\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 3 : G\'eom\'etrie dans l'espace }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2010-2011}
\usepackage{pifont}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie \linebreak[2] dans l'espace}	
\newcommand{\Cl}{2$^{\text{nde}}$}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune


\setcounter{NumLecon}{3}

\debutCha{swim.eps}{Swim}{Caribou}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
 Depuis ses débuts sous le nom de Manitoba,
 le canadien Dan Snaith n’en finit plus de sonder en profondeur l’électro-pop. 
Passé l’expérience Manitoba, Dan s’est accaparé les commandes du groupe Caribou. 
groupe qui n’a jamais cherché à écrire la pop-song parfaite, celle que l’on se prend à fredonner dans la rue.
 La démarche pop et la dimension psychédélique du groupe se concentre sur la structure chirurgicale 
des morceaux. Il y a cette impression tenace de tenir avec l’album \textit{Swim} l’alchimie parfaite entre les
 expérimentations audacieuses d’Animal Collective et les comptines électronica de Four Tet.
 Caribou atteint ici un niveau insoupçonné d’homogénéité et semble parvenir à une sorte de plénitude. 
\textit{Swim} se révèle plus sombre que ses prédécesseurs, mais jamais plombant,
 notamment sur l’électro 80’s d'un Leave House chancelant et sur le fantastique Found Out dont 
les trois minutes d’électro-pop risquent fortement de parasiter durablement vos pensées par la force d'un 
thème d'une simplicité désarmante.\\
Caribou signe là un brillant album de pop électronique ingénieuse et démontre une fois de plus tout le génie 
de Dan Snaith. Il n’en reste pas moins que Caribou est un groupe prenant toute sa mesure en live où ses 
prestations psychédéliques révèlent tout leur pouvoir hypnotique et il y a fort à parier qu'avec ce nouvel 
album, les prochains concerts vont être sublimés. }{0.4}{0.4}
\setcounter{NumLecon}{3}

\TITRE{espace.eps}{0.15}

\begin{abstract}
Nous allons tenter \`a travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l'on appelle la dimension $3$ : l'espace.\newline
Une des plus grandes difficult\'es sera de parvenir \`a voir des figures spatiales, alors qu'elles sont trac\'ees sur une feuille (donc dans un plan), c'est-\`a-dire  en dimension $2$.\newline
Nous rappellerons quelques r\`egles de perspective cavali\`ere, ainsi que les pi\`eges qu'il faudra \'eviter.\newline
L'\'el\`eve curieux peut se demander si on peut aller plus loin dans les dimensions... En effet, durant la scolarit\'e, on ne cesse d'augmenter le nombre de dimension, $1$ avec les droites, $2$ avec la g\'eom\'etrie plane et $3$ avec l'espace. Et bien oui ! On peut d\'efinir des espaces de dimension $4$, le plus connu \'etant l'espace-temps. Il devient difficile par contre de repr\'esenter de telles g\'eom\'etries...\newline
On peut aussi se demander si la perspective cavali\`ere est la seule mani\`ere de repr\'esenter l'espace. La r\'eponse est non, en peinture il n'est pas rare de voir une autre mani\`ere de repr\'esenter l'espace : la perspective parall\`ele.
\end{abstract}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\section{Rappels de la géométrie de collège}

\noindent \textit{Cette partie se construit tout au long d'une activité, consistant à étudier un tétraèdre et sa construction en origamie.
}

\subsection{Les solides : construction, représentation, volume}
\Act{\textbf{Construction d'un tétraèdre régulier en origamie}
\begin{enumerate}
 \item Visionner le film de la construction d'un solide en origamie, sur le site de 
\href{http://bidouillesetmathscollege.blogspot.com/2009/11/activite-geometrie-dans-lespace.html}{Bricomath}.
 \item Quel est la nature du solide construit ?
 \item Grâce à la série de schémas fournie ci-dessous, construire vous-même ce solide, et marquer votre nom dessus.
 \item Quelle semble être la nature des faces de ce solide ?\\
\textit{On parle de tétraèdre régulier.}
 \item A quelle étape de la construction apparaît la première face du solide ?
 \item Construire deux patrons différents de tétraèdre régulier de côtés 4 cm.
 \item Représenter un tétraèdre régulier en perspective cavalière.
\end{enumerate}
}

 \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.000,23.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.35,20.2635)(10.7000,16.7635)
\pspolygon(0.000,23.7635)(5.35,20.2635)(10.700,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(10.7,0)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(6.5,7.2)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0)(10.70000,29.7)(0.0000,29.7000)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(10.7000,4.7635)(0,10.7635)(10.7,16.7635)(0,23.7635)(10.7,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}



\noindent La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère ces notions comme suffisamment évidentes pour ne pas les définir ici.\\
Rappelons tout de même qu'un plan est représenté en général par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans toutes les directions (comme la droite est représentée par un segment).

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1}		
\end{center}


\Cadre[En perspective cavalière : ]{
\begin{enumerate}
\item Les segments visibles sont dessin\'es en traits pleins ; les autres sont dessin\'es en pointill\'es.
\item Des points align\'es sont repr\'esent\'es par des points align\'es.
\item Deux droites de l'espaces parall\`eles (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par deux droites parall\`eles. 
\item Des droites concourantes (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par des droites concourantes.
\item \textbf{Attention !} Des droites concourantes sur le dessin ne le sont pas forcément dans la réalité !
\item Le milieu d'un segment est repr\'esent\'e par le milieu du segment dessin\'e. 
\item Dans un plan de face, une figure est repr\'esent\'ee \`a l'\'echelle, dans les autres plans, les tailles sont r\'eduites proportionnellement.
\item \textbf{Attention !} Les angles ne sont pas conservés (sauf dans le plan de face)
\end{enumerate}
}

\Expls{\vspace{-2mm}
\begin{multicols}{2}
Les segments $[AD]$ est $[DC]$, non visibles, ont été représentés en pointillés contrairement au segment $[AB]$.\\
Les droites $(AB)$ est $(DC)$ sont parallèles et sont représentées comme deux droites parallèles. \\
Notons que les droites $(HD)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires mais ne sont pas représentées comme telles.
 \vspace{-10mm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.50]{cavalier.eps}		
\end{center}
\end{multicols}
\vspace{-10mm}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{cavalier2.eps}		
\end{center}
\vspace{-10mm}
Dans ce deuxième exemple on peut observer que les droites non sécantes $(EC)$ et $(AH)$ se coupent pourtant sur le dessin.
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.41]{tetraS.eps} 
\end{center}
Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des ar\^etes $[BC]$, $[AB]$ et $[SB]$.\\
Le point $G$ est le centre de gravit\'e du triangle $SAB$. Il est donc sur la m\'ediane $(SJ)$. Les points $S$, $J$ et $G$ sont align\'es. \\
De m\^eme $H$ est le centre de gravit\'e du triangle $SBC$. Il est sur la droite $(SI)$.\\
Les droites $(AC)$ et $(SB)$ ne sont pas concourantes dans l'espace, mais elles se coupent sur le dessin.
\end{multicols}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 8 + 9 p 31}


\Cadre[Les patrons]{Un patron de solide est obtenu en plaçant toutes ses faces dans un même plan.}

\Rqs{
\item Un même solide peut avoir plusieurs patrons possibles (non superposables).
\item Certains solides n'ont pas de patrons : c'est le cas de la sphère.
}


\Expl{Représenter deux patrons de pavé droit de dimensions 2 cm, 3 cm et 4 cm (cf p 290)}

\Exos{n$^{\circ}$ 1 + 5 + 10 p 30}

\Cadre[Quelques solides et leur volume (cf formulaire p 290-291)]{
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
      \textbf{Parallélpipède rectangle} : $V =L\times l \times h$. \\
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Sphère} : $V= \dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$ \\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cylindre de révolution} : $V =\pi\times r^2\times h$. \\
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
   \textbf{Pyramide} : $V =\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{h}}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cône de révolution} : $V =\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
}\\



\subsection{Axiomes et premières propriétés}

\noindent En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition évidente en soi dans la tradition 
mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide.Aujourd'hui, on l'utilise en logique 
mathématique pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une 
théorie, appelé axiomatique, doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. 
Un axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie et représente  
donc plutôt un point de départ dans un système de logique. \\
L'axiomatique peut être choisi arbitrairement mais la pertinence
d'une théorie en dépendra. En réalité, c'est de la non 
cohérence de son interprétation que vient la réfutation d'une théorie et, par voie de 
conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la 
physique théorique.\\

\Cadre[Axiomes d'incidences]{
En géométrie dans l'espace, il s'agit des 
règles qui fournissent les relations entre les points, les droites et les plans. 
\begin{itemize}
 \item Deux points \textbf{non confondus} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer une droite.
 \item Trois points \textbf{non alignés} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer un plan.
 \item Si $M$ et $N$ sont deux points d'un plan $\mathscr P$, alors tous les points de la droite $(MN)$ appartiennent à $\mathscr P$.
\end{itemize}
}

\Rqs{\item On nomme un plan par trois points non alignés entre parenthèses (ceci permet de le différencier du triangle).
 \item Un plan peut donc être déterminé par l'une des conditions :
suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\\\
\end{tabular}\\}

\Defc{Quand des \'el\'ements de l'espace appartiennent \`a un m\^eme plan, on dit que ces \'el\'ements sont
 \textbf{coplanaires}.}

\Rq{Deux ou trois points de l'espace sont toujours coplanaires.}\\

\Thc{Lorsque tous les \'el\'ements d'un probl\`eme sont coplanaires, toutes les r\`egles de la g\'eom\'etrie plane s'appliquent (Thal\`es, Pythagore ...)}

\Rq{Dans un probl\`eme de g\'eom\'etrie dans l'espace, on essaiera donc toujours de se placer dans un plan (que l'on prendra la peine de pr\'eciser) pour raisonner.}
 
\Exos{Activité 2 p 23}

\subsection{La géométrie plane}
\Act{\textbf{Etude d'une face du tétraèdre}\\
\textit{Dans cette partie, nous allons démontrer que les faces obtenues lors de la construction sont des
 triangles équilatéraux.}}
\textbf{Rappels de la construction par des schémas : }\\

 \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\uput{0.1000}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\uput{0.1000}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,0){B}
\uput{0.1000}[-90.0000](10.7000,0){E}
\uput{0.1000}[130.0000](10.7000,6.9365){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}


\begin{enumerate}
 \item Constats immédiats :
\begin{enumerate}
 \item Grâce à la construction, que pouvez-vous dire sur $B$ et $B'$ ?
 \item En déduire que les angles $\widehat{BDC}$ et $\widehat{B'DC}$  sont de même mesure.\\
Notons $\beta$ cet angle.
 \item Grâce à la construction, que pouvez-vous dire sur $(BC)$ et $(B'D)$ ?
 \item En déduire que les angles  $\widehat{BCD}$ et $\widehat{B'DC}$ sont égaux.
 \item Que pouvez-vous en déduire sur la nature du triangle $BCD$ ?
\end{enumerate}
 \item En utilisant les théorèmes de collège :
\begin{enumerate}
 \item En vous plaçant dans le triangle $ABC$, expliquez pourquoi $D$ est le milieu de $[AC]$.
 \item En déduire que $AD=DC=BD$
 \item Que pouvez-vous en déduire sur la nature du triangle $BCD$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsubsection{Droites remarquables du triangle}

Cf Thème 14 p 287

\subsubsection{Quadrilatères}

Cf Thème 16 p 288

\subsubsection{Des théorèmes importants}

Cf Thème 15 p 288 

\subsubsection{Sym\'etries}

Cf Thème 19 p 289

\subsubsection{Trigonométrie}
 
Cf Thème 17 p 289\\

\Act{\textbf{Etude du tétraèdre}\\
On appelle $\mathscr T$ le tétraèdre construit précédemment.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Par construction, que vaut la hauteur $h$ d'une des faces ?
 \item En déduire la longueur $a$ des arêtes de $\mathscr T$.
 \item Calculer l'aire d'une face de $\mathscr T$.
       \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Représenter à main levée en perspective cavalière le solide $\mathscr T$. \\
 Appeller $IJK$ la face au sol et $L$ le sommet opposé. Placer le centre de gravité $G$ de $IJK$.
 \item Déterminer la longueur $IG$.
 \item Calculer la hauteur $LG$ du tétraèdre.
        \end{enumerate}
 \item En déduire le volume du tétraèdre.
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 6-7 p 30 + 29 - 30 - 32 - 33 p 32}

\Act{ \textbf{Duplication du tétraèdre}
\begin{enumerate}
 \item En assemblant plusieurs des tétraèdres construits précédemment, construire un nouveau tétraèdre 
aux dimensions doublées.
 \item Quelle est la forme du \og trou \fg\, au coeur du nouveau tétraèdre ? (tiges aimentées + perspective cavalière)
 \item Quelle est le volume du trou ?
\end{enumerate}
}

\Rqs{\item \og Etant donnée un carré, construire un carré d'aire double. \fg\\
Selon Platon, Socrate aurait proposé ce problème à un esclace afin de démontrer que la connaissance est en chacun de nous.
\item On raconte que pour enrayer une épidémie de peste qui décomait Athènes, les habitants de l'île de Délos décidèrent de doubler le volume de l'autel dédié
à Apollon. Ce n'est qu'au $XIX^e$ siècle que l'on a démontré que cette construction était impossible à la règle non graduée et au compas !}



\section{Positions relatives}

\Act{\textit{Repérer autour de nous}
\begin{enumerate}
      \item Combien de pieds faut-il au minimum pour qu'une chaise soit stable ?
 \item Repérer dans la salle de classe :
\begin{enumerate}
 \item Des plans qui sont parallèles ;
 \item Des plans qui se coupent. Quelle semble être leur intersection ?
 \item Des droites parallèles  et des droites sécantes ;
 \item Des droites qui ne semblent ni parallèles ni sécantes.
\end{enumerate}
      \end{enumerate}
}


\Cadre[De deux plans]{
 Soient $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois 
	possibilités :
	\begin{enumerate}
\item Les plans sont parallèles (confondus ou strictement). 
\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.19}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.21}	 	 	
	       \\
	        parallèles confondus \qquad  & parallèles strictement 
\end{tabular}
\end{center}
\item Les plans ont un point commun $A$ et sont distincts. Alors ils sont sécants 
	suivant une droite passant par $A$.\\ Ainsi deux plans distincts 
	qui ont deux points communs $A$ et $B$ sont sécants suivant la droite $(AB)$
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.2}		
	\end{center}
	\end{enumerate}
}\\

\Cadre[Une droite et un plan]{
Soient  $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
\begin{enumerate}
	\item La droite est parallèle à une droite de ce plan 
(éventuellement elle-même). Alors la droite est parallèle au plan.
	\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.20}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.4}	 	 	
	       \\
	        parallèle strictement & droites incluses dans le plan
\end{tabular}
  \end{center}
	\item La droite et le plan ne sont pas parallèles. Ils n'ont qu'un point commun et sont dits sécants,
\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.7}	 
			\end{center}	
\end{enumerate}
}\\


\Cadre[Deux droites]{
Soient $d$ et $d'$ deux droites de l'espace. Il n'existe que trois possibilités :
\begin{enumerate}
  \item  Il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont dites coplanaires. \\
	 Elles sont alors soit sécantes ou soit parallèles (strictement ou confondues) dans ce plan.
\begin{center}
 \begin{tabular}{cc}
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.6}	 	 	
	       \\
	        deux droites sécantes & deux droites parallèles
\end{tabular}
\end{center}
	  \item  Il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles 
	   sont dites non coplanaires (et elles non pas de points commun !)
	   \begin{center}
	    \includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.7}		
	   \end{center}   	   
	\end{enumerate}
}

\Rq{Dans l'espace, 
\begin{itemize}
 \item Deux droites sans points commun ne sont pas forc\'ement parall\`eles ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Deux droites qui ne sont pas parall\`eles n'ont pas toujours de point commun ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminer par deux droites s\'ecantes.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminer par deux droites strictement parall\`eles.
\end{itemize}
}



\Exop{
\begin{multicols}{2}
$ABCD$ est un tétraèdre et $I$ est le milieu de $[AB]$. \\
Compléter les phrases mathématiques suivantes à l'aide des symboles $$\subset,\quad\in,\quad\notin,\quad\not\subset $$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I\dots (AB)$
\item $B\dots (CDI)$
\item $(CI)\dots (ABC)$
\item $D\dots (BI)$
\item $(AB)\dots (CBA)$
\item $(DI)\dots (BCI)$
\item $B\dots (ADI)$
\item $B\dots (IA)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-2)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.5,-1.4)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.5,-1.4)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.5,-1.4)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\rput[bl](2.1,-1.6){$A$}
\rput[bl](6.9,-2){$B$}
\rput[bl](7.9,0.6){$C$}
\rput[bl](4.3,4){$D$}
\rput[bl](4.7,-1.4){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}


\Exop{
\begin{multicols}{2}
PRISME est un prisme droit à base triangulaire. Déterminer les positions relatives :
\begin{enumerate}
\item des droites $(RE)$ et $(MI)$.
\item des droites $(PI)$ et $(EM)$.
\item de la droite $(EM)$ et du plan $(IPS)$.
\item de la droite $(SR)$ et du plan $(PMR)$.
\item du plan $(IRP)$ et du plan $(IEM)$.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,0.3)(8.3,3.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(0.7,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,0.7)(6.2,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,3.2)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,0.7)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.2,1.9)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,3.2)(7.7,1.9)
\rput[bl](0.3,3.2){$R$}
\rput[bl](6.3,3.3){$M$}
\rput[bl](0.3,0.4){$P$}
\rput[bl](6.5,0.6){$S$}
\rput[bl](1.8,1.7){$I$}
\rput[bl](7.9,1.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}

\Exop{$ABCDE$ est une pyramide, dont la base $BCDE$ est un 
quadrilatère tel que $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. $K$ est le point du segment $[AD]$ tel 
que $AK=\dfrac{3}{4}AD$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la position relative :
\begin{enumerate}
 \item des droites $(IJ)$ et $(BC)$
 \item des droites$(JK)$ et $(CD)$
\end{enumerate}
\item Déterminer l'intersection :
\begin{enumerate}
       \item de la droite $(JK)$ et du plan $(BCD)$
 \item des plans $(ABC)$ et $(ADE)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos{n$^{\circ}$ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 p 31
}

\Cadre[Application : section d'un solide par un plan]{
Pour tracer la section d'un solide par un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide.
}

\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $ABCD$ un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AD]$. Le point $J$ est sur la face $ACD$ tel que $(IJ)$ ne soit pas parallèle à $(AC)$. \\
Tracer la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$.}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.1,-2.1)(8.3,4.2)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Sol{
\begin{multicols}{2}
$I$ et $J$ sont deux points du plan $(ACD)$, par conséquent :
$$(IJ)\subset (ACD) $$. Comme $B\notin(ACD)$ les plans $(IJB)$ et $(ACD)$ ne sont pas confondus, comme $I$ est commun aux deux plans, leur intersection est une droite : il s'agit de la droite $$(IJ)$$
La trace du plan $(IJB)$ sur la face $ACD$ est donc le segment $[IE]$ (où $E$ est le point d'intersection des droites $(IJ)$ et $(AC)$, tracée ci-dessous en rouge.\\
On démontre de la même manière que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BE]$, puis que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BI]$. \\
Ainsi la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$ est le triangle $BIE$, en rouge sur le schéma suivant :
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.2,-2.3)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.4,-0.9)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(6.4,-0.9)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.4,-0.9)
\rput[bl](6.4,-0.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols} }



\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.

\subsection{Parallélisme entre droites}
\Thc{
	Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}\end{center}}\\


\Dem{Soient $D_1$ et $D_2$ les droites d'intersection. Elles sont coplanaires, donc soit parall\`eles, soit s\'ecantes. 
Or si elles sont s\'ecantes en un point $M$ alors $M$ appartient \`a $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, ce qui est absurbde. Donc elles sont strictement parall\`eles.
}

\Expl{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.
}

\Sol{\begin{multicols}{2}
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$, qui contiennent les faces $ABCD$ et $AFGH$ du pavé, sont parallèles.\\
$I\in(ACI)$, mais $I\notin(ABC)$, donc les plans $(ACI)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus. Comme $A$ et $C$ sont deux points communs aux plans $(ACI)$ et $(ABC)$, on peut conclure que les plans $(ABC)$ et $(ACI)$ sont sécants selon la droite $(AC)$.\\
On a donc $(ABC)//(EFG)$ et $(ACI)\cap (ABC)=(AC)$. On en déduit que le plan $(ACI)$ coupe également le plan $(EFG)$, selon une droite parallèle à $(AC)$. \\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite parallèle à $(AC)$ passant par $I$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1)(8.9,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.3,-0.6)(2.9,2.7)(7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](1.3,-0.6)(8.1,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{0.8}{8.9}{(--13.8--1.6*x)/6.8}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,-0.6)(2.9,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(7.7,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](8.1,0.9)(1.3,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](3,2.8){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Rq{L'intersection se note à l'aide du symbole $\cap$. Ainsi si la droite $d$ est l'intersection des plans $P$ et $Q$, on note :
$$ d=P\cap Q$$}

\parbox[]{10cm}{
\Thc[\textit{Théorème du toit}]{
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center}}\\


\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $SABCD$ une pyramide régulière de sommet $S$ à base carrée. Soit $I$ le milieu de l'arête $[SA]$. Le plan $(CDI)$ coupe le plan $(SAB)$ selon une droite $d$. \\
Démontrer que $d$ est parallèle à $(AB)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.16,0.46)(5.8,7.74)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)(1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](-1.74,2.98)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](1.54,3.02)(2.62,1.58)
\psline(2.62,1.58)(-0.66,1.54)
\psline(-0.66,1.54)(-1.74,2.98)
\psline(-1.74,2.98)(0.26,6.84)
\psline(1.54,3.02)(0.26,6.84)
\psline(0.26,6.84)(-0.66,1.54)
\psline(0.26,6.84)(2.62,1.58)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-13.75-0.04*x)/-3.28}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-5.08-0.04*x)/-3.28}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.2,4.19)(1.44,4.21)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.54,3.02)(-1.74,2.98)
\rput[bl](-0.9,1.26){$A$}
\rput[bl](2.4,1.24){$B$}
\rput[bl](1.4,2.66){$C$}
\rput[bl](-2.04,2.72){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](0.34,6.96){$S$}
\rput[bl](-0.12,4.3){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](-2.46,3.76){\ccqqqq{$d$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Sol{Les plans $(CDI)$ et $(SAB)$ sont sécants selon la droite $d$. Or le plan $(CDI)$ contient la droite $(CD)$ et le plan $(SAB)$ contient la droite $(AB)$, et les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (comme supports des côtés du carré de base de la pyramide). D'après le théorème du toit, la droite $d$ est donc parallèle à la droite $(AB)$.}

\parbox[]{10cm}{
\Corc{
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9}\end{center}}\\


\subsection{Parallélisme entre plans}
\Thc{
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}\end{center}}\\

\subsection{Parallélisme entre droites et plans}
\parbox[]{10cm}{
\Thc{
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
}
                 }
\parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12}\end{center}}\\


\Expl{
Soient $ABCD$ un t\'etra\`edre et $I$, $J$, $K$, $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BD]$ et $[CD]$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'intersection des plans $(ABC)$ et $(IJK)$.
\item D\'eterminer les droites $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ d'intersection des plans $(ACM)$ et $(BCD)$ puis $(ACM)$ et $(IJK)$.
\item D\'emontrer que les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont parall\`eles.
\item D\'emontrer que les droites $\mathscr D_1 // \mathscr D_2$.
\item D\'emontrer que la droite $(IJ)$ est parall\`ele au plan $(BCD)$.
\item D\'emontrer que les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont parall\`eles.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{tetraedre.eps}
\end{center}
\end{multicols}
}\\

\Exos{n$^{\circ}$ 21 + 22 + 24 + 25 + 26 + 27 p 32}

\section{Informatique}
\subsection{Algorithme}
\Exop{
On a écrit un algorithme à l'aide du logiciel Algobox. Voici ce qui a été saisi :}
\vspace{-7mm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     Rayon EST_DU_TYPE NOMBRE
3     Hauteur EST_DU_TYPE NOMBRE
4     Volume EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     AFFICHER "Entrer le rayon"
7     LIRE Rayon
8     AFFICHER "Entrer la hauteur"
9     LIRE Hauteur
10    Volume PREND_LA_VALEUR Math.PI*pow(Rayon,2)*Hauteur/3
11    AFFICHER "Le Volume est égal à "
12    AFFICHER Volume
13  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Quelles sont les variables en entrée ?
\item Quelles sont les variables en sortie ?
\item En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme affichant :
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une boule lorsque l'on saisit le rayon ;
\item L'aire latérale totale d'un cylindre de révolution lorsque l'on saisit le rayon du disque de base et la hauteur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{TP : Géogébra}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.}
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\item \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}



\section{Quelques exercices d'applications}
\subsection{Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan}
\Exop{Dans un pavé droit $ABCDEFGH$, on place les points $I$, $J$ et $K$ respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[CD]$ et $[GH]$ tels que :
$$ BC=CJ=HK$$
\begin{enumerate}
\item De quelle nature est le quadrilatère $IBKH$ ?
\item Que peut-on dire des droites $(BK)$ et $(IH)$ ?
\item En déduire que la droite $(BK)$ est parallèle au plan $(HIJ)$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.6,-1.3)(8.8,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.05](1.3,2.7)(2.7,4.3)(6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.7,4.3)(6.3,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](4.9,-0.7)(1.3,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](4.5,4.3)(6.7,-0.7)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{6.7}{8.8}{(--18.5-2.9*x)/1.3}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{0.6}{4.5}{(-10.3--1.6*x)/-0.7}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.9,-0.7)
\rput[bl](5,-0.6){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.5,4.3)
\rput[bl](4.6,4.4){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.3,0.9)
\rput[bl](6.4,1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{\begin{enumerate}
\item Comme $HK=IB$ et comme $(HK)//(IB)$ le quadrilatère $IBKH$ a deux côtés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
\item $IBKH$ est un parallélogramme, donc $(KB)//(IH)$.
\item $(KB)$ est parallèle à une droite du plan $(HIJ)$, elle est donc parallèle au plan $(HIJ)$. 
\end{enumerate}}

\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soit $I$ et $J$ les points situés respectivement sur $[AB]$ et sur $[AH]$ tels que :
$$AI=\dfrac{1}{4}AB\qquad \text{et}\qquad AJ=\dfrac{1}{4}AH $$
Démontrer que $(IJ)//(BFH)$}

\subsection{Démontrer que des plans sont parallèles.}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube.\\
Soit $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ les centres respectifs des face du cube (voir ci-dessous). Le solide $IJKLMN$ est un octaèdre régulier (toutes ses faces sont des triangles équilatéraux). On veut démontrer que les faces opposées de l'octaèdre sont parallèles.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(HC)$.
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(MN)$.
\item Démontrer que les plans $(IKL)$ et $JMN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.12,-1.96)(8.88,4.74)
\psline(1.62,-1.04)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(7.06,3.08)
\psline(7.06,3.08)(2.28,3.74)
\psline(2.28,3.74)(1.62,-1.04)
\psline(1.62,-1.04)(3.06,-0.3)
\psline(2.28,3.74)(3.72,4.48)
\psline(3.72,4.48)(8.5,3.82)
\psline(8.5,3.82)(7.06,3.08)
\psline(8.5,3.82)(7.84,-0.96)
\psline(7.84,-0.96)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.96)
\psline(3.72,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](7.45,1.06)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.73,-1)(4.34,1.02)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(2.67,1.72)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.67,1.72)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(5.39,3.78)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(2.67,1.72)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(5.78,1.76)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(7.45,1.06)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(4.73,-1)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(2.67,1.72)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.62,-1.04)
\rput[bl](1.24,-1.22){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.4,-1.7)
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.28,3.74)
\rput[bl](1.98,3.76){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.06,3.08)
\rput[bl](6.9,3.24){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.06,-0.3)
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.84,-0.96)
\rput[bl](7.92,-0.92){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.5,3.82)
\rput[bl](8.58,3.86){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.72,4.48)
\rput[bl](3.8,4.52){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.34,1.02)
\rput[bl](4.18,0.74){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.39,3.78)
\rput[bl](5.48,3.82){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.45,1.06)
\rput[bl](7.54,1.1){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.78,1.76)
\rput[bl](5.86,1.8){$L$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.67,1.72)
\rput[bl](2.46,1.84){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.73,-1)
\rput[bl](4.82,-1.2){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $HFC$ : $I$ est le milieu de $[HF]$ et $K$ celui de $[FC]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(IK)//(HC)$.
\item Dans le triangle $AHC$ : $N$ est le milieu de $[AC]$ et $M$ celui de $[AH]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(MN)//(HC)$. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc $(IK)//(MN)$.
\item De la même manière, on démontre que $(JN)$ et $(IL)$ sont parallèles. Ainsi, dans le plan $(IKL)$, se trouvent deux droites sécantes, qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan $(JMN)$ : on en déduit que les plans $(IJK)$ et $(JMN)$ sont parallèles.\\
Ce résultat reste vrai pour toute paire de faces opposées de l'octaèdre.
\end{enumerate}}

\subsection{Déterminer l'intersection de deux plans}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de l'arête $[BF]$. \\
Déterminer et tracer l'intersection des plans $(AFC)$ et $(DIG)$.}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.88,-2.06)(8.36,4.9)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.64,3.1)(7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline(1.62,-1.68)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(6.42,3.08)
\psline(6.42,3.08)(1.64,3.1)
\psline(1.64,3.1)(1.62,-1.68)
\psline(1.62,-1.68)(3.06,-0.3)
\psline(1.64,3.1)(3.08,4.48)
\psline(3.08,4.48)(7.86,4.46)
\psline(7.86,4.46)(6.42,3.08)
\psline(7.86,4.46)(7.84,-0.32)
\psline(7.84,-0.32)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.32)
\psline(3.08,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)
\psline[linecolor=zzttqq](7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\psline[linecolor=zzttqq](6.42,3.08)(1.62,-1.68)
\psline[linecolor=zzttqq](1.64,3.1)(7.86,4.46)
\psline[linecolor=zzttqq](7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](7.12,-1.01)(1.64,3.1)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{0.88}{8.36}{(-51--13.99*x)/63.96}
\rput[bl](1.32,-1.84){$A$}
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\rput[bl](1.34,3.12){$D$}
\rput[bl](6.26,3.24){$C$}
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\rput[bl](7.92,-0.28){$F$}
\rput[bl](7.94,4.5){$G$}
\rput[bl](3.16,4.52){$H$}
\rput[bl](7.2,-0.98){$I$}
\rput[bl](7.44,0.86){$M$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On commence par chercher un point commun aux deux plans.\\
La droite $(GI)$ est contenu dans les plans $(DIG)$ et $(BFG)$. De même la droite $(CF)$ est contenu dans les plans $(AFC)$ et $(BFG)$. Par conséquent $(CF)$ et $(GI)$ sont sécantes, en un point que l'on appelera $M$ (elles ne peuvent en aucun cas être parallèles).\\
Il est difficile, ici, de trouver un deuxième point commun. En revanche on remarque que $(DG)//(AF)$ car ses droites portent les diagonales de deux faces opposées du cube.\\
Or $(DG)\subset (DIG)$ et $(AF)\subset (AFC)$, d'après le théorème du toit, on en conclut que la droite d'intersection des plans $(DIG)$ et $(AFC)$ est parallèle aux deux droites $(DG)$ et $(AF)$.
\\
On peut ainsi tracer la droite recherchée : c'est la droite passant par le point $M$ et parallèle aux droites $(DG)$ et $(AF)$. 
}

\Exop{Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze avec $(AB)//(CD)$. Déterminer l'intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$, puis des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.}
\subsection{Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan}
\Exop{Soit $aBCD$ un tétraèdre. $I$ est un point de l'arête $[AB]$. $J$ est un point de la face $ACD$ tel que la droite $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$.\\
Construire l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(5.8,-2.6)(14.7,5.1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](6.7,-1.7)(12.2,-0)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](7.1,1.9)(10.4,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{10.4}{14.7}{(--7.9-0.6*x)/2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{5.8}{7.1}{(-9.1--0.7*x)/-2.2}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(--40.1-3.6*x)/3}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(-15.8--1*x)/5.1}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.4,4.5)
\rput[bl](7.3,4.6){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.4,-1.7){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](11.1,-2)
\rput[bl](11.1,-2.4){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.2,-0)
\rput[bl](12.2,0){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.1,1.9)
\rput[bl](7.2,2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](10.4,0.9)
\rput[bl](10.5,1){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11.8,-0.7)
\rput[bl](11.9,-0.8){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](14.2,-0.2)
\rput[bl](14.2,-0.1){$L$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On cherche un plan auxiliaire, contenant la droite $(IJ)$ et coupant le plan $(BCD)$ ; ici le plan $(AIJ)$ convient.\\
La droite $(IJ)$ n'est pas contenu dans le plan $(BCD)$ et n'est pas parallèle au plan $(BCD)$ donc elle est sécante au plan $(BCD)$.\\
La droite $(AJ)$ coupe la droite $(CD)$ en un point qu'on appelle $E$ (on observe ici la face $ACD$). \\
Les droites $(IJ)$ et $(BE)$ sont toute entière contenu dans le plan $(AIJ)$ et comme $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$, la droite $(IJ)$ est sécante avec la droite $(BE)$. Notons $L$ l'intersection de $(BE)$ et $(IJ)$. $L$ est alors le point cherché.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 		Les Annexes
\newpage

\vspace*{10cm}

					\part*{Les Annexes}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{subsection}{0}
\setcounter{Def}{0}
\setcounter{Pte}{0}
\setcounter{Th}{0}
\setcounter{Prop}{0}
\setcounter{Cor}{0}
\setcounter{Ex}{0}
\setcounter{Lem}{0}
%\setcounter{Appl}{0}
\setcounter{Conj}{0}
\pagestyle{empty}

\newpage




\end{document}
