\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 8 : Suites }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Suites}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Cours : Suites }

\section{Introduction}
\subsection{Introduction historique}
L'un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d’un certain Archimède (j’en entends déjà se dire d’ici : \og encore lui ! \fg, eh oui. . . ). Dans son traité La mesure du cercle, 
pour trouver une valeur approchée de $\pi$, il inscrit dans un cercle de rayon $1$ un triangle équilatéral dont il calcule le périmètre. Puis en doublant le nombres de côtés, il calcule le périmètre d'un hexagone, puis celui d'un dodécagone et ainsi de suite, indéfiniment. Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\newline
Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite par une même lettre affectée d'un indice. \newline
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.

\subsection{Introduction}
Il arrive que l'on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compl\'eter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple:
$$1  ,  2  ,  4 ,  8  ,  16  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$1  ,  4  ,  9  ,  16  ,  25  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$
$$-3  ,  1  ,  5  ,  9  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots  ,  \dots\dots$$

En math\'ematiques, une \textbf{suite} $u$ est une \textbf{liste ordonn\'ee de nombres r\'eels}: les \'el\'ements de cette liste :
\begin{itemize}
 \item Sont appel\'es \textbf{termes}
 \item Sont rep\'er\'es par leur rang dans la liste
\end{itemize}

\begin{center}
Le $1^{er}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_0$ (ou $u_1$),\\
Le $2^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_1$ (ou $u_2$)\\ 
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots\dots\dots \dots\dots \dots\dots\dots\dots\dots \\
Le $n^{\`eme}$ terme de la suite $u$ est souvent not\'e $u_{n-1}$ (ou $u_{n}$)\\ 
\end{center}

Le terme pr\'ec\`edent $u_n$ est $u_{n-1}$, le suivant $u_{n+1}$.

On note $u=(u_n)_{n \in \N}$  pour signifier que le rang d'un terme de la suite $u$ est un entier naturel (sans "fin" de liste). On a donc:

\begin{center}
$\overbrace{u}^{\text{nom de la suite}}=\quad(\overbrace{u_0}^{\text{1\up{er} terme}};\overbrace{u_1}^{\text{2\up{nd} terme}};\hspace{.5cm}u_2\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}u_{n-1}\hspace{.5cm};\overbrace{u_n}^{\text{terme de rang $n$}};\hspace{.5cm}u_{n+1}\hspace{.5cm};\hspace{.5cm}\dots\hspace{.5cm})$
\end{center}
\newpage
\section{Généralités}

\subsection{Définition}
\Defc{Une suite numérique est une fonction de $\N$ dans $\R$, définie à partir d'un certain rang $n_0$. On la note $u$ ou $(u_n)$.}

\Rq{$u_n$ désigne l'image de l'entier $n$, appelé encore terme d'indice $n$ de la suite $u$, terme que l'on pourrait noté $u(n)$ mais la pratique en a voulu autrement.}

\Expl{La suite des carrés des nombres entiers est définie par $u_n=n^2$ et on a :$$u_0=0\qquad u_1=1\qquad u_2=4\qquad u_3=9\qquad u_4=16 \text{, ect}\dots$$}

\Exop{Déterminer le rang à partir duquel la suite $u$ suivante est définie :
$$ u_n=\sqrt{n-4}$$}
\subsection{Génération d'une suite}
On distingue principalement deux manières de définir les suites, de manière explicite ou par récurrence. 



\subsubsection{Par récurrence}
\begin{tabular}{cc|cc}
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{D\'efinition "par r\'ecurrence"\\
\fbox{{$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a\in\R \\ u_{n+1}=f(u_n)  \end{array} \right.$}}}
\end{center} 

o\`u $f$ est une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$ telle que $f(I)\subset I$.

Cette relation de r\'ecurrence permet de calculer un terme de la suite \textbf{\`a partir du terme pr\'ec\`edent}. 
Par exemple, on se donne $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=-2u_n+1 \end{array} \right.$\\
On a ainsi\\ $\begin{array}{l}u_1=-2u_0+1=-2\times\dots+1=\dots,\\ u_2=-2u_1+1=-2\times\dots+1=\dots,\\ u_3=-2u_2+1=-2\times\dots+1=\dots,\text{etc}\\ \end{array}$
\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une calculatrice:}
\end{center}
Tapez la valeur du premier terme, puis tapez sur 
\fbox{EXE} (ou \fbox{ENTER} )\\
On utilise la touche \fbox{Ans} de la calculatrice, qui est un rappel du r\'esultat du calcul pr\'ec\`edent:\\
Dans notre exemple $-2\times\textrm{\fbox{SHIFT} \fbox{Ans}
} +1$, puis \fbox{EXE} (ou \fbox{ENTER} )\\
Vous voyez appara\^itre la valeur de $u_1$; \`a chaque fois que vous appuyez sur \fbox{EXE} , le terme suivant de la suite appara\^it...
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\vspace{6mm}

\Rqs{
\item On visualise ainsi facilement comment l'on passe d'un terme au suivant (le lien logique qui lie les termes entre eux)
\item Dans l'exemple pr\'ec\'edent, pour calculer $u_{100}$, il faut conna\^itre $u_{99}$, et pour calculer $u_{99}$, il faut conna\^itre $u_{98}$, ainsi de suite \dots Il est alors pr\'ef\'erable d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour calculer $u_{100}$ directement.
}

\subsubsection{Par une formule explicite}
\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{D\'efinition "explicite" du terme de rang $n$,}\\
\fbox{$u_n=f(n)$}
\end{center}
 
o\`u $f$ est une fonction d\'efinie sur un intervalle du type $\left[a;\infty \right]$ (avec $a$ r\'eel).\\
Par exemple, on se donne $u_n=-5+7n$ pour $n \geqslant0$  ($u_n=f(n)$ avec $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-5+7x$.)\\
On a ainsi\\ $u_0=\dots$, $u_2=\dots$, $u_3=\dots$, $u_7=\dots$, etc
\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{7.5cm}
\begin{center}
\textbf{Avec une calculatrice:}
\end{center}
Entrez la suite comme une fonction dans le menu "Tableau", par exemple Y1=-5+7X\\
Puis r\`eglez les param\`etres du tableau de valeurs:\\
Start=0, End=20, Pitch=1 (sur Casio)\\
TblStart=0, $\Delta$Tbl=1 (sur TI)\\
Puis affichez ce tableau de valeurs: vous avez, dans l'ordre, les termes de cette suite \`a partir de $u_0$. 
\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\subsection{Sens de variation}
\subsubsection{Définition}
\Defc{Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels. On dit que la suite $(u_n)$ est 
\begin{itemize}
\item \underline{croissante} (à partir du rang $n_0$) si et seulement $u_n\leq u_{n+1}$, $\forall n\geq n_0$ où $n\in \N$
\item \underline{décroissante} (à partir du rang $n_0$) si et seulement $u_n\geq u_{n+1}$, $\forall n\geq n_0$ où $n\in \N$
\item \underline{monotone} (à partir du rang $n_0$) si et seulement elle est croissante ou décroissante (à partir du rang $n_0$)
\item \underline{stationnaire} (à partir du rang $n_0$) si et seulement si $u_n=u_{n+1}$ pour tout entier $n\geq n_0$ 
(si la suite est définie à partir du rang $n_0$ alors on dit que la suite est \underline{constante})
\end{itemize} 
}

\Rq{On définit la stricte croissance ou décroissance à l'aide des inégalités strictes suivantes : $$u_n<u_{n+1} \text{ ou } u_n>u_{n+1}$$}

\Rq{Les intervalles d'entiers sont souvent notés à l'aide de crochets doubles. Par exemple : 
$$\text{\textlbrackdbl  2,5  \textrbrackdbl}=\{2;3;4;5\}$$
Si bien qu'on pourra écrire, par exemple, qu'une suite est croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
}

\Exop{Montrer que la suite définie sur $\N$ par $u_n=2n+3$ est croissante sur $\N$}

\Rq{De manière générale, comment étudier les variations d'une suite ?}
\newpage 
\subsubsection{Méthode : Comment étudier les variations d'une suite ?}
\Cadre[Méthodes :]{
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{On \'etudie g\'en\'eralement le signe de $u_{n+1}-u_n$ selon les valeurs de $n$:}
\newline
Par exemple, si la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est d\'efinie par $u_n=n^2+2$, alors on a
$$u_{n+1}=(n+1)^2+2=n^2+2n+3$$
Ainsi pour tout $n$ on a $u_{n+1}-u_n=2n+1$\newline
On voit que $u_{n+1}-u_n > 0$, et donc que $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur $\N$
\item[$\blacktriangleright$] \textbf{Si jamais tous les termes de la suite $u$ sont \underline{strictement positifs}, on peut comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ avec 1:}\newline
Par exemple, pour $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_n=2\times5^n$ , on a $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et $$u_{n+1}=2\times 5^{n+1}$$
Ainsi pour tout $n$ on a $$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\cfrac{5^{n+1}}{5^{n} }=5$$
On voit que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$, et donc que $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$: la suite est donc strictement croissante sur \textlbrackdbl  $0,+\infty[$  
\end{itemize}}

\Expl{On considère la suite $u$ définie par $u_n=2n+\sin n$\newline
Étudions, pour tout entier $n$, le signe de la différence de deux termes consécutifs : 
$$ u_{n+1}-u_n=2(n+1)+\sin (n+1)-2n-\sin n=2+\sin (n+1) - \sin n$$
Or, $\forall x\in \R$ on a : $-1\leq \sin x \leq 1$, par conséquent :
$$ 2+\sin (n+1)-\sin n>0\Longleftrightarrow u_{n+1}>u_n$$
La suite $u$ est donc strictement croissante.
}

\underline{Cas des suites définies par $u_n=f(n)$}

\Thc{On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=f(n)$, avec $f$ définie sur l' intervalle $[a;+\infty[$, où $a\geq 0$\newline
Si la fonction $f$ est monotone (resp. strictement monotone) sur $[a;+\infty[$ alors la suite $(u_n)$ est monotone (resp. strictement monotone) et possède le même sens de variation que la fonction $f$}

\Rq{La réciproque de ce théorème est fausse i.e que l'on peut trouver une suite croissante, par exemple, définie par une fonction non croissante.}

\Dem{\begin{enumerate}
\item \underline{Cas 1} : $f$ est strictement croissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement croissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)<f(n+1)\Longleftrightarrow u_n<u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement croissante.
\item \underline{Cas 2} : $f$ est strictement décroissante sur $[a;+\infty[$\newline
Pour tout entier $n\geq a$, $f$ étant strictement décroissante sur $[a;+\infty[$, $$f(n)>f(n+1)\Longleftrightarrow u_n>u_{n+1}$$
Par conséquent, $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\cos \dfrac{\pi}{n}$ pour $n\geq 1$\newline
Notons $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par $ \qquad \qquad  f(x)=\cos \dfrac{\pi}{x}$\newline
On a en dérivant : $ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  f'(x)=\dfrac{\pi}{x^2}\sin \dfrac{\pi}{x}$\newline
Or, pour $x\geq 1$, $ \dfrac{\pi}{x}\in]0;\pi]$ donc $\sin \dfrac{\pi}{x}\geq 0\Longleftrightarrow f'(x)\geq 0$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, par conséquent la suite $(u_n)$ est croissante.}

\Exop{Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\dfrac{3n-1}{n+2}$$ \footnote{On étudiera, par exemple, les variations de la fonction rationnelle $f:x\longmapsto \dfrac{3x-1}{x+2}$ ; définie sur $\R-\{2\}$} }



\subsection{Représentation graphique}
\Defc{On se place dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$. 
La représentation graphique d'une suite $(u_n)$ est l'ensemble des points de coordonnées $(n;u_n)$}
\Expl{Soit $(u_n)$ la suite définie, pour $n\geq 1$, par $$u_n=\dfrac{1}{n} $$
Sa représentation graphique est donc l'ensemble des points \textbf{isolés} de coordonnées $\left(1;1\right)$, $\left(2,\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(3,\dfrac{1}{3}\right)$, $\left(4,\dfrac{1}{4}\right)$, $\left(5,\dfrac{1}{5}\right)$, etc$\dots$}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5.25} \def\ymin{-0.25} \def\ymax{1.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-0.35)(5.35,1.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,1) 
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0.33)
\psdot(4,0.25)
\psdot(5,0.2)    
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Dans le cas d'une suite récurrente, on ne cherche pas en général à représenter graphiquement la suite comme dans l'exemple précédent (on pourrait très bien le faire). On préfère représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses en s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction définissant la relation de récurrence. On obtient alors un diagramme \og en escalier \fg ou en \og en escalier \fg. On peut alors faire des conjectures sur le sens de variation, ect.

\begin{multicols}{2}
\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=2 \sqrt{u_n}+2$ et $u_0=1$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f=x\longmapsto 2 \sqrt{x}+2$. On a représenté ci-contre la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la première bissectrice d'équation $y=x$, puis on a suivi les étapes suivantes :
\begin{enumerate}
\item On place $u_0$ sur l'axe des abscisses et $u_1$ image de $u_0$ par $f$
\item On reporte $u_1$ sur l'axe des abscisses, à l'aide de la première bissectrice
\item On place $u_2$ image de $u_1$ par $f$, puis on reporte $u_2$ sur l'axe des abscisses, etc.
\end{enumerate} }
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,4)(0,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,4)(0,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,4)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,4)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,6)(0,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,6)(0,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,6)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,6)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,6.89897)(0,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,6.89897)(0,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,7.25318)(0,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,7.25318)(0,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,4){\small $u_1$}
\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,6){\small $u_2$}
\uput[-90](6,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $u_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $u_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $u_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Rq{Dans l'exemple précédent, on constate que les termes de la suite se rapprochent d'une valeur limite, celle de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et la première bissectrice. On dira que la suite converge vers cette valeur.}

\Expl{On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $u_{n+1}=-\dfrac{2}{3} \sqrt{u_n}-1$ et $u_0=7$\newline
On considère la fonction $f$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ définie par $f=x\longmapsto -\dfrac{2}{3}x-1$. On a représenté ci-contre la représentation graphique $\mathscr C_f$ de $f$ et la première bissectrice d'équation $y=x$, puis on a suivi les mêmes étapes que pour l'exemple précédent}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-8.5,-8.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-8} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-8.5,-8.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(7,0)(7,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,0)(7,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(7,-5.66667)(0,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(7,-5.66667)(0,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-5.66667,-5.66667)(-5.66667,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5.66667,-5.66667)(-5.66667,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-5.66667,0)(-5.66667,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5.66667,0)(-5.66667,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-5.66667,2.77777)(0,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-5.66667,2.77777)(0,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.77777)(2.77777,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,2.77777)(2.77777,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,2.77777)(2.77777,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(2.77777,2.77777)(2.77777,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,0)(2.77777,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(2.77777,0)(2.77777,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,-2.85186)(0,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(2.77777,-2.85186)(0,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,0)(-2.85186,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,0)(-2.85186,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,0.90123)(0,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,0.90123)(0,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.90123)(0.90123,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,0.90123)(0.90123,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,0.90123)(0.90123,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.90123,0.90123)(0.90123,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,0)(0.90123,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.90123,0)(0.90123,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,-1.60083)(0,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.90123,-1.60083)(0,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,0)(-1.60083,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,0)(-1.60083,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,0.06721)(0,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,0.06721)(0,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.06721)(0.06721,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,0.06721)(0.06721,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,0.06721)(0.06721,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.06721,0.06721)(0.06721,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,0)(0.06721,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.06721,0)(0.06721,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,-1.04482)(0,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0.06721,-1.04482)(0,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-1.04482)(-1.04482,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(0,-1.04482)(-1.04482,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-}(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](7,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,-5.66667){\small $u_1$}
\uput[-90](-5.66667,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,2.77777){\small $u_2$}
\uput[-90](2.77777,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,-2.85186){\small $u_3$}
\uput[-90](-2.85186,0){\small $u_3$}
\uput[180](0,0.90123){\small $u_4$}
\uput[-90](0.90123,0){\small $u_4$}
\uput[180](0,-1.60083){\small $u_5$}
\uput[-90](-1.60083,0){\small $u_5$}
\uput[180](0,0.06721){\small $u_6$}
\uput[-90](0.06721,0){\small $u_6$}
\uput[180](0,-1.04482){\small $u_7$}
\uput[-90](-1.04482,0){\small $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{Contrairement à l'exemple précédent, les éléments de la suite ne semblent pas se rapprocher d'une valeur précise, on est dans le cas d'une suite divergente !}
\newpage
\subsection{Limite d'une suite}
\subsubsection{Notion de convergence}
\Defc{On dit qu'une suite \underline{admet une limite $l$} (ou \underline{converge vers $l$}) lorsque :\newline
Tout intervalle ouvert centré en $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang }

\Rq{Graphiquement, cela se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. \newline
De manière plus formelle : \newline
Pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un rang $N$ tel que pour tout indice $n$, on ait : 
$$n \geq N\Longrightarrow \mid u_n-l\mid \leq \varepsilon$$ 
}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,1.1)(26.1,2.3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{26} \def\ymin{1.1} \def\ymax{2.2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,1.1)(26.1,2.3)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{26}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray,linestyle=solid]
{
\psplot{0}{26}{\G}
\psplot{26}{0}{\H}
}
\psdot(1,1)
\psdot(2,1.75)
\psdot(3,1.33)
\psdot(4,1.625)
\psdot(5,1.4)
\psdot(6,1.58)
\psdot(7,1.42)
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\psdot(26,1.519)
\uput[ur](-0.7,1.48){$l$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.2){de la suite sont dans la bande hachurée dépaisseur choisie}
 \uput[ur](0,2){Illustration avec la suite :}
\uput[ur](15,1.9){$u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=\ymin]{-}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
\begin{enumerate}
\item Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{3}{2}$
\item Notons, par ailleurs, que toutes les suites ne sont pas convergentes, par exemple $u_n=n$ est une suite divergente car sa limite vaut $+\infty$ ou encore $u_n=(-1)^n$ est une suite qui n'admet pas de limite (valant tantôt $1$, tantôt $-1$). On dit de ces suites qu'elles \underline{divergent}.
\end{enumerate} }


\newpage
\subsubsection{Méthode : Montrer qu'une suite est convergente}


\Cadre[Méthode]{\textbf{On utilise les théorèmes énoncés sur les fonctions : $ u_n=f(n)$}\newline
$$\text{Si } \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=l \qquad \text{alors}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=l$$}

\Rq{Par conséquent, on récupère toutes les règles de calculs sur les limites. De plus les théorèmes de comparaison et le théorème des gendarmes sont valables pour les suites.}

\Expl{Etudions la limite de la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+3} $\newline
On considère la fonction définie sur $\R$ par : $ f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}$\newline
Comme $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2x^2}{x^2}=\lim\limits_{x\to +\infty} 2=2$ :
$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$\newline
La suite converge donc vers $2$ }

\Expl{Considérons la suite $(u_n)$ définie par $$ u_n=\dfrac{ \sqrt{n^2+1} }{n} \qquad \text{ pour }\qquad n\geq 1$$
On a l'encadrement suivant : $$ n^2<n^2+1<(n+1)^2=n^2+2n+1$$
Par conséquent, par passage à la racine carrée :
$$ n< \sqrt{n^2+1} <n+1$$
Puis, en divisant par $n$ qui est strictement positif :
$$ 1<u_n<\dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}$$
Comme $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$, le théorème des gendarmes permet de conclure que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$$
La suite $(u_n)$ converge vers $1$ }

\Exop{Etudier la limite des suites $(u_n)$ définies par :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n}+\dfrac{5}{n^2}$
\item $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$ \footnote{Poser $v_n=\dfrac{3n-1}{2n}$ et $w_n=\dfrac{3n+1}{2n}$ afin d'utiliser le théorème des gendarmes. }
\item $u_n=n^4(\cos n-2)$ \footnote{Montrer que, pour tout $n$, $u_n\leq -n^4$}
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Rq{Le cas des suites définies par récurrence sera étudiée au cas par cas au travers d'exercices guidés.}


\section{Suites arithmétiques}
\subsection{Généralités}
\Defc{Une suite $(u_n)$ est dite \underline{arithmétique} si et seulement si on ajoute \textbf{toujours} le même nombre $r$ pour passer d'un terme au suivant : $$ u_{n+1}=u_n+r \qquad \forall n$$
Ce nombre $r$ s'appelle la \underline{raison} de la suite $(u_n)$ }

\Expl{ La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $2$ }

\Cadre[Méthode]{
\textbf{Reconna\^itre une suite arithm\'etique:}\newline
Pour qu'une suite $u$ soit arithm\'etique, il faut et il suffit que, pour tout $n\in\N$, la diff\`erence $u_{n+1}-u_n$ soit constante: $u_{n+1}-u_n=r\in\R$. Le nombre $r$ est la raison de la suite $u$.
}

\Exop{Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ?
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3n-2$
\item $u_n=n^2-3$
\item $u_n=-4n+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Rq{On aimerait pouvoir calculer le $101$ ème terme de la suite arithmétique $u$ définie par $u_{n+1}=u_n+6$. Pour cela il serait intéressant d'avoir une formule donnant explicitement $u_n$ en fonction de $n$}

\Thc{On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=an+b$ où $a$ et $b$ sont deux réels. \newline
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $a$ }

\Dem{Soit $n\in\N$, on a alors :
$$ u_{n+1}-u_n=a(n+1)+b-an-b=a$$}

\Thc{Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors $u_n=u_0+nr$}

\Dem{$(u_n)$ étant une suite arithmétique, on a : $u_1=u_0+r$, puis $u_2=u_1+r(=u_0+2r)$, et ainsi de proche en proche on a :
\begin{eqnarray*}
&& u_1=u_0+r\\
&& u_2=u_1+r \\
&& \dots \dots \\
&& u_{n-1}=u_{n-2}+r\\
&& u_n=u_{n-1}+r\\
\end{eqnarray*}
En additionnant membre à membre ces $n$ égalités, on obtient : 
$$u_1+u_2+\dots +u_n=u_0+u_1+\dots +u_{n-1}+nr \Longleftrightarrow u_n=u_0+nr$$}

\Exop{$(u_n)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. \newline
Calculer $u_{2010}$}

\Thc{Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors pour tous $p$ et $n$ de $\N$  :
$$ u_n=u_p+(n-p)r$$}

\Dem{D'après le théorème précédent on a pour tous $p$ et $n$ de $\N$ :
$$ u_p=u_0+pr \qquad \text{ et }\qquad u_n=u_0+nr$$
Par conséquent $$ u_n-u_p=u_0+nr-u_0-pr=(n-p)r\Longleftrightarrow u_n=u_p+(n-p)r$$}

\Exop{Considérons une suite arithmétique $(v_n)$ telle que $v_{27}=6$ et $v_{39}=10$\newline
Calculer $v_7$ et $v_{74}$
}
\newpage
\subsection{Sens de variation}
\Thc{On considère une suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r$.
\begin{enumerate}
\item Si $r>0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante ;
\item Si $r=0$ alors la suite $(u_n)$ est constante ;
\item Si $r<0$ alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}}

\Dem{Comme $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, on a, par définition, pour tout $n\in\N$ :
$$ u_{n+1}=u_n + r \Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n = r $$
}
\subsection{Sommes de termes}
\Rq{Soit $(u_n)$ une suite. La somme $u_1+u_2$ comporte deux termes, de même la somme $u_1+u_2+u_3$ en comporte $3$. De manière générale la somme $u_1+u_2+\dots u_p$ comporte $p$ termes. \newline
Combien en comporte la somme :$u_{14}+u_{15}+\dots +u_{25}$ ? On peut remarquer que cette somme s'écrit encore :
$$ u_{1+13}+u_{2+13}+\dots +u_{13+12} $$
Par conséquent elle comporte $12$ termes, i.e $25-14+1$ termes.}  


\Ptec{La somme $u_p+u_{p+1}+\dots+u_q$ comporte donc $q-p+1$ termes ($p$ et $q$ sont des nombres entiers tels que : $p<q$)}

\Thc[Somme des $n$ premiers entiers]{$$ 1+2+\dots+n-1+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$}

\Dem{Notons $S=1+2+\dots+n-1+n$, on a $2S=1+2+\dots+n+1+2+\dots+n=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+\dots +(n-2+3)+(n-1+2)+(n+1)=n(n+1)$ donc $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$}

\Expl{La somme des $100$ premiers entiers est donc :
$$ \dfrac{100\times 101}{2}=\dfrac{10100}{2}=5050$$}

\Thc{On considère une suite arithmétique $(u_n)$ et $S$ la somme des $n$ premiers termes de cette suite. On a alors :
$$ S=\dfrac{n(p+d)}{2}\qquad$$
$p$ désigne le premier terme de la somme et $d$ le dernier.}

\Dem{On a :
$$ S=p+(p+r)+(p+2r)+\dots + (d-2r)+(d-r)+d$$
En inversant l'ordre des termes de cette somme, $S$ s'écrit aussi :
$$ S=d+(d-r)+(d-2r)+\dots+(p+2r)+p$$
Effectuons alors la somme, membre à membre terme à terme, des deux égalités précédentes :
$$ 2S=(p+d)+(p+r+d-r)+(p+2r+d-2r)+\dots+(d-2r+p+2r)+(d-r+p+r)+(d+p)$$
Cette somme comporte $n$ termes tous égaux à $p+d$, par conséquent :
$$ 2S=n(p+d)\Longleftrightarrow S=\dfrac{n(p+d)}{2}$$}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers impairs.
\item Calculer la somme des $50$ premiers entiers pairs en partant de $12$
\end{enumerate}}



\section{Suites Géométriques}
\subsection{Généralités}
\Defc{Une suite $u$ est \underline{g\'eom\'etrique} si et seulement si, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+1}=u_{n}\times q\text{où $q$ est la raison de la suite}$$
Autrement dit, une suite g\'em\'etrique est une suite de nombres telle que chacun de ses termes s'obtient en multipliant le pr\'ec\'edent par un m\^eme nombre.
}

\Expl{La suite des puissances de $2$ est une suite géométrique de raison $2$ : $u_{n+1}=2\times u_n$}

\Cadre[Méthode 1]{
\textbf{Reconna\^itre une suite g\'eom\'etrique:}\newline
Pour qu'une suite $u$ soit g\'eom\'etrique, il faut et il suffit que, pour tout $n\in\N$, les termes $u_n$ soient non nuls et que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ soit constant: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q\in\R^*$. \newline
Le nombre $q$ est la raison de la suite $u$.
}

\Exop{\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{2}{3^n}$ est géométrique
\item La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=6$ et $v_{n+1}=3v_n+4$ pour tout $n\in\N$.\newline
On note $$w_n=v_n+2$$
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique 
\end{enumerate}}

\Cadre[Méthode 2]{
\textbf{Reconna\^itre une suite g\'eom\'etrique:}\newline
Pour montrer qu'une suite $u$ est g\'eom\'etrique, il faut et il suffit de montrer, pour tout $n\in\N$, que $u_{n+1}=qu_n$
}
\Exop{Montrer que la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n\in\N$ par $u_n=2\times (-1)^n$}

\Thc{On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_n=aq^n$ où $a$ et $q$ sont deux réels non nuls. \newline
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ }

\Dem{Pour tout $n\in\N$ on a $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^\times q=q u_n $. Par conséquent la suite est géométrique de raison $q$}

\Thc{Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q\neq 0$ et de premier terme $u_0$ alors $u_n=u_0 \times q^n$}

\Dem{On peut raisonner de proche en proche. On a :
\begin{eqnarray*}
&& u_1=u_0q\\
&& u_2=u_1q=u_0q^2\\
&& u_3=u_2q=u_0q^3\\
&& \dots \\
&& u_{n-1}=u{n-2}q=u_0q^{n-2}\\
&& u_n=u_{n-1}q=u_0q^{n-1}\\
\end{eqnarray*}
}

\Expl{Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$. On a alors :
$$ u_n=2 \times 3^n$$
On peut, par exemple calculer directement $u_5=2\times 3^5=2\times 243=486$}




\Thc{$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 0$ alors quels que soient les entiers naturels $n$ et $p$ on a :
$$u_n=q^{n-p}\times u_p$$ }

\Dem{D'après le théorème précédent, on a :
$$ u_n=u_0q^n \qquad \text{ et }\qquad u_p=u_0q^p$$
donc, puisque $q\neq 0$, $u_0= \dfrac{u_p}{q^p}$ ; d'où $u_n=\dfrac{u_p}{q^p}q^n=u_p\times q^{n-p}$ }

\Exop{$(u_n$ et $(v_n$ sont deux suites géométriques. Déterminer $u_5$, $u_8$, $v_7$ et $v_{15}$ sachant que :
\begin{enumerate}
\item $u_0=6$ et $q=-\dfrac{1}{3}$
\item $v_5=1$ et $v_{10}=32$
\end{enumerate}}


\subsection{Sommes de termes}
On s'interesse à la somme des $n$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$, avec $q\neq 1$
\Thc[Cas particulier $u_n=q^n$, avec $q\neq 1$]{$$ 1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$}

\Dem{Notons $S=1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}$, on a $qS=q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^n$\newline
Par conséquent  $$(1-q)S=S-qS=1-q^n\Longleftrightarrow S=\dfrac{1-q^n}{1-q}$$}


\Expl{La somme des $10$ premiers termes de cette suite géométrique lorsque $q=2$ est donc :
$$ \dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$$}

\Thc{La somme de $n$ termes consécutifs, de premier terme $a$, d'une suite géométrique de raison $q$ ($q\neq 1$) est égale à : 
$$ a \dfrac{1-q^n}{1-q}$$ 
}

\Dem{On calcule donc $S$, la somme de $n$ termes consécutifs, de premier terme $a$, d'une suite géométrique de raison $q$ où $q\neq 1$
$$ S=a+aq+aq^2+\dots +aq^{n-1}=a(1+q+q^2+\dots+q^{n-2}+q^{n-1})=a \dfrac{1-q^n}{1-q}$$
}

\Rq{Le cas $q=1$ est trivial :
$$a+aq+aq^2+\dots +aq^{n-1}=a+a+\dots+a=na$$}

\Exop{
 Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$ et de raison $q=\dfrac{3}{2}$. Calculer $S=u_4+u_5+\dots+u_{14}$}


\subsection{Convergence}
\Thc{Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ (avec $q>0$) alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in [0;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$).
\end{itemize}}

Pour cette démonstration nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme}

\Lemc[Inégalité de Bernoulli]{Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Rq{Le type de raisonnement que l'on vient d'effectuer s'appelle le \underline{raisonnement par récurrence}, il sera étudié amplement en terminale.}

\Dem[du théorème]{
\begin{itemize}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item $q\in [0;1[$\newline
Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\item $q=1$, le résultat est alors évident.
\end{itemize}}

\Exop{$(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $ \dfrac{1}{2}$. On note $s_n$ la somme $u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$
\begin{enumerate}
\item Exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}s_n$
\end{enumerate} }

\epigraphe{La vie est faite de hasard contraire au destinée.}{Serge Gainsboug/Johan Sfar}{Gainsbourg, vie héroïque} 


\end{document}