milieu $I$}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.000,-2.800){$ABNM$ est un parallélogramme}
\uput{0.3000}[0.0000](-3.0000,-1.5000){$N$}
\uput{0.5000}[-15.0000](-5.0000,0.5000){$B$}
\uput{0.3000}[180.0000](-7.0000,-1.0000){$M$}
\uput{0.3000}[200.0000](-9.0000,1.0000){$A$}
\uput{0.3000}[-90.0000](-6.0000,-0.25000){$I$}
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(-3,-1.5)(-5,0.5)
 \pcline[linecolor=red,linewidth=0.7pt]{-}(-7,-1)(-9,1)
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(-3,-1.5)(-7,-1)
\pcline[linecolor=red,linewidth=0.7pt]{-}(-9,1)(-5,0.5)
\pcline[linewidth=0.5pt, linestyle=dashed]{-}(-3,-1.5)(-9,1)
\pcline[linewidth=0.5pt, linestyle=dashed]{-}(-5,0.5)(-7,-1)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2,0) 
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,0.0000){$A$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](6,0)\uput{0.5000}[-90.0000](6.000,0.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](1,0)\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){$M$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](5,0)\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,0.0000){$N$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.5,0)\uput{0.3000}[-90.0000](3.50000,0.0000){$I$}
\pcline[linewidth=0.5pt]{-}(1,0)(6,0)
\uput{0.3000}[0.0000](0.500,1.7000){$A$, $B$, et $M$ alignés : }
\uput{0.3000}[0.0000](0.00,-1.8000){$[BM]$ et $[AN]$ ont même milieu $I$}
\uput{0.3000}[0.0000](-0.500,-2.500){$ABNM$ est un parallélogramme aplati}
\endpsclip
\end{pspicture*}\\
\end{center}
}


\Rqs{
 \item L'ordre des lettres est essentiel.
\item Si les points $A$, $B$ et $M$ sont alignés, le parallélogramme $ABNM$ est aplati.
}

\Defc[Translation de vecteur]{
On associe à la translation qui transforme $A$ en $B$ le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$, qui symbolise le déplacement 
rectiligne de $A$ vers $B$. \\
On appellera désormais cette transformation la \textbf{translation de vecteur} $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$.
On notera $t_{\overrightarrow{AB}}$.
}



\Expls{
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-10.1,-3.7)(7.1,3)
\def\xmin{-10.1} \def\xmax{7.1} \def\ymin{-3.7} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7.1,2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](-8.500,2.50000){$A$, $B$, et $C$ non alignés}
\uput{0.3000}[0.0000](-9.00,-3.6000){$ABDC$ est un parallélogramme}
\uput{0.3000}[-30.0000](-3.0000,-1.0000){$A$}
\uput{0.5000}[-15.0000](-5.0000,1.0000){$B$}
\uput{0.3000}[150.0000](-7.0000,-2.0000){$C$}
\uput{0.3000}[200.0000](-9.0000,0.0000){$D$}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(-3,-1)(-5,1)
 \pcline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(-7,-2)(-9,0)
\pcline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(-3,-1)(-7,-2)
\pcline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-}(-9,0)(-5,1)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=green](2,0) \uput{0.3000}[-70.0000](2.0000,0.0000){$A$}
\psdot(6,0)\uput{0.5000}[-70.0000](6.000,0.0000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5,linecolor=cyan](1,0)\uput{0.3000}[70.0000](1.0000,0.0000){$C$}
\psdot(5,0)\uput{0.3000}[70.0000](5.0000,0.0000){$D$}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(2,0)(6,0)
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=cyan]{->}(1,0.05)(5,0.05)
\uput{0.3000}[0.0000](1.2,2.5){$A$, $B$, et $C$ alignés}
\uput{0.3000}[0.0000](0,-3.60){$ABDC$ est un parallélogramme aplati}
\endpsclip
\end{pspicture*}\\
\end{center}
}

\Rqs{
\item Le mot vecteur vient du latin  \og vector \fg, d\'eriv\'e du verbe \og vehere \fg, qui signifie transporter. Un vector d\'esigne donc un v\'ehicule, par exemple à l'époque un chariot. 
\item Si les points $A$ et $B$ sont confondus, tout point $M$ est confondu avec son image par la translation. 
Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est
appelé vecteur nul et on note $\overrightarrow{AA}=\vec 0$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 1-2 p 204}

\subsection{Caractérisation des vecteurs}

\Act{\\
On donne les points $A(3,-1)$ , $B(0,2)$, $C(-2,-2)$ et $D(2,1)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.
\begin{enumerate}
\item Placer ces points dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.
\item \begin{enumerate}
\item  Placer $F$, l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}$.
 \item Donner la nature du quadrilatère $ADFC$.
 \item Placer $G$, l'image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}$.
 \item En déduire un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Placer $H$, l'image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CF}$.
 \item Que constatez-vous ?
\item Placer $K$, l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DA}$.
\item Comparer les vecteurs $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{CK}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item Lire le coefficient directeur des droites $(AD)$, $(CF)$, $(BG)$ et $(CK)$.
 \item Calculer les longueurs $AD$, $CF$, $BG$ et $CK$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Ptec[Egalité de vecteurs]{Soient A, B, C et D quatre points avec A et B distincts. \\
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si 
\begin{itemize}
 \item[$\iff$] $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
 \item[$\iff$] $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu
 \item[$\iff$] $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati.
\item[$\iff$] $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur.
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item  Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, par exemple $\vec u$. On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du vecteur $\vec u$.
\item Ainsi, un vecteur  est ind\'ependant de son origine, seul compte le trajet entre son départ et son arrivée.}

\Expls{
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-2)(3.1,3)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7.1,3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-150.0000](3.000,0){$A$}
\uput{0.3000}[200.0000](1.0000,2){$B$}
\uput{0.3000}[-150.0000](-1.0000,-1.0000){$C$}
\uput{0.3000}[200.0000](-3.0000,1.0000){$D$}
\uput{0.3000}[180.0000](-5.0000,1.0000){$\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(3,0)(1,2)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-1,-1)(-3,1)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-4,0)(-6,2)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{
Associer \`a chaque \'egalit\'e vectorielle la phrase correspondante, et illustrer chaque cas par un schéma  :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}$ 
\item $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$
%\item $ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DB}$
\item $ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}$
\item[$(a)$] $ABCD$ est un parall\'elogramme
\item[$(b)$] $ABDC$ est un parall\'elogramme
\item[$(c)$] $D$ est le milieu de $[AB]$
%\item[$(d)$] $ADBC$ est un parall\'elogramme
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Defc[Vecteur opposé]{
Le vecteur opposé au vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur associé à la translation qui transforme $B$ et $A$. \\
C'est le vecteur $\overrightarrow{BA}$, aussi noté $-\overrightarrow{AB}$.
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-2)(3.1,3)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.2,-4.2)(4.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7.1,3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-150.0000](3.000,0){$A$}
\uput{0.3000}[200.0000](1.0000,2){$B$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.7,0.5){$-\vec u$}
\uput{0.3000}[200.0000](2.2,0.8){$-\overrightarrow{AB}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-4.3000,1.5){$\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{<-}(3,0)(1,2)
 \pcline[linewidth=1pt]{<-}(-1,-1)(-2,2)
 \pcline[linewidth=1pt]{->}(-4,0)(-5,3)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rqs{
\item Le vecteur nul n'a ni direction, ni sens et sa longueur vaut $0$.
\item Deux vecteurs sont oppos\'es lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme longueur, mais des sens oppos\'es\\
}


\Exos{n$^{\circ}$ 5-6-7-10 p 204}

%\newpage
\section{Opérations sur les vecteurs}
\subsection{Somme de vecteurs}

\Act{
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-4)(11.1,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.1,-5)(11.1,8)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,3)(4,1)(-1,0)
\psline{->}(2,6)(4,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(4,1)
\psline[linecolor=zzttqq](4,1)(-1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,0)(0,3)
\psline{->}(4,2.98)(8,4)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](4.18,1.12){\blue{$E$}}
\rput[bl](-1.36,-0.3){\blue{$F$}}
\rput[bl](2.08,6.12){\blue{$A$}}
\rput[bl](4.,2.5){\blue{$B$}}
\rput[bl](8.08,4.12){\blue{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant le quadrillage, construire sur la figure ci-dessus :
\begin{enumerate}
 \item L'image $D_1$ du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
 \item L'image $D_2$ du point $D_1$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
 \item Faire de même avec les points $E$ et $F$.
\end{enumerate}
 \item Quelle semble être la nature de la transformation qui transforme le triangle $DEF$ en $D_2E_2F_2$ ? \\
Préciser son vecteur.
\end{enumerate}
 \Cadre[Relation de Chasles]{
On dit que le vecteur de la translation obtenue en appliquant successivement les translations de vecteur $\overrightarrow{AB}$ 
et $\overrightarrow{BC}$, est \textbf{la somme des vecteurs} $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$. \\
Cette somme est notée $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ et est égale au vecteur $\overrightarrow{AC}$
}
}


\Defc[Somme de vecteurs]{
La \textbf{somme de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant
 de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On le note $\vec u + \vec v$.\\
Autrement dit, pour tous points $A$, $B$ et $C$, le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est le vecteur associé à la translation 
obtenue en appliquant successivement la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
puis celle de vecteur $\overrightarrow{BC}$. 
}

On en déduit immédiatement le résultat suivant.\\

\Ptec[Relation de Chasles]{
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
}

\Rqs{
\item On retiendra que pour un vecteur, les \og détours \fg\, ne comptent pas. \\
Ainsi, aller de $A$ en $B$, puis de $B$ en $C$ revient à aller directement de $A$ en $C$.
\item L'addition de vecteurs possède les mêmes propriétés que l'addition de réels (associativité, communativité, élément neutre).
}

\Cadre[Méthode de constructions]{
Soit $A$ un point donné quelconque. Pour construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\vec u + \vec v$ on peut procéder ainsi : 
\begin{enumerate}
 \item On place $N$ tel que $\overrightarrow{AN}=\vec u$, ie qu'on reporte $\vec u$ au départ de $A$ et on arrive en $N$.
\item Puis on place le point $C$ tel que $\overrightarrow{BC}=\vec v$, ie qu'on reporte $\vec v$ au départ de $N$ et on arrive en 
le point $M$ cherché.\\
\textit{\og On dispose bout à bout les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ en partant du point de départ.\fg }
\end{enumerate}
}\\


\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec u + \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(4.2,2.0)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{2.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-1.2)(4.2,2.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.3,-2.4)(8.76,5.3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=*](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](0.5000,-0.5000){$\vec v$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,1.0000){$\vec u$}
\uput[ul](0,0){$A$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
%\item Montrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{DB})=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ \newline

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.7,-2.2)(4.2,1.2)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.7,-2.2)(4.2,1.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.3,-2.4)(8.76,5.3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[-40.0000](2.0000,1.000){A}
\uput{0.3000}[30.0000](3,0.0000){D}
\uput{0.3000}[-20.0000](3.0000,-1.000){C}
\psline{<-}(0.0000,0.0000)(2.0000,1.000)
\psline{<-}(3,0.0000)(3.0000,-1.000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 %\item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Expl{
Montrer que pour tous points $A$, $B$, $C$ et $D$ on a : 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+(-\overrightarrow{DB})=\vec 0$
}

%\Expl{$EFGH$ est un rectangle de centre $I$. 
%\begin{enumerate}
% \item Construire le représentant d'origine $G$ du vecteur $\vec u= \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{FG}$.
% \item Démontrer que $\vec u = \overrightarrow{EI}$.
%\end{enumerate}
%}


\Exos{n$^{\circ}$ \textbf{24}-25-\textbf{26}-27-29-30 p 206
}

\subsection{Conséquences}
\Defc[Différence de vecteurs]{
La diff\'erence de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur not\'e $\vec u -\vec v $ obtenu en ajoutant \`a $\vec u$ l'oppos\'e de $\vec v$.\\
Autrement dit, on a $\vec u -\vec v =\vec u +(-\vec v) $. 
}

\Expls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Construire $M$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec u - \vec v $ sur le sch\'ema ci-dessous :\newline

\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-4.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-4} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.3,-6.4)(8.76,8.3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,-1.0000){$\vec v$}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,2.0000){$\vec u$}
\uput[ul](0,0){$A$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
%\item Montrer que pour tous points A, B, C et D on a : $-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\vec 0$
 \item Construire $E$ sur le sch\'ema ci-dessous tel que $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$\\

\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{8} \def\ymin{-4} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-4.2)(8.2,3.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.3,-6.4)(8.76,8.3)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,2.000){B}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,-3.0000){D}
\psline{->}(0.0000,0.0000)(4.0000,2.000)
\psline{->}(-1.0000,-2.0000)(2.0000,-3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
 %\item Placer sur le m\^eme sch\'ema le point $M$ v\'erifiant $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\

\Expl{
Montrer que pour tous points E, F, G et H on a : 
$-\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{HG}-\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{FH}=\vec 0$
}


\Defc[Produit d'un vecteur par nombre réel]{
%Soit $n\in\N$.\\
%Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $n$ est le vecteur not\'e $n\vec u$. Il est définit comme la somme du vecteur $\vec u$, $n$ fois.\\
%Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $-n$ est le vecteur not\'e $-n\vec u$. C'est le vecteur opposé de $n\vec u$. \\
%On étend cette définition au nombre réel. 
Soit $k\in\R^*$.
Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$. Il est définit le vecteur ayant :
\begin{itemize}
 \item la même direction que $\vec u$
 \item le même sens que $\vec u$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$.
 \item une norme égale à $k$ fois celle de $\vec u$. 
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Les droites portées par les vecteurs $\vec u $ et $k\vec u$ sont parallèles (strictement ou confondues).
\item On note $||\vec u || = |k| \vec u $ où $|k|$ désigne la distance à $0$ du nombre $k$ (c'est donc un nombre positif). Ce nombre $|k|$ s'appelle valeur absolue de $k$. 
\item Si $k=0$, on pose $k\vec u = \vec 0$
\item  Si $k\in\N$, cela revient à ajouter $k$ fois le vecteur $\vec u$.
}

%\Expl{
%Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $1.5$ cm.
%\begin{enumerate}
% \item Placer le point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=4 \overrightarrow{AB} $
% \item Placer le point $E$ tel que $\overrightarrow{AE}= -3 \overrightarrow{AB} $
% \item Placer le point $F$ tel que $\overrightarrow{AF}= 2 \overrightarrow{BC} $
%\end{enumerate}
%}\\


\Expl{
Le segment $[AB]$ est divis\'e en six parties de m\^eme longueur.}
\begin{center}
\vspace{-1cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(0.3,-0.2)(7.7,1.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](0.3,-0.2)(7.7,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](7.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](4.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,0.0000){F}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,0.0000){G}
\psline(1.0000,0.0000)(7.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](7.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](4.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](5.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](6.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Compl\'eter les relations suivantes par la lettre qui convient :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $\overrightarrow{E\dots}=-2\overrightarrow{EF}$
 \item $\overrightarrow{C\dots}+\overrightarrow{\dots G}=\vec 0$
 \item $\overrightarrow{AB}=-6\dots\dots$\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Compl\'eter les relations suivantes par le nombre qui convient :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item $\overrightarrow{AB}=\dots\overrightarrow{CE}$
 \item $\overrightarrow{AD}=\dots\overrightarrow{BF}$
 \item $\overrightarrow{BF}=\dots\overrightarrow{DE}$
 \item $\overrightarrow{CD}=\dots \overrightarrow{AB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\Exos{n$^{\circ}$ 34-35-40-41-42-43 p 206
}
\section{Coordonnées d'un vecteur}

\Act{}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-4.2)(7.2,5.2)
\def\xmin{-4} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(7,5)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[45.0000](6.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[45.0000](3.0000,3.0000){B}
\uput{0.3000}[45.0000](-3.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[45.0000](0.0000,-2.0000){D}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(6,-1)(3,3)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,-2)(0,-2)  
\endpsclip
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](0.7,-0.1){\small $I$}
 \uput[dl](-0.1,0.8){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Construire sur la figure ci-dessus :
\begin{enumerate}
 \item L'image $M_1$ de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$\\
Quelles sont les coordonnées de $M_1$ ? \\
Quel lien pouvez-vous faire avec le vecteur $\overrightarrow{OM_1}$ ? avec le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?
 \item L'image $M_2$ de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$\\
Quelles sont les coordonnées de $M_2$ ? \\
Quel lien pouvez-vous faire avec le vecteur $\overrightarrow{OM_2}$ ? avec le vecteur $\overrightarrow{CD}$ ?
\end{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant avec les coordonnées :\\\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
 Point de départ & $A(\dots; \dots )$ & $C(\dots; \dots )$ & $B(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$ & $C(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$ \\ \hline
Point d'arrivée & $B(\dots; \dots )$ & $D(\dots; \dots )$& $A(\dots; \dots )$& $A(\dots; \dots )$ & $B(\dots; \dots )$  & $B(\dots; \dots )$ \\\hline
& & & & & & \\
Vecteur associé & $\overrightarrow{AB}(\dots; \dots )$& & &  & &  \\\hline
\end{tabular}\\\\
\item Conjecturer une formule sur les coordonnées de $A$ et $B$ pour trouver celle du vecteur $\overrightarrow{AB}$
\end{enumerate}


A partir de maintenant, on munit le plan d'un repère.
\Defc{Soit $\vec u $ un vecteur du plan.
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
}

\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item Celles-ci sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item Bien souvent, au lieu de noté $(O;I;J)$ un repère, on notera $(O; \vec i; \vec j)$ avec $\vec i =\overrightarrow{OI}$ et $\vec j =\overrightarrow{OJ}$.\\
Il s'agit d'un rep\'erage en deux dimensions (\'evoquer la droite et l'espace).
}

\Expl{
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-4.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-5} \def\xmax{4} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-4)(4,4)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pcline{->}(3,-1)(0,3)
\pcline{->}(-2,-3)(1,-1)
\pcline{->}(-4,-1)(-1,1)
\uput{0.3000}[45.0000](3.0000,-1.0000){A}
\uput{0.3000}[150.0000](0.0000,3.0000){B}
\uput{0.3000}[110.0000](-2.0000,-3.0000){C}
\uput{0.3000}[45.0000](1.0000,-1.0000){D}
\uput{0.3000}[110.0000](-4.0000,-1.0000){E}
\uput{0.3000}[45.0000](-1.0000,1.0000){F}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\endpsclip
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](0.7,-0.1){\small $\vec i$}
 \uput[dl](-0.1,0.8){\small $\vec j$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Sur cette figure, on a $\overrightarrow{AB}(-3;4)$, $\overrightarrow{CD}(3;2)$ et $\overrightarrow{EF}(3,2)$}


\Ptec{
Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u ( x ; y) = \vec v ( x' ; y') \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
}

\Dem{Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$.\\
On pose $\vec u=\overrightarrow{OM}$ et $\vec v=\overrightarrow{OM'}$.\\
Ainsi $\vec u = \vec v$ ssi $M=M'$, c'est-à-dire que $M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées. 
Autrement dit $\vec u$ et $\vec v$ ont les mêmes coordonnées.
}
\Expl{Dans l'exemple précédent, on a donc $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$}

\Ptec{
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$$
}

\Dem{
Dans un repère $(O; \vec i ;\vec j)$, on note $M$ le point tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}$.\\
Alors $[AM]$ et $[OB]$ ont le même milieu $I$.\\
D'où $x_I=\dfrac{x_B}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_B}{2}$ et $x_I=\dfrac{x_A+x_M}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_M}{2}$.\\
On en déduit que $\dfrac{x_A+x_M}{2}=\dfrac{x_B}{2} \Longleftrightarrow x_A+x_M=x_B \Longleftrightarrow x_M=x_B-x_A$.\\
De même on trouve $y_M=y_B-y_A$.\\
Donc $\overrightarrow{OM}(x_B-x_A;y_B-y_A)$. Comme $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}$ on a aussi $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$
}\\

\Expl{
Soient $A(2;3)$ et $B(5;-4)$. Alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonn\'ees $(3;-7)$.
}

\Defc[Norme]{
La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee norme. C'est un donc nombre positif ou nul. \\
On le note $||\vec u||$. En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$.
}

\Ptec{
Soit $\vec u(x;y)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. Alors $$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
En particulier, on a pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ : 
$$||\overrightarrow{AB}||=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
}

\Expl{
Dans l'exemple pr\'ec\'edent,on avait $\overrightarrow{AB}(3;-7)$. Donc dans un repère orthonormé on a  
$$||\overrightarrow{AB}||=AB=\sqrt{3^2+(-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$$
}

\Exos{n$^{\circ}$ \textbf{12-14}-15-17-18 p 205
}

\subsection{Opérations et coordonnées}

\Ptec{
Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et $k$ un nombre réel. Si $\vec u ( x ; y)$ et $\vec v ( x' ; y')$ alors :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $( x+x' ; y+y' )$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $( kx ; ky  )$
\end{center}
}


\Expl{
On donne les points $A(-3;1)$, $B(5;2)$ et $C(0;-1)$.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees du vecteur $\vec u = \overrightarrow{OA} + 1.5 \overrightarrow{OB}$ 
\item D\'eterminer les coordonn\'ees du vecteur $\vec v = 5 (\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{OC})$
 \item D\'eterminer les coordonn\'ees du point $M$ d\'efini par $\overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$
\end{enumerate}
}\\

\Exos{n$^{\circ}$ 20-\textbf{21}-22 p 205 (addition)\\
\textbf{31-32}-34-36-40 p 206
}

\section{Droites et colinéarité}
\subsection{Vecteurs colinéaires}
\Act{Soit $(O; \vec i; \vec j)$ un repère du plan..\\
Soient cinq points $A(2;5)$, $B(-1,4)$, $C(8;7)$, $D(0;-4)$ et $E(4.5;-0.5)$
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma.
\item \begin{enumerate}
       \item Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{ED}$.
     \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{ED}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(ED)$ ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item  Trouver les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
     \item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
      \item Que peut-on en déduire sur la direction de ces deux vecteurs ? sur les droites $(AB)$ et $(AC)$ ?
	\item Que peut-on alors en déduire pour les points $A$, $B$ et $C$ ?\\
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Defc{
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
}

\Thc{
Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colin\'eaires ssi il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$.\\
Autrement dit, les vecteurs $\vec u \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ et 
$\vec v \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$ sont colin\'eaires ssi  leurs coordonnées sont proportionnelles.
}

\begin{multicols}{2}
 \Expl{
Citer des vecteurs colin\'eaires de la figure ci-dessous et traduire par une relation vectorielle :} %\vspace{-1cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{9} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-3.2)(9.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-3)(9,6)
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[90.0000](1.0000,4.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,4.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[110.0000](5.0000,0.0000){D}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](4.5000,-2.0000){F}
\psline{->}(1.0000,4.0000)(0.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,0.0000)(6.0000,4.0000)
\psline{->}(6.0000,4.0000)(4.5000,-2.0000)
\psline{->}(4.5000,-2.0000)(8.0000,0.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
 

\Expls{
$\vec u \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c} 4.5 \\ 6  \end{array} \right)$ sont-ils colin\'eaires ? 
\quad M\^eme question pour $\vec s \left(\begin{array}{c} 3 \\ 4  \end{array} \right)$ et $\vec g \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2  \end{array} \right)$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 46-47 p 207}

\subsection{Application à la géométrie}

\Ptec{Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
}

\Corc{Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Expl{
On donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

}

\Expl{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que A, M et N sont align\'es.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 49-50-51 p 207 + 38 p 182}

\subsection{Equation de droite}

\Act{}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-3)(7,4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[ur](4,-3){$d$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Soit la droite $d$ représentée ci-dessus. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer graphiquement la fonction affine qu'elle représente.
 \item Dire si les points suivants appartiennent à $d$ ou non.
$$A\left(-1 ; \dfrac{5}{3} \right) \qquad B\left(100 ; -\dfrac{197}{3} \right) \qquad  C\left(0;\dfrac{1}{3} \right)  \qquad D(-3;3) $$
 \item Calculer l'ordonnée du point $E$ d'abscisse $0$ appartenant à $d$.
 \item Calculer l'abscisse du point $F$ d'ordonnée $1$ appartenant à $d$.
 %\item Calculer les coordonnées des points $G$ et $H$ d'intersection de $d$ avec les axes du repère.
\end{enumerate}
 %\item Soit la fonction affine $f$ telle que $f(4)=1$ et $f(0)=5$.  
%\begin{enumerate}
% \item Déterminer  l'expression algébrique de $f$.
% \item Quelle est sa courbe représentative (géométriquement ) ?
% \item La tracer dans le repère ci-dessus.
%  \item Quelle son équation ?
%\end{enumerate}
 \item Soit $d'$  la droite passant par $K(3;2)$ et de coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$. 
\begin{enumerate}
 \item Tracer $d'$ dans le repère ci-dessus.
 \item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection de $d'$ avec l'axe des ordonnées.
 \item En déduire la fonction affine que $d'$ représente, puis l'équation de $d'$.
\end{enumerate}
 %\item Toutes les droites du plan sont-elles représentatives de fonction affine ?
\item Soient $A(2;0)$, $B(2;-15)$ et $E(2;2010)$.  
\begin{enumerate}
 \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
 \item La droite $(AB)$ est-elle représentative d'une fonction affine ?
 \item Soit $M(x;y)$ un point du plan. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur ses coordonnées pour que $M \in(AB)$.
 \item Construire dans le repère les droites d'équation $x=0$, $x=-3$ et $x=\frac{7}{2}$.
% \item Soit $c\in\R$ et $C(c;0)$. Donner une équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par $C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Rq{
Dans le plan muni d'un repère, une droite peut être :
\begin{itemize}
 \item Soit parallèle à l'axe des ordonnées,
 \item Soit sécante à l'axe des ordonnées : c'est alors la courbe représentative d'une fonctin affine.
\end{itemize}
}

\Ptec{\begin{itemize}
       \item Une droite $d$, parallèle à l'axe des ordonnées a une équation du type $x=c$, où $c\in\R$.
      \item Une droite $d$ sécante à l'axe des ordonnées a une équation de la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont des nombres réels.
      \end{itemize}
%Finalement, on peut toujours écrire l'équation d'une droite sous la forme $ax+by=c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
}

\Rq{Cela signifie qu'un point $A(x_A;y_A)$ appartient à $d:y=mx+p$ si et seulement si $mx_A+p=y_A$ %(ou si et seulement si $ax+by=c$).
}

\Defc{Une équation de la droite $d$, de la forme $y=mx+p$ est appelée \textbf{équation réduite} de $d$, $m$ son \textbf{coefficient directeur}
 et $p$ son \textbf{ordonnée à l'origine}.\\
%Une équation de la droite $d$, de la forme $ax+by=c$ est appelée \textbf{équation généralisée} de $d$.
}

\Rq{
L'équation réduite d'une droite est unique.
}

\Ptec{Deux droites d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles ssi $m=m'$.\\
Si deu xplus, $p=p'$, alors elles sont confondues.\\
Deux droites d'équation $x=c$ et $x=c'$ sont toujours parallèles (puisque toutes deux parallèles à $(Oy)$.
}

\Expl{Les droites d'équation $y=36.5x-54$ et $y=36.5x+\pi$ sont parallèles.
}

\Ptec[Défintion]{
Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ deux points.\\
Alors on dit que le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                                       x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                                      \end{array}\right)$ est \textbf{un vecteur directeur} de la droite $(AB)$.\\
De plus, si $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse (ie $x_A \neq x_B$ ou encore $(AB)$ non parallèle à l'axe des ordonnées) alors le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est 
$$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
}

\Rq{On retrouve la fait que deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteur directeur sont colinéaires, puisque ceci équivaut à ce que
leurs coordonnées soient proportionnelles.
}

\Expl{Soient $A(-1,3)$ et $B(4,13)$. On constate de suite que $x_A \neq x_B$ donc $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées
et son équation est du type $y=mx+p$.\\
On commence alors par chercher son coefficient directeur : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{13-3}{4-(-1)}=2$.\\
Donc on sait que $y=2x+p$.\\
On cherche maintenant l'ordonnée à l'origine $p$. Pour cela, on utilise le fait que $A\in(AB)$.\\
En effet, on sait donc que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite $(AB)$, ie 
$$y_A=2 \times x_A + p \iff 3 = 2 \times (-1) +p \iff 3=-2+p \iff p=5$$
Finalement, on a $(AB):y=2x+5$
}

\Exos{n$^{\circ}$ 1-2-7-9-10-12-20-21-22-23-24-26-27 p180 }

\subsection{Intersection de droites}

\Ptec{
Soient deux droites $d$ et $d'$ d'équation $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$.\\
Les coordonnées de leur point d'intersection vérifient alors les deux équations de droite.\\
Autrement dit, ce sont les solutions du système 
$$\left\{\begin{array}{c}
          y=mx+p \\ y=m'x+p'
         \end{array}\right.$$
}

\Expl{Soient $d:y=2x-3$ et $d':y=-x+3$. On voit de suite que $m\neq m'$ donc les droites ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point.\\
Pour trouver les coordonnées de ce point, on résout :
$$\left\{\begin{array}{c}
          y=2x-3 \\ y=-x+3
         \end{array}\right.
$$
On en déduit $2x-3=-x+3 \iff 3x=6 \iff x=2$.\\
Et comme $y=2x-3$ on trouve $y=1$.
Donc le point d'intersection de $d$ et $d'$ est le point de coordonnées $(2;1)$
}
\Rqs{
\item On aurait tout aussi bien pu trouver $y$ à partir de la deuxième équation.
\item Lorsque les droites sont parallèles strictement, le système n'a pas de solution.
\item Lorsque les droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 29-31-32-33-34 p 181}

%%%%% Exo DS : 57 p 197 + 66 p 198 + 78-82-83 p 200 + 93 p 201
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes



\end{document}

