\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Fonctions de R\'ef\'erence}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2010-2011}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Nous avons déjà entrevu ce que sont les fonctions. 
Dans ce chapitre, nous allons étudier l'ensemble de définition, les variations et le signe de certaines fonctions dites \og de référence \fg \,. 
Il s'agit de fonctions plutôt simples à partir desquelles on en construit
de nouvelles, plus complexes, mais dont les propriétés seront mises en évidences grâce aux fonctions de référence.
}\end{Intro}



Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé du plan.
\section{Fonctions de Référence}
Dans toutes cette partie, $a$ et $b$ désignent deux r\'eels fixés. 

\subsection{Définition}


\subsubsection{Fonction carré $x\mapsto x^2$}

\Defc{On appelle fonction carr\'e la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2$.}\\

\Rq{La fonction carr\'ee ne poss\`ede ni quotient, ni racine, elle est d\'efinie sur $\R$.}

\Exos{2-3-4-5-6 p 84 (images) + 8-10 p 84 (antécédents)}

\subsubsection{La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ }

\Defc{On appelle fonction inverse la fonction d\'efinie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.}\\

\Rq{La fonction inverse poss\`ede un quotient, mais pas racine. 
Son quotient existe d\`es que $x\neq 0$ donc elle est d\'efinie sur $\R^*$.}

\Exos{26 à 28 p 85 + 30 - 31 p 86}



\subsubsection{Les fonctions affines}

\Defc{
On appelle \textbf{fonction affine} toute fonction dont l'expression alg\'ebrique est de la forme $f(x)=ax+b$. }

\Rqs{
\item L'expression alg\'ebrique d'une fonction affine ne comporte ni quotient, ni racine.\\
Son ensemble de d\'efinition est donc $\R$.
\item Les fonctions affines pour lesquelles $b=0$, donc du type $f(x)=ax$ sont appelées fonctions linéaires.
 \item Les fonctions affines pour lesquelles $a=0$, donc du type $f(x)=b$ sont appelées fonctions constantes.}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fct_affine.eps}
\end{center}

\Expls{
Les fonctions $ f : x \mapsto 3x+2$,\quad  $g:x\mapsto -\pi x+\dfrac{2}{3}$, \quad $h : x \mapsto x$ \quad et \quad $k:x\mapsto 3$ sont affines. \newline
Les fonctions $ l : x \mapsto 3x^2+2$ \quad et \quad $ m : x \mapsto \dfrac{3}{x}+2$ ne le sont pas.\\
}


\Expl{Trouver la fonction affine telle que $f(1)=3$ et $f(-2)=-1$.\newline
$f$ est une fonction affine ce qui \'equivaut \`a dire qu'il existe deux r\'eels $a$ et $b$ tels que 
pour tout $x$ de $\R$, $f(x)=ax+b$. On a : 
$$\left\{\begin{array}{l}
          f(1)=5 \\ f(-2)=-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
 \left\{\begin{array}{l}
          a\times 1 + b = 5 \\ -2a+b=-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          b=5-a \\ -2a+(5-a) =-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          b=5-a \\ -3a=-6
         \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          a=2 \\ b=3
         \end{array}\right.
$$
La fonction affine $f$ v\'erifiant $f(1)=5$ et $f(-2)=-1$ est $f:x\mapsto 2x +3$.\\
\textit{Vérification} : L'image de $-2$ par $f$ est $f(-2)=2 \times (-2) + 3 = -1$ et l'image de $1$ est $f(1)=2 \times 1 + 3 = 5$. 
}

\Exop{
D\'eterminer la fonction affine $f$ telle que $f(-2)=9$ et $f(3)=-11$.
}


\subsection{Sens de variation}
 \subsubsection{Fonction carré}

\Act{
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item On considère $a$ et $b$ sont positifs. Etudier le signe de $a^2-b^2$.
 \item En déduire que $0\leq a^2 < b^2$. \\
       Que pouvez-vous en conclure sur le sens de variation de la fonction $x \mapsto x^2$ sur les positifs ?
 \item Démontrer que si $a$ et $b$ sont négatifs, alors $0\leq a^2 < b^2$
       Que pouvez-vous en déduire sur le sens de variation de la fonction $x \mapsto x^2$ sur les négatifs ?
 \item Trouver un exemple pour $a<0$ et $0<b$ tels que $a^2 < b^2 $.\\
       Trouver un exemple pour $a<0$ et $0<b$ tels que $a^2 > b^2 $.\\
       Que pouvez-vous en déduire sur la comparaison des carrés de deux nombres de signe différent ?
\end{enumerate}
}

\Ptec{La fonction carr\'ee est strictement d\'ecroissante sur $]-\infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.}

On peut alors dresser le tableau de variations de la fonction carr\'ee :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'apr\`es le tableau de variations, la fonction carr\'ee admet 0 comme minumum sur $\R$, atteint en 0.\newline

\Expl{Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer : 
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item $(2.3)^2$ et $(2.15)^2$
 \item $(-1.002)^2$ et $(-0.999)^2$
 \item $\pi^2$ et $(\pi-1)^2$
 \item $(2-\sqrt{7})^2$ et $(2-\sqrt{5})^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exos{16-17-18-19-20-21 p 84-85}

\subsubsection{Fonction inverse}

\Act{Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}$
 \item Etudier le signe de $\dfrac{b-a}{ab}$.
 \item En déduire l'ordre de $\dfrac{1}{a}$ et $\dfrac{1}{b}$.
\end{enumerate}
}

\Ptec{La fonction inverse est strictement d\'ecroissante sur $\R^{*-}$ et strictement d\'ecroissante sur $\R^{*+}$.}
\Dem{
Voir l'activité pour les positifs. On procède de même sur les négatifs.
}

On peut alors dresser le tableau de variations de la fonction inverse :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-D+/,-/}
\end{tikzpicture}

\end{center}

D'apr\`es le tableau de variations, la fonction inverse n'admet pas d'extremum sur $\R^*$.


\Expl{Dans chaque cas, comparer les nombres suivants sans les calculer :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\dfrac{1}{-0.012}$ et $\dfrac{1}{-0.099}$
\item $\dfrac{1}{\pi -3}$ et $\dfrac{1}{0.21}$
\item $\dfrac{1}{\pi -3}$ et $\dfrac{1}{-0.21}$
 \item $\dfrac{1}{2-\sqrt{7}}$ et $\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exos{36 à 42 p 86}


\subsubsection{Fonctions affines}
\Act{22 p 69}


\Ptec{Soit $f$ une fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Si $a<0$, alors $f$ inverse l'ordre $\R$, ie $f$ est strictement décroissante sur $\R$
\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\R$
\item Si $a>0$, alors $f$ est conserve l'ordre sur $\R$, ie $f$ est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate}
}

\Dem{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $x<y$. On cherche à savoir si $f(x)=ax+b$ et $f(y)=ay+b$ sont dans le même ordre. 
$$ \begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a<0}}{\Longleftrightarrow} & \,ax>ay  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b > ay+b \\
\Longleftrightarrow  & f(x)>f(y) 
\end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a=0}}{\Longrightarrow} & \,ax=ay=0  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b = ay+b = b \\
\Longleftrightarrow & f(x)=f(y)=b
   \end{array} \quad\quad\quad
\begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a >0} }{\Longleftrightarrow} & \,ax< ay  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b < ay+b \\
\Longleftrightarrow & f(x)<f(y)
   \end{array}
$$
}

On peut alors dresser le tableau de variations d'une fonction affine en fonction du signe de $a$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a<0$\\  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/}
\end{tikzpicture}\\

$a>0$\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  
\end{multicols}

\Expl{
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-3x-\dfrac{5}{8}$, $g(x)=87\,968x-\sqrt{5\,468}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des images des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item 1 et 5
  \item $\sqrt{10}$ et $-\pi$
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des antécédents des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
  \item $\sqrt{180}$ et $2\sqrt{98}$
  \item $\dfrac{3^4\times 5^{13}}{15^7}$ et $\dfrac{5^3\times 3^{10}}{15^{10}}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exos{14 à 16 p 69}




\subsection{Repr\'esentation graphique}

\subsubsection{Fonction carré}


\Defc{La courbe repr\'esentative de la fonction carr\'ee 
est appel\'ee \textbf{parabole} de sommet l'origine du rep\`ere.}

On esquisse la courbe repr\'esentative $\mathcal C_f$ de la fonction carr\'ee sur $\R^+$ en s'appuyant sur un tableau de valeurs :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
  $x$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & 1 & $\frac{3}{2}$ & 2 & $\frac{5}{2}$ &  $-\frac{1}{2}$ & -1 & $\dots$ \\\hline
 $f(x)$ & 0 & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\frac{9}{4}$ & 4 & $\frac{25}{4}$ & $\frac{1}{4}$ & 1 & $\dots$\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1.1)(3,8)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-1)(3,8.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.5,-1)(4.5,10)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
 \uput[ur](1.5,7){$y=x^2$}
\psdot(2.3,5.29) \uput[ur](2.3,5.29){$M$} \uput[d](2.3,0){$x$} \uput[dr](0.2,5.29){$x^2$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](2.3,0)(2.3,5.29)(0,5.29)
\psdot(-2.3,5.29) \uput[ur](-2.3,5.29){$M'$} \uput[d](-2.3,0){$-x$} 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-2.3,0)(-2.3,5.29)(0,5.29)
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linecolor=green](1.0300,5.1500)(1.2300,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.9700,5.1500)(1.1700,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.2300,5.1500)(-1.0300,5.4500)
\psline[linecolor=green](-1.1700,5.1500)(-0.9700,5.4500)
\psline[linecolor=green](0.0000,5.6000)(0.3000,5.6000)(0.3000,5.3000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\Exos{7 p 84 + 11 à 14 + 23 à 25 p 85}



\Ptec{La courbe de la fonction carré est \textit{symétrique} par rapport à l'axe des ordonnées. \\
On dit que la fonction est \textbf{paire}. Cela se traduit par les condtions :
\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition $\mathscr D$ est symétrique par rapport à $0$
 \item Pour tout $x \in\mathscr D$ on a $f(-x)=f(x)$.
\end{itemize}
 }

\Dem{
Pour tout nombre réel $x$ le point $M(x;x^2)$ est sur la parabole $\mathscr P $ représentative de la fonction carré.\\
Son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est $M'(-x;x^2)$.\\
Or ce point $M'$ est lui aussi sur $\mathscr P$ car $(-x)^2=x^2$.
}

\Exop{Tracer sur l'écran d'une calculatrice graphique les courbes de la fonction carré et de la fonction affine définie par $f(x)=x$.\\
Comparer alors un réel et son carré. Justifier les réponses.}


\Exos{2-3-4-8-10 p 104}

\subsubsection{Fonction inverse}

\Defc{Dans un rep\`ere orthogonal, la courbe rep\'esentative de la fonction inverse est appel\'ee \textbf{hyperbole}.}

On esquisse la courbe repr\'esentative $\mathcal C_f$ de la fonction inverse sur $\R^{+*}$ en s'appuyant sur un tableau de valeurs :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
  $x$  & $\frac{1}{3}$ & $\frac{1}{2}$ & 1 &  2 & 3 & $-1$ & $-2$ & $-\dfrac{1}{2}$ & $-\dfrac{1}{3}$\\\hline
 $f(x)$ & 3 & 2 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{3}$ & $-1$ & $-\dfrac{1}{2}$ & $-2$ & $-3$\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
 \psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-3)(3,3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1.3cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psset{xunit=1.3cm , yunit=1.3cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.1}{\F}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.1}{3}{\F}
 \uput[d](2,1.2){$y=\dfrac{1}{x}$}
\psdot(0.75,1.33) \uput[ur](0.75,1.3){$M$} \uput[d](0.75,0){$x$} \uput[dl](0,1.33){$\frac{1}{x}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](0.75,0)(0.75,1.33)(0,1.33)
\psdot(-0.75,-1.33) \uput[ur](-0.75,-1.33){$M'$} \uput[u](-0.75,0){$-x$} \uput[dr](0.2,-1.33){$-\frac{1}{x}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-0.75,-1.33)(0.75,1.33)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](-0.75,0)(-0.75,-1.33)(0,-1.33)
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linecolor=green](0.2000,0.6000)(0.4000,0.4500)
\psline[linecolor=green](0.2000,0.6500)(0.4000,0.500)
\psline[linecolor=green](-0.2000,-0.6000)(-0.4000,-0.4500)
\psline[linecolor=green](-0.2000,-0.6500)(-0.4000,-0.500)


\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exos{29 p 85 + 35 - 44 à 46 p 86}


\Exop{Tracer sur l'écran d'une calculatrice graphique les courbes de la fonction inverse et de la fonction affine définie par $f(x)=x$.\\
Comparer alors un réel non nul et son inverse. Justifier les réponses.}

\Ptec{La courbe de la fonction inverse est \textit{symétrique} par rapport à l'origine du repère. \\
On dit que la fonction est \textbf{impaire}. Cela se traduit par les conditions :
\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition $\mathscr D$ est symétrique par rapport à $0$
 \item Pour tout $x \in \mathscr D$, on a $f(-x)=-f(x)$
\end{itemize}
}

\Dem{
Pour tout nombre réel $x\neq 0$ le point $M\left(x;\dfrac{1}{x}\right)$ est sur la hyperbole $\mathscr H $ représentative de la fonction inverse.\\
Son symétrique par rapport à l'origine du repère est $M'\left(-x;-\dfrac{1}{x}\right)$.\\
Or ce point $M'$ est lui aussi sur $\mathscr H$ car $\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$.
}




\subsubsection{Fonctions affines}

\Act{Sur Géogébra, construire la droite passant par les points $A(0;2)$ et $B(1;-3)$.\\
Afficher l'équation de la droite.\\
Laisser $A$ fixe quelques temps et déplacer $B$.\\
Conjecturer les lectures graphiques de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur. \\
\textit{Afficher la pente si nécessaire.}
}

\Ptec[Définition]{La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite. Son \'equation r\'eduite est $y=ax+b$. \newline
$a$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur} et $b$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.}


\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{droites-coef.eps}
\end{center}

\underline{Interpr\'etation graphique du coefficient directeur}\newline

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir.eps} \qquad 
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir_bis.eps}
\end{center}

\Cadre[Méthode pour tracer la représentation graphique d'une fonction affine]{
On a donc deux méthodes :
\begin{itemize}
 \item Choisir deux nombres $x_1$ et $x_2$, calculer leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$, 
placer les points de  coordonnées $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ dans un repère, puis les relier à la règle.
 \item Placer le point sur l'axe des ordonnées par lequel passe la droite grâce à l'ordonnée à l'origine, puis tracer la droite en utilisant l'interprétation graphique du coefficient directeur.
\end{itemize}
}

\Exop{
\begin{enumerate}
 \item Trouver le coefficient directeur puis l'ordonnée à l'origine de la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(3;5)$. 
En déduire l'expression de la fonction affine représentée par cette droite.
 \item Même question pour les points $C(-1,2)$ et $D(3;-1)$.
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.
\end{enumerate}
}

\Exop{ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-3x+1$.
\begin{enumerate}
 \item Trouver les images de $0$ et de $-2$  par la fonction $f$. 
 \item Calculer $f\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
 \item Trouver les éventuels antécédents de $0$ et $-2$ par la fonction $f$.
 \item Résoudre $f(x)=\dfrac{4}{3}$.
 \item Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé et contrôler graphiquement les résultats précédents.
\end{enumerate}
}

\Exos{5-6-7 p 60}


\Exos{Défis : 55 à 57 p 76}

\Exos{33 p 71 + 26 p 69 + 20 p 68 (Algorithme de trac\'e à faire en module)}


\subsection{Signe}

On sait qu'un carré est toujours positif. La courbe représentative de la fonction carré est donc toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

On sait qu'un nombre et son inverse sont de même signe.

%\subsubsection{Fonctions Affines}
\Act{On cherche \`a conna\^itre le signe de diff\'erentes expressions du type $ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Etude du signe de $2x-3$ :
 \begin{itemize}
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3=0$
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3<0$ 
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3>0$
  \item Consigner ces r\'esultats dans ce tableau :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $ax+b$/2}{$-\infty$,$\dots$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\dots,z,\dots}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\item M\^emes questions pour l'expression $-3x-4$
\item Cas g\'en\'eral : \'Etudier le signe de $ax+b$ o\`u $a$ et $b$ sont des r\'eels et $a \neq 0$ 
\end{enumerate}
}

\Ptec{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ et 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $ax+b$/2}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe Opposé de } $a$,z,\text{Signe de }$a$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Dem{ Si $a>0$ (on raisonne de même si $a<0$) :
$$\begin{array}{lc}
    & ax+b=0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax=-b  \\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}}}{\Longleftrightarrow} & x = -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
   & ax+b>0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax>-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x > -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad\quad\quad
 \begin{array}{lc}
  & ax+b<0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax<-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x < -\dfrac{b}{a}
\end{array}
$$
}

\Expl{La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{3}{4}x+3$ admet pour tableau de signes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,Signe de $-\dfrac{3}{4}x+3$/2}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
car $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{-\frac{3}{4}}=3 \times \dfrac{4}{3}=4$ et $a>0$. De plus, elle a pour représentation graphique :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{signe.eps}
      
      \end{center}

}


\Exos{17-18 p 67}

\begin{center}
\textbf{Donner des fiches de révision par fonction} 
\end{center}


\section{Fonctions associées}

\subsection{Fonctions polynômes de degré 2}

\subsubsection{Définition}
\Act{\\
\textbf{Partie A :} 
A l'aide de Géogébra, on crée trois curseurs $a$, $b$ et $c$ vairant entre $-5$ et $5$ avec un pas de $0.1$.\\
Dans la ligne de saisie, on tape l'expression $f(x)=a*x^2+b*x+c$
\begin{enumerate}
 \item Reproduire cette construction.
 \item Faire varier successivement les trois curseurs
\item Quelles conjectues peut-on faire quant à l'influence de chacun des coefficients $a$, $b$ et $c$ sur les variations de $f$ ?
 \item Conjecturer  l'aide du logiciel le tableau de variation de la fonction $f$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=0.3x^2+1.2x-3.8$ \item $g(x)=-1.5x^2+3x+0.5$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : }
 A l'aide de Géogébra, on crée trois curseurs $a$, $\alpha$ et $\beta$ vairant entre $-5$ et $5$ avec un pas de $0.1$.\\
Dans la ligne de saisie, on tape l'expression $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. \\
\textit{Une expression de ce type peut s'écrire en développant $ax^2+bx+c$. L'expression $a(x-\alpha)^2+\beta$
s'appelle la \textbf{forme canonique}.}
\begin{enumerate}
 \item Reproduire cette construction.
 \item Faire varier successivement les trois curseurs.
\item Quelles conjectues peut-on faire quant à l'influence de chacun des coefficients $a$, $\alpha$ et $\beta$ sur la représentation graphique de $f$ ?
 \item Conjecturer  l'aide du logiciel le tableau de variations de la fonction $f$ dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
 \item $h(x)=0.3(x-1.2)^2-3.8$ \item $k(x)=-1.5(x+3)^2+0.5$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie C :}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Vérifier que $f(x)=0.3x^2+1.2x-3.8=0.3(x+2)^2-5$
 \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ et son minimum sur $\R$ (préciser quand il est atteint)
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item En développant l'expression $-1.5(x-\alpha)^2+\beta$, trouver la forme canonique associée à l'expression $g(x)=-1.5x^2+3x+0.5$
 \item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ et son maximum sur $\R$ (préciser quand il est atteint)
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

Dans toute cette partie, $a$, $b$ et $c$ désignent des réels fixés avec $a\neq 0$.

\Defc{On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction de la forme $x\mapsto ax^2+bx+c$.\\
On appelle cette écriture la \textbf{forme développée} de $f$.}
\Rq{Ces fonctions n'ont ni racine ni quotient, elles sont définies sur $\R$.}

\subsubsection{Forme canonique et variations}

\Ptec[Définition]{
Pour toute fonction polynôme de degré 2 $f: x\mapsto ax^2+bx+c$, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ uniques 
tels que pour tout réel $x$ on a $f(x)=a(x-\alpha)^2 + \beta$.\\
On appelle cette écriture la \textbf{forme canonique} de $f$.
}

\Expls{
$3x^2-12x+5=3(x-2)^2-7$ \quad et \quad $-2x^-2x = -2\left( x+\dfrac{1}{2} \right) + \dfrac{1}{2}$
}

\Ptec{
Les variations sur $\R$ de la fonction $x\mapsto a(x-\alpha)^2 + \beta$ sont de deux types, suivant le signe de $a$.
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item Si $a>0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item Si $a<0$ :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{itemize}
\end{multicols}
}

\Dem{
La fonction $f$ est définie par l'enchaînement :
$$x \longmapsto x-\alpha \longmapsto (x-\alpha)^2 \longmapsto a(x-\alpha)^2 \longmapsto a(x-\alpha)^2 + \beta $$
Considérons le cas $a<0$. Soient $x_1<x_2<\alpha$. Regardons l'ordre de leurs images par $f$.\\
\begin{eqnarray*}
 x_1<x_2<\alpha & \iff & x_1-\alpha < x_2-\alpha < 0 \\
& \iff & (x_1-\alpha)^2 > (x_2-\alpha)^2 >0 \qquad \text{(la fonction carré est décroissante sur les négatifs)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  < a(x_2-\alpha)^2  <0 \qquad \text{(multiplier par un nombre négatif change l'ordre)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  + \beta < a(x_2-\alpha)^2 + \beta  < \beta\\
& \iff & f(x_1) < f(x_2) < \beta
\end{eqnarray*}
L'ordre est inchangé, donc la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; \alpha[$.\\
On peut faire de même pour $x_1 > x_2 > \alpha$. 
\begin{eqnarray*}
 x_1>x_2>\alpha & \iff & x_1-\alpha > x_2-\alpha > 0 \\
& \iff & (x_1-\alpha)^2 > (x_2-\alpha)^2 >0 \qquad \text{(la fonction carré est croissante sur les positifs)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  < a(x_2-\alpha)^2  <0 \qquad \text{(multiplier par un nombre négatif change l'ordre)}\\
& \iff & a(x_1-\alpha)^2  + \beta < a(x_2-\alpha)^2 + \beta  < \beta\\
& \iff & f(x_1) < f(x_2) < \beta
\end{eqnarray*}
L'ordre est inversé. Donc la fonction $f$ est décroissante sur $]\alpha ; + \infty[$.
}

\Expl{
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+28x+87$.
\begin{itemize}
 \item Vérifier que pour tout réel $x$ on a $f(x)=2(x+7)^2-11$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$.
\end{itemize}
}

\Expl{
Justifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-3x^2+6x+2$ admet le tableau de variations ci-dessous :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$5$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Propc[Définition]{La représentation graphique de la fonction $x\mapsto a(x-\alpha)^2 + \beta$ est une parabole de sommet $S(\alpha ; \beta)$.\\
\begin{itemize}
 \item Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut.
 \item Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas.
\end{itemize}
La parabole a pour axe de symétrie la droite passant par $S$ et parallèle à l'axe des ordonnées.
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{courbe.eps}
\end{center}

\Rq{Si deux points de la parabole $M_1$ et $M_2$ d'abscisse $x_1$ et $x_2$ ont la même ordonnée, alors le sommet $S$ a pour abscisse $\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}$.
}

\Expl{
On note $\mathscr P$ la parabole représentatn la fonction $f:x\mapsto ax^2 +3x-4$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le réel $a$ sachant que la parabole $\mathscr P$ passe par le point $A(3;-4)$
\item Déterminer un autre point de $\mathscr P$ d'ordonnée $-4$.
 \item En déduire les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr P$
 \item Etablir le tabelau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
}


\Exos{2-3-4-8-10 p 104 (certains auront déjà été traités) + Trouver des exos sur la symétrie de la courbe et le sommet}

\subsubsection{Forme factorisée et signe}


\Act{Hyperbole Activité 1 p 117}


\Ptec[Définition]{
Lorsque la parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2 $f: x\mapsto ax^2+bx+c$, coupe l'axe des abscisses
en $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$, alors $f(x)$ peut se factoriser et on a :
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{courbe2.eps}
\end{center}

\Rq{Cette troisième écriture est utile pour résoudre l'équation produit nul $f(x)=0$ ou étudier le signe de $f(x)$.\\
En effet, on a le tableau de signe suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Exos{
15 à 18 p 105 + 26-27 p 107 + 50-52-53 p 111
}

\Cadre[Signe d'un produit]{
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication, 
on peut trouver le signe d'un produit d'expressions du type $ax+b$.\\
Pour cela, on commence par résoudre l'équation produit nul, puis on utlise 
un grand tableau de signes.\\
Sur la dernière ligne, on trouve le signe du produit en appliquant la règle des signes.\\
Ceci nous permet désormais de résoudre des inéquations produits.
}
\Att{Cette règle n'est pas valide pour l'addition de monômes !}


\Expl{
Etudier le signe de $P(x)=(2x+1)(-x+2)$, 
\begin{itemize}
 \item Résoudre $2x+1=0$
 \item Résoudre $-x+2=0$
 \item Compléter le tableau de signe suivant, contenant une ligne par facteur :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $2x+1$/1, Signe de $-x+2$/1, Signe de $(2x+1)(-x+2)$/2}{$-\infty$,$\dots$,$\dots$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,$\dots$,t,$\dots$,t,$\dots$}
\tkzTabLine{,$\dots$,t,$\dots$,t,$\dots$}
\tkzTabLine{,$\dots$,t,$\dots$,t,$\dots$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
Conclusion : 
\begin{itemize}
 \item $P(x)>0$ ssi $x\in\dots$
 \item $P(x)<0$ ssi $x\in \dots$
\item $P(x)=0$ ssi $x\in \dots$
\end{itemize}
On sait ainsi que les solutions de l'in\'equation $P(x)<0$ est $S=\dots$
}

\Exos{8 à 21 p 120 + 34-35 p 123}


\vspace{-1cm}


\subsection{Fonctions homographiques}
\subsubsection{Définition}
\Defc{
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme $x \longmapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels fixés
avec $c\neq 0$ et $a\times d \neq b \times c$.\\
La courbe représentative s'appelle une \textbf{hyperbole}.
}

\Rqs{
\item La condition $ad \neq bc$ traduit le fait que $ax+b$ et $cx+d$ ne sont pas proportionnels.
\item L'expression algébrique d'une fonction homographique contient un quotient. Elle n'existe que si le dénominateur
$cx+d $ est différente de $0$, ie $x \neq -\dfrac{d}{c}$.\\
L'ensemble de définition est donc 
$\mathscr D \left]-\infty ; -\dfrac{d}{c} \right[ \cup \left]-\dfrac{d}{c} ; +\infty\right[$
}

\Expl{La fonction $f:x\longmapsto \dfrac{2x+3}{-2x+4}$ a pour ensemble de définition $]-\infty;2[\cup ]2 ; + \infty[$.\\
La courbe représentative de $f$ dans un repère est formée de deux branches distinctes, séparée par la droite d'équation $x=2$.
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.6]{inverse.eps}
\end{center}
}

\Exos{20-21 p 105 + 46-48-49-50-51 p 125}

\Exop{
Ecrire un algorithme qui lit un nombre non nul $x$ et qui affiche alors le plus grand des nombres $x^2$ et $\dfrac{1}{x}$.
}

\Exop{\begin{enumerate}
      \item Ecrire l'algorithme de calcul de la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{-5}{(x-2)^2}+3$$
      \item Soient $a$ et $b$ appartenant à $]-\infty;2[$ tels que $a<b$. \\
En utilisant l'algorithme ci-dessus
et les variations des fonctions de référence, comparer $\dfrac{-5}{(a-2)^2}+3$ et $\dfrac{-5}{(b-2)^2}+3$
      \item En déduire si $f$ conserve ou inverse l'ordre sur  $]-\infty;2[$.
      \item En suivant la même démarche, dire si $f$ conserve ou inverse l'ordre sur  $]2;+\infty[$.
      \item En déduire le tableau de variations de $f$.
     \end{enumerate}
}

\subsubsection{Signe d'une fonction homographique}

\Act{Hyperbole Activité 2 p 117}


\Cadre[Signe d'un quotient]{
Pour étudier le signe d'une fonction homographique, on procède de même que pour un produit de monôme, sauf qu'il 
faut considérer une valeur interdite.
}

\Expl{Pour résoudre l'inéquation $\dfrac{3-x}{4x-1}>0$ : \\
\begin{itemize}
 \item On commence par résoudre 
$$\dfrac{3-x}{4x-1}>0 \iff 3-x=0 \,\text{ et } \, 4x-1 \neq 0 \iff x=3 \,\text{ et } \,x\neq \dfrac{1}{4} \quad \textbf{(VI)} $$
 \item Ensuite on étudie le signe du quotient $\dfrac{3-x}{4x-1}$, en  procédant comme dans l'activité.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $3-x$/1, Signe de $4x-1$/1, Signe de $\dfrac{3-x}{4x-1}$/2}{$-\infty$,$\dfrac{1}{4}$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
}


\Exos{22 à 31 p 121}



\textit{Il faut avoir une haute idée, non pas de ce qu'on fait, mais de ce qu'on pourra faire un jour ; 
sans quoi ce n'est pas la peine de travailler.
}


\end{document}
