\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Introduction aux Fonctions}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2010-2011}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{1}

\section*{Grille d'acquisition des compétences du chapitre}
 
 \begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{A} & \textbf{Numérique} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Opposé, inverse, priorité de calculs & & & & &\\
    \hline
 2 & Simplifier une fraction & & & & &\\
    \hline
 3 & Mettre deux fractions au même dénominateur & & & & &\\
    \hline
 4 & Calculer avec des fractions & & & & &\\
    \hline
% 5 & Calculer avec des puissances & & & & &\\
%    \hline
 6 & Calculer avec des racines & & & & &\\
    \hline
 7 & Valeur exacte et approchée & & & & &\\
    \hline
 %8 & Comparer deux nombres & & & & &\\
  %  \hline
 %9 & Différentes écritures d'un même nombre & & & & &\\
  %  \hline
 10 & Intervalles & & & & &\\
   \hline
  \end{tabular}\\\\

 \begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{B} & \textbf{Calcul Littéral} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Mettre un problème en (in)équation & & & & &\\
    \hline
 2 & Développer, réduire  & & & & &\\
    \hline
 3 & Factoriser & & & & &\\
    \hline
 4 & Identités remarquables & & & & &\\
    \hline
 5 & Vérifier qu'un nombre est ou non solution d'(in)équation & & & & &\\
    \hline
 6 & Résoudre une équation du 1er degré  & & & & &\\
    \hline
 7 & Résoudre une équation produit & & & & &\\
    \hline
 8 & Résoudre une équation quotient & & & & &\\
    \hline
 9 & Résoudre une inéquation du 1er degré  & & & & &\\
    \hline
 %10 & Etablir un tableau de signes & & & & \\
  %  \hline
  \end{tabular}\\\\

 \begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{C} & \textbf{Algorithmie, calculatrice et logiciels} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Suivre un algorithme de calcul & & & & &\\
    \hline
 %2 & Etablir un algorithme basique & & & & &\\
 %   \hline
 %3 & Utiliser Algobox & & & & &\\
 %   \hline
 4 & Mener un calcul numérique à la calculatrice & & & & &\\
    \hline
 5 & Afficher un tableau de valeurs à la calculatrice & & & & &\\
    \hline
 6 & fficher une courbe représentative à la calculatrice & & & & &\\
    \hline
 7 & Paramétrer la calculatrice & & & & &\\
    \hline
  \end{tabular}\\\\

\begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{F} & \textbf{Fonctions : graphiques} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Interpréter une courbe donnée & & & & &\\
    \hline
 2 & Lire un ensemble de définition  & & & & &\\
    \hline
 3 & Lire des images & & & & &\\
    \hline
 4 & Lire des antécédents & & & & &\\
    \hline
 5 & Lire le signe d'une fonction & & & & &\\
    \hline
 6 & Décrire les variations d'une courbe & & & & &\\
   \hline
 7 & Dresser le tableau de variations & & & & &\\
    \hline
 8 & Comparer des images & & & & &\\
    \hline
 9 & Tracer une courbe compatible avec des informations & & & & &\\
    \hline
 10 & Résoudre graphiquement des équations & & & & &\\
    \hline
 11 & Résoudre graphiquement des inéquations & & & & &\\
    \hline
 12 & Positions relatives de deux courbes & & & & &\\
    \hline
  \end{tabular}\\\\

\begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{G} & \textbf{Fonctions : calculs} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Traduire le lien entre deux quantités & & & & &\\
    \hline
 2 & Trouver les valeurs interdites  & & & & &\\
    \hline
 3 & Tracer une courbe à partir de l'expression & & & & &\\
    \hline
 4 & Calculer une image & & & & &\\
    \hline
 5 & Trouver d'éventuels antécédents & & & & &\\
    \hline
 %6 & Dichotomie, balayage & & & & &\\
  %  \hline
  \end{tabular}\\\\

 \begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|}
   \hline
    \textbf{H} & \textbf{Fonctions de référence} & \multicolumn{5}{c|}{\textbf{Acquisition}}  \\
    \hline
 1 & Affines : sens de variation, représentation & & & & &\\
    \hline
 2 & Affines : signes  & & & & &\\
    \hline
  \end{tabular}\\\\



\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
\noindent Le concept de fonction a mis des si\`ecles \`a s'\'etablir en math\'ematiques. 
La notion intuitive comme relation entre deux objets est assez ancienne, mais il faut attendre le $XVII^e$ siècle pour qu'elle soit formalisée.
\begin{itemize}
\item C'est le français Pierre de Fermat (16010-1665) qui met en place la notion fondamentale d'équation d'une courbe, associant donc ainsi 
les fonctions à une courbe du plan, et s'intéresse aux extrema de fonctions.\\
\textit{Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, qu'il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, 
mais dont la preuve ne fut trouvée qu'en 1994.}
 \item En 1673, l'allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et math\'ematicien, utilise 
pour la première fois le mot \og fonction \fg \, et introduit le vocabulaire.\\
\textit{Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir d\'ecouvert conjointement avec Newton le calcul infinit\'esimal,
c'est-\`a-dire dans l'infiniment petit.}
\item En $1698$, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. 
Il proposa alors la notation $f(x)$.\\
\textit{Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités.}
\item Euler, math\'ematicien form\'e par Bernoulli, adopte cette notation en $1734$ et d\'efinit en $1748$ une fonction
d'une variable comme combinaison d'opérations à partir de cette variable et de nombres  constants. \\
\textit{Euler travailla essentiellement sur le calcul infinit\'esimal lui aussi et sur la th\'eorie des graphes (utiliser pour les GPS)
}
\end{itemize} 
En fait, le lien entre l'expression d'une fonction et sa courbe représentative en permet une étude plus approfondie. 
Le concept de fonction et l'étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique.
jusqu'\`a aujourd'hui.\\
Compte tenu du nombre incroyable d'applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, 
l'étude des fonctions est un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. }
\end{Intro}


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune


L'objectif principal de ce chapitre est de découvrire la notion de variation de fonction et de l'utiliser dans la résolution de problèmes.



\section{Notion de fonction}

\subsection{Découverte}

\Act{
Rom\'eo souhaite au plus vite offrir une rose fraîchement cueillie \`a sa Juliette. La situation est sch\'ematis\'ee de la fa\c con suivante : }
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.7)(7,3.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{3.6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.0000,0.0000){K}
\uput{0.7000}[-90.0000](0.0000,0.0000){Allée des roses}
\uput{0.3000}[-130.0000](3.5000,0.0000){HK=18}
\uput{1.0000}[100.0000](0.0000,0.0000){5}
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,2.0000)
\psline(5.0000,3.0000)(5.0000,0.0000)
\uput{1.0000}[80.0000](5.0000,0.0000){7}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){Romeo}
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,3.0000){Juliette}
\uput{0.3000}[100.0000](3.5000,0.0000){M}
\psline(0.0000,2.0000)(3.5000,0.0000)
\psline(3.5000,0.0000)(5.0000,3.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
Quel chemin doit prendre Roméo pour rejoindre Juliette le plus tôt possible ?\\





\Defc{
Une \textbf{fonction} est une relation qui associe un élément d'un ensemble de d\'epart $E$ \`a \textit{au plus} un \'el\'ement 
d'un ensemble d'arriv\'ee $F$ (donc à 0 ou 1 élément de $F$).
}


On peut illustrer ce proc\'ed\'e par le diagramme suivant : \textit{Rajouter les flèches}
\begin{center}%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(6.5,1.)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{1.}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.2,-2.7)(7,1.7)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.0000,0.0000){1.0000}
\pscircle(5.0000,0.0000){0.5000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.5000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.5000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7000,0.6000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.2500,0.2500)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.1000,0.3000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.3500,-0.5000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.1000,-0.2000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.2000,0.1000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.1000,0.3000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4.9000,-0.4000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](4.8000,-0.1000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.2000,-0.3000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.4000,-0.1000)
\uput{1.50000}[-90.0000](1.0000,0.0000){\small{Ensemble de d\'epart $E$}}
\uput{1.5000}[-90.0000](5.0000,0.0000){\small{Ensemble d'arriv\'ee $F$}}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\Defc{
Les éléments de $E$ auxquels $f$ ne fait correspondre aucun élément de $F$
sont appelées les \textbf{valeurs interdites} de $f$.\\
L'ensemble des éléments de $E$ auxquels $f$ fait correspondre exactement 1 élément de $F$ est appelé 
\textbf{l'ensemble de défintion} de $f$ et est noté $D_f$.\\
Si $x\in D_f$, on appelle \textbf{l'image} de $x$ par $f$ son élément associé dans $F$, et on le note $f(x)$.
Quand on sait que $y\in F$ est l'image d'un certain $x\in D_f$, c'est-à-dire que $y=f(x)$, 
on dit que $x$ est \textbf{un antécédent} de $y$ par $f$.
}

\Expls{%Vous connaissez d\'ej\`a quelques fonctions en g\'eom\'etrie : 
\begin{itemize}
 \item Le p\'erim\`etre d'un cercle est la fonction qui \`a tout  nombre positif $R$ associe le nombre $\mathscr P(R)=2\pi R$.\\
On a $D_{\mathscr P}=\R^+=[0;+\infty[$ et $F=\R^+$. On pourra noter :
$\begin{array}{cccc}
\mathscr P :& \R^+ & \longrightarrow & \R^+ \\
& R & \longmapsto  & 2\pi R \\
 \end{array}$.\\
\textit{En fait, on ne cherchera jamais à donner l'ensemble d'arrivée exact, et on se contentera de dire $F=\R$, pour préciser qu'on
obtient un nombre. }
 %\item L'aire d'un cercle est la fonction qui \`a tout nombre positif $R$ associe le nombre $\mathscr A(R)=\pi R^2$. \\
%On a $D_{\mathscr A}=\R^+$ et $F=\R$
 %\item Le p\'erim\`etre d'un rectangle est la fonction qui \`a tout couple de nombres positifs $(\ell ;L)$ associe
 %le nombre $\mathscr \mathscr P(\ell;L)=2(\ell + L)$.\\
%On a $E=\R^+ \times \R^+ $ et $F=\R$
% \item L'aire d'un rectangle est la fonction qui \`a tous r\'eels positis $(\ell;L)$ associe le r\'eel $\mathscr A(\ell;L)=\ell\times L$\\
%On a $E=\R^+ \times \R^+ $ et $F=\R$
 \item L'aire d'un triangle est la fonction qui \`a tout couple de r\'eels positifs $(b;h)$ associe le r\'eel $\mathscr A(b;h)=\dfrac{b\times h}{2}$\\
On a $D_{\mathscr A}=\R^+ \times \R^+ $ et $F=\R$. On pourra noter $\begin{array}{cccc}
\mathscr A :& \R^+\times \R^+ & \longrightarrow & \R \\
& (b , h ) & \longmapsto  & \dfrac{b \times h }{2} \\
 \end{array}$
 %\item Le volume d'un parall\'el\'epip\`ede rectangle est la fonction qui \`a tout triplet de r\'eels positifs 
%$(a;b;c)$ associe le r\'eel $\mathscr V(a;b;c)=abc$\\
%On a $D_{\mathscr V}=\R^+ \times \R^+ \times \R^+$ et $F=\R$
\item Le chemin le plus court d'un lieu vers un autre qui à tout couple de lieux $(A;B)$ associe un itinéraire :
\vspace*{-2mm}
$$\begin{array}{cccl}
\textrm{chemin} : &\textrm{ Lieu } \times \textrm{ Lieu }& \longrightarrow &\textrm{ Phrases }\\
& (A, B)& \longmapsto &  \textrm{ Itinéraire le plus court de } A \textrm{ à } B 
 \end{array}$$
\end{itemize}
}

\noindent \Rq{Cette année, nous étudierons les fonctions qui transforment un nombre en un autre,
c'est-à-dire celles  o\`u l'ensemble de définition est une partie de $\R$ et l'ensemble d'arrivée est $\R$. %\\
On parle de fonction \textbf{num\'erique \`a une variable}.
}

\Expl{
La fonction $r$ qui \`a tout entier naturel $n$ associe son reste dans la division euclidienne par $4$ :
\begin{eqnarray*}
r:& \N &\longrightarrow \{0,1,2,3\}  \\
&n& \longmapsto \left\{
\begin{array}{clr}
 0 & \textrm{ si } n =4k &\textrm{ avec } k\in \N \\
 1 & \textrm{ si } n =4k+1 &\textrm{ avec } k\in \N\\
 2 & \textrm{ si } n =4k+2 &\textrm{ avec } k\in \N\\
 3 & \textrm{ si } n =4k+3 & \textrm{ avec } k\in \N
\end{array}\right.
 \end{eqnarray*}
L'image de $5$  par $r$ est $1$, ou encore $r(5)=1$. De même on a $r(9)=1$, $r(21)=1$ ... \\
En fait $1$ a une infinité d'antécédent par $r$.\\
}

\Expl{
 Soit $l$ la fonction qui \`a tout r\'eel $x$ associe le r\'eel  $l(x)=\dfrac{4}{2x-3}$ quand il existe. \\
Ce nombre existe à partir du moment où l'on ne divise pas par $0$. \\
Or on divise par $0$ si et seulement si $2x-3 = 0 \Longleftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$. 
La seule valeur interdite est $\dfrac{3}{2}$. On peut écrire :
\begin{eqnarray*}
l:&]-\infty ; 1.5 [ \cup ]1.5 ; + \infty [ &\longrightarrow \R  \\
&x& \longmapsto \dfrac{4}{2x-3}
 \end{eqnarray*}
L'image de $2$ par $l$ est le nombre $l(2)=\dfrac{4}{2 \times 2 -3}= \dfrac{4}{1}=4 $. 
L'image de $4$ par $l$ est $l(4)=\dfrac{4}{5}$.\\ 
$2$ est donc un antécédent de $4$, mais pas forcément le seul. \\
Pour tous les trouver, on doit résoudre l'équation $\dfrac{4}{2x-3}=4$ pour $x \neq \dfrac{3}{2}$.\\
Or  $\dfrac{4}{2x-3}=1 \Longleftrightarrow 4 = 4(2x-3) \Longleftrightarrow 8x = 4+12 \Longleftrightarrow x = 2 $.\\
Donc $2$ est bien le seul antécédent de $4$ par $l$.\\
}

\Expl{ Soit la fonction $f$ qui \`a tout r\'eel $x$ associe le r\'eel $f(x)=5x+3\sqrt{x+2}$ quand il existe. \\
Ce nombre existe à partir du moment où le nombre sous la racine est positif, donc $f(x)$ existe si et seulement si $x \geq -2$.
On peut écrire :
\begin{eqnarray*}
f:&[-2;+ \infty [ &\longrightarrow \R  \\
&x& \longmapsto 5x+3\sqrt{x+2}
 \end{eqnarray*}
L'image de $7$ par $f$ est le nombre $f(7)=5\times 7+3 \sqrt{7+2}=35+3\sqrt{9}=35+3 \times 3 = 44$.\\
On sait alors que  $7$ est un ant\'ec\'edent de $44$ (mais pas forcément le seul). 
Pour tous les trouver, on doit résoudre l'équation $ 5x+3\sqrt{x+2}=44$, qui est trop compliquée à notre niveau. 
}

\Rqs{
 \item Chaque élément $x \in D_f$ a une et une seule image, qui se trouve en comptant.
 \item Chaque élément $y\in F$ peut avoir plusieurs antécédents, ou même ne pas en avoir, ce qui se trouve en résolvant une équation.
 \item  On trouve les valeurs interdites en appliquant les deux r\`egles suivantes : 
\begin{enumerate}
 \item On ne divise pas par z\'ero 
 \item On ne prend pas racine d'un nombre strictement n\'egatif
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit la fonction $f$ d\'efinie qui à tout réel $x$ associe le réel $f(x)=x^2-\dfrac{6}{x}$ quand il existe.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(-2)$.
 \item Calculer l'image de $3$.
 \item Pourquoi l'image de $0$ par $f$ n'existe-t-elle pas ? En déduire l'ensemble de définition de $f$.
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :$$f(x)=x^2-2x+3$$
\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? En déduire sont ensemble de définition $D_f$.
\item Déterminer l'image des réels $0$ ; $-\dfrac{3}{2}$ et $ \sqrt{2}$ par $f$.
\item Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $f$.
\item Montrer que pour tout $ x\in\R$ on a $f(x)=(x-1)^2+2$.
\item En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de $2$ et de $-4$ par $f$.
\end{enumerate}}

\Exos{n$^{\circ}$ 28 p 30 + 61 p 55}

\subsection{Algorithmie}


\Defc{
Un \textbf{algorithme} est une suite d'instructions, qui, une fois ex\'ecut\'ee correctement, conduit \`a un unique  r\'esultat.
}

\Expl{Indiquer un itinéraire allant d'un lieu à un autre.}

\Rqs{
\item 
Pour fonctionner, un algorithme doit contenir uniquement des instructions compr\'ehensibles par celui qui devra 
l'ex\'ecuter %(sinon il suffirait de dire pour indiquer un chemin d'aller de l\`a o\`u l'on est \`a l'endroit d\'esir\'e !).\\
\item En math\'ematiques, les algorithmes consistent par exemple en des suites d'op\'erations \`a effectuer (pour les 
fonctions notamment), 
ou des suites de manipulations \`a faire (pour construire une figure g\'eom\'etrique). \\
On consid\`ere pour acquises les connaissances du coll\`ege, et l'on pourra donc les utiliser comme instructions.
\item On peut alors voir une fonction numérique comme une machine, dans laquelle on introduit un nombre 
et en ressort un nombre transform\'e ou modifi\'e, suivant un algorithme de calcul donné. 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(11.9,1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{12} \def\ymin{-4} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.2,-3.2)(12.2,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(3.0000,1.0000)(3.0000,-1.0000)(5.0000,-1.0000)(5.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(5.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.30000}[-180.0000](0.0000,0.0000){Nombre}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,0.0000){Machine}
\uput{0.3000}[0.0000](8.0000,0.0000){Nombre transform\'e}
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.5000,-0.50000){$x$}
\uput{0.300}[0.0000](3.5000,-0.5000){$f$}
\uput{0.300}[0.0000](8.5000,-0.50000){$f(x)$}
\uput{2.0000}[-122.0000](0.0000,0.0000){Ant\'ec\'edent}
\uput{2.0000}[-70.0000](3.0000,0.0000){Fonction}
\uput{2.2000}[-57.0000](8.0000,0.0000){Image}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Expl{
Consid\'erons la machine $f$ qui retranche 3 et \'el\`eve au carr\'e. 
\begin{itemize}
 \item Si on rentre le nombre 4, il en ressort 1, ou encore l'image de 4  par $f$ est $1$, ou encore $f(4)=1$
 \item Si on rentre le nombre 0, il en ressort 9, ou encore l'image de 0  par $f$ est $9$, ou encore $f(0)=9$
\item Si on rentre 3, il en ressort 0, ie l'image de $3$ par $f$ vaut $0$, ie $f(3)=0$.
 \item Si on rentre $\sqrt{2}$, il en ressort $(\sqrt{2}-3)^2$, ie $f(\sqrt{2})=(\sqrt{2}-3)^2$.
 \item Si on rentre $x$, il en ressort $(x-3)^2$, ie $f(x)=(x-3)^2$.
\end{itemize}
Ici, on a décrit la fonction numérique $$\begin{array}{cccl}
f:& \R &\longrightarrow &  \R  \\
&x& \longmapsto &  (x-3)^2
 \end{array}$$
par l'algorithme calculatoire : $x \longmapsto x-3 \longmapsto(x-3)^2$. \\
Un antécédent de $1$  par $f$ est $4$. Pour tous les trouver, on doit résoudre $f(x)=1$. Or 
\begin{eqnarray*}
(x-3)^2=1 & \Longleftrightarrow &  x-3 = 1 \textrm{ ou } x-3 = -1\\
 & \Longleftrightarrow & x-3 = 1 \textrm{ ou } x-3 = -1 \\
& \Longleftrightarrow & x = 4 \textrm{ ou } x = 2 
\end{eqnarray*}
Un antécédent de $0$ par $f$ est $3$. On peut vérifier que c'est le seul en résolvant l'équation $(x-3)^2 = 0$.\\
Par contre, $-1$ n'a pas d'antécédent par $f$, car l'équation $(x-3)^2=-1$ n'a pas de solutions.
}

\Exop{On choisit un nombre, on lui ajoute 4, on \'el\`eve le r\'esultat au carr\'e, on retranche 16 
et on divise le tout par le nombre de d\'epart. \\
Quelle est la fonction $blop$ décrite par cet algorithme ? 
Quelle est l'image de 4 ? Que vaut $blop(0)$ ?
}

\Exop{Soit la fonction $\begin{array}{cccl}
g:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto 2x^2-3
 \end{array}$.\\
D\'ecrire l'algorithme correspondant \`a la fonction $g$.\newline
D\'eterminer l'image de 3, puis celle de $-1$ par la fonction $g$. \newline
D\'eterminer les ant\'ec\'edents \'eventuels de $7$, de $-3$ et de $-4$ par la fonction $g$.
}
\begin{multicols}{2}
 \begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     x EST_DU_TYPE NOMBRE
3     fx EST_DU_TYPE NOMBRE
4   DEBUT_ALGORITHME
5     LIRE x
6     fx PREND_LA_VALEUR sqrt(2*x)+5
7     AFFICHER fx
8   FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\Exop{
Décrire la fonction associée à l'algorithme ci-contre :}
\end{multicols}

\Exop{Ecrire un algorithme permettant de déterminer les antécédents de n'importe quel nombre réel $y$ par 
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=3x+1$
}

\Exos{Hyperbole : 7-9 p 46 + 45 p 52}


\section{Représentation graphique}
\subsection{Définition}

On peut associer \`a une fonction un tableau de valeurs (que l'on trouve à la calculatrice). 
Il comporte deux lignes, la premi\`ere regroupe les ant\'ec\'edents $x$ et la seconde les images $f(x)$ correspondantes.\\
On peut alors placer les points de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère $(O; \vec u ; \vec v )$ du plan.\\


\Defc{
La \textbf{représentation graphique} $\mathscr C_f$  d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ 
est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.\\
Autrement dit : $M(x;y) \in \mathscr C_f $ si et seulement si $\left\{\begin{array}{cc}
                                                                       x\in D_f \\ f(x)=y.
                                                                      \end{array} \right.$\\
On dit que la courbe $\mathscr C_f$ a pour équation $y=f(x)$ dans le repère choisi.
}

\Expl{Dessin Déclic p 18}

\Expl{Soit $d$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $d(x)=x^2-1$. Compléter le tableau de valeurs suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 $x$ & -3 & 2 & 0 & -1 & 7 & 1,5 & 4 \\\hline
 $d(x)$ & & & & & & &  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e les points de coordonn\'ees $\left(x;d(x)\right)$. \\
Imaginer alors l'allure de la courbe repr\'esentative  $\mathscr C_d$ de la fonction $d$.\\
Le point $A(1;0)$ appartient-il à $\mathscr C_d$ ? Et le point $B(0.5;-0.7)$?
}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(3.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-15,-10)(15,30)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent \Rq{
Pour tracer la courbe repr\'esentative  d'une fonction, on relie les points du tableau de valeurs avec le plus 
de coh\'erence possible.  On prendra toujours un tableau  avec au moins 10 valeurs et on consultera
le trac\'e de la courbe sur la calculatrice pour s'aider.\\
N\'eanmoins, on ne sait pas exactement comment varie la fonction entre deux points de la courbe.
}

\Rq{Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.8,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){2.85}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\noindent \Rq{Pour obtenir un tableau de valeurs (et la courbe repr\'esentative d'une fonction) \`a la calculatrice graphique :
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans $Y=$ OU dans Menu + Graph.
 \item On r\`egle les param\`etres du tableau de valeurs (premi\`ere, derni\`ere valeur de $x$ et pas) dans le menu Table + Tblset (jaune + F4) OU Menu + Table + F5, :
\begin{center}
Start=..., End=..., Pitch=... (sur Casio)\\
TblStart=..., $\Delta$Tbl=... (sur TI)
\end{center}
 \item On affiche le tableau dans le menu Graph
 \item On affiche la courbe repr\'esentative dans le menu Trace
\end{itemize}
}

\Expls{Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par $f(x)=3$, $g(x)=2x+1$ et $h(x)=-2x+1$.
}

\Exos{n$^{\circ}$ 10 à 12 p 47 + 62 p 55}

\subsection{Lecture graphique}

\Act{Déclic p 14 : Exploiter une courbe.
}

\Cadre[Méthodes pour déterminer graphiquement ]{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Un ensemble de définition} : On déterminer l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe représentative.\\
Puis on le décrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles, en faisant attention aux bornes (crochets ouverts ou fermés).
 \item \textbf{L'image} $f(a)$ d'un réel $a$ : On place sur la courbe le point d'abscisse $a$ et on lit son ordonnée.
 \item \textbf{ Les éventuels antécédents} d'un réel $b$ : On place sur la courbe tous les points éventuels d'ordonnées $b$ (on peut pour les mettre en 
évidence, tracer la droite horizontale d'équation $y=b$) et on lit leur abscisses.
\end{itemize}
}


\Exos{n$^{\circ}$ 3 + 6 + 17 p 46}


\subsection{R\'esolution graphique}
\begin{multicols}{2}
\Act{
\noindent Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies par le graphique ci-contre :\\
R\'esoudre :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=2$
 \item $f(x) = h(x)$ 
 \item $f(x) = g(x) $ 
 \item $g(x)=h(x)$
\item  $ f(x) < 2$
 \item  $g(x) \geq 1$
\item $f(x) \geq h(x)$ 
 \item $f(x) <h(x)$
\end{enumerate}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\G{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
\def\H{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
 \uput[r](3.7,5){$C_f$}
 \uput[r](4.8,4.5){$C_g$}
 \uput[r](-5.9,3.5){$C_h$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\noindent Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur un intervalle $I$, $k\in\R$. 
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leurs  courbes repr\'esentatives respectives. \\

\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=k$]{
On trace la courbe $\mathscr C_f$, et la droite $d$ d'\'equation $y=k$ , représentative de la fonction affine constante défnie par $g(x)=k$. \newline
Les solutions de l'\'equation sont les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $d$.
}

\Rq{
D\'eterminer sur un intervalle $I$ les solutions de $f(x)=k$ revient \`a 
trouver tous les ant\'ec\'edents de $k$ appartenant \`a $I$. 
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $\R$ l'\'equation  $$\quad\quad(x-4)^2+1=3$$

On trace la courbe représentative de $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= (x-4)^2+1 $ et la droite d'équation $y= 3$. \newline
\indent On trouve $S=\left\{x_1;x_2\right\}$\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,3)
\psdot(5.4,3)
\psline[linestyle=dashed](5.4,0)(5.4,3)
 \uput[d](2.6,0){$x_1$}
 \uput[d](5.4,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}\\
\end{center}
\end{multicols}
}

\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)=g(x)$]{
On trace sur $I$ les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. \\
Les solutions de l'\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$.
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $[-1; + \infty[$ l'\'equation  $$(x-4)^2+1=\sqrt{x+1}$$
On trace les courbes représentatives des fonctions $f: x \rightarrow (x-4)^2+1 $ d\'efinie sur $\R$ et $g:x \rightarrow \sqrt{x+1}$ d\'efinie sur $[-1; + \infty[$. \newline
\indent On trouve $S=\left\{x_1;x_2\right\}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$C_g$}
\psdot(5,2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2)(0,2)
\psdot(3.3,1.55)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,1.55)(0,1.55)
 \uput[d](3.3,0){$x_1$}
 \uput[d](5,0){$x_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

%\subsection{Résolutions graphiques d'in\'equations}


\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)<k$]{
Pour r\'esoudre cette in\'equation graphiquement, on trace la courbe $\mathscr C_f$, et la droite $d$ d'\'equation $y=k$ , représentative de la fonction affine constante défnie par $g(x)=k$. \newline
Les solutions de l'\'equation sont les abscisses des \'eventuels points de $\mathscr C_f$ se trouvant au dessous de $d$.
}


\Cadre[M\'ethode pour r\'esoudre graphiquement $f(x)<g(x)$]{
On trace sur $I$ les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$. Les solutions de l'in\'equation sont alors les abscisses des \'eventuels points de $C_f$ se trouvant au-dessous de $C_g$.
}

\Expl{
En prenant les deux exemples ci-dessus, on trouve $S=]x_1;x_2[$ dans les deux cas.
}


\Exos{n$^{\circ}$ 13 à 16 p 47 + 29 p 49 + QCM et Vrai-Faux p 54 + n$^{\circ}$ 58 à 60 p 55}



\section{Variations}



\section{Les fonctions affines}
\subsection{D\'efinition}
\Defc{Soient $a$ et $b$ deux r\'eels. \\
On appelle fonction affine toute fonction dont l'expression alg\'ebrique est de la forme $f(x)=ax+b$. }

\Ptec{L'expression alg\'ebrique d'une fonction affine ne comporte ni quotient, ni racine.\\
Son ensemble de d\'efinition est donc $\R$.}

\Expls{
Les fonctions $ f : x \mapsto 3x+2$, $g:x\mapsto -\pi x+\dfrac{2}{3}$, $h : x \mapsto x$ et $k:x\mapsto 3$ sont affines. \newline
Les fonctions $ l : x \mapsto 3x^2+2$ et $ m : x \mapsto \dfrac{3}{x}+2$ ne le sont pas.}


\noindent La famille des fonctions affines contient donc celles des fonctions constantes ($a=0$) et des fonctions lin\'eaires ($b=0$). On peut repr\'esenter la situation par un diagramme ``en patate'' :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fct_affine.eps}
\end{center}

\Expl{Trouver la fonction affine telle que $f(1)=2$ et $f(-2)=-1$.\newline
$f$ est une fonction affine ce qui \'equivaut \`a dire qu'il existe deux r\'eels $a$ et $b$ tels que 
pour tout $x$ de $\R$, $f(x)=ax+b$. On a : 
$$\left\{\begin{array}{l}
          f(1)=2 \\ f(-2)=-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
 \left\{\begin{array}{l}
          a\times 1 + b = 2 \\ -2a+b=-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          b=2-a \\ -2a+(2-a) =-1
         \end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          b=2-a \\ -3a=-3
         \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
          b=1 \\ a=1
         \end{array}\right.
$$
La fonction affine $f$ v\'erifiant $f(1)=2$ et $f(-2)=-1$ est $f:x\mapsto x +1$
}

\Exop{
D\'eterminer la fonction affine $f$ telle que $f(-2)=9$ et $f(3)=-11$.
}

\subsection{Ordre des images en fonction de celui des antécédents, et réciproquement }
\Ptec{Soit $f$ la fonction affinie d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Si $a<0$, alors $f$ inverse l'ordre $\R$
\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\R$
\item Si $a>0$, alors $f$ est conserve sur $\R$
\end{enumerate}
}

\Dem{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $x<y$. On cherche à savoir si $f(x)=ax+b$ et $f(y)=ay+b$ sont dans le même ordre. 
$$\begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a >0} }{\Longleftrightarrow} & \,ax< ay  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b < ay+b \\
\Longleftrightarrow & f(x)<f(y)
   \end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a=0}}{\Longrightarrow} & \,ax=ay=0  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b = ay+b = b \\
\Longleftrightarrow & f(x)=f(y)=b
   \end{array} \quad\quad\quad
 \begin{array}{lc}
    & x<y \\ \stackrel{^{\times a<0}}{\Longleftrightarrow} & \,ax>ay  \\ \stackrel{+b}{\Longleftrightarrow} & ax+b > ay+b \\
\Longleftrightarrow  & f(x)>f(y) 
\end{array}
$$
}

\Exop{
On donne les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par $f(x)=-3x-\dfrac{5}{8}$, $g(x)=-\pi x +1$ et $h(x)=87\,968x-\sqrt{5\,468}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des images des nombres :
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item 1 et 5
  \item $\sqrt{364}$ et $-\pi$
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des antécédents des nombres :
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
  \item $\dfrac{12}{45}$ et $\dfrac{15}{39}$
  \item $\sqrt{180}$ et $2\sqrt{98}$
  \item $\dfrac{3^4\times 5^{13} \times 3^3}{15^7}$ et $\dfrac{5^3\times 5^5 \times 3^{10}}{15^{10}}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\subsection{Repr\'esentation graphique}
\Ptec{La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite. Son \'equation r\'eduite est $y=mx+p$. \newline
$m$ est appel\'e le coefficient directeur et $p$ l'ordonn\'ee \`a l'origine.}

\Dem{
Admis pour l'instant
}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{droites-coef.eps}
\end{center}



\Ptec{Soit un fonction affine $f$ telle que $f(x)=ax+b$ représentée par la droite $\mathscr D$..
L'ordonn\'ee \`a l'origine $b$ est l'ordonn\'ee du point d'intersection de $\mathscr D$ et de
 l'axe des ordonnées.\\
Si $x_1$ et $x_2$ sont deux nombres réels distincts, on a :
$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
ou encore si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points distincts de $\mathscr D$ on a :
$$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
}

\Dem{
On note $M$ le point d'intersection de $\mathscr D$ avec l'axe $(Oy)$. Alors on a $x_M=0$ et $y_M=f(x_M)$. Donc
$$y_M=f(0) \Leftrightarrow y_M=0 \times a + b \Leftrightarrow y_M=b $$
Soient $x_1\neq x_2$. Alors on a :
$$\left\{ \begin{array}{l}
	  f(x_1)=ax_1+b \\ f(x_2)=ax_2+b
          \end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
	  f(x_1)-ax_1=b \\ f(x_2)-ax_2=b
          \end{array}\right.$$
$$
\Longrightarrow
	  f(x_1)-ax_1=f(x_2)-ax_2
\Longleftrightarrow
	  f(x_1)-f(x_2) = ax_1-ax_2
  \Longleftrightarrow
	  f(x_1)-f(x_2) = a(x_1-x_2)$$
$$
\Longleftrightarrow
	  \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} = a
\Longleftrightarrow
	  a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$ 
Le principe est le même pour les points $A$ et $B$ en raisonnant sur les coordonnées, puisque $y_A=f(x_A)$ et $y_B=f(x_B)$.       
}

\underline{Cons\'equence : Interpr\'etation graphique du coefficient directeur}\newline

 Si on choisit deux points $A$ et $B$ tels que $x_B-x_A=1$ alors $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=y_B-y_A $.

\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{coef_dir.eps}
\end{center}

\subsubsection{Algorithme de trac\'e}

Traiter l'exemple d'une fonction affine d\'efinie par morceaux.

\subsection{Signe d'une fonction affine}

\textit{\textbf{Combiner les deux façons ...}}

\Act{On cherche \`a conna\^itre le signe de diff\'erentes expressions du type $ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Etude du signe de $2x-3$ :
 \begin{itemize}
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3=0$
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3<0$ 
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3>0$
  \item Consigner ces r\'esultats dans ce tableau :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x-3}&&&\txt{0}&&\cr
}$$
\end{itemize}
\item M\^emes questions pour l'expression $-3x-4$
\item Cas g\'en\'eral : \'Etudier le signe de $ax+b$ o\`u $a$ et $b$ sont des r\'eels et $a \neq 0$ 
\end{enumerate}
}

\Ptec{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ et 
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{b}{a}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{ax+b}&&\tx{\textrm{Signe oppos\'e de } a}&\txt{0}&\tx{\quad\textrm{Signe de } a\quad}&\cr
}$$
}

\Dem{ Si $a>0$ (on raisonne de même si $a<0$) :
$$\begin{array}{lc}
    & ax+b=0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax=-b  \\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}}}{\Longleftrightarrow} & x = -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
   & ax+b>0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax>-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x > -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad\quad\quad
 \begin{array}{lc}
  & ax+b<0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax<-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x < -\dfrac{b}{a}
\end{array}
$$
}

\Exop{\'Etablir le tableau de signe des fonctions affines $f$, $g$ et $h$ définies par  $f(x)=5x-3$, $g(x)=-\pi x+1$ et $h(x)=\dfrac{1}{2}x+4$}

\Exop{Un ticket de bus coûte $1.20\euro$. On peut aussi prendre un abonnement annuel de $30\euro$ ; le trajouet coûte alors $1\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $x$ le nombre de trajets en bus effectufés dans l'année. \\
Donner l'expression de la fonction :
\begin{itemize}
 \item $f$ qui à $x$ associe le prix total sans abonnement
 \item $g$ qui à $x$ associe le prix total avec abonnement
\end{itemize}
\item Donner l'expression réduite de $h(x)=f(x)-g(x)$. Que représente $h(x)$ ?
\item A partir de combien de trajets effectués dans l'année l'abonnement est-il intéressant ?
\end{enumerate}
}

\newpage

\textbf{\textit{Plus complet ....}}
\section{Signe d'une expression}
\textit{Peut être fait ici ou dans le chapitre suivant sur les fonction affines}

\subsection{Signe d'un monôme (expression du type $ax+b$, $a$ et $b$ deux nombres réels)}

\Act{On cherche \`a conna\^itre le signe de diff\'erentes expressions du type $ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Etude du signe de $2x-3$ :
 \begin{itemize}
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3=0$
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3<0$ 
  \item R\'esoudre dans $\R$ $2x-3>0$
  \item Consigner ces r\'esultats dans ce tableau :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x-3}&&&\txt{0}&&\cr
}$$
\end{itemize}
\item M\^emes questions pour l'expression $-3x-4$
\item Cas g\'en\'eral : \'Etudier le signe de $ax+b$ o\`u $a$ et $b$ sont des r\'eels et $a \neq 0$ 
\end{enumerate}
}

\Ptec{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ et 
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{b}{a}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{ax+b}&&\tx{\textrm{Signe oppos\'e de } a}&\txt{0}&\tx{\quad\textrm{Signe de } a\quad}&\cr
}$$
}

\Dem{ Si $a>0$ (on raisonne de même si $a<0$) :
$$\begin{array}{lc}
    & ax+b=0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax=-b  \\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}}}{\Longleftrightarrow} & x = -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
   & ax+b>0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax>-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x > -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \quad\quad\quad
 \begin{array}{lc}
  & ax+b<0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax<-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x < -\dfrac{b}{a}
\end{array}
$$
}

\Exop{\'Etablir le tableau de signe des fonctions affines $f$, $g$ et $h$ définies par  $f(x)=5x-3$, $g(x)=-x+1$ et $h(x)=\dfrac{1}{2}x+4$}

\Exop{Un ticket de bus coûte $1.20\euro$. On peut aussi prendre un abonnement annuel de $30\euro$ ; le trajouet coûte alors $1\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $x$ le nombre de trajets en bus effectufés dans l'année. \\
Donner l'expression de la fonction :
\begin{itemize}
 \item $f$ qui à $x$ associe le prix total sans abonnement
 \item $g$ qui à $x$ associe le prix total avec abonnement
\end{itemize}
\item Donner l'expression réduite de $h(x)=f(x)-g(x)$. Que représente $h(x)$ ?
\item A partir de combien de trajets effectués dans l'année l'abonnement est-il intéressant ?
\end{enumerate}
}

\subsection{Signe d'un produit et d'un quotient de monômes}

On connait déjà le signe d'un carré, d'un inverse ou de n'importe quelle expression du type $ax+b$.\\
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication (ou une division), 
on peut alors trouver le signe d'un produit comme d'un quotient d'expressions de ce type.\\
On utlise pour cela un grand tableau de signes, dans lequel on fait figurer les éventuelles valeurs interdites.
\Expl{Pour étudier le signe de $P(x)=(2x+1)(-x+2)$, on dresse un tableau de signe avec une ligne par facteur :
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{1}{2}}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x+1}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\trait&\tx{+}&\cr
\tx{-x+2}&&\tx{+}&\trait&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{(2x+1)(-x+2)}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
}$$
Conclusion : 
\begin{itemize}
 \item $P(x)>0$ ssi $x\in \left]-\dfrac{1}{2};2\right[$
 \item $P(x)<0$ ssi $x\in \left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]2;+\infty[$
\item $P(x)=0$ ssi $x\in \left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}$
\end{itemize}
On sait ainsi que les solutions de l'in\'equation $P(x)<0$ est $S=\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]2;+\infty[$
}\\

\Exop{
R\'esoudre les in\'equations suivantes :
$$ (3x+4)(-2x+1) \geq 0  \qquad \qquad (x+3)(x^2+3)\leq 0 \qquad \qquad (3-x)(2+x)(1-x)<0 $$
}

\Expl{Pour étudier le signe de l'expression $Q(x)=\dfrac{3-x}{4x-1}$ on commence par trouver les éventuelles valeurs interdites.\\
\textbf{VI} : $4x-1\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq \dfrac{1}{4}$.\\
Ensuite on procède comme dans l'exemple précédent.
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{4}}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3-x}&&\tx{+}&\trait&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{4x-1}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\trait&\tx{+}&\cr
\tx{\dfrac{3-x}{4x-1}}&&\tx{-}& \dbt &\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
}$$
}

\Exop{
R\'esoudre les in\'equations suivantes :
$$\dfrac{-x+5}{-4-2x}>0 \qquad \qquad \dfrac{(1+x)^2}{1-2x}\leq 0 \qquad \qquad \dfrac{(x^2+1)(x-2)}{(3-2x)}> 0  $$
}\\

\Cadre[M\'ethode de r\'esolution d'in\'equations]{
\textit{Toutes les étapes ne sont pas nécessaires}
\begin{itemize}
 \item Trouver les valeurs interdites pour l'inconnue 
 \item Tout faire appara\^itre dans le m\^eme membre
 \item Mettre au même dénominateur le membre non nul
\item Factoriser le membre non nul
\item Dresser son tableau de signe
\item Donner l'ensemble des solutions
\end{itemize}
}
\\ 

%\Rq{Sur la TI 89, taper SOLVE.}

\Exop{
R\'esoudre les in\'equations suivantes :
$$(x-2)(3x-4)\geq (x-2)(2x+6)  \qquad \qquad (x-2)^2\leq 9 \qquad \qquad (x+3)^2<(2x+1)^2 \qquad \qquad   \dfrac{4-x}{8-x} \geq \dfrac{1-3x}{8-x}$$
$$\dfrac{2x+3}{x+1}\geq 4 \qquad \qquad \dfrac{25-x^2}{3x+2}> 0 \qquad \qquad \dfrac{2x(3x-6)}{(x-3)(1-x)}\leq 0 $$.
}



%\thispagestyle{empty}


Il faut avoir une haute idée, non pas de ce qu'on fait, mais de ce qu'on pourra faire un jour ; 
sans quoi ce n'est pas la peine de travailler.


\end{document}