\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 3 : Second degr\'e et fonction polyn\^ome}
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}[section]
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}

\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
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\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
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}
}

\newcommand{\Cjp}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{22cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
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\vspace{-2mm}
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}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Second Degr\'e et Fonction Polyn\^ome}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Cours : Second Degr\'e et Fonction Polyn\^ome}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb

\section*{Type de probl\`emes que l'on souhaite r\'esoudre }

\underline{Situation :}
Un rectangle a pour p\'erim\`etre $P=14$ m et pour aire $S=12$ $m^2$. Quels sont les dimensions
de ce rectangle ? \newline

\underline{Mod\'elisation :} Soient $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on obtient :
$$x+y=\dfrac{P}{2} \text{ et }xy=S=12$$
En rempla\c cant $y$ par $7-x$ on obtient l'\'equation $x(7-x)=12$ qui peut s'\'ecrire encore $x^2-7x+12=0$
Comment r\'esoudre une telle \'equation ?

\section*{Un peu d'histoire}
Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour r\'esoudre ce probl\`eme il s'agit de trouver les solutions de l'\'equation $x^2-7x+12=0$.
Au $V^{\text{\`e}me}$ si\`ecle, la pens\'ee math\'ematique s'\'epanouit dans le moyen orient, sous l'impulsion g\'eniale d'Al Khwarizmi.
Son nom est \`a la base du mot algorithme ! Il est le premier \`a r\'esoudre couramment des \'equations du second degr\'e. La nouveaut\'e apport\'e
par Al-Khwarizmi correspond \`a une v\'eritable \'evolution des mentalit\'es : il ne s'agit plus de r\'esoudre des probl\`emes arithm\'etiques
ou g\'eom\'etriques que l'on peut traduire en \'equations, mais de partir des \'equations dont chacune recouvre une classe infinie de probl\`emes vari\'es.
Autrement dit, \textbf{Al Khwarizmi} r\'esout toutes les \'equations de la forme $ax^2+bx+c=0$, et lorsque
l'on tombe sur un probl\`eme qui aboutit \`a une telle \'equation, il n'y a plus qu'\`a lui appliquer le 
m\^eme \textbf{algorithme} qu'aux \'equations du m\^eme type !



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I.Rappels et compl\'ements sur les droites 1. Definition


\section{Trin\^ome du second degr\'e}
\Defc{On appelle \underline{trin\^ome du second degr\'e} toute expression pouvant s'\'ecrire $ax^2+bx+c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq0$}

\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+1$ \hspace{8mm}$(a=1;b=-4;c=1)$
\item       $-7x^2+4x$ \hspace{8mm}$(a=-7;b=4;c=0)$
\item       $\sqrt{2}x^2$ \hspace{8mm}$(a=\sqrt{2};b=0;c=0)$
 \item      $(x+1)^2$ \hspace{8mm}$(a=1;b=2;c=1)$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Cexpls{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x+1$ est un bin\^ome du premier degr\'e
\item $x^3+2x+3$ est un polyn\^ome du $3^{\text{\`e}me}$ degr\'e
\item $(x+1)^2-x^2$ est un bin\^ome du premier degr\'e.
\item $2x^2+\dfrac{1}{x}$ n'est pas un trin\^ome du $2^{nde}$ degr\'e.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Qu{Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a'x^2+b'x+c'$ deux trin\^omes du second degr\'e. A quelles conditions sont ils \'egaux ?}

On dit que $P=Q$ si, et seulement si $P(x)=Q(x)$ pour tout $x\in\R$, i.e :
Supposons que $P=Q$, on a alors : 
$$ ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'\text{  pour tout $x\in\R$}$$ 
Si on choisit $x=0$ on obtient : $c=c'$ et l'\'egalit\'e devient :
$$ ax^2+bx=a'x^2+b'x\text{  pour tout $x\in\R$}$$
Si on choisit $x=1$ on obtient : $a+b=a'+b'$\newline
Si on choisit $x=-1$ on obtient : $a-b=a'-b'$\newline
En soustrayant, puis en ajoutant, membre \`a membre ces deux \'egalit\'es, on obtient :
$$2b=2b' \text{ et } 2a=2a'$$
Au final : $a=a';b=b' \text{ et } c=c'$

\Ptec{Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a'x^2+b'x+c'$ deux trin\^omes du second degr\'e.\newline
$P$ et $Q$ sont \'egaux si, et seulement si $a=a';b=b' \text{ et } c=c'$}

\Exo{Soit $P(x)=x^2-x-1$ et $Q(x)=\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. D\'emontrer que $P=Q$}

\Defc{On appelle \underline{racine} du trin\^ome toute valeur de la variable $x$ solution de l'\'equation du second degr\'e :
$$ ax^2+bx+c=0$$}

\Expl{$3$ est racine du trin\^ome $2x^2-5x-3=0$}

\Exo{Trouver les racines du polyn\^ome $x^2-7=0$}

\Qu{D'une mani\`ere g\'en\'erale, comment trouver les racines du polyn\^ome $ax^2+bx+c$ ? Existe-t-il un algorithme permettant de 
trouver les racines de n'importe quel trin\^ome ?}
\newpage
\section{R\'esolution de l'\'equation du second degr\'e $ax^2+bx+c=0$}
\subsection{forme canonique du trin\^ome}
\underline{But :} Comme dans l'exercice pr\'ec\'edent, on tente de factoriser le trin\^ome afin d'obtenir les racines.
On essaye de rendre l'expression factorisable, \`a l'aide de la troisi\`eme identit\'e remarquable :
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

\underline{Etude sur des cas particuliers :}\newline
\begin{enumerate}
\item $x^2+2x+1=(x+1)^2$. Ce trin\^ome admet donc comme seule racine $-1$
\item $x^2-8x+9=(x-4)^2-16+9=(x-4)^2-7$. \newline
Ainsi, r\'esoudre $x^2-8x+9=0$ revient \`a r\'esoudre : $(x-4)^2-7=0$, ce qui donne :
$$ (x-4-\sqrt{7})(x-4+\sqrt{7})$$
D'o\`u : \hspace{50mm} $S=\{4-\sqrt{7};4+\sqrt{7}\}$
\end{enumerate}

\underline{Cas G\'en\'eral} : transformation de l'\'ecriture $ax^2+bx+c$\newline
On met $a$ en facteur ($a\neq0$) : \hspace{20mm} $ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$\newline
Or : \hspace{60mm} $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$\newline
Au final : \hspace{30mm} $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]=
a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$

\Defc{On appelle discriminant du trin\^ome, le nombre r\'eel not\'e $\Delta$, d\'efini par : $$\Delta=b^2-4ac$$}

\Cadre{L'expression pr\'ec\'edente s'\'ecrit alors : 
$$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$$}

\Defc{Cette derni\`ere expression, de la forme $a(x+\alpha)^2+\beta$ s'appelle la 
\underline{forme canonique du trin\^ome}}

\underline{Int\'er\^et} : 
\begin{itemize}
\item dire si le polyn\^ome poss\`ede ou non des racines, et lesquelles s'il en a
\item factoriser le trin\^ome lorsque ce sera possible
\item conna\^itre le signe du trin\^ome suivant les valeurs de $x$
\item \'etudier les variations de la fonctions d\'efinie par $f(x)=ax^2+bx+c$ et tracer sa repr\'esentation graphique avec pr\'ecision
\end{itemize}

\Expl{\og Canoniser \fg le trin\^ome $x^2-7x+12$.}

\subsection{R\'esolution de $ax^2+bx+c=0$}
On a vu que : $$ ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$$
Autrement dit, r\'esoudre $ax^2+bx+c=0$ revient \`a r\'esoudre $a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right)=0$
i.e : $$ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$$
Dans cette expression, tous les facteurs sont positifs sauf $\Delta$, d'o\`u :
\Thc{
\begin{enumerate}
\item \underline{Si $\Delta<0$} : l'\'equation n'a pas de solution r\'eelle
\item \underline{Si $\Delta=0$} : l'\'equation a une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
\item \underline{Si $\Delta>0$} : l'\'equation a deux solutions r\'eelles : 
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
\end{enumerate}
}
En effet, lorsque $\Delta$ est positif, l'\'equation est factorisable :
$$ \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$    

\Rq{\begin{itemize}
\item Les formules obtenues pour $\Delta>0$ s'\'etendent \`a $\Delta\geq0$
\item Si les coefficients $a$ et $c$ sont de signes oppos\'es, alors le trin\^ome admet 
deux racines ; en effet, dans ce cas $\Delta=b^2-4ac>0$
    \end{itemize}
}

\Exo{R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+4=0$
\item $-6x^2+x+1=0$
\item $5x^2+6x+2=0$
\item R\'epondre au probl\`eme initial
\item $x^2-2x=0$
\item $x^2-5=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\section{Factorisation du trin\^ome}
\Thc{Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trin\^ome $ax^2+bx+c$. Le trin\^ome se factorise ainsi :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ o\`u $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trin\^ome
\end{itemize}
}

\Preuve{
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : le trin\^ome s'\'ecrit, \`a l'aide de la forme canonique : $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=ax^2+bx+c$
\end{itemize}
}

\Rq{Lorsque $\Delta<0$, comme le trin\^ome n'a pas de racine r\'eelle, il faut abandonner l'espoir de pouvoir le factoriser (du moins dans $\R$)}
\section{Signe du trin\^ome}
\underline{But} : \'Etudier le signe de $P(x)=ax^2+bx+c$ suivant les valeurs de $x$.\newline
\underline{Cas 1 - $\Delta>0$} : Soit $x_1$ et $x_2$ ses racines, avec $x_1<x_2$. On a alors :
$$ P(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ 
\'Etablissons le tableau de signe :
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{x_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-x_1}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{x-x_2}&&\tx{-}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{(x-x_1)(x-x_2)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{P(x)}&&\tx{\text{signe de a}}&&\tx{\text{oppos\'e de a}}&&\tx{\text{signe de a}}&\cr
}$$

\underline{Cas 2 - $\Delta\leqslant0$} : On utilise la forme canonique :
$$ P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
Comme $\Delta$ est n\'egatif, l'expression entre crochets est positive, le signe de $P(x)$ est donc le m\^eme que celui de $a$

\Thc{Le trin\^ome $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$ sauf entre les racines lorsqu'elles existent. En particulier, lorsque $\Delta<0$, le trin\^ome est de signe \underline{constant}.}

\Exo{R\'esoudre l'in\'equation $x^2-4x+1\leqslant0$}

\section{Fonctions polyn\^omes}
\subsection{Fonction polyn\^ome du second degr\'e}
\subsubsection{D\'efinition}
\Defc{On appelle \underline{fonction polyn\^ome du second degr\'e} toute fonction $P$, d\'efinie sur $\R$, pouvant se ramener \`a la forme :$$ P(x)=ax^2+bx+c \text{ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq 0$}$$}

\subsubsection{Repr\'esentation graphique d'une fonction polyn\^ome du second degr\'e}
Dans un rep\^ere $(O;\vec i, \vec j)$, notons $C_P$ la courbe d'\'equat $y=P(x)=ax^2+bx+c$

\Thc{La repr\'esentation graphique d'une fonction polyn\^ome du second degr\'e est une \underline{parabole}. Elle est tourn\'ee vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$. Son axe de sym\'etrie est la droite verticale d'\'equation $x=-\dfrac{b}{2a}$ et son sommet $S\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$}

\Preuve{D'apr\`es la forme canonique l'\'equation de la courbe s'\'ecrit encore :
$$ y=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
ce qui s'\'ecrit encore $Y=aX^2$ dans le rep\`ere o\`u $Y=y+\dfrac{\Delta}{4a^2}$ et $X=x+\dfrac{b}{2a}$. Ceci est donc l'\'equation d'une parabole.\newline
Le signe de $a$ conditionne donc l'orientation de cette parabole.\newline
Comme $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2>0$, on a : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\geqslant-\dfrac{\Delta}{4a^2}$. On conclut en multipliant par $a$ suivant le signe de $a$}

\newpage
\begin{landscape}
\Cjp{R\'esum\'e : $ f(x)=ax^2+bx+c \text{ avec } a\neq 0 \textbf{ \hspace{30}}\Delta=b^2-4ac$}
\vspace{2mm}
\newline
\begin{tiny}
%\begin{tabular}{|l|l||l|c|l|c|l|}
  %  \hline
    %\multicolumn{2}{|c||}{\multirow{2}{4cm}{\backslashbox{Produits}{Infos}}} & b & c & d & e & f \\
   % \multicolumn{2}{|c||}{} & b & c & d & e & f \\ \hline \hline
    %Ligne 3 & a & b & c & d & e & f \\
    %\hline 
    %\end{tabular}
    \begin{large}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  Racines & Signe de $ax^2+bx+c$ & Repr\'esentation parabole & Factorisation & $\Delta$ \\ 
  \hline
\begin{tabular}{c} Deux racines : \\$x_{1}=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $ \\$x_{2}=\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{x_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{s(a)}&\txt{0}&\tx{-s(a)}&\txt{0}&\tx{+s(a)}&\cr
}$$\end{tabular}
 &
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
  \psset{xunit=0.55cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 add mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-0.50,2){$a>0$}

\uput[ur](-1,0){$-\dfrac{b}{2a}$}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
 \uput[ur](-0.25,-2){S}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\\
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3,2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
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\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}



 &  $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ & $\Delta >0$ \\
\hline
\begin{tabular}{c} \\ Une racine : \\$x_{1}=\dfrac{-b}{2a}  $\\
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{s(a)}&\txt{0}&\tx{s(a)}&\cr
}$$\end{tabular}
 & 
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
 \\
   \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.8,-2)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](0,2){$a>0$}

\psdot(1,0) \uput[ur](-1,-2){$x_1=-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.8,-2)(3.5,2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](0,-2){$a<0$}

\psdot(1,0) \uput[ur](-1,0){$x_1=-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}
&  $f(x)=a(x-x_1)^2$ & $\Delta =0$ \\
\hline
\begin{tabular}{c} Aucune  \\ racine \\  r\'eelle
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{s(a)}&\cr
}$$\end{tabular}
 & 
\begin{small}
 \begin{tabular}{c}  \\   \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.8,-2)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](0,2){$a>0$}

\psdot(1,0) \uput[ur](-0.5,-2){$-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.8,-3)(3.5,1.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-5.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](0,-2.5){$a<0$}

\psdot(1,0) \uput[ur](-0.5,0){$-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
 \end{small}
 &  \begin{tabular}{c} pas  \\de \\  factorisation
\end{tabular}  & $\Delta <0$ \\
\hline
  \end{tabular}  
  \end{large}
\end{tiny}
\end{landscape}


\subsection{Fonction polyn\^ome de degr\'e quelconque}
\Defc{On appelle \underline{fonction polyn\^ome (\`a coefficients r\'eels) de degr\'e n)} ($n \in \N$) toute fonction $P$ d\'efinie sur $\R$ dont l'\'ecriture peut se ramener \`a la forme : $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \text{ o\`u $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ sont des r\'eels avec $a_n\neq0$} $$
Le terme $a_px^p$ s'appelle \underline{mon\^ome} de degr\'e $p$. On note $n=Deg(P)$}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item La fonction $P$ d\'efinie par : $P(x)=x^8-6x^7+3x^2-5$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $8$
\item Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : $P(x)=x^p$ avec $p\in\N$ sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $p$.
\item Les fonctions affines et constantes (diff\'erente de la fonction nulle) sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $1$ et $0$
\end{itemize}
}

\Cexpls{
\begin{itemize}
 \item La fonction $Q$ d\'efinie par $Q(x)=x^3+\dfrac{2}{x}$ n'est pas une fonction polyn\^ome
\item La fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}$ n'est pas une fonction polyn\^ome car non d\'efinie pour $x=1$ ou $x=-1$
\item En revanche la fonction $h$ d\'efinie par $h(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $2$ puisque $h(x)=x^2-1$ 
\end{itemize}
}

\Ptec{Deux polyn\^omes non nuls sont \'egaux, si et seulement si, ces polyn\^omes ont le m\^eme degr\'e et les coefficients de leurs termes de m\^eme degr\'e deux \`a deux \'egaux}

\Rq{Cette propri\'et\'e est admise}

\Expl{Pour tout r\'eel $x$, $ax^3+bx^2+cx+d=7x^3-4x^2+2x+1$ si, et seulement si, $a=7$, $b=-4$, $c=2$ et $d=1$}

\Defc{On appelle \underline{racine} d'un polyn\^ome $P$ tout r\'eel $\lambda$ tel que $$P(\lambda)=0$$}

\Expl{Trouver les racines du polyn\^ome $P$ d\'efinie sur $\R$ par $P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$}

\Rq{
\begin{itemize}
\item Les fonctions polyn\^ome de degr\'e $1$ ($x\longmapsto ax+b$) admettent toutes une seule racine $\lambda=-\dfrac{b}{a}$
\item Certaines fonctions polyn\^omes n'ont aucune racine r\'eelle, par exemple $P$ avec $P(x)=x^2+1 \geq 1$.
\end{itemize}
}


\end{document}
