\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 6 : Dérivations }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

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\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
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\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
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\newcommand{\Cj}[1]{
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\begin{minipage}{15cm}
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\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
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}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
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\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Dérivations}



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
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\newcommand{\Cv}[1]{
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\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
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}
}
\Cv{Exercices : Dérivations}



\Exo{Quel est le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ dans les cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-2x+3$ et $a=3$
\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $a=-1$
\item $f(x)=mx+p$ et $a=2$ avec $m$ et $p$ deux réels
\item $f(x)=x^2-5x+3$ et $a=2$
\item $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ et $a=0$
\item $f(x)=x^3+1$ et $a=3$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exo{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0) \qquad f'(2) \qquad f'(4)\qquad f'(6)\qquad f'(9)$$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,1,1,1)(-3,2,-2,1)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,1,0,1)(4,0,0.666,3)(6,-2,-2,1)(9,2,0.5,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exo{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) \qquad f'(5)$$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\Exo{La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-3)\qquad f'(-1)\qquad f'(2) \qquad f'(3) $$}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-1.5)(5.5,6.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-1)(5,6) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,6) 
\psaxes(0,0)(-5,1)(4,7) 
\HermiteDDL(-5,1,-2,0)(-3,5,1,1)(-1,0,3,1)(2,2,0,1)(3,5,1.333,1)(5,-1,1,0)
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 


\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour $h>0$, $$ \dfrac{f(1+h)-f(1}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1 }$$
\item En déduire l'existence et la valeur de $f'(1)$
\end{enumerate} }


\Exo{Dériver les fonctions définies ci-dessous :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2$
\item $g(x)=3x^4-2x^3+5x-4$
\item $h(x)=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)$
\item $k(x)=\dfrac{x+5}{x^2+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exo{Dériver les fonctions définies ci-dessous :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^2-3x+1$
\item $g(x)=(2x+3)(3x-7)$
\item $h(x)=\dfrac{2x+4}{3x-1}$ pour $x\neq \dfrac{1}{3}$
\item $k(x)=(2x^2+3x+1)^5$
\item $j(x)=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$
\item $p(x)=\sin 3x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exo{\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ d'équation $y=\sin x$ au point d'abscisse $0$
\item Tracer $T$ et $\mathscr C$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$
\end{enumerate}
\item En déduire l'approximation affine locale de $\sin h$
\item A l'aide du $2.$, donner une approximation de $\sin 0,01$ et comparer avec la valeur fournie par votre calculatrice.
\end{enumerate}}

\Exo{On définit sur $[0;\pi]$ les fonctions $f_1$ et $f_2$ par :
$$ f_1(x)=\sin x \qquad\text{ et }\qquad f_2(x)=\cos x$$
Démontrer que leurs courbes représentatives $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$ admettent au point d'abscisse $\dfrac{3\pi}{4} $ des tangentes parallèles }
\Exo{On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-x-1$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique. \newline
On considère également la fonction $g$ définie par $g(x)=3-x$. On note $\mathcal D$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $x_0=2$
\item Résoudre, par calcule, l'équation $g(x)=f(x)$
\item Préciser les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathcal D$
\item Tracer sur un même repère les droites $T$, $\mathcal D$ et la courbe $\mathscr C_f$
\end{enumerate}}

\Exo{Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$
\item Soit $A$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses. Calculer les coordonnées de $A$, puis une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $A$
\item Soit $B$ le point d'intersection de $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de $B$, puis une équation de la tangente $T_B$ à la courbe $\mathscr C_f$ en $B$
\item Tracer sur un même repère $T_A$, $T_B$ et $C_f$
\end{enumerate}}

\Exo{On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par  :
$$ f(x)=x^2-3x \qquad \qquad g(x)=x^3-3x$$
\begin{enumerate}
\item Etude de $f$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$
\item Etudier le signe de la dérivée $f'$
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$
\end{enumerate}
\item Etude de $g$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $g'$ de $g$
\item Etudier le signe de la dérivée $g'$
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $g$
\end{enumerate}
\item Comparaison des deux fonctions
\begin{enumerate}
\item Graphiques
\begin{enumerate}
\item Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$. (on se limitera à l'intervalle $[-2;2]$ et on prendra un pas de $0,5$)
\item A l'aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de points d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ?
\item Quelles sont leurs coordonnées ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par calcul :
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$
\item En déduire, par calcul, les coordonnées des points $A$ et $B$ d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$
\item Quel est le signe du dénominateur de $f'(x)$ ?
\item Résoudre l'inéquation $f'(x) \geq 0$
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant la valeur $M$ de son maximum et la valeur $m$ de son minimum
\item Tracer (soigneusement) la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4;4]$
\end{enumerate} }

\Exo{\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2-3x+2$
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$ 
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^3-3x-3$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$
\item Tracer $T$ et $\mathscr C_f$ (dans un même repère)
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2;3]$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$, par défaut, à $10^{-1}$ près
\end{enumerate}}


\Exo{$f$ est la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^3+2x+1$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'approximation affine locale de $f(-1+h)$
\item Démontrer que, si $h\neq 0$ est tel que $\mid h\mid<1$, alors $$ \mid h^3 \mid<h^2$$
\item En déduire que, si $h$ est non nul et $\mid h\mid<1$, alors : 
$$ \mid f(-1+h)-(5h-2)\mid<4h^2$$
\item Que peut-on dire lorsque l'on remplace $f(-1+h)$ par son approximation affine locale ?
\end{enumerate}}
\Exo{On considère un rectangle un rectangle dont le périmètre $P$ est égal à $4$ cm.
\begin{enumerate}
\item Déterminer ses dimensions (Longueur $L$ et largeur $l$) sachant que son aire $S$ est égale à $\dfrac{3}{4}$ cm$^2$
\item On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire $S$ soit maximale.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $S$ en fonction de $l$
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x(2-x)$. \newline
Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de $f$. Tracer la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;2]$
\item En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre $P$ est égal à $4$ cm et l'aire $S$ est maximale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exo{Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :
$$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(1+h)^2005-1}{h}$$
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^{2005}$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. Puis calculer $f'(0)$
\item Calculer le taux de variation de la fonction $f$ entre $0$ et $h$. 
\item Conclure
\end{enumerate}}

\Exo{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^4-2x+1$. Soit $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
\item Donner (en justifiant) l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$
\item Tracer (dans un même repère) $\mathscr C_f$ et cette tangente sur l'intervalle $[-1;1,5]$
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ puis étudier son signe
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$
\item Tracer la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ sur $[-4;0[\cup]0;4]$
\end{enumerate} }

\Exo{Soit $\mathscr C$ la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\R-\{2\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}\qquad \qquad a, b \in \R$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(x)$
\item Déterminer $a$ et $b$ tels que la droite d'équation $y=8$ soit tangente à $\mathscr C$ au point d'abscisse $3$.
\item Déterminer les limites suivantes :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\qquad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\qquad \lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\qquad \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)$$
\item Déduire de la question $3.$ que $\mathscr C$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
\end{enumerate}}

\Exo{Question préliminaire : factoriser le polynôme $P(x)=x^2+2x-3$\newline
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$$ f(x)=-2x^2+1\qquad \text{et}\qquad g(x)=x^3-3x+1$$
\begin{enumerate}
\item Etudier la partié des fonctions $f$ et $g$
\item Etudier les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ des fonctions $f$ et $g$
\item Calculer les dérivées $f'$ et $g'$. Etudier leur signe.
\item Dresser les tableaux de variation des fonctions $f$ et $g$
\item Tracer les représentation graphique $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ des fonctions $f$ et $g$. (On se limitera à l'intervalle $[-3;3]$).
\item Résoudre, par calcul, l'inéquation $f(x)\leq g(x)$. (On pourra utiliser la question préliminaire)
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $\R-\{2\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-2}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$, $+\infty$, $2^-$ et $2^+$. \newline
Préciser les éventuelles asymptotes horizontales et verticales.
\item Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$
\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote oblique $\Delta$
\begin{enumerate}
\item Déterminer trois réels, $a$, $b$ et $c$ tels que :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$$
\item En déduire que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$
\end{enumerate}
\item Tracer $\mathscr C_f$ et ses asymptotes.
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x}$. On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, $f(x)=0$
\item Vérifier que $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x}$
\item Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$. En déduire que $\mathscr C_f$ admet une asymptote $\mathcal D$ dont on précisera une équation.
\item Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$
\item Calculer $ \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-(x-3)]$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ dont on précisera l'équation et étudier la position de $\Delta$ et $\mathscr C_f$
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que l'on a : $f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-1}{x^2}$
\item Etudier le signe de $f'$ puis en déduire le tableau des variations de $f$
\end{enumerate} }
\Exo{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3-3x^2+9x$
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
\end{enumerate}}

\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $\R-\{-1\}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}$.\newline
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. (Unités : $1$ cm par axe)
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées.
\item Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses.
\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}\qquad \text{pour tout }x\in\R-{-1} $$
\item Etudier les limites de $f$ en $-1^+$ et en $-1^-$. En déduire que la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale $\mathcal D$ dont on précisera l'équation.
\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. La courbe $\mathscr C_f$ admet-elle une asymptote horizontale ?
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.\newline
Préciser la position relative de $\mathscr C_f$ et de $\Delta$
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer une équation des tangentes $T_{-2}$ et $T_{-3}$ aux points de la courbe $\mathscr C_f$ d'abscisses respectives $-2$ et $-3$.
\item Tracer, dans le repère, $\mathcal D$, $\Delta$, $T_{-2}$, $T_{-3}$ et $\mathscr C_f$. (On se limitera à $[-10;-1[\cup]-1;6]$)
\end{enumerate} }

\Exo{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$ f(x)=\dfrac{x}{1+\mid x \mid}$$
Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$}

\Exo{Une parabole $P$ admet, dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$, une équation du type :
$$y=ax^2+bx+c \qquad a\neq 0 $$
Déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ sachant que $P$ coupe l'axe des abscisses $(O;\vec i)$ au point $A$ d'abscisse $3$, l'axe des ordonnées $(O;\vec j)$ au point $B$ d'ordonnée $2$ et qu'elle admet en ce point la droite d'équation $y=2x+2$ pour tangente.\newline
Indiquer l'abscisse du second point d'intersection de $P$ avec $(O;\vec i)$ }

\Exo{On a admis, dans le chapitre 3, que \og deux polynômes sont égaux \fg si et seulement si \og ils ont même degré et mêmes coefficients \fg. Cela revient à dire qu'un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Voici une démonstration de ce résultat dans le cas $n=5$\newline
On pose $P:x\longmapsto a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ où $a_5$, $a_4$, $a_3$, $a_2$, $a_1$ et $a_0$ sont des réels.\newline
On suppose que pour tout $x$, $P(x)=0$
\begin{enumerate}
\item En déduire que $a_0=0$
\item Déterminer la fonction $f=P'$ et en déduire que $a_1=0$
\item Déterminer la fonction $g=f'$ et en déduire que $a_2=0$
\item Démontrer aussi que, $a_3=0$, $a_4=0$ et $a_5=0$
\end{enumerate} }


\end{document}