\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 3 : Second degr\'e }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Second degr\'e}



\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Exercices : Second degr\'e et polyn\^ome}

\Exo{$f$ et $g$ sont ils \'egaux ? :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(4x-3)^2-5x-7$ et $g(x)=2(8x^2+1)-19x$
\item $f(x)=(x+1)(x-2)$ et $g(x)=x^2-2+x$
\end{enumerate}}

\Exo{Trouver les racines des polyn\^omes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-19$
\item $g(x)=x^2+1$
\item $h(x)=(x-1)(x+5)$
\item $i(x)=x^2-4x+4$
\item $k(x)=3x^2+6x+3$
\item $j(x)=9x^2-16$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exo{Canoniser les polyn\^omes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-5x+9$
\item $g(x)=x^2+3x-1$
\item $h(x)=x^2-7x+2$
\item $i(x)=x^2-4x+4$
\item $k(x)=3x^2+8x+3$
\item $j(x)=9x^2-18x+16$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exo{$f$ est le trin\^ome d\'efini par $f(x)=x^2+3x-4$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la forme canonique de $f$
\item En d\'eduire que pour tout r\'eel $x$, $f(x)\geq -\dfrac{25}{4}$
\end{enumerate}}

\Exo{\begin{enumerate}
\item Dans chaque cas, calculer le discriminant du trin\^ome
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+x+1$
\item $g(x)=-x^2+4x-1$
\item $h(x)=-2x^2+3x+4$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Trouver les racines des polyn\^omes pr\'ec\'edents.
\end{enumerate}}

\Exo{R\'esoudre chacune des \'equations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $5x+3-x^2=0$
\item $x^2-9=7$
\item $2x^2-x+3=0$
\item $9x^2-12x+4=0$
\item $\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x=0$
\item $7x^2+1=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\newpage
\Exo{$f$ est le trin\^ome d\'efini par : $$ f(x)=3(x^2-4)-(x-2)(x+1)$$
On se propose de r\'esoudre l'\'equation $f(x)=0$ de deux fa\c cons diff\'erentes.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'evelopper et r\'eduire $f(x)$
\item R\'esoudre alors l'\'equation $f(x)=0$ 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression initiale de $f(x)$
\item R\'esoudre alors l'\'equation $f(x)=0$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exo{$$f(x)=2x^2-8x+7,9$$
Dresser le tableau de signe de $f$.}

\Exo{R\'esoudre les in\'equations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $-3x^2+4x-1\geq 0$
\item $-3x^2-5x<0$
\item $ x^2>1$
\item $t^2-2t-3\geq 0$
\item $5x^2-3x+\dfrac{9}{20}<0$
\item $-m^2+m-5<0$
\item $\sqrt{x+1}=2x-3$
\item $\dfrac{2x-5}{x-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\begin{multicols}{2}
\Exo{Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ : \newline
on place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$ de telle mani$\grave{e}$re que  :$$AD=BE=x \text{ , }AB=18 \text{ et }AC=12$$\newline
D\'eterminer $x$ pour que l'aire de $ADE$ soit \'egale $\grave{a}$ la moiti\'e de celle de $ABC$}
\psset{xunit=0.2cm , yunit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5)(15,24)
\def\xmin{-5} \def\xmax{25} \def\ymin{-5} \def\ymax{30}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.2,-5.2)(25.2,30.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,18.0000){B}
\uput{0.3000}[0.0000](12.0000,0.0000){C}
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,18.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(12.0000,0.0000)
\psline(0.0000,18.0000)(12.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,12.0000){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.0000,0.0000){D}
\psline(6.0000,0.0000)(0.0000,12.0000)
\psline(0.0000,0.3000)(0.3000,0.3000)(0.3000,0.0000)
\uput[ur](-2.4,14){$x$}
\uput[ur](2,-2){$x$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\Exo{On appelle \textit{format} d'un rectangle le quotient de la longueur $L$ par la largeur $l$ ($f=\dfrac{L}{l}$)
\begin{enumerate}
\item Quel est le format d'un rectangle de longueur $L=5$ cm et de largeur $l=2$ cm ?
\item On consid$\grave{e}$re un rectangle de largeur $l=1$ et de longueur $L=x$ cm ($1<x<2$)
\begin{enumerate}
\item Exprimer (en fonction de $x$) le format $f$ du rectangle $ABCD$
\item On d\'ecoupe dans le rectangle $ABCD$ un carr\'e $ABOR$. 
\newline Exprimer en fonction de $x$ le format $f'$ du rectangle $ORDC$  
\item Quelle valeur donner $\grave{e}$ $x$ pour que les rectangles $ORDC$ et $ABCD$ aient le m\^eme format ?
\item On note $\phi$ cette valeur. D\'eterminer $\phi-1$, $\phi(\phi-1)$ et $\dfrac{1}{\phi}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exo{L'aire d'un triangle rectangle est $429$ $m^2$ et l'hypot\'enuse a pour longueur $h=72,5$ m. Trouver le p\'erim$\grave{e}$tre.}

\Exo{On ach$\grave{e}$te pour $40\euro$ d'essence $\grave{a}$ une station service. On s'aper\c coit qu'$\grave{a}$ une autre station service le prix du litre d'essence est inf\'erieur de $0,10\euro$. On aurait ainsi pu obtenir $5$ litres d'essence de plus pour le m\^eme prix.\newline
Quel \'etait le prix de l'essence $\grave{a}$ la premi$\grave{e}$re station et combien en avait-on pris ?}
\Exo{Soit $f$ une fonction d\'efinie par $f(x)=-3x^2+2x+1$ pour tout r\'eel $x$.\newline
On note $C_f$ sa repr\'esentation graphique dans un rep$\grave{e}$re $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Pr\'eciser la nature de la courbe $C_f$ et les coordonn\'ees de son sommet $S$
\item Montrer que la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $B$ dont on d\'eterminera les coordonn\'ees.
\item Pour quelles valeurs de $x$ la courbe est-elle situ\'ee au dessus de l'axe des absisses ?
\end{enumerate}}

\Exo{R\'esoudre l'\'equation $6x^4-5x^2+1=0$ (on pourra poser $X=x^2$)}
\Exo{R\'esoudre l'\'equation $$x+x^3+x^5+x^7=0$$
\textit{\underline{Indication : }Peut-il y avoir une solution r\'elle strictement n\'egative ? Et strictement positive ?}}
\Exo{$f$ est un polyn\^ome de d\'efini par : $$ f(x)=3x^2-5x+1$$
\begin{enumerate}
\item Proposer un polyn\^ome $P$ tel que le polyn\^ome $P+f$ soit de degr\'e 
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 3
\item 2
\item 1
\item 0
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Proposer un polyn\^ome $Q$ tel que $Q\times f$ soit de degr\'e :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 5
\item 4
\item 3
\item 2
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exo{$f$ est le polyn\^ome d\'efini par $f(x)=4x^3+2x^2-2x-1$
\begin{enumerate}
 \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $x$, $f(x)=(2x+1)(ax^2+bx+c)$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels \`a d\'eterminer.
\item R\'esoudre l'\'equation $f(x)=0$
\end{enumerate}
}

\Exo{R\'esoudre $x^3-x^2-14x+24=0$, puis r\'esoudre $3x^3-5x^2-x+3\leq 0$}



\end{document}