\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{$\R$ :  un ensemble \linebreak[2] totalement ordonn\'e}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Cj{Quelques règles du jeu numérique}\\\\

\Cadre[Priorités de calcul]{Dans un calcul, l'ordre des opérations se fait ainsi :
\vspace{-3mm}
\begin{multicols}{2}
 	\begin{enumerate}
	    \item \dots\dots
	    \item \dots\dots
	    \item \dots\dots
	    \item \dots\dots
	\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Act{On souhaite écire un algorithme permettant de réduire la somme $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$ au même dénominateur. 
\begin{enumerate}
 \item Existe-t-il des contraintes sur $a$, $b$, $c$ et $d$ ?
 \item Donner un exemple d'entrées telles que la somme ne soit pas décimale.
 \item Pour obtenir un résultat exact, on introduit deux variables $u$ et $v$ telles que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{u}{v}$.\\
$u$ et $v$ seront donc les sorties de cet algorithme.
\begin{enumerate}
 \item Donner les formules permettant de calculer $u$ et $v$.
 \item Compléter la structure de cet algorithme en langage naturel :
\begin{itemize}
 \item Variables : 
 \item Début : \\
 \item Fin.  
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Fractions]{
Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ avec $b \neq 0$ et $d \neq 0 $, on a :
$$a\times \dfrac{c}{b}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{ \frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \dots \dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} = \dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} $$
$$ \dfrac{a \times d}{b \times d}=\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots} \qquad\qquad ; \qquad\qquad \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{\dots\dots}{bd}+\dfrac{bc}{\dots\dots}=\dfrac{\dots\dots\dots\dots}{\dots\dots}$$
\vspace{-3mm}}

\Expls{\vspace{-3mm}
$$5\times \dfrac{6}{7}=\dots\dots\dots \qquad; \qquad\dfrac{4}{15}\times \dfrac{6}{7} =\dots\dots\dots\dots  \qquad ; \qquad \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{6}{7}} =\dots\dots\dots\dots 
\qquad ; \qquad \dfrac{36}{28}=\dots\dots\dots\dots \qquad; \qquad \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{8}=\dots\dots\dots\dots$$
}
\vspace{-3mm}
\Exop{
Effectuer et simplifier les fractions obtenues :
\vspace{-5mm}
$$A=4\times\left(\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2} \qquad\qquad B=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right) 
\qquad\qquad C=\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5}\times\left(2+\dfrac{5}{6}\right) \qquad\qquad D=\dfrac{3+\dfrac{6}{7}}{3-\dfrac{6}{7}} \qquad\qquad E=\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x}$$
}



\Defc[Puissances]{
Soit $a$ un nombre et $n$ un nombre entier positif.
	\begin{itemize}
 	\item Si $n \geq 1$, alors $a^n=\underbrace{\dots\dots\dots\dots\dots\dots}_{\dots\dots \, \textrm{fois}}$ \hskip20mm  En particulier $a^1=\dots\dots$.\\
	\item Si $n=0$ et $a \neq 0$ alors $a^0=\dots\dots$
	\end{itemize}
Si de plus $a\neq 0$, on d\'efinit le nombre $a^{-n}$ comme $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ du nombre $a^n$ : $a^{-n}=\dots\dots$\\ 
}
\Expls{
$(-1,5)^{3}=-3,375 \qquad ; \qquad 5^{-4}=\dfrac{1}{5^4}=\dfrac{1}{625} \qquad ; \qquad (-3)^{-2} = \dfrac{1}{(-3)^2}=\dfrac{1}{9}$
}

\begin{Att}{
 Ne pas confondre $(-a)^n$, $-a^n$, $-a^{-n}$ et $(-a)^{-n}$
$$(-2)^4=\dots\dots  \qquad ; \qquad -2^4=\dots\dots  \qquad ;\qquad -2^{-4} = \dots\dots  \qquad \textrm{et}  \qquad (-2)^{-4}=\dots\dots$$}
\end{Att}
\Ptec{
Quels que soient les réels $a$ et $b$, et les entiers relatifs $n$ et $m$, on a les \'egalit\'es suivantes (si elles sont d\'efinies) :
	$$a^n \times a^m = \dots\dots\dots\dots \qquad ;\qquad \left(a^n\right)^m =\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \dfrac{a^n}{a^m} = \dots\dots\dots\dots$$
	$$\left( ab\right) ^n = \dots\dots\dots\dots  \qquad ;\qquad \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n = \dots\dots\dots\dots $$
\vspace{-5mm}}

\Expls{
}

\Exop{
Simplifier au maximum : $\left(3^7 \times 2^{-6}\right)^5\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{33} \qquad\qquad\qquad \dfrac{4^{-2}}{4\times 49^{-3}}\times\left(-\dfrac{4}{7}\right)^5 $
}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item Calculer les carrés des nombres suivants : $-2 ; 5 ; 0,3 ; -1 ; 10^3 ; -\dfrac{2}{3}$
 \item Quel est le signe du carré d'un nombre ?
 \item Parmi les nombres suivants, dire ceux qui sont des carrés : $25 ; 7^2 ; -16 ; 10^4 ; \dfrac{4}{9} ; -100 ; 49$
 \item Quels sont les nombres qui ont pour carré 36 ? 100 ?
\end{enumerate}
}

\Defc[Racine carrée]{
Si $a$ est un nombre positif alors $\sqrt{a}$ est $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ nombre $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ dont le carr\'e vaut \nolinebreak $\dots\dots$.
}\\

\underline{Cons\'equence} : D\`es que l'on voit le nombre $\sqrt{a}$, on doit supposer  $\dots\dots\dots\dots$\\
 


\Expls{$\sqrt{49}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{-16}= \dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(-3)^2}=\dots\dots \qquad ; \qquad \sqrt{(2-\Pi)^2}=\dots\dots$
}

\Rq{$\sqrt{a^2}=\pm a$ suivant le signe de $a$. On appelle ce nombre \og valeur absolue \fg \, de $a$ et on le note $|a|$}

\Ptec{
Si $a$ et $b$ sont des nombres positifs et $n$ un entier relatif, alors on a :
$$\sqrt{ab}=\dots\dots\dots\dots \qquad ; \qquad  \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dots\dots \, \textrm{ si }\, b\neq 0 $$
\vspace{-5mm}
}

\begin{Att}{
 En g\'en\'eral $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Par exemple $\sqrt{9+16}=\dots\dots \qquad \textrm{ et }  \qquad \sqrt{9}+\sqrt{16}=\dots\dots $}
\end{Att}

 

\Exop{
Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible :
$$  \sqrt{2}\times \sqrt{18} \quad ;\quad \sqrt{25 \times 49} \quad ;\quad \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \quad ; \quad \sqrt{\dfrac{36}{49}}
\quad ;\quad  \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} \quad ; \quad \sqrt{11^2} \quad ;\quad 
\sqrt{72}+\sqrt{32} -6\sqrt{8} \quad ;\quad \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\times \sqrt{\dfrac{12}{15}} $$
}

\end{document}