\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : G\'en\'eralit\'es sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{G\'en\'eralit\'es sur les fonctions}



\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Exercices : Les Fonctions}

\Exo{\textbf{Parit\'e}\newline
\'Etudier la parit\'e des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $\R^*$
\item $g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ sur $\R^*$
\item $h(x)=x+\dfrac{1}{x^2}$ sur $\R^*$
\item $k(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ sur $\R^*$
\item $l(x)=\cos x + \sin x$ sur $\R$
\item $m(x)=\cos x \times \sin x$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{\textbf{Sens de variation}\newline
On consid$\grave{e}$re la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=x(1-x)$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)\leq \dfrac{1}{4}$ pour tout $x\in \R$
\item En d\'eduire que la fonction $f$ admet un maximum en $x=\dfrac{1}{2}$
\item D\'emontrer que $f(x)=\dfrac{1}{4}-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
\item En d\'eduire que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty; \dfrac{1}{2}\right[$ et d\'ecroissante sur $\left] \dfrac{1}{2};+\infty\right[$
\end{enumerate}}

\Exo{\textbf{Comparaison de deux fonctions}\newline
Le but de cet exercice est de comparer les fonctions $f$ et $g$ d\'efinie par :
\begin{center}$f(x)=\sqrt{1+x}$ sur $\R$ et $g(x)=1+\dfrac{x}{2}$ sur l'intervalle $[-1;+\infty[$\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)\geq 0$ et $g(x)\geq 0$ pour tout $x \in [-1;+\infty[$
\item Calculer $f(x)^2$ et $g(x)^2$.
\item D\'emontrer que $f(x)^2\leq g(x)^2$ pour tout $x \in [-1;+\infty[$
\item En d\'eduire une comparaison entre $f$ et $g$ sur  $[-1;+\infty[$
\item Tracer dans un m\^eme rep$\grave{e}$re les repr\'esentations graphiques de $f$ et $g$ sur l'intervalle $[-1;+\infty[$.
\end{enumerate}
}

\Exo{\textbf{Comparaison de deux fonctions}\newline
Le but de cet exercice est de comparer les fonctions $f$ et $g$ d\'efinie par :
\begin{center}$f(x)=\dfrac{1}{1+x^4}$ sur $\R$ et $g(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ sur l'intervalle $\R$\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(x)-g(x)$ (on r\'eduira au m\^eme d\'enominateur).
\item En d\'eduire l'intervalle sur lequel on a $f\geq g$
\end{enumerate}
}

\newpage
\Exo{\textbf{Op\'erations sur les fonctions}
\begin{enumerate}
\item $u$ et $v$ sont des fonctions d\'efinies sur $\R$ par : $u(x)=x^2$ et $v(x)=1-2x$\newline
Montrer que pour tout $x\in\R$ $(u+v)(x)=(x-1)^2$
\item On consid$\grave{e}$re les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $\R$ par : 
\begin{center}
$ f(x)=2x^2+3$
\hspace{35mm}
$ g(x)=x^2+1$
\begin{enumerate}
\item Pourquoi la fonction $\dfrac{f}{g}$ est-elle d\'efinie sur $\R$ ?
\item V\'erifier que pour tout $x \in \R$ on a $\left(\dfrac{f}{g} \right)(x)=2+ \dfrac{1}{x^2+1}$
\item D\'eterminer la fonction $fg$
\end{enumerate}
\end{center}
\end{enumerate}}

\Exo{\textbf{Sens de variation}
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de chaque fonction $f$ (Justifier)
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2-1$
\item $f(t)=\dfrac{1}{t}+3$
\item $f(x)=-2+\sqrt{x}$
\item $f(x)=-\dfrac{3}{x}$
\item $f(x)=2x^2$
\item $f(x)=-5\sqrt{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \'Ecrire la fonction $f$ comme la compos\'ee de deux fonctions de r\'ef\'erence et en d\'eduire son sens de variation sur l'intervalle $I$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f : x \longmapsto \dfrac{1}{2x+1}$ $I=\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
\item $f : x \longmapsto \sqrt{2-x}$ $I=\left]-\infty;2\right]$
\item $f : x \longmapsto (3-x)^2$ $I=\left[3;+\infty\right[$
\item $f : x \longmapsto  (3-x)^2+6$ $I=\left[3;+\infty\right[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}} 

\Exo{\textbf{Fonctions compos\'ees}
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $f$ comme la compos\'ee de fonctions de r\'ef\'erence : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{1}{3x-2}$
\item $f(x)=\sin (3x)$
\item $f(x)=2(x-1)^2+5$
\item $f(x)=-4\sqrt{x}+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item D\'eterminer $f \circ g$ dans chacun des cas suivants : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-2x+1$ et $g(x)=\sqrt{x}$
\item $f(x)=\sin (x)$ et $g(x)=\dfrac{3}{2-x}$
\item $f(x)=(x-1)^2$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$
\item $f(x)=-4\sqrt{x}+1$ et $g(x)=5x-1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exo{\textbf{Sens de variation d'une fonction compos\'ee}\newline
Donner une d\'ecomposition de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=(x-3)^2+2$ qui permette d'en d\'eduire son sens de variation sur l'intervalle $I=\left]-\infty;3\right]$.}

\newpage
\Exo{\textbf{Fonctions associ\'es et courbes}\newline
On consid$\grave{e}$re une fonction $f$ d\'efinie sur $[-3;3]$ dont la repr\'esentation graphique est donn\'ee ci-dessous : 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-3.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 1.5 x mul sub 2.5 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-1}{\F}
\def\G{2 3 div x mul 1 3 div sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{2}{\G}
\def\H{0 3 x mul sub 7 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{3}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Pr\'eciser l'ensemble de d\'efinition et repr\'esenter chacune des fonctions d\'efinies ci-dessous :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=-f(x)$
\item $f_2(x)=\mid f(x)\mid$
\item $f_3(x)=f(x)+1$
\item $f_4(x)=f(x+1)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exo{\textbf{Repr\'esentation graphique}
\begin{enumerate}
\item Dans un rep$\grave{e}$re, tracer soigneusement la parabole $P$ repr\'esentant la fonction carr\'e.
\item Dans chaque cas, en d\'eduire comment obtenir la courbe repr\'esentant la fonction $f$ (V\'erifier a l'aide de la calculatrice):
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f_1 : x \longmapsto x^2-2$
\item $f_2 : x \longmapsto -x^2+2$
\item $f_3 : x \longmapsto (x-3)^2+3$
\item $f_4 : x\longmapsto -(x+3)^2-3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exo{On consid$\grave{e}$re la fonction $f$ d\'efinie pour tout $x\in \R$ par : $f(x)=x(x-2)$
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parit\'e de la fonction $f$
\item D\'emontrer que $f(x)=(x-1)^2-1$
\item D\'emontrer que la fonction $f$ est minor\'ee par $-1$
\item Tracer soigneusement la repr\'esentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ (On se limitera $\grave{a}$ l'intervalle $[-1;3]$).
\end{enumerate}}

\Exo{On consid$\grave{e}$re la fonction $f$ d\'efinie par : $$f(x)=x\sqrt{4-x^2}$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ensemble de d\'efinition de la fonction $f$
\item \'Etudier la parit\'e de la fonction $f$
\item Tracer soigneusement la repr\'esentation graphique $C_f$ de la fonction $f$
\item D\'emontrer que la fonction $f$ admet un maximum $M=2$ (On pourra d\'eterminer le signe de $f(x)^2-4$)
\end{enumerate}}

\Exo{On consid$\grave{e}$re la fonction $f$ d\'efinie sur $[0;3]$ par : $f(x)=-x^2+3x-2$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)=(1-x)(x-2)$
\item Tracer soigneusement la repr\'esentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;3]$
\item R\'esoudre par le calcul l'in\'equation $f(x)\geq 0$
\end{enumerate}}

\Exo{\underline{ \textbf{Rappel}} : Soit $A$ et $B$ deux r\'eels. Si $AB=0$ alors $A=0$ ou $B=0$
\begin{enumerate}
\item Consid\'erons les fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I=[–1;1]$ par : 
\begin{center}
$ f(x)=\left \{
\begin{array}{c @{\text{ si }} c}
    1 & x>0 \\
    0 & x\leq 0 \\
\end{array}
\right.$
\hspace{35mm}
$ g(x)=\left \{
\begin{array}{c @{\text{ si }} c}
    0 & x\geq 0 \\
    -1 & x< 0 \\
\end{array}
\right.$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Repr\'esenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$
\item Que vaut le produit $fg$ sur $I$ ? La propri\'et\'e \'enonc\'ee en rappel pour des r\'eels est-elle vraie pour des fonctions ?
\end{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre r\'eel non nul. On suppose que : $kf=0$ sur $I$. Que dire de la fonction $f$ sur $I$ ?
\end{enumerate}}

\Exo{Le but du probl$\grave{e}$me est de comparer les deux nombres suivants : 
\begin{center}
$ A=\dfrac{1,0000002}{1,0000004}$
\hspace{35mm}
$ B=\dfrac{0,9999996}{0,9999998}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les fonctions d\'efinies par : 
$ f(x)=\dfrac{1+2x}{1+4x}$
\hspace{35mm}
$ g(x)=\dfrac{1-4x}{1-2x}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quels sont les ensembles de d\'efinition $D_f$ et $D_g$ des fonctions $f$ et $g$ ?
\item Que vaut $f\left(10^{-7}\right)$ ? Que vaut $g\left(10^{-7}\right)$ ?
\end{enumerate}
\item Pour comparer les nombres $A$ et $B$, on va comparer les fonctions $f$ et en \'etudiant la diff\'erence $f(x)-g(x)$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)-g(x)=\dfrac{12x^3}{(1+4x)(1-2x)}$
\item R\'esoudre l'in\'equation $f(x)-g(x)>0$
\item En d\'eduire le signe de $f\left(10^{-7}\right)-g\left(10^{-7}\right)$.
\item Conclure
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exo{On consid$\grave{e}$re la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+\mid x\mid}$
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parit\'e de la fonction $f$
\item D\'emontrer que $f(x)<1$ pour tout $x\in\R$
\item Tracer soigneusement la repr\'esentation graphique $C_f$ de la fonction $f$.
\end{enumerate}}

\newpage
\Exo{\textbf{Fonctions irrationnelles}
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction d\'efinie sur $D$ par $f(x)=\sqrt{ \dfrac{x+1}{x-1}}$.
\begin{enumerate}
\item Trouver $D$
\item D\'emontrer que $f=g \circ h$ o$\grave{u}$ $g$ est la fonction racine carr\'ee et $h$ une fonction $\grave{a}$ d\'eterminer.
\item V\'erifier que pour tout r\'eel $x\in D$ $h(x)=1+\dfrac{2}{x-1}$
\item En d\'eduire les variations de $h$ sur $]-\infty;-1]$ et sur $]1;+\infty[$
\item Tracer, avec la calculatrice, la courbe repr\'esentant la fonction $f$ et contr\^oler les r\'eponses donn\'ees $\grave{a}$ la question $(e)$. 
\end{enumerate}
\item $f$ est la fonction d\'efinie sur $[-\pi ; \pi]$ par : 
$$ f(x)=\sqrt{1-\cos x}$$
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que pour tout r\'eel $x \in [-\pi ; \pi]$ $1-\cos x \geq 0$
\item \'Etudier les variations sur $[-\pi ; \pi]$ de la fonction : $x \longmapsto 1-\cos x$
\item En d\'	eduire les variations de $f$ sur $[-\pi ; \pi]$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\end{document}