\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{$\R$ :  un ensemble \linebreak[2] totalement ordonn\'e}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}

\debutCha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
\setcounter{NumLecon}{1}

\Cj{Compétences du chapitre}\\\\

\begin{table}[h]
  % \caption{\label{<étiquette>} }
 \begin{center}  
 \begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|}
   \hline
    \textbf{A} & \textbf{Numérique}  \\
    \hline
 1 & Opposé, inverse, priorité de calculs \\
    \hline
 2 & Simplifier une fraction \\
    \hline
 3 & Mettre deux fractions au même dénominateur \\
    \hline
 4 & Calculer avec des fractions \\
    \hline
 5 & Calculer avec des puissances \\
    \hline
 6 & Calculer avec des racines \\
    \hline
 7 & Valeur exacte et approchée \\
    \hline
 8 & Comparer deux nombres \\
    \hline
 9 & Différentes écritures d'un même nombre \\
    \hline
 10 & Intervalles \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[h]
 %  \caption{\label{<étiquette>}}
\begin{center}  
\begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|}
   \hline
    \textbf{B} & \textbf{Calcul Littéral}  \\
    \hline
 1 & Mettre un problème en (in)équation \\
    \hline
 2 & Développer, réduire  \\
    \hline
 3 & Factoriser \\
    \hline
 4 & Identités remarquables \\
    \hline
 5 & Vérifier qu'un nombre est ou non solution d'(in)équation \\
    \hline
 6 & Résoudre une équation du 1er degré  \\
    \hline
 7 & Résoudre une équation produit \\
    \hline
 8 & Résoudre une équation quotient \\
    \hline
 9 & Résoudre une inéquation du 1er degré  \\
    \hline
 %10 & Etablir un tableau de signes & & & & \\
  %  \hline
  \end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\begin{table}[h]
 %  \caption{\label{<étiquette>} }
\begin{center}  
\begin{tabular}{|p{0.4cm}|p{9cm}|}
   \hline
    \textbf{C} & \textbf{Algorithmie, calculatrice et logiciels}  \\
    \hline
 1 & Suivre un algorithme de calcul \\
    \hline
 2 & Etablir un algorithme basique \\
    \hline
 3 & Utiliser Algobox \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.28} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
\begin{flushright}
 \textit{Petite Danseuse de 14 ans} \\
 ou \textit{La Grande danseuse} (1879-1881) 
\end{flushright}
 

\begin{Intro}{Présentation Historique}{
\noindent $\R$ \textbf{désigne l'ensemble des nombres que vous connaissez}, comme $2$, $-684687$, $\dfrac{35}{8}$, $\pi$, $-\sqrt{2}$, ... 
On peut tous les comparer entre eux. Par exemple si je vous donne deux nombres $a$ et $b$, on est forcément dans l'un des 3 cas 
suivants : $a<b$, $a=b$ ou $a>b$. 
C'est pourquoi l'on dit que $\R$ est un \textbf{ensemble totalement ordonné}. Aujourd'hui, on connait beaucoup de nombres, 
que regroupés en ensemble en fonction de leurs propriétés, mais il n'en a pas toujours été ainsi. \\
Les nombres entiers positifs, dont l'ensemble noté $\N$ est appelé ensemble des entiers \textit{\textbf{naturels}}, 
sont connus depuis la préhistoire (au moins $-35\,000$). 
Les nombres formés du quotient de deux entiers naturels furent également assez vite découverts, 
car ils renvoient à la notion de partage.\\
On manipule les 4 opérations depuis fort longtemps, dont la soustraction. Cependant, on n'a découvert les nombres négatifs 
que très tard, vers le $VIII^e$ siècle après JC, bien après que les nombres dit \textit{\textbf{irrationnels}} (ne pouvant 
s'écrire comme le quotient de deux entiers), tels que $\sqrt{2}$ !
Cette découverte est probablement la plus importante de l'algèbre. Elle arriva avec la mise en place d'une 
méthode générale de résolution d'équation. On constata alors qu'une équation n'ayant que des paramètres entier positifs
pouvait avoir des solutions qui ne l'étaient pas...\\

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Les artistes cherchent les proportions idéales d'un bâtiment, d'une peinture, et même du corps humain ! 
On retrouve d'ailleurs le nombre d'or $\Phi \simeq 1,618 $ dans des oeuvres de de Vinci ou de l'architecte Le Corbusier.\\
Les mathématiques servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. 
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' et on suit un discours logique phrasé, (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au $VIII^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est Al-Khawarizmi qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre ce type et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du $XIX^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au $XVI^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnus, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au $XVI^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au $XIX^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\

\noindent A travers cette recherche, on fut donc contraint de s'int\'eresser \`a la nature des nombres, 
et d'en introduire de nouveaux, comme les négatifs. 
Partons donc à la découverte de la classification des nombres, au travers celle des équations ...}

\end{Intro} 
%\end{abstract}

\newpage

\section{Utilisation d'expressions algébriques}

\subsection{Associer à un problème une expression algébrique}

\Act{
Dans un récipient de forme cylindrique et de rayon $4$ cm, on verse de l'eau jusqu'à une hauteur de $3,75$ cm.
On veut alors placer une bille dans le récipient de façon à ce que le liquide la recouvre exactement.
Le problème consiste à déterminer le rayon de la bille.
}

\Defc{
Une \textbf{\'equation} est une \'egalit\'e dans laquelle figure une quantit\'e inconnue (ou plusieurs). 
On désigne ces inconnues par des lettres ($x$, $y$, ...)
}\\

\Cadre[Point méthode]{Pour associer à un problème une équation (ou une expression algébrique) :
\begin{itemize}
 \item On choisit une inconnue (ou une variable, ou plusieurs) et on détermine l'ensemble auquel elle appartient.
 \item On traduit les données de l'énoncé en les exprimant en fonction de cette inconnue (ou variable) et on aboutit à une équation, 
que l'on ne sait pas forcément résoudre (ou une expression algébrique, que l'on peut éventuellement transformer 
pour répondre au problème posé)
\end{itemize}
}\\

\Exop{Mettre en équation les problèmes suivants :
\begin{itemize}
 \item Trouver un nombre tel que son triple augmenté de 8 soit égal à son double diminué de 5.
 \item Un père a 25 ans de plus que son fils ; dans 5 ans il aura le double de l'âge de son fils. Quel est l'âge du fils ?
 \item Existe-t-il deux nombres dont la somme est égale à 8 et le produit égal à 5 ?
 \item Un article augmente de $5\%$, son nouveau prix est de $8\euro$. Quel était le prix avant augmentation ?
 \item Si on ajoute un même nombre au numératuer et au dénominateur de la fraction $\dfrac{2}{7}$ on obtient $\dfrac{1}{3}$. Quel est ce nombre ?
 \item $ABCD$ est un carré de côté 6. Où placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ pour que l'aire du triangle $AMD$ soit 
la moitié de l'aire du trapèze $MBCD$ ?
\end{itemize}
}\\

\Exop{
Que penser des affirmations suivantes ? Justifier à l'aide d'expressions algébriques.
\begin{itemize}
 \item Pour doubler l'aire d'un carré, il suffit de doubler la longueur du côté.
 \item Si l'on augmente le côté d'un carré de $3$ cm, son aire sera augmentée de $9$ cm$^2$.
 \item $ABCD$ est un carré. Si l'on réduit $AB$ de 1cm et qu'on allonge $BC$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu sera égale à celle du carré de départ.
 \item $NOUK$ est un carré. Si l'on réduit le côté $NO$ de 1cm et qu'on allonge $OU$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu aura diminué de 1 cm$^2$ par rapport à celle du carré de départ. 
\end{itemize}
}\\

\Exop{\begin{multicols}{2}
Soit $ABCD$ un carré et $M$, $N$, $P$ et $Q$ les points placés sur les côtés de $ABCD$ tels que $AM=BN=CP=DQ=a$ comme sur la figure
ci-contre. \\
On appelle alors $b$ le nombre tel que $a+b=AB$. 
\begin{enumerate}
 \item En remarquant que $MN$ est la diagonale d'un rectangle de côté $a$ et $b$, comparer $MN$ et $MQ$.\\
 Que peut-on en déduire sur la nature de $MNPQ$ ?
 \item Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{QMN}$ est droit.\\
 Que peut-on en déduire sur la nature de $MNPQ$ ?
 \item Déterminer l'aire de $ABCD$ et celle de $AMQ$, en fonction de $a$ et $b$.\\
 En déduire l'aire de $MNPQ$ en fonction de $a$ et $b$.
 \item On appelle $c$ la longueur du côté de $MNPQ$. Quelle est alors son aire en fonction de $c$ ?
 \item Quel célèbre théorème vient-on de redémontrer ?
\end{enumerate}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(4.7,4.9)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{4.7}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(4.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)(0.0000,4.0000)
\pspolygon(1.0000,0.0000)(4.0000,1.0000)(3.0000,4.0000)(0.0000,3.0000)
\uput{0.3000}[-135.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[-45.0000](4.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[45.0000](4.0000,4.0000){C}
\uput{0.3000}[135.0000](0.0000,4.0000){D}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.0000,0.0000){M}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,1.0000){N}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,4.0000){P}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,3.0000){Q}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\subsection{Vérifier qu'un nombre est solution d'une équation}
\Act{
Indiquer à chaque fois parmi les réels $a$, $b$ et $c$ donnés lesquels sont solutions de l'équation $(E)$ :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
(E) & a & b & c \\\hline
 & & & \\  7-x^2=(4-x)(-1+3x) & 1 & -1 & \dfrac{1}{2} \\ & & & 
 \\\hline
    & & & \\  2x(3+x)=-\dfrac{x^3\times x^2}{8} & \dfrac{2}{3} & -2 & 4^{-3} \\ & & & 
\\\hline
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
(E) & a & b & c \\\hline
 & & & \\ -\dfrac{10(2+x)}{24}=\dfrac{5}{3}+x\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{2} & -\dfrac{2}{3} & 0 & \sqrt{5} \\ & & & 
\\\hline
 & & & \\   x\sqrt{6} + 7\dfrac{\sqrt{4}}{x} = \sqrt{12}+ \sqrt{98} & -2 & \sqrt{2} & -\sqrt{3} \\ & & & 
\\\hline
\end{array}$$
}

\Defc{
Une \textbf{solution de l'\'equation}, c'est une valeur que prend la (ou les) quantit\'es inconnues pour laquelle 
l'\'egalit\'e est v\'erifi\'ee. On note l'ensemble des solutions $\mathcal{S}=\left\{solution1\,,solution2\,,\dots\right\}$.\newline
\textbf{R\'esoudre une \'equation} dans un ensemble de nombres réels $I$, 
c'est trouver \textbf{tous} les éléments de $I$ pour lesquels l'égalité est vraie.
}

\Cadre[Point méthode]{Pour vérifier qu'un nombre $a$ est solution d'une équation $(E)$, il est inutile de la résoudre :
	\begin{itemize}
	    \item On remplace dans $(E)$ l'inconnue (souvent notée $x$) par le nombre $a$, 
	    \item On compte en n'oubliant pas les règles apprises au collège (rappelées ci-dessous),
	    \item On regarde si l'égalité est vraie. Si oui, alors le nombre $a$ est solution de l'équation $(E)$, sinon non.
	\end{itemize}
}

\Expls{2 n'est pas solution de l'équation $x^2-4x +3=0$ car $2^2-4\times 2 + 3 = -1 \neq 0$\\
Par contre $3$ est solution dans $\R$ de cette équation car $3^2-4 \times 3+3=0$.\\
On peut en fait démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation ci-dessus dans $\R$ est $\{1;3\}$
}

\Exop{On se propose de résoudre le problème suivant : \\
\og Peut-on trouver un réel positif qui, une fois élevé au cube, a la me valeur que son double augmenté de 1 ? \fg\\
\begin{enumerate}
 \item Mettre le problème en équation.
 \item Vérifier que $-1$ est une solution de l'équation mais pas du problème.
 \item Vérifier que $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est une solution du problème.
\end{enumerate}
\textit{Le nombre $\phi$ est appelé nombre d'or. On le retrouve en particulier en architecture pour caractériser des proportions harmonieuses.}
}

\subsection{Montrer que deux expressions sont égales}

\Act{
Choisir quatre nombres entiers consécutifs. 
\begin{enumerate}
 \item Faire le produit du plus petit et du plus grand de ces entiers.
 \item Faire le produit des deux autres nombres.
 \item Que remarque-t-on ?
 \item Démontrer votre conjecture.
\end{enumerate}
}

Il arrive qu'en voulant étudier un problème et en testant divers nombres, on conjecture que tous les nombres sont solutions de celui-ci
(ce qui revient à dire que le problème est toujours vrai). On est alors souvent 
ramené à devoir montrer que plusieurs expressions algébriques sont égales.\\

\Cadre[Point méthode]{Pour montrer que deux expressions sont égales, on peut par exemple :
	\begin{itemize}
	    \item Développer chacune des expression séparément, puis vérifier que les forme obtenues sont identiques.	
	    \item Calculer la différence des deux expressions et montrer qu'elle est égale à 0.
	\end{itemize}
}

\Expl{Les expressions 
$3x^2+6x$, $(2x+1)^2-(x-1)^2$, $3x(x+2)$ et $3[(x+1)^2-1]$ sont les mêmes.
}

\Exop{\begin{itemize}
       \item Le carré d'une somme de deux nombres est-il égal à la somme des carrés de ces nombres ?
	\item L'opposé du produit de deux nombres est-il égale au produit des opposés de ces nombres ?
	\item La différence des inverses de deux entiers consécutifs non nuls est-il l'inverse de leur produit ?
      \end{itemize}
}

\Exop{
Voici deux programmes de calcul :
\begin{multicols}{2}
 \textbf{Programme de calcul A }
\begin{itemize}
 \item Prendre un nombre réel
 \item Retrancher 6
 \item Elever au carré \\ 
\end{itemize}
\textbf{Programme de calcul B}
\begin{itemize}
 \item  Prendre un nombre réel
 \item L'élever au carrés
 \item Retrancher 12 fois le nombre initial
 \item Ajouter 36
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item Tester ces programmes de calcul, avc un nombre de votre choix, avec $-3$, $\dfrac{4}{7}$ et avec $\sqrt{5}$.
 \item Que remarque-t-on ? 
 \item Démontrer votre conjecture.
 \item Quel(s) nombre(s) faut-il prendre au départ pour obtenir $9$ ? $-3$ ? $0$ ?
\end{enumerate}
}

\Exop{Soit les nombres $A=(1-2\times 10^{-8})(1+2\times 10^{-8})$ et $B=(1-2\times 10^{-8})+(1+2\times 10^{-8})$
\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice collège, effectuer en une unique séquence le calcul de $A$, puis celui de $B$
 \item En posant $x=2\times 10^{-8}$ développer et réduire $A$ et $B$.
 \item En déduire les valeurs exactes de $A$ et $B$.
 \item Conclure
\end{enumerate}
}


\Exop{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer sans calculatrice : 
$$1\,000^2-999^2 \quad ; \quad 1\,001^2-1\,000^2 \quad ; \quad 1\,002^2-1\,001^2 $$
 \item Que peut-on conjecturer à partir de ces trois résultats ?
       \end{enumerate}
\item Pour tout entier positif $n$, montrer que $(n+1)^2-n^2=2n+1$
\item En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés consécutifs.
\item Ecrire 199 comme différence de deux carrés.
\end{enumerate}
}


\newpage

\section{Découverte des nombres au travers la résolution d'équations}
\subsection{Méthodes de résolution d'équation du premier degré à une inconnue}

\Act{Résoudre les équations de la liste suivante :
\begin{multicols}{4}
 \noindent $(E) : 2x-5=0 $\\
$(E_1) : 3(2x-5)=0 \\
(E_2) : x(2x-5)=0 \\
(E_3) : 2x=5 \\
(E_4) : 3x = 5 + x \\
(E_5) : (2x -5)^2 =0 \\
(E_6) : 4x^2 = 25 \\
(E_7) : x^2 = \dfrac{5}{2} x \\
(E_8) : -\dfrac{1}{5}x +\dfrac{1}{2}= 0 $
\end{multicols}
Déterminer les équations équivalentes à $(E)$.
}

\Defc{On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions.}

\Expl{$5(x^2+1)=0 \Longleftrightarrow x^2-1 = 0$. \quad Le sympbole $\Longleftrightarrow$ se lit \og équivaut à \fg \, ou bien \og si et seulement si \fg.\\
Mais $5(x^2+1)=0 \nLeftrightarrow x(x^2-1)=0$ \quad car $0$ est solution de la deuxième équation et pas de la première.
}\\

\Cadre[Point méthode]{
\textbf{Pour résoudre algébriquement une équation}, on raisonne par équations équivalentes. \\
L'objectif est alors de trouver une équation équivalente  (ou plusieurs)
dans laquelle l'inconnue est isolée dans un membre de l'égalité (l'autre membre étant alors une solution). 
En particulier on sait déjà que :
\begin{itemize}
 \item Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d'une égalité 
 \item Multiplier (ou diviser) par un même nombre \textbf{non nu}l les deux membres d'une égalité 
\end{itemize}
Nous permet d'obtenir des nouvelles équations équivalentes.\\
\textit{On prendra l'habitude de noter en petit sur $\Longleftrightarrow$ l'opération effectuée sur les deux membres de l'égalité.}
}\\

\Propc{
Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$, avec $a\neq 0$, on a : 
$$ax+b=c \quad \stackrel{-b}{\Longleftrightarrow} \quad  ax = c-b \quad \stackrel{\div a}{\Longleftrightarrow} \quad x=\dfrac{c-b}{a}$$
}\\

\Propc{\textbf{Un produit est nul} si et seulement si l'un des facteurs est nul. \newline 
Soient $A$ et $B$ des expressions : $ \quad  AB=0  \quad \Longleftrightarrow  \quad A=0 \textrm{ ou } B=0$\\
\textbf{Un quotient est nul} si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur différent de 0). \newline 
Soient $A$ et $B$ des expressions : $ \quad  \dfrac{A}{B}=0  \quad \Longleftrightarrow  \quad A=0 \textrm{ et } B \neq 0$
}

\Expls{\vspace{-7mm}
\begin{multicols}{2}
 \begin{eqnarray*}
  5x+1=2x-9 & \stackrel{-1}{\Longleftrightarrow} & 5x=2x-10 \\
 &\stackrel{-2x}{\Longleftrightarrow} & 5x-2x=-10 \\
 & \Longleftrightarrow & 3x = -10 \\
&\stackrel{\div 3}{\Longleftrightarrow}& x = -\dfrac{10}{3} 
 \end{eqnarray*}
$$\mathscr S = \left\{-\dfrac{10}{3} \right\}$$
 \begin{eqnarray*}
  (5x+1)(2x-9)=0 & \Longleftrightarrow & 5x+1=0 \quad \textrm{ ou } \quad 2x-9 = 0\\
 &\Longleftrightarrow & 5x+1-1=0-1 \quad \textrm{ ou } \quad 2x-9+9=0+9 \\
 & \Longleftrightarrow & 5x=-1 \quad\qquad \qquad\textrm{ ou } \quad 2x=9 \\
 & \Longleftrightarrow  & \dfrac{5x}{5}=\dfrac{-1}{5} \quad \,\quad\qquad \textrm{ ou } \quad \dfrac{2x}{2}=\dfrac{9}{2} \\
&\Longleftrightarrow  & x =-\dfrac{1}{5} \quad \qquad\qquad \textrm{ ou } \quad x=\dfrac{9}{2} 
 \end{eqnarray*}
$$\mathscr S = \left\{-\dfrac{1}{5}\, ; \, \dfrac{9}{2}  \right\}$$
\end{multicols}
}




\subsection{Les entiers naturels : $\N$}
\Act{
\begin{enumerate}
 \item Résoudre les équations suivantes :
	\begin{center}
	$3-x=1$ \hskip15mm	$\dfrac{ x }{ 4 } = 5$ \hskip15mm $2x+3=5$	\hskip15mm $3x=0$	\hskip15mm	$\left(x-3\right)\left(3x-6\right)=0$ 
	\end{center}
 \item De quelle nature sont les nombres solutions des \'equations pr\'ec\'edentes? 
 \item Si on additionne deux entiers naturels, obtient-on un entier naturel ?
 \item Si on soustrait deux entiers naturels obtient-on un entier naturel ?
 \item Si on multiplie deux entiers naturels obtient-on un entier naturel ?
 \item Si on divise deux entiers naturels obtient-on un entier naturel ?\\
\end{enumerate}
}

\Defc{
L'ensemble des nombres entiers naturels se note $\N$ et d\'esigne l'ensemble des nombres entiers positifs ou nul : 
$$\N=\{0;1;2;3;4;...\}$$
\vspace{-6mm}
}

\Rq{Le $\N$ vient de l'anglais \textit{Natural}.}


\subsection{Les entiers relatifs : $\Z$}


\Act{
\begin{enumerate}
 \item R\'esoudre les \'equations suivantes :
	\begin{center}
	$3-x=-5$ \hskip15mm	$-\dfrac{ x }{ 4 } = 5$ \hskip15mm $(2x+3)(x+1)+(2x+3)(x-1)=0$	\\
	$3x -12=9$	\hskip15mm $\left(x-3\right)\left(3x-6\right)=0$	\hskip15mm	
 $\dfrac{2x+4}{6x-2}=0$ \hskip15mm $x^2-1=0$
	\end{center}
%\textit{\textbf{Rappel :} Pour r\'esoudre une \'equation produit, on utilise la r\`egle : $A \times B = 0 \Longleftrightarrow A=0 \textrm{ ou } B=0$}
 \item De quelle nature sont les nombres solutions des \'equations pr\'ec\'edentes?
 \item Si on additionne deux entiers relatifs, obtient-on un entier relatif ?
 \item Si on soustrait deux entiers relatifs obtient-on un entier relatif ?
 \item Si on multiplie deux entiers relatifs obtient-on un entier relatif ?
 \item Si on divise deux entiers relatifs obtient-on un entier relatif ?\\
\end{enumerate}
}

\Defc{
L'ensemble des entiers relatifs se note $\Z$ et repr\'esente l'ensemble des nombres entiers positifs et n\'egatifs. 
$$\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$$
\vspace{-6mm}
}

\Rq{Le $\Z$ vient de l'allemand \textit{Zahl}.}\\

\Ptec{
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que $\Z$ contient $\N$, ou encore que $\N$ est inclus dans $\Z$. On note $\N \subset \Z$.
}


\subsection{Les quotients d'entiers relatifs ou les rationnels : $\Q$}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item R\'esoudre les \'equations suivantes :
	$$3-2x=-5 \qquad\qquad	-\dfrac{ x }{ 4 } = 2 \qquad\qquad (2x+3)(x+1)+(2x+3)(3x-7)=0 \qquad\qquad \dfrac{2x+1}{6x-2}=0$$
 \item De quelle nature sont les nombres solutions des \'equations pr\'ec\'edentes?
 \item Si on additionne deux nombres rationnels, obtient-on un nombre rationnel ?
 \item Si on soustrait deux nombres rationnels obtient-on un nombre rationnel ?
 \item Si on multiplie deux nombres rationnels obtient-on un nombre rationnel ?
 \item Si on divise deux nombres rationnels obtient-on un nombre rationnel ?\\
\end{enumerate}
}

\Defc{
L'ensemble des nombres rationnels se note $\Q$ et repr\'esente l'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le quotient de deux entiers :
 $$\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$$
}

\Rqs{
 \item $b\in\Z^*$ car on ne peut pas diviser par 0.
 \item Le $\Q$ vient du latin \textit{Quotiente}\\
}

\Ptec{
Tous les entiers relatifs $a$ peuvent s'\'ecrire $a=\dfrac{a}{1}$, donc sont des rationnels. On a 
$\N \subset \Z \subset \Q$
}

$\Q$ est stable pour toutes les op\'erations. On aurait pu s'arr\^eter l\`a, cependant, les math\'ematiciens connaissent d'autres nombres comme $\pi$ (gr\^ace aux cercles) et $\sqrt{2}$ 
(gr\^ace au th\'eor\`eme de Pythagore) et il a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e que $\sqrt{2}$ ne pouvait pas s'\'ecrire sous la forme d'un quotient de deux entiers 
(donc encore moins sous la forme d'un entier !). De plus, il restent des \'equations telles que  $x^2-5=0$ dont les solutions ne font pas partie de cet ensemble.

\Expls{ 
$\pi$ et $\sqrt{2}$ n'appartiennent pas \`a $\Q$. On dit qu'ils sont \textbf{irrationnels}.
} 


\subsection{Les irrationnels et $\R$}

\Defc{
L'ensemble des nombres r\'eels se note $\R$ et repr\'esente l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Il contient tous les nombres connus en classe de seconde.
}

\Rq{Le $\R$ vient de l'anglais \textit{Real}
}

\Ptec{
Tous les nombres rationnels sont r\'eels. On a $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$.
}

\Expls{Donner tous les ensembles de nombres auxquels appartiennent les nombres suivants :
$$3 \qquad\qquad -6 \qquad\qquad \dfrac{4}{3} \qquad\qquad -\dfrac{1}{3} \qquad\qquad \pi \qquad\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{5}$$
}

\Rq{
$\R$ n'est encore pas assez grand pour r\'esoudre toutes les \'equations. Par exemple $x^2 = -1$ n'a pas de solutions dans $\R$, on note $S=\varnothing$.
 Cet ensemble s'appelle l'ensemble vide et ne contient aucun \'el\'ement.\newline
Cette \'equation a pourtant une solution dans un ensemble contenant $\R$, not\'e $\C$ et appel\'e l'ensemble des nombres complexes, \'etudi\'e en classe de terminale S.
$$\C=\left\{a+ib/a\in\R \, ; \, b\in\R \, et \, i^2 = -1\right\}$$
Il a \'et\'e d\'emontr\'e que $\C$ contenait l'ensemble des solutions des \'equations construites \`a partir de cet ensemble.
}


\Question{ \`A quels ensembles appartiennent les nombres d\'ecimaux ?}\\


\Cadre[R\'esum\'e]{
L'ensemble des nombres entiers positifs ou nuls se note $\N$. On a $\N=\{0;1;2;3;4;5;...\}$. Les \'el\'ements de $\N$ sont les entiers naturels. \newline

L'ensemble des entiers positifs et n\'egatifs se note $\Z$. On a $\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$. 
Les \'el\'emlents de $\Z$ sont les entiers relatifs.\newline

L'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le quotient de deux entiers se note $\Q$. On a 
$\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$. Les \'el\'ements de $\Q$ sont les nombres rationnels.\newline

L'ensemble des nombres connus en seconde (rationnels et irrationnels) s'appelle l'ensemble des nombres r\'eels. On note $\R$ cet ensemble.\newline
$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$$
\vspace{-6mm}
}\\



\Exop{
On consid\`ere un parall\'el\'epip\`ede rectangle de dimension $x$, $x$ et 16cm. Faire un sch\'ema de la situation. Sachant que son volume $V$ vaut 900cm$^3$, calculer la longueur $x$ du c\^ot\'e de sa base carr\'e.
}


\Exop{
Le but de cet exercice est de montrer grâce aux équations que $0,999\,999\,\dots = 1 $ !
\begin{enumerate}
 \item On considère le nombre rationnel $A=\dfrac{19}{11}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner le développement décimal de $A$ avec 8 chiffres significatifs (précision à $10^{-8}$).
 \item $A$ semble-t-il décimal ?
\item On dit que $A$ a une écriture périodique. Préciser sa période 
(nombre entier qui se répète à l'infini dans le développement décimal du nombre).
\end{enumerate}
\item On considère le nombre $x=0,131313\dots$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $100x=13+x$
 \item En déduire la valeur de $x$ et sa nature.
\end{enumerate}
\item Par le même raisonnement, déterminer l'écriture fractionnaire du nombre $y$ dont le développement périodique est 
$y=0,173173173 \dots$ avec pour période 173 (on note ce genre de nombre ainsi $y=0,\underline{173}$).
\item En remarquant que le nombre $a=3,\underline{40}$ peut s'écrire $3+0,\underline{40}$, montrer que $a=\dfrac{337}{99}$.\\
\textit{Il est démontré que, contrairement au nombre irrationnels (tel $\pi$ ou $\sqrt{2}$),
tout nombre rationnel admet un développement périodique.}
\item Montrer  par le même raisonnement que $0,\underline{9}=1$
\end{enumerate}
\textit{Ce dernier résultat n'est pas une erreur : la notation $0,\underline{9}$ est une autre écriture de $1$ !}
}

\section{Notion d'ordre et inéquations}



\subsection{Equilibre et addition}

\Act{\begin{enumerate}
      \item Charlotte et David jouent \`a \og who's the biggest brain \fg sur Facebook. Charlotte est pour l'instant en t\^ete. Donner si possible le vainqueur dans les cas suivant :
\begin{itemize}
 \item S'ils gagnent chacun autant de points dans une partie qui suit
 \item S'ils perdent autant de points chacun
 \item Si Charlotte gagne plus de points que David
 \item si Charlotte gagne moins de points que David
\end{itemize}
      \item Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a<b$. 
	    \begin{enumerate}
	    \item Comparer alors les nombres :
	    \begin{multicols}{3}
	    \begin{enumerate}
	      \item $a+354$ et $b+354$
	      \item $a-84354$ et $b-84354$
	      \item $45a$ et $45b$
	      \item $-2a$ et $-2b$
	      \item $\dfrac{a}{3}$ et $\dfrac{b}{3}$
	      \item $-\dfrac{a}{3}$ et $-\dfrac{b}{3}$
	    \end{enumerate}
	    \end{multicols}
	    \item Trouver un exemple pour $a$ et $b$ tel qu'on ait $a^2<b^2$ et un tel qu'on ait $a^2 > b^2$
	    \item Trouver un exemple pour $a$ et $b$ tel  qu'on ait  $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$ et un tel  qu'on ait  $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$.\\
	    \end{enumerate}
     \end{enumerate}
}


\Defc{
Une \textbf{in\'equation} est une in\'egalit\'e dans laquelle figure une quantit\'e inconnue (ou plusieurs). 
On désigne ces inconnues par des lettres ($x$, $y$, ...)
}


\noindent \textit{Dans toutes cette partie, $a$, $b$, $c$ et $d$ d\'esignent des nombres r\'eels.\\
Tous les r\'esultats \'enonc\'es ici avec des in\'egalit\'es strictes restent valables 
(sauf indication contraire) avec des in\'egalit\'es larges.}\\


\Ptec[Le principe de la balance]{L'ordre est inchangé si :\begin{itemize}
       \item  On ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d'une inégalité.
       \item  On ajoute deux à deux les membres d'inégalités de même sens.
      \end{itemize}
}

\Rq{En fait on a  :
\vspace*{-5mm}
$$\begin{array}{lc}
    & a<b \\ \stackrel{+c}{\Longleftrightarrow} & \,a+c<b+c
   \end{array} \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{lc}
    & a<b \\ \stackrel{-c}{\Longleftrightarrow} & \,a-c<b-c
   \end{array} \qquad\qquad\qquad
 \begin{array}{lc} & a<b \\ + & c<d  \\\hline \Longrightarrow & a+c<b+d \end{array}$$
La  \og simple \fg flèche est une \textbf{implication} (la r\'eciproque est fausse)
}

\Expls{\vspace*{-5mm}
$$\begin{array}{lc}
    & 2<x-5 \\ \stackrel{+5}{\Longleftrightarrow} & \,2+5<x-5+5 \\ \Longleftrightarrow & 7<x
   \end{array} \quad \quad \quad
\begin{array}{lc}
    & y+36<-3 \\ \stackrel{-36}{\Longleftrightarrow} & \,y+36-36\leq -3-36 \\ \Longleftrightarrow & y\leq -39
   \end{array} \quad\quad\quad
 \begin{array}{lc} & x<3 \\ + & y\leq -2  \\\hline \Longrightarrow & x+y<3+(-2) \\ \Longleftrightarrow & x+y < 1
\end{array}$$
}


\Applic{
Dans un autre jeu, voici les points accumul\'es par Charlotte et David :
$$\underbrace{48\,;\,-8\,;\,21\,;\,\dfrac{15}{7}} \qquad\qquad \underbrace{21\,;\,-14\,;\,\dfrac{7}{6}\,;\,x}$$
\begin{center}
 David \hspace{2cm} Charlotte
\end{center}
David a encore perdu mais il ne se rappelle plus le dernier score $x$ de Charlotte. Il cherche \`a retrouver ce score.
\begin{itemize}
 \item Est-ce possible ? 
 \item Trouver le plus d'informations possible sur son score
\end{itemize}
}

\Exop{
R\'esoudre l'in\'equation $x-4>2$. Repr\'esenter l'ensemble des solutions sur une droite gradu\'ee.
}

\Exop{
Soient $x$ et $y$ tels que $1\leq x\leq 4$ et $1\leq y < 2$. Encadrer $x+y$. Repr\'esenter cet ensemble sur une droite gradu\'ee.
}

\Exop{Soient $x$ et $y$ deux réels.
\begin{enumerate}
 \item On considère l'algorithme suivant :
\begin{itemize}
 \item Entrée : Saisir $x$ et $y$
 \item Traitement :
\begin{itemize}
 \item $a$ prend la valeur $(x+y)^2$
 \item $b$ prend la valeur $(x^2+y^2)$
\end{itemize}
\item Sortie : Afficher $a-b$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Qu'affiche la machine pour $x=3$ et $y=4$ ? $x=3$ et $x=-4$ ? $x=-3$ et $y=-4$ ?
 \item Conjecturer le signe $a-b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
 \item En déduire la comparaison de $a$ et $b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
\end{enumerate}
\item Développer et réduire $(x+y)^2-(x^2+y^2)$
\item En déduire la comparaison du carré de la somme de deux réels avec la somme de leurs carrés
\end{enumerate}
}


\subsection{Equilibre et multiplication}

\Ptec{L'ordre est inchangé si :\begin{itemize}
       \item  On multiplie (ou divise) par un même nombre \textbf{positif} les deux membres d'une inégalité.
       \item  On multiplie deux à deux les membres d'inégalités de même sens portant sur des nombres \textbf{positifs}.
      \end{itemize}
Par contre, l'ordre est inversé si on multiplie par un même nombre \textbf{négatif} les deux membres d'une inégalité.
}

\indent\Rq{En fait on a :
\vspace*{-5mm}
$$\begin{array}{lc}
    & a<b \\ \stackrel{^{\times c >0} }{\Longleftrightarrow} & \,ac<bc
   \end{array} \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{lc}
    & a<b \\ \stackrel{^{\times c<0}}{\Longleftrightarrow} & \,ac>bc
   \end{array} \qquad\qquad\qquad
 \begin{array}{lc} & 0<a<b \\ \times  & 0<c<d  \\\hline \Longrightarrow & 0<ac<bd \end{array}$$
}
\Expls{}
\vspace*{-10mm}
\begin{enumerate}
 \item Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $2\leq x \leq 3$ et $-1\leq y \leq 2$. Encadrer $3x-2y$.\\
\textit{On n'a pas de règle pour soustraire des inégalités, on utilisera donc le fait que $3x-2y=3x+(-2y)$.}
$$\begin{array}{cc}
    & 2\leq x \leq 3\\ \stackrel{^{\times 3 >0} }{\Longleftrightarrow} & \,6\leq 3x \leq 9
   \end{array} \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{cc}
    & -1\leq y < 2 \\ \stackrel{^{\times (-2)<0}}{\Longleftrightarrow} & \, 2 \geq -2y > -4 \\ \Longleftrightarrow & \, -4 < -2y \leq 2
   \end{array} \qquad\qquad\qquad
 \begin{array}{cc} & 6\leq 3x \leq 9 \\ +  & -4 < -2y \leq 2  \\\hline \Longrightarrow & \, 2 < 3x-2y \leq 11 \end{array}$$
\item Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $2\leq x \leq 3$ et $1\leq y < 4$. Encadrer $ \dfrac{xy}{2}$.\\
\textit{On remarquera que diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.}
$$ \begin{array}{ccc} & 0< & 2\leq x \leq 3 \\ \times & 0<  & 1 \leq y < 4  \\\hline \Longrightarrow & \, 0< & 2< xy < 12 \\
\stackrel{^{\times \frac{1}{2}>0}}{\Longleftrightarrow} & \,  0< & 1<\dfrac{xy}{2} < 6  \end{array}$$
\item Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $2\leq x \leq 3$ et $-5\leq y \leq -1$. Encadrer $xy$.\\
\textit{On a une inégalité portant sur des négatifs. On doit donc la transformer avant de pouvoir multiplier les inégalités.}
$$\begin{array}{cc}
    & -5\leq y \leq -1\\ \stackrel{^{\times (-1) < 0} }{\Longleftrightarrow} & \, 5\geq -y \geq 1 \\ 
 \Longleftrightarrow & \, 1 \leq -y \leq 5    \end{array} \quad \quad \quad
 \begin{array}{llc} & 0< &  2\leq x \leq 3 \\ \times   & 0< & 1 \leq -y \leq 5  \\\hline \Longrightarrow & \, 0< &  2 \leq -xy \leq 15 \\ 
  \stackrel{^{\times (-1) < 0} }{\Longleftrightarrow} & 0> & \, -2 \geq xy \geq -15  \\ \Longleftrightarrow & & -15 \leq xy \leq -2 <0 \end{array}$$
\item Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $2\leq x \leq 3$ et $-5\leq y \leq 1$. Encadrer $xy$.\\
\textit{On a une inégalité portant sur des positifs et des négatifs. On va donc commencer par la scinder en deux et traiter
 les deux cas séparément, puis conclure.}
$$\begin{array}{cc}
    & -5\leq y \leq 0 \\ \stackrel{^{\times (-1) >0} }{\Longleftrightarrow} & \,5 \geq -y \geq 0 \\ 
 \Longleftrightarrow & \, 0 \leq -y \leq 5    \end{array} \qquad \qquad \qquad
 \begin{array}{cc} & 2\leq x \leq 3  \\ \times  &   0\leq -y \leq 5    \\\hline \Longrightarrow &   0 \leq  -xy \leq 15 \\
  \stackrel{^{\times (-1) >0} }{\Longleftrightarrow}  &  0 \geq xy \geq -15 \\  \Longleftrightarrow  & -15 \leq xy \leq 0 \end{array}
 \qquad \qquad \qquad
 \begin{array}{cc} & 2\leq x \leq 3  \\ \times  &0  \leq y \leq 1    \\\hline \Longrightarrow &  0 \leq  xy \leq 3  \end{array}
$$
Finalement on a : $ -15 \leq xy \leq 0 $ ou $0 \leq  xy \leq 3$, donc dans tous les cas on a $-15 \leq  xy \leq 3$.\\
\Att{On remarque dans les deux derniers cas, qu'il ne suffit pas de multiplier les bornes de l'encadrement entre elles !}
\end{enumerate}

\subsection{Intervalles de $\R$}


\Defc{
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels tels que $a<b$. \newline
L'ensemble des r\'eels $x$ tels que $a\leq x \leq b$ est appel\'e \textbf{intervalle ferm\'e} de $\R$. On le note $[a;b]$.\newline
$a$ et $b$ sont les bornes de l'intervalle $[a;b]$.
}

\Rqs{
\item On utilise ces notations pour donner l'ensemble des solutions d'une inéquation.
\item On dit qu'un intervalle est born\'e si et seulement si ses deux bornes sont finies (ie r\'eels).
}\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
In\'egalit\'e & Repr\'esentation graphique & Intervalle born\'e & D\'enomination \\ \hline
$a \leq x \leq b$ & & &  \\ &&&\\\hline
& & & Intervalle ouvert \\&&&\\\hline
& & & Intervalle semi-ouvert \\
& & & \`a droite \\\hline
& & & Intervalle semi-ouvert \\
& & & \`a gauche \\\hline
\end{tabular}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 In\'egalit\'e & Repr\'esentation graphique & Intervalle  & D\'enomination \\ \hline
$x \geq a$ & & $[a;+\infty [$ & Intervalle ferm\'e \\&&&\\  \hline
& & $]a;+\infty [$ &  \\&&&\\\hline
& &  &  \\&&&\\\hline
& & &  \\&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Rq{ On note :\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item  $\R^+=[0;+\infty[$
\item  $\R^-=]-\infty;0]$
\item   $\R^*=\R\smallsetminus {0}$
\item  $\R^{+*}=]0;+\infty[$
\item  $\R^{-*}=]-\infty;0[$
\item $\R=]-\infty;+\infty[$
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\Expls{\begin{enumerate}
      \item Donner les intervalles correspondant aux in\'egalit\'es suivantes:
$$-6\leq x \leq 7 \qquad\qquad -5<x \qquad\qquad x\leq 3 $$
\item Donner les in\'egalit\'es correspondant aux intervalles suivants :
$$\left] \dfrac{1}{3} ; \sqrt{7} \right] \qquad \qquad \left[ -\sqrt{5};+\infty\right[ $$
 \item Ecrire sous forme d'intervalle les solutions des inéquations suivantes :
 $$3x-4 \leq 5x+6 \qquad \qquad (x-2)(-3x+4) > -3x^2+4x-1$$
     \end{enumerate}
}

\vspace{20mm}
\begin{epigraphe}
{Le dessin n'est pas la forme, il est la manière de voir la forme.}{Degas}{Edgar}
\end{epigraphe}

\includegraphics[scale=0.41]{Degas_Star_1876.eps}
\includegraphics[scale=0.31]{degas_the_rape.eps}
\includegraphics[scale=0.56]{degas_repasseuses.eps}
\includegraphics[scale=0.197]{Degas_Toilette.eps}\\

De gauche à droite :
\begin{itemize}
 \item \textit{L'étoile} ou \textit{La danseuse sur scène} (1876-1878)
 \item \textit{Intérieur} ou \textit{Le viol} (1868-1869) 
 \item \textit{Les repasseuses} (1884)
 \item \textit{Après le bain, femme s'essuyant la nuque} (1898)
\end{itemize}




\end{document}
