\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 7 : Probabilités }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Probabilités}



\setcounter{page}{1}

\Cr{Exercices : Probabilités}





\Exoi{On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. La loi de probabilité est donnée par le tableau :
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{12} $ & $a$ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{12} $ & $ \dfrac{1}{3} $ & $ \dfrac{1}{12}$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$
\item Déterminer la probabilité de l'événement A : \og obtenir un nombre pair \fg
\end{enumerate}
}


\Exoi{Dans un univers $\varOmega$, on donne deux événements $A$ et $B$ incompatibles tels que $P(A) = 0,2$ et $P(B) = 0,7$. \newline
Calculer $P(A\cap B)$, $P(A\cup B)$, $P(\bar{A})$ et $P(\bar{B})$
}


\Exoi{Un sac contient trois jetons, numérotées $1$, $2$ et $3$. 
\newline 
On tire un jeton au hasard, puis on lance un dé autant de fois que le chiffre inscrit sur le jeton. \newline
Calculer la probabilité que la somme du nombre lu sur le jeton et du (ou des) nombre(s) lu(s) sur le dé soit égale 
à $7$. \footnote{On pourra s'aider d'un arbre}
}
\Exoi{Un sac contient quatre jetons rouges, trois jetons verts et deux jetons bleus. \newline
On tire des jetons, sans remise, jusqu'à obtention d'un jeton de même couleur qu'un des jetons précédemment 
tirés. \newline
Calculer la probabilité que les deux jetons de même couleur soient bleus. 
}
\Exoi{On considère l'ensemble des entiers naturels de $1$ à $20$. On choisit au hasard l'un de ces nombres.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité des événements suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item A : \og il est multiple de $2$ \fg
\item B : \og il est multiple de $4$ \fg
\item C : \og il est multiple de $5$ \fg
\item D : \og il est multiple de $2$ mais pas de $5$ \fg
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer la probabilité de $A\cap B$, $A\cup B$, $A\cap C$, $A\cup C$
\end{enumerate}}

\Exoi{On lance $n$ dés ($n\geq 1)$. On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\bar{A}$
\item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\bar{A})$
\item En déduire que $P(A)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^6$
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} gain $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $P(A)$ &  &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\item Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{3}{4}$ ?
\end{enumerate}}

\Exoi{Une urne $U$ contient trois boules blanches et urne $V$ contient deux boules blanches et une boule noire. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans l'urne choisie. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?}
\Exoi{On considère un jeu de $32$ cartes.\newline
\underline{Note} : La composition d'un jeu de $32$ cartes est la suivante : 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; valet ; dame ; roi ; as pour chacune des $4$ \og couleurs \fg : coeur ; carreau ; trèfle et pique.\newline
On tire, au hasard, une carte du paquet. Chaque carte ayant autant de chance d'être choisie. On considère les événements suivants :\newline
$V$ : \og Obtenir un valet\fg\newline
$F$ : \og Obtenir une figure \fg (les figures sont les valets, dames et rois)\newline
$T$ : \og Obtenir un trèfle \fg 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $P(V)$
\item $P(F)$
\item $P(T)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Décrire l'événement $F\cap T$ puis calculer sa probabilité. En déduire la probabilité $P(F\cup T)$.
\item Décrire l'événement $\bar{F}$ et calculer sa probabilité
\end{enumerate}}
\Exoi{Un couple de futurs parents décide d'avoir trois enfants. \newline
On fait l'hypothèse qu'ils auront, à chaque fois, autant de chances d'avoir un garçon qu'une fille et qu'il n'y aura pas de jumeaux. Calculer la probabilité des événements :\newline
$A$ : \og ils auront trois filles\fg\newline
$B$ : \og ils auront trois enfants de même sexe \fg \newline
$C$ : \og ils auront au plus une fille \fg \newline
$D$ : \og les trois enfants ne seront pas du même sexe \fg}

\Exoi{Une urne $U_1$ contient trois boules numérotées $1$, $6$ et $8$. Une urne $U_2$ contient trois boules numérotées $2$, $4$ et $9$. Une urne $U_3$ contient trois boules numérotées $3$, $5$ et $7$. \newline
Justine joue avec l'urne $U_1$, Alice avec l'urne $U_2$ et Mathilde avec l'urne $U_3$. Le jeu se joue à deux, chaque joueur prend une boule au hasard dans l'urne. Le gagnant est celui qui a le plus grand numéro.
\begin{enumerate}
\item Justine joue contre Alice. Laquelle des deux a le plus de chance de gagner ? (Un tableau décrivant les couples de résultats possibles permettra de trouver le vainqueur)
\item Alice joue contre Mathilde. Laquelle des deux a le plus de chance de gagner ?
\item Mathilde joue contre Justine. Laquelle des deux a le plus de chance de gagner ? \footnote{Ce genre de situation, surprenante, est connu sous le nom de paradoxe de Condorcet. Ce sont des situations face auxquelles on ne peut pas ordonner de préférences.}
\end{enumerate}}
\Exoi{\textbf{Problème du duc de Toscane}\newline
Le jeu de \og passe-dix \fg consiste à jeter trois dés, on gagne si la somme des points obtenus dépasse $10$. Le chevalier de Méré constatait qu'en pratique on gagnait plus souvent avec $11$ qu'avec $12$. \newline
Cela contredisait son raisonnement, que voici :\newline
\og Il y a six possibilités de marquer $11$ points : \newline
$\{4,4,3\}$, $\{5,3,3\}$, $\{5,4,3\}$, $\{5,5,1\}$, $\{6,3,2\}$, $\{6,4,1\}$\newline
et six possibilités de marquer $12$ points :\newline
$\{5,4,3\}$, $\{5,5,2\}$, $\{6,3,3\}$, $\{6,4,2\}$, $\{6,5,1\}$\newline
Donc la probabilité de marquer 11 est égale à celle de marquer 12.\fg
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'en distinguant les dés, contrairement au chevalier de Méré, il y a six façons d'obtenir $5$, $4$ et $3$
\item Vérifier qu'il y $25$ façons d'obtenir $12$ et $27$ d'obtenir $11$
\item Prouver que la probabilité d'obtenir $12$ est $ \dfrac{25}{216}$ et celle d'obtenir $11$ est $ \dfrac{27}{216}$
\end{enumerate} }
\Exoi{Une roue de loterie est partagée en douze secteurs égaux : six bleus, trois verts, deux jaunes et un rouge. \newline
Lors d'une partie, on fait tourner rapidement la roue et un repère fixe désigne la couleur obtenue à l'arrêt.
\begin{enumerate}
\item Décrire, sous la forme d'un tableau, la loi de probabilité la mieux adaptée à cette expérience.
\item A chaque issue, on associe le gain algébrique en euros (positif ou négatif) du joueur suivant la règle :\newline
bleu : $-1\euro$, vert : $-4\euro$, jaune : $0\euro $ et rouge : $12\euro$. Quelle est l'espérance de gain du joueur
\item Dans cette question on ne change que la somme attribuée à la couleur jaune, quelle valeur faut-il lui attribuer afin que le jeu soit équitable ?
\item Dans les deux cas, calculer l'écart type et interpréter votre résultat. 
\end{enumerate}}

\Exoi{Une boîte contient six boules rouges et $n$ boules blanches. Un jeu consiste à tirer successivement, sans remise, deux boules de la boîte. Si les deux boules ont la même couleur, le joueur gagne $1\euro$ ; si elles sont de couleurs différentes, le joueur perd $1\euro$.
\begin{enumerate}
\item Si $n=3$. Calculer les probabilités d'obtenir deux boules :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item de même couleur
\item de couleurs différentes
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si $n\geq 2$. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le gain algébrique du joueur.
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $n$ les probabilités des événements $(X=1)$ et $(X=-1)$
\item Montrer que l'espérance mathématique $E(X)$ est telle que $$E(X)=\dfrac{n^2-13n+30}{(n+6)(n+5)}$$
\item Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il équitable ?
\item Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il défavorable ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Exoi{\textbf{Le problème du chevalier de Méré}\newline
Le chevalier de Méré, philosophe et homme de lettres pose le problème suivant au mathématicien Blaise Pascal.
\og Qu'est ce qui est le plus probable : obtenir au moins un six en quatre lancers d'un dé, ou obtenir au moins un double-six en lançant $24$ fois deux dés ?\fg
\begin{enumerate}
\item On lance un dé quatre fois de suite.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'issues de l'expérience ?
\item $A$ est l'événement : \og Obtenir au moins un six \fg. Définir l'événement $\bar{A}$ et calculer sa probabilité. En déduire celle de $A$
\end{enumerate}
\item On lance maintenant deux dés $24$ fois de suite.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre d'issues de l'expérience est $36^{24}$.
\item $B$ est l'événement : \og Obtenir un double-six \fg. Définir l'événement $ \bar{B}$ et calculer sa probabilité. En déduire celle de $B$
\end{enumerate}
\item Répondre au chevalier de Méré.
\end{enumerate}}

\Exoi{On lance un dé équilibré. Si la face $6$ apparaît, le gain du joueur est de $100\euro$, si la face $1$ apparaît, le gain est de $50\euro$, pour toutes les autres faces, le joueur perd $30\euro$. \newline
$X$ est la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il équitable ?
\item Calculer l'écart-type. Le jeu est-il risqué ?
\end{enumerate}}
\Exoi{\textbf{Le paradoxe des trois pièce de monnaie}\newline
On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit pile ou face ? 
\newline 
Une sur quatre. Soit. Pourtant, si je lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté ; la troisième y sera avec une chance sur deux. J'ai donc une chance sur deux que toutes trois tombent du même côté.
\newline
Donner la bonne réponse et commenter la solution proposée.
}
\Exoi{\textbf{Problème de la Belle au bois dormant} \newline
 On joue avec la Belle au bois dormant qui connait le protocole suivant. L'expérience dure de dimanche soir à mercredi. Elle se couche le dimanche soir et on tire une pièce équilibrée à pile ou face. si c'est pile, on réveille la Belle le lundi pour un entretien, puis elle se rendort jusqu'à la fin de l'expérience. Si c'est face, on la réveille le lundi, puis le mardi pour deux entretiens, mais elle ne sait jamais quel jour on est. \newline
Lors de chaque entretien (la belle ne sait pas les distinguer), on demande à la Belle l\og A votre avis, quelle est la probabilité que pile (resp. face) soit tombé dimanche ? \fg. 
\newline
A votre avis, que doit répondre la Belle ?
}

\Exoi{Voici l'énoncé de ce problème : dans une émission américaine, un joueur a le choix entre trois portes . Il gagnera ce qui se cache derrière la porte de son choix. Le présentateur sait ce qu'il y a derrière les portes mais n'en dira pas un mot. 
\newline
Derrière une des portes, une voiture. Derrière les deux autres, deux chèvres (ou tout autre \og cadeau \fg de peu de valeur).
\newline
Le candidat choisit une porte. Le présentateur ouvre une des deux autres, derrière laquelle se trouve une chèvre :
\begin{itemize}
\item soit le candidat a choisi la porte derrière laquelle il y a une voiture, auquel cas le présentateur ouvre n'importe quelle autre porte ;
\item soit le candidat a choisi une porte derrière laquelle il y a une chèvre, et le présentateur ouvre l'autre. 
\end{itemize}
Une fois une porte ouverte, le présentateur propose au candidat de changer son choix. Quelle est, au sens probabiliste, la meilleure stratégie ? }



\end{document}