\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{L'espace}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2009-2010}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutexo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos
\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de l'arête $[FG]$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le point $M$ tel que :  $ \qquad\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AM}$
\item Démontrer que : $\qquad  \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CB}$
\end{enumerate}}

\Exoi{$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. Démontrer que les points $J$, $D$ et $G$ sont alignés.}


\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(JIH)$
\item Montrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$ sont parallèles
\end{enumerate}}
\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EB]$ et $J$ le milieu de $[FG]$.\\ Démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ et $ \overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires. }

\Exoi{On considère le repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ et les points $$ A(1;2;-3)\qquad B(-1;3;3)\qquad C(4,-1,2)$$ $D$ est le point tel que $ABCD$ est un parallélogramme. Calculer les coordonnées de $D$, puis celles du centre $I$ de ce parallélogramme.}

\Exoi{$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$.\\
Démontrer analytiquement \footnote{Démontrer analytiquement signifie démontrer en utilisant le repérage et donc le calcul de coordonnées}, en choisissant un repère, que les points $D$, $G$ et $J$ sont alignés.}

\Exoi{On considère le repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ et les points $$ A(2;3;2)\qquad B(-2;-1;2)\qquad C(-2;3;-2)$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$
\item Préciser la nature du triangle $ABC$
\end{enumerate}}
\Exoi{On considère le repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ et $A(1;2;-4)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $O$ et de rayon $5$
\item Déterminer une équation de la shère $\mathscr S'$ de centre $O$ contenant le point $A$
\end{enumerate}}
\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre de centre de gravité $G$. $I$ est le milieu de $[AD]$, $J$ celui de $[BC]$. Démontrer que $I$, $J$ et $G$ sont alignés}

\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube. Démontrer que le point $K$ défini par $$ 2 \overrightarrow{AK}= \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+3 \overrightarrow{AG} $$
appartient au plan $(BCG)$. Construire $K$}

\Exoi{On considère le repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ et les points $$ A(2;-1;3)\qquad B(1;2;0)\qquad C(-2;1;-2) \qquad D(-1;-2;5)$$
\begin{enumerate}
\item $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Un rectangle ?
\item Calculer les coordonnées de l'isobarycentre du quadrilatère $ABCD$
\end{enumerate}}

\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre régulier de côté $a$. On note $G$ son centre de gravité.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac{a^2}{2}$ et qu'il en est de même pour les autres sommets.
\item Démontrer que deux arêtes opposés sont orthogonales
\item Soit $A'$ le centre de gravité du triangle $BCD$. Exprimer $ \overrightarrow{AG}$ en fonction de $ \overrightarrow{AA'}$
\end{enumerate}}

\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube de côté $1$. On considère le repère $ (A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE})$
\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $CE$.
\item Calculer les coordonnées du centre de gravité $I$ de $AHF$ et du centre de gravité $J$ de $BDG$. 
\item Démontrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(AHF)$ ainsi qu'au plan $(BDG)$. \footnote{\underline{Rappel} : pour montrer 
que d'une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$, on montre qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes $d_1$ 
et $d_2$ de $P$}
\item Démontrer que $ \overrightarrow{IJ}= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{EC}$
\end{enumerate}}

\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BD]$.\\
On définit les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ par : $$ \overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\qquad \overrightarrow{CR}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{CB}\qquad \overrightarrow{CS}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$$
Le but du problème est de démontrer que  les droites $(PS)$, $(QR)$ et $(IJ)$ sont concourantes. 
\begin{enumerate}
\item  Faire une figure. 
\item Démontrer que : $$ P=bar\{(A,2);(B,1)\}\qquad Q=bar\{(A,2);(D,1)\}\qquad R=bar\{(C,2);(B,1)\}\qquad S=bar\{(C,2);(D,1)\}$$
\item On considère le barycentre $G$ de $\{(A,2);(B,1);(C,2);(D,1)\}$\\
En utilisant la règle d'associativité, démontrer que $G\in (PS)$ puis que $G \in (QR)$ et enfin que $G \in (IJ)$. 
\item Conclure.
\end{enumerate}
}

\Exoi{$ABCDEFGH$ est un cube de côté égal à $1$. On considère le repère $(A, \overrightarrow{AB} 
, \overrightarrow{AD} 
, \overrightarrow{AE}
)$.\\ 
$I$ est le centre du carré $EFGH$ et$J$ est le centre du carré $BCGF$. 
\begin{enumerate}
\item  Faire une figure. 
\item Préciser les coordonnées de $I$ et $J$. 
\item Calculer les distances $AI$, $AJ$ et $IJ$. 
\item Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{AJ}$ et en déduire une mesure de l'angle $( \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AJ})$
\end{enumerate}
}
\end{document}