\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5} %1h15 ...
\newcommand{\Ch}{Fonctions de R\'ef\'erence}	
\newcommand{\Cl}{206}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
\newcommand{\num}{6}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\debutDsCha
\Exop[Fonctions affines \hfill(4 points)]{
%\begin{enumerate}
 %\item %D\'eterminer l'expression des fonctions affines représentées par chacune des droites ci-dessous:
\begin{center}
%\vspace{-6mm}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-8.1,-6.1)(8.1,5.1)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-6} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-8,-8)(8,8)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{-4.5}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
%\def\G{-0.5 x mul 2 add}
%\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\G}
\pcline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{->}(-3,4)(-3,1)
\pcline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{->}(-3,1)(-2,1)
\pcline[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\pcline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](1,0)(1,2)
\def\H{ 2 x mul}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\H}
\def\I{-3 x mul 5 sub}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=magenta,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\I}
\def\K{-1 x mul 4 add}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\K}
\uput[ul](7,-4){$\mathscr C_k$}
\uput[ul](-3,2){$-3$}
\uput[dr](-2.8,1){$1$}
\uput[ur](1,1){$2$}
\uput[dl](0.8,0){$1$}
%\uput[ul](-4,1.8){$a=\dfrac{-3}{1}$}
%\uput[r](2,1){$a=\dfrac{2}{1}$}
\uput[ur](3,4){$\mathscr C_g$}
\uput[ul](-7,-4){$\mathscr C_h$}%\psline[linestyle=solid,linecolor=black](-3,-8)(-3,8)
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}\vspace{-2mm}
\end{center}
$$f(x)=-3x-5 \qquad \qquad g(x)=2x \qquad \qquad h(x)=-4.5$$
%\item %Sur le graphique ci-dessus, construire la droite représentant la fonction $k$ définie par $  k(x)=-x+4   $\\
%\end{enumerate}
}

\Exop[Fonctions polynômes\hfill (4 points)]{}
\vspace{-0.8cm}
\begin{enumerate}
     \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=4(x+1)^2+9$
\begin{enumerate}
 \item %Comment s'appelle la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé ?
La courbe représentative de $g$ est une parabole.
 \item %Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
On a $a=4$ donc la parabole est tournée vers le haut.\\
On a $\alpha=-1$ et $\beta=9$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(-1;9)$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5,$g$/1.5}{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$9$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=(2x-4)(3x+1)$
\begin{enumerate}
 \item %Dresser le tableau de signe de $h$.
On résout : 

\vspace{-15mm}

\begin{multicols}{2}
\begin{eqnarray*}
&& 2x-4 = 0 \\
&\stackrel{+4}{\iff}& 2x = 4 \\
&\stackrel{/2}{\iff}& x=2 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& 3x+1 = 0 \\
&\stackrel{-1}{\iff}& 3x = -1 \\
&\stackrel{/3}{\iff}& x=-\dfrac{1}{3}
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
On obtient le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $2x-4$/1,Signe de $3x+1$/1,Signe de $h(x)$/1}{$-\infty$,$-\dfrac{1}{3}$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \item %En déduire les solutions de l'inéquation $h(x) \geq 0$.
On en déduit que l'ensemble des solutions de $h(x) \geq 0$ est 
$$\mathscr S = \left]-\infty ; -\dfrac{1}{3} \right] \cup 
\left[2;+ \infty\right[$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exop[Fonction Homographique\hfill (3 points)]{}
\vspace{-0.8cm}\\
Soit la fonction $k$ définie sur $]-\infty;-3[\cup ]-3; +\infty[$ par
 $k(x)=\dfrac{-3x+2}{4x+12}$
\begin{enumerate}
 \item %Comment s'appelle la courbe représentative de $k$ dans un repère orthonormé ?
La courbe représentative de $k$ est une hyperbole.
 \item %Résoudre  $k(x)>0$
On résout : 

\vspace{-15mm}

\begin{multicols}{2}\begin{eqnarray*}
&& -3x+2 = 0 \\
&\stackrel{-2}{\iff}& -3x = -2 \\
&\stackrel{/(-3)}{\iff}& x=\dfrac{2}{3} 
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
&& 4x+12 = 0 \\
&\stackrel{-12}{\iff}& 4x = -12 \\
&\stackrel{/4}{\iff}& x=-3 \quad \text{Valeur interdite !}
\end{eqnarray*}
\end{multicols}
On obtient le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,Signe de $-3x+2$/1,Signe de $4x+12$/1,Signe de $k(x)$/1}{$-\infty$,$-3$,$\dfrac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On en déduit que l'ensemble des solutions de $k(x)>0$ est $\mathscr S = ]-3;\frac{2}{3}[$.
\end{enumerate}
%}

\Exop[Etude d'une fonction polynôme\hfill (9 points)]{}
\vspace{-0.8cm}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+12x-16  \qquad  \textbf{(forme 1)}$
%On note $\mathscr P$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
 \item %Montrer que $$f(x)=-2(x-3)^2+2\qquad  \textbf{(forme 2)}$$
\begin{eqnarray*}
-2(x-3)^2+2 &=& -2(x^2-2\times x \times 3 + 3^2)+2 \\ 
&=& -2(x^2-6x+9)+2\\
&=&-2x^2+12x-18+2\\
&=&-2x^2+12x-16 =f(x)
\end{eqnarray*}
Donc la forme 2 est bien égale à la forme 1.

 \item %Montrer que $$f(x)=-2(x-4)(x-2) \qquad  \textbf{(forme 3)}$$
\begin{eqnarray*}
-2(x-4)(x-2) &=& -2(x^2-2x-4x-4 \times -2 ) \\ 
&=& -2(x^2-6x+8)\\
&=&-2x^2+12x-16 =f(x)
\end{eqnarray*}
Donc la forme 3 est bien égale à la forme 1.
 \item %Répondre aux questions suivantes, en utilisant la forme la plus adaptée.
\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
On utilise la forme 2.
On a $a=-2$ donc la parabole est tournée vers le bas.\\
On a $\alpha=3$ et $\beta=2$ donc le sommet de la parabole a pour coordonnées $(3;2)$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5,$g$/1.5}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$2$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

 \item %Calculer l'image de $3$.
On utilise la forme 2 pour calculer l'image de 3. On a $f(3)=-2(3-3)^2+2=-2 \times 0^2 +2 = 2$
\item %Calculer $f(0)$.
On utilise la forme 1 pour calculer $f(0)$. On a $f(0)=-2 \times 0^2 +12 \times 0-16 = -16$
\item %Résoudre $f(x)=0$.
On utilise la forme 3 pour résoudre $f(x)=0$. On a 
\begin{eqnarray*}
 -2(x-4)(x-2)=0 & \iff & x-4 = 0 \text{ ou } x-2 = 0 \\
&\iff & x=4 \text{ ou } x=2
\end{eqnarray*}
Les solutions sont $2$ et $4$. 
 \item %Trouver par le calcul les éventuels antécédents de $-16$.
On utilise la forme 1 pour trouver les antécédents de $-16$.\\
\begin{eqnarray*}
-2x^2+12x-16=16 & \iff & -2x^2+12x=0 \\
&\iff & 2x(-x+6)=0 \\
&\iff & 2x=0 \text{ ou } -x+6 = 0 \\
&\iff & x= 0 \text{ ou } x=6
\end{eqnarray*}
Les antécédents de $-16$ sont 0 et 6.
 \item %Déduire de l'une des questions précédentes les coordonnées du point $A$ auquel la courbe $\mathscr P$ coupe 
%l'axe des ordonnées.
$\mathscr P$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;-16)$.
\item %Déduire de l'une des questions précédentes les coordonnées des points $B$ et $C$ auxquels la courbe $\mathscr P$ coupe l'axe des abscisses.
$\mathscr P$ coupe l'axe des abscisses en $B(2;0)$ et $C(4;0)$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
%}


\end{document}
