\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{$\R$,  un ensemble \linebreak[2] totalement ordonn\'e}
\newcommand{\Cl}{Seconde}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoCha

\Exop{\textit{Mettre en équation} les problèmes suivants :
\begin{itemize}
 \item Trouver un nombre tel que son triple augmenté de 8 soit égal à son double diminué de 5.
 \item Un père a 25 ans de plus que son fils ; dans 5 ans il aura le double de l'âge de son fils. Quel est l'âge du fils ?
 \item Existe-t-il deux nombres dont la somme est égale à 8 et le produit égal à 5 ?
 \item Un article augmente de $5\%$, son nouveau prix est de $8\euro$. Quel était le prix avant augmentation ?
 \item Si on ajoute un même nombre au numératuer et au dénominateur de la fraction $\dfrac{2}{7}$ on obtient $\dfrac{1}{3}$. Quel est ce nombre ?
 \item $ABCD$ est un carré de côté 6. Où placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ pour que l'aire du triangle $AMD$ soit 
la moitié de l'aire du trapèze $MBCD$ ?
\end{itemize}
}

\Exop{
Que penser des affirmations suivantes ? \textit{Justifier} à l'aide d'expressions algébriques.
\begin{itemize}
 \item Pour doubler l'aire d'un carré, il suffit de doubler la longueur du côté.
 \item Si l'on augmente le côté d'un carré de $3$ cm, son aire sera augmentée de $9$ cm$^2$.
 \item $ABCD$ est un carré. Si l'on réduit $AB$ de 1cm et qu'on allonge $BC$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu sera égale à celle du carré de départ.
 \item $NOUK$ est un carré. Si l'on réduit le côté $NO$ de 1cm et qu'on allonge $OU$ de 1 cm, 
l'aire du rectangle obtenu aura diminué de 1 cm$^2$ par rapport à celle du carré de départ. 
\end{itemize}
}

\Exop{\begin{multicols}{2}
Soit $ABCD$ un carré et $M$, $N$, $P$ et $Q$ les points placés sur les côtés de $ABCD$ tels que $AM=BN=CP=DQ=a$ comme sur la figure
ci-contre. \\
On appelle alors $b$ le nombre tel que $a+b=AB$. 
\begin{enumerate}
 \item En remarquant que $MN$ est la diagonale d'un rectangle de côté $a$ et $b$, \textit{comparer} $MN$ et $MQ$.\\
  Que peut-on en \textit{déduire} sur la nature de $MNPQ$ ?
 \item \textit{Expliquer} pourquoi l'angle $\widehat{QMN}$ est droit.\\
 Que peut-on en déduire sur la nature de $MNPQ$ ?
 \item \textit{Déterminer} l'aire de $ABCD$ et celle de $AMQ$, en fonction de $a$ et $b$.\\
  En \textit{déduire} l'aire de $MNPQ$ en fonction de $a$ et $b$. 
 \item On appelle $c$ la longueur du côté de $MNPQ$. Quelle est alors son aire en fonction de $c$ ?
 \item Quel célèbre théorème vient-on de redémontrer ?
\end{enumerate}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(4.7,4.9)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{4.7}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(4.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)(0.0000,4.0000)
\pspolygon(1.0000,0.0000)(4.0000,1.0000)(3.0000,4.0000)(0.0000,3.0000)
\uput{0.3000}[-135.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[-45.0000](4.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[45.0000](4.0000,4.0000){C}
\uput{0.3000}[135.0000](0.0000,4.0000){D}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.0000,0.0000){M}
\uput{0.3000}[0.0000](4.0000,1.0000){N}
\uput{0.3000}[90.0000](3.0000,4.0000){P}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,3.0000){Q}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\Exop{On se propose de résoudre le problème suivant : \\
\og Peut-on trouver un réel positif qui, une fois élevé au cube, a la même valeur que son double augmenté de 1 ? \fg\\
\begin{enumerate}
 \item Mettre le problème en équation.
 \item Vérifier que $-1$ est une solution de l'équation mais pas du problème.
 \item Vérifier que $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est une solution du problème.
\end{enumerate}
\textit{Le nombre $\phi$ est appelé nombre d'or. On le retrouve en particulier en architecture pour caractériser des proportions harmonieuses.}
}

\Exop{\begin{itemize}
       \item Le carré d'une somme de deux nombres est-il égal à la somme des carrés de ces nombres ?
	\item L'opposé du produit de deux nombres est-il égale au produit des opposés de ces nombres ?
	\item La différence des inverses de deux entiers consécutifs non nuls est-il l'inverse de leur produit ?
      \end{itemize}
}

\Exop{
Voici deux programmes de calcul :
\begin{multicols}{2}
 \textbf{Programme de calcul A }
\begin{itemize}
 \item Prendre un nombre réel
 \item Retrancher 6
 \item Elever au carré \\ 
\end{itemize}
\textbf{Programme de calcul B}
\begin{itemize}
 \item  Prendre un nombre réel
 \item L'élever au carrés
 \item Retrancher 12 fois le nombre initial
 \item Ajouter 36
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
 \item Tester ces programmes de calcul, avc un nombre de votre choix, avec $-3$, $\dfrac{4}{7}$ et avec $\sqrt{5}$.
 \item Que remarque-t-on ? 
 \item Démontrer votre conjecture.
 \item Quel(s) nombre(s) faut-il prendre au départ pour obtenir $9$ ? $-3$ ? $0$ ?
\end{enumerate}
}


\Exop{
Soit les nombres $A=(1-2\times 10^{-8})(1+2\times 10^{-8})$ et $B=(1-2\times 10^{-8})+(1+2\times 10^{-8})$
\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice collège, effectuer en une unique séquence le calcul de $A$, puis celui de $B$.
 \item En posant $x=2\times 10^{-8}$ développer et réduire $A$ et $B$.
 \item En déduire les valeurs exactes de $A$ et $B$.
 \item Conclure
\end{enumerate}
}



\Exop{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer sans calculatrice : 
$$1\,000^2-999^2 \quad ; \quad 1\,001^2-1\,000^2 \quad ; \quad 1\,002^2-1\,001^2 $$
 \item Que peut-on conjecturer à partir de ces trois résultats ?
       \end{enumerate}
\item Pour tout entier positif $n$, montrer que $(n+1)^2-n^2=2n+1$
\item En déduire que tout nombre impair est une différence de deux carrés consécutifs.
\item Ecrire 199 comme différence de deux carrés.
\end{enumerate}
}


\Exop{ \`A quel ensemble appartiennent les nombres d\'ecimaux ?}


\Exop{
On consid\`ere un parall\'el\'epip\`ede rectangle de dimension $x$, $x$ et 16cm. Faire un sch\'ema de la situation. Sachant que son volume $V$ vaut 900cm$^3$, calculer la longueur $x$ du c\^ot\'e de sa base carr\'e.
}



\Exop{
Le but de cet exercice est de montrer grâce aux équations que $0,999\,999\,\dots = 1 $ !
\begin{enumerate}
 \item On considère le nombre rationnel $A=\dfrac{19}{11}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner le développement décimal de $A$ avec 8 chiffres significatifs (précision à $10^{-8}$).
 \item $A$ semble-t-il décimal ?
\item On dit que $A$ a une écriture périodique. Préciser sa période 
(nombre entier qui se répète à l'infini dans le développement décimal du nombre).
\end{enumerate}
\item On considère le nombre $x=0,131313\dots$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $100x=13+x$
 \item En déduire la valeur de $x$ et sa nature.
\end{enumerate}
\item Par le même raisonnement, déterminer l'écriture fractionnaire du nombre $y$ dont le développement périodique est 
$y=0,173173173 \dots$ avec pour période 173 (on note ce genre de nombre ainsi $y=0,\underline{173}$).
\item En remarquant que le nombre $a=3,\underline{40}$ peut s'écrire $3+0,\underline{40}$, montrer que $a=\dfrac{337}{99}$.\\
\textit{Il est démontré que, contrairement au nombre irrationnels (tel $\pi$ ou $\sqrt{2}$),
tout nombre rationnel admet un développement périodique.}
\item Montrer  par le même raisonnement que $0,\underline{9}=1$
\end{enumerate}
\textit{Ce dernier résultat n'est pas une erreur : la notation $0,\underline{9}$ est une autre écriture de $1$ !}
}

\Exop{
R\'esoudre l'in\'equation $x-4>2$. Repr\'esenter l'ensemble des solutions sur une droite gradu\'ee.
}

\Exop{
Soient $x$ et $y$ tels que $1\leq x\leq 4$ et $1\leq y < 2$. Encadrer $x+y$. Repr\'esenter cet ensemble sur une droite gradu\'ee.
}

\Exop{Soient $x$ et $y$ deux réels.
\begin{enumerate}
 \item On considère l'algorithme suivant :
\begin{itemize}
 \item Entrée : Saisir $x$ et $y$
 \item Traitement :
\begin{itemize}
 \item $a$ prend la valeur $(x+y)^2$
 \item $b$ prend la valeur $(x^2+y^2)$
\end{itemize}
\item Sortie : Afficher $a-b$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Qu'affiche la machine pour $x=3$ et $y=4$ ? $x=3$ et $x=-4$ ? $x=-3$ et $y=-4$ ?
 \item Conjecturer le signe $a-b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
 \item En déduire la comparaison de $a$ et $b$ suivant les signes de $x$ et $y$.
\end{enumerate}
\item Développer et réduire $(x+y)^2-(x^2+y^2)$
\item En déduire la comparaison du carré de la somme de deux réels avec la somme de leurs carrés
\end{enumerate}
}





\end{document}