\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Barycentre }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
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}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Barycentre}



\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Exercices : Barycentre}

\Exo{Dans chaque cas : 
\begin{itemize}
\item Pr\'eciser si le barycentre de $G$ de $\{(A,a);(B,b)\}$ existe
\item S'il existe, caract\'eriser $G$ par une \'egalit\'e vectorielle et le construire
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $a=3$ et $b=2$
\item $a=0$ et $b=5$
\item $a=-4$ et $b=1$
\item $a=-2$ et $b=2$
\item $a=-1$ et $b=3$
\item $a=-\dfrac{1}{4}$ et $b=-\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
\Exo{Dans un rep$\grave{e}$re du plan, on donne les points :
$$ A\left(1; \dfrac{1}{2}\right) \text{ , }B\left(\dfrac{3}{2};2\right)\text{ et } C\left(-1;-\dfrac{11}{2}\right)$$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $A$, $B$ et $C$ sont align\'es
\item D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ tels que $C$ soit le barycentre de $\{(A,a);(B,b)\}$ avec $a+b=1$
\end{enumerate}}
\Exo{\begin{enumerate}
\item D\'ecrire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\mid \mid 5 \overrightarrow{MA} + 6 \overrightarrow{MB}\mid \mid=22$ 
\item D\'ecrire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\mid \mid 5 \overrightarrow{MA} - 6 \overrightarrow{MB}\mid \mid=\mid \mid 7 \overrightarrow{MA} - 6 \overrightarrow{MB}\mid \mid$
\item D\'ecrire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\mid \mid - \overrightarrow{MA} + 8 \overrightarrow{MB}\mid \mid=12$ 
\item D\'ecrire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\mid \mid 2 \overrightarrow{MA} + 7 \overrightarrow{MB}\mid \mid=\mid \mid 20 \overrightarrow{MA} - 11 \overrightarrow{MB}\mid \mid$  
\end{enumerate}}

\Exo{\begin{enumerate}
\item Construire le point $G$ barycentre de $\{(A,1000);(B,-2000)\}$ avec $AB=6$
\item Construire le point $G$ barycentre de $\{(D,51);(C,85)\}$ avec $CD=6$
\item Construire le point $G$ barycentre de $\{(N,-44);(P,-11)\}$ avec $NP=10$
\item Construire le point $G$ barycentre de $\{(S,-100);(R,75)\}$ avec $RS=6$
\end{enumerate}}

\Exo{$B$ est le milieu de $[AC]$. D\'emontrer que le barycentre de $\{(A,1);(C,3)\}$ est confondu avec celui de $\{(C,2);(B,2)\}$}

\Exo{$A$ et $B$ sont deux points distincts du plan.
\begin{enumerate}
\item Construire le barycentre $G$ de $\{(A,1);(B,2)\}$
\item Construire le point $M$ tel que : 
$$ \overrightarrow{MA}+ 2\overrightarrow{MB}= \overrightarrow{AB}$$
\end{enumerate}}
\newpage
\Exo{\'Etant donn\'e un triangle $ABC$ et $k$ un r\'eel non nul, on d\'efinit les points $D$ et $E$ par les relations :
$$\overrightarrow{AD} =k \overrightarrow{AB} \text{ et }\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CA}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure illustrant ces donn\'ees lorsque $k=\dfrac{1}{3}$, puis lorsque $k=-1$
\item D\'emontrer que $D$ est le barycentre de $\{(A,1-k);(B,k)\}$
\item D\'emontrer que $E$ est le barycentre de $\{(C,1-k);(A,k)\}$
\item En d\'eduire que pour tout point $M$ du plan, on a :
$$ \overrightarrow{MD}+ \overrightarrow{ME}= \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+ k\overrightarrow{CB}=2 \left( \overrightarrow{MB'}+k \overrightarrow{B'C'} \right) \text{ o$\grave{u}$ $B'$ et $C'$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$} $$
\item Soit $I$ le milieu de $[DE]$, d\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $I'$, $B'$ et $C'$ sont align\'es.
\end{enumerate}
}

\Exo{Dans un rep$\grave{e}$re de l'espace, on donne les points $A\left(3;1;1\right)$ et $B(1;3;0)$. Calculer les coordonn\'ees du barycentre $G$ de $\{(A,1);(B,3)\}$}
\Exo{Soit $ABC$ un triangle isoc$\grave{e}$le en $A$ tel que $BC=8$ cm et $BA=5$ cm. Soit $I$ le milieu de $[BC]$
\begin{enumerate}
\item Placer le point $F$ tel que $ \overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{BA}$. D\'emontrer que $F$ est le barycentre de $A$ et $B$ affect\'es de r\'eels $\grave{a}$ d\'eterminer.
\item $P$ \'etant un point du plan, r\'eduire chacun des sommes vectorielles suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PB}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{PC}$
\item $ -\overrightarrow{PA}+ 2 \overrightarrow{PB}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item D\'eterminer et repr\'esenter l'ensemble des points $M$ du plan v\'erifiant : 
$$ \mid \mid \dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{MC}\mid \mid=\mid \mid -\overrightarrow{MA}+ 2 \overrightarrow{MB}\mid \mid$$
\end{enumerate}}

\Exo{Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan et $G=bar\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$. D\'emontrer :
$$ G \in [AB] \Longleftrightarrow \text{$\alpha$ et $\beta$ sont de m\^emes signes}$$}


\Exo{$ABC$ est un triangle. Construire le barycentre des points pond\'er\'es donn\'es suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\{(A,-1);(B,1);(C,2)\}$
\item $\{(A,1);(B,2);(C,3)\}$
\item $\{(A,-2);(B,3);(C,-4)\}$
\item $\{\left(A,\dfrac{2}{3}\right);\left(B,\dfrac{1}{2}\right);(C,-1)\}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\newpage
\Exo{$ABCD$ est un t\'etra$\grave{e}$dre, $G$ est le point d\'efini par :
$$ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{6} \overrightarrow{AB}+ \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}+ \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AD}$$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $G$ comme barycentre de $B$, $C$, $D$ affect\'es de coefficients $\grave{a}$ pr\'eciser.
\item Justifier l'appartenance de $G$ au plan $(BCD)$.
\end{enumerate}}

\Exo{$ABCD$ est un quadrilat$\grave{e}$re et $G=bar\{(A,1);(B,1);(C,3);(D,4)\}$. Construire $G$ }
\Exo{Dans le triangle $ABC$, $E$ est le milieu de $[AB]$ et $G=bar\{(A,-2);(B,-2);(C,15)\}$. D\'emontrer que $G$, $C$ et $E$ sont align\'es.}

\Exo{$ABC$ est un triangle. On d\'efinit les points $I$, $J$ et $K$ par : 
$$ \overrightarrow{BI}=k \overrightarrow{BC} \text{ , } \overrightarrow{CJ}= k \overrightarrow{CA} \text{ et } \overrightarrow{AK}= k \overrightarrow{AB} \textit{ o$\grave{u}$ } k\in\R$$ 
On note $G$ l'isobaycentre de $A$, $B$ et $C$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure dans le cas $k= \dfrac{1}{3}$
\item D\'emontrer que $G$ est l'isobarycentre de $I$, $J$ et $K$
\end{enumerate}}

\Exo{$ABCD$ est une pyramide $\grave{a}$ base carr\'ee $BCDE$. On note $G$ l'isobarycentre de $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$. \newline
On note $O$ le centre du carr\'e $BCDE$ (i.e l'intersection des diagonales $(CE)$ et $(BD)$)
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $O$ est l'isobarycentre de $BCDE$.
\item D\'emontrer que $G$ est le barycentre de $(O,4)$ et $(A,1)$.
\item Soit $G_1$ le centre de gravit\'e du triangle $ABE$ et $I$ le milieu de $[CD]$. D\'emontrer que $G\in(G_1I)$
\end{enumerate}
(\textit{Pour cet exercice, une figure est recommand\'ee})}

\Exo{$ABC$ est un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e $3$ cm. $E$ est le point tel que :
$$ 4 \overrightarrow{AE}- \overrightarrow{AB}- 3 \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $E$ comme barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affect\'es de coefficients $\grave{a}$ pr\'eciser.
\item En d\'eduire que $E$ appartient $\grave{a}$ la m\'ediatrice de $[AC]$.
\item Calculer la distance $BE$
\end{enumerate}}

\Exo{$ABCD$ est un t\'etra$\grave{e}$dre de l'espace.
\begin{enumerate}
\item Construire le barycentre $G$ de $\{(A,1);(B,2);(C,-1);(D,2)\}$
\item $I$ est le milieu de $[BD]$. D\'emontrer que les droites $(AC)$ et $(GI)$ sont parall$\grave{e}$les.
\end{enumerate}}


%\Exo{$[AB]$ est un segment de longueur $6$. D\'eterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que : $MA=2MB$}



\end{document}