\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

\title{Chapitre 4 : Trigonom\'etrie }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Trigonom\'etrie}



\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Exercices : Trigonom\'etrie}

\Exo{Sur le cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$ de centre $O$ ci-dessous, les points $A$ et $B$ sont tels que :
$$ \widehat{IOA}=45° \qquad \text{ et } \widehat{IOB}=120°$$
Donner une mesure en radians des angles orient\'es :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})$
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})$
\item $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.3)(2.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){A}
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){J}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.5000,-0.8600)
\uput{0.3000}[-120.0000](-0.5000,-0.8600){B}
\psline(0.0000,0.0000)(-0.5000,-0.8600)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exo{Les r\'eels $ \dfrac{7\pi}{5}$ et $ -\dfrac{13\pi}{5}$ sont-ils des mesures en radians d'un m\^eme angle orient\'e ? Donner la mesure principale d'un angle orient\'e dont une mesure est $ -\dfrac{17\pi}{3}$}

\Exo{$\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs non nuls tels que : $$ (\vec u, \vec v)= \dfrac{17\pi}{12}$$
D\'eterminer la mesure de l'angle $(\vec u, \vec v)$ qui appartient \`a $]3\pi;5\pi]$}

\Exo{Dans chaque cas, d\'eterminer la mesure principale de l'angle donn\'e en radians.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5\pi}{4}$
\item $- \dfrac{4\pi}{3}$
\item $ - \dfrac{10\pi}{3}$
\item $135\pi$
\item $ \dfrac{185\pi}{6}$
\item $ \dfrac{17\pi}{13}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{Calculer la valeur exacte de 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\cos \left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$
\item $\sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$
\item $\cos \left(\dfrac{79\pi}{6}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{ABCD est un carr\'e tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$\newline
$AEB$ et $BCF$ sont des triangles \'equilat\'eraux tels que $ (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB})=\dfrac{\pi}{3}$ et  $ (\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{FB})=\dfrac{\pi}{3}$
\newline
On se propose de d\'emontrer que les points D, E et F sont align\'es en utilisant les angles orient\'es
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que le triangle ADE est isoc\`ele
\item D\'emontrer que $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EA})=\dfrac{5\pi}{12}$ 
\end{enumerate}
\item D\'eterminer une mesure de $ (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BF})$ et en d\'eduire une mesure de $ (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EF})$
\item \begin{enumerate}
\item Utiliser la relation de Chasles pour calculer une mesure de $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})$
\item Conclure
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\vspace*{-5mm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.5)(3.2,5.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-45.0000](2.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[45.0000](2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[135.0000](-2.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[-135.0000](-2.0000,-2.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,4.4600){F}
\psline(-2.0000,2.0000)(0.0000,4.4600)
\psline(0.0000,4.4600)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.4600,0.0000){E}
\psline(2.0000,-2.0000)(-0.4600,0.0000)
\psline(-0.4600,0.0000)(2.0000,2.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exo{Sur un cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$, on consid\`ere les points A et B tels que : 
$$ (\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA})=\dfrac{7\pi}{8} \qquad \text{ et }(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})=-\dfrac{3\pi}{5}$$
D\'eterminer la mesure principale des angles suivants : \footnote{On pourra utiliser la relation de Chasles}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OJ})$
\item $ (\overrightarrow{OJ}, \overrightarrow{OB})$
\item $ (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
\Exo{R\'esoudre, sur $\R$, les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin^2 \theta=\dfrac{3}{4}$
\item $\cos^2 \theta=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin(2\theta)=\cos\theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{D\'emontrer que la repr\'esentation graphique de la fonction $f$ d\'efinie, sur $\R$ par : 
$$f(x)=\cos (2x)+\sin x-1 $$ est situ\'ee entre les droites d'\'equations $y=-3$ et $y=1$}

\Exo{\begin{enumerate}
\item R\'esoudre, dans $\R$, l'\'equation : $$ 2\sin^3 x-17\sin^2 x+7 \sin x +8=0$$
\item R\'esoudre, dans $]-\pi;\pi[$, les \'equations :
\begin{enumerate}
\item $2\cos^3 x-7\cos^2 x+2\cos x+3=0$
\item $2\sin^3 x+\cos ^2 x-5\sin x-3=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exo{\begin{enumerate}
\item $\theta$ est un angle situ\'e dans $]-\pi;\pi]$ dont on sait que $\cos \theta=-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ et $\sin \theta =\dfrac{1}{2}$. Que vaut $\theta$ (en radians) ?
\item $\theta$ est un angle de $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin \theta =\dfrac{4}{5}$. Calculer $\cos \theta$ et $\tan \theta$
\item $\theta$ est un angle de $]-\pi;0]$ tel que $\cos \theta=\dfrac{2}{3}$. Calculer $\sin \theta$ et $\tan \theta$
\item $\theta$ est un angle de  $]-\pi;0]$ tel que $\tan \theta =2$. Calculer $\cos \theta$ et $\sin \theta$
\end{enumerate}}

\Exo{Dans cet exercice, on dispose de la donn\'ee suivante : $\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$\newline
On rappelle que $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ pour tout $x\in D$ o\`u $D=\R-\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \text{ o\`u } k\in \Z\}$ 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que pour tout $x\in D$ : $\qquad \tan (\pi+x)=\tan x$\newline
En d\'eduire la valeur exacte de $\tan \dfrac{9\pi}{8}$
\item D\'emontrer que pour $x\in D$ : $\qquad 1+\tan^2 x= \dfrac{1}{\cos^2 x}$\newline
En d\'eduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ puis de $\sin \dfrac{\pi}{8}$
\item Calculer la valeur exacte de $\cos \dfrac{5\pi}{8}$
\end{enumerate}}

\Exo{Dans cet exercice on donne : $\qquad \tan \dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. D\'emontrer que : $$ \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$$
\item En d\'eduire que : $$ \tan \dfrac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}$$
\end{enumerate}}


\Exo{R\'esoudre les \'equations suivantes dans l'intervalle $I$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad$ $I=]-\pi;0]$
\item $\sin x=-\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \qquad$ $I=[0;2\pi[$
\item $\sin x= \sin \left( \dfrac{3\pi}{4}\right) \qquad$ $I=\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$
\item $\cos x= \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \qquad$ $I=[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ on donne les points $A(-2\sqrt{3};-2)$ et $B(-3;3 \sqrt{3})$. Construire les points $A$ et $B$ \footnote{Calculer un couple de coordonn\'ees polaires de chacun des points et utiliser les deux sortes de coordonn\'ees pour les placer avec pr\'ecisions} }


\Exo{Soit $(O;\vec i,\vec j)$ un rep\`ere orthonormal. \newline
$A$ est le point de coordonn\'ees polaires $\left(3,\dfrac{23\pi}{6}\right)$ dans le rep\`ere polaire $(O,\vec i)$
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonn\'ees cart\'esiennes du point $A$
\item Contr\^oler avec la calculatrice
\end{enumerate}}

\Exo{Soit $(O;\vec i,\vec j)$ un rep\`ere orthonormal. \newline
$M$ est le point de coordonn\'ees $-1;\sqrt{3}$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer un couple de coordonn\'ees polaires $(\rho, \theta)$ dans le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$
\item Contr\^oler avec la calculatrice
\end{enumerate}}

\Exo{Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$, on consid\`ere les points A et B dont les coordonn\'ees polaires (dans $(O;\vec i)$) sont : $$ A(2;0) \qquad \qquad B\left(2;\dfrac{\pi}{6}\right)$$
On consid\`ere \'egalement le point $C$ dont les coordonn/'ees cart\'esiennes sont : $C(- \sqrt{3};-1)$ 
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonn\'ees cart\'esiennes de $A$
\item Calculer les coordonn\'ees cart\'esiennes de $B$
\item Calculer les coordonn\'ees polaires de $C$
\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un m\^eme cercle de centre O dont on pr\'ecisera le rayon.
\item Placer, pr\'ecis\'ement, les points A, B et C sur une figure
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? (Prouver le)
\end{enumerate}}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.4)(3.2,1.4)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){$I(0)$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$J\left(\frac{\pi}{2}\right)$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){I'}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){J'}
\uput{0.3000}[157.5000](-0.9200,0.3700){$A\left(\frac{7\pi}{8}\right)$}
\uput{0.3000}[-108.0000](-0.3100,-0.9500){$B\left(-\frac{3\pi}{5}\right)$}
\psline(0.0000,0.0000)(-0.9200,0.3700)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3100,-0.9500)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exo{Soit $(O;\vec i,\vec j, \vec k)$ un rep\`ere orthonormal de l'espace. \newline
D\'eterminer une \'equation de la sph\`ere de centre O, passant par $A(1;2;3)$}

\Exo{On consid\`ere un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. $A$ est le point de coordonn\'ees polaires $(\rho,\theta)$ avec $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ dans le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$\newline
ABC est un triangle \'equilat\'eral de centre $O$ tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer le c\^ot\'e du triangle $ABC$ en fonction de $\rho$
\item Donner les mesures des angles $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ et $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC})$. En d\'eduire les mesures de $( \vec i, \overrightarrow{OB})$ et de $( \vec i, \overrightarrow{OC})$
\item En d\'eduire les coordonn\'ees polaires de $B$ et $C$ dans le rep\`ere $(O;\vec i)$
\item D\'eterminer des coordonn\'ees cart\'esiennes de A, B et C
\end{enumerate}
\item E est le milieu du c\^ot\'e $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $ \overrightarrow{OE}$ puis $ \overrightarrow{OC}$ en fonction de $ \overrightarrow{OA}$ et de $ \overrightarrow{OB}$
\item D\'emontrer que $ \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}$
\item En d\'eduire que :
$$ \cos \theta+ \cos \left(\theta +\dfrac{2\pi}{3}\right)+ \cos\left(\theta -\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$$
et 
$$ \sin \theta + \sin \left(\theta +\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left( \theta -\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$$
\end{enumerate}
\end{enumerate} }

\Exo{$\mathscr{C}$ et $\mathscr{C'}$ sont deux cercles de centres respectifs $O$ et $O'$ et de m\^eme rayon $r=2$ cm.\newline
 On suppose que ces deux cercles se coupent en deux points $A$ et $B$ avec $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}$
 \begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilat\`ere $OAO'B$
\item Calculer la distance $OO'$ et la distance $AB$
\item Calculer le p\'erim\`etre et l'aire de la surface d'intersection des deux disques (d\'elimit\'e par les deux arcs $ \wideparen{AB}$)
\end{enumerate} }

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.2)(3.2,2.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){O}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){O'}
\pscircle(-1.0000,0.0000){1.5000}
\pscircle(1.0000,0.0000){1.5000}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.1000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.1000){B}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.0000,-1.1000)(0.0000,1.1000)
\psline(-1.0000,0.0000)(0.0000,1.1000)
\psline(-1.0000,0.0000)(0.0000,-1.1000)
\psline(1.0000,0.0000)(0.0000,1.1000)
\psline(1.0000,0.0000)(0.0000,-1.1000)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-1.0000,0.0000)(1.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}