
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 7 : Probabilit\'es }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_Charlotte.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Probabilités}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cv{Cours : Probabilités }

\section*{Introduction}

\subsection*{Histoire}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première présentation rigoureuse ( les mathématiciens disent axiomatique ) en a été proposée trois siécles avant JC par le grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI ème siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer leurs gains au jeu. \newline
Ainsi, le Grand Duc de Toscane demanda au vénérable Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 au jeu de passe-dix ( jeu consistant à jeter 3 dés ), même s'il n'y a dans les deux cas que 6 combinaisons pour les obtenir. 
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, « sur 
le papier », il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans chaque cas 6 manières de 
les obtenir. Y aurait-il plusieurs réalités ?

\subsection*{Qu'est ce que le hasard ?}
Parmi toutes les définitions possibles, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la Nature. Cet 
esprit souffla particulièrement au XVIII ème siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première théorisation des probabilités. Les probabilités sont alors 
déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement « obtenir 5 » a une probabilité de 1/6. Cette symétrie, cette « géométrie du hasard » selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. Elle implique la notion centrale, que nous verrons en classe de première d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement équilibré, mais 
doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais une réalité physique. La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas de prévoir mieux des états possibles futurs. 
\end{itemize}
Le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Qui a raison ? Qui a tort ? Le débat est encore ouvert. Nous pouvons néanmoins réunir deux grands groupes. Ceux qui prônent 
une étude expérimentale des probabilités à l'aide de 
la Loi des grands nombres ( en gros, la limite des fréquences observées est égale à la probabilité : plus on fait de mesures, plus
la fréquence se rapproche de la probabilité ). \newline
Inversement, la géométrie du hasard des Laplaciens ( 1 chance sur 6 d’obtenir chacune des faces d’un dé ) repose sur la parfaite 
symétrie du dé. Mais un dé peut-il être parfaitement symétrique ? Pour le vérifier, il faudrait un grand nombre d'expériences$\dots$\newline
Bref, au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent. Mais il faut les avoir en tête : tout n’est pas équiprobable ( voir le 
jeu du passe-dix ) et la probabilité ne peut se réduire à la limite des fréquences, ne serait-ce que dans le cas d’une expérience 
qui ne peut se répéter : quelle est la probabilité de survivre à une guerre nucléaire ? Il semble difficile d'imaginer une série
d’expériences pour s’approcher de cette probabilité$\dots$ \newline
Mêmes si elles peuvent apparaître antagonistes, ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience ( 
le jeter d’un dé ) est indépendant de l’observateur. Ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie. Comme le disait John Stuart Mill : we must remember that the probability of an event is not a quality itself, but a 
mere name for the degree of ground which we, or someone else, have for expecting it. Faute de données sures, en économie on 
estime a priori les probabilités de certains événements élémentaires, puis on utilise ensuite des théorèmes abstraits issus des 
mathématiques. 


\subsection*{Remarque finale !}
A-t-on besoin de savoir tout ça pour réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre tendre enfance, 
vous calculez avec les nombres entiers sans connaître les axiomes de Peano, vous travaillez en 
géométrie euclidienne même si elle ne correspond pas à la réalité : avez-vous déjà rencontré un 
véritable triangle rectrangle ? Et pourtant vous arrivez quand même à démontrer le théorème 
de Pythagore. 
\newline
Mais le débat est plus passionné au sujet des probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe 
Kolmogorov, pour enfin les axiomatiser, alors qu'Euclide avait fait cela pour la géométrie 2300 ans plus tôt$\dots$\newline

\epigraphe{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}{réaliste$\dots$}

\section{Théorie des ensembles}
\subsubsection*{Introduction à la théorie des ensembles}
Les mathématiques utilisent toutes sortes d'ensembles (finis, infinis dénombrables, infinis non dénombrables). Le but de ce chapitre n'est pas de faire une étude complète de la théorie des ensembles (trop complexe) mais de proposer une approche intuitives des notions les plus utilisées de cette théorie.\newline
Ainsi, nous ne tenterons pas de définir rigoureusement ce qu'est un ensemble, disons simplement qu'un ensemble s'apparente à une liste (finie ou non) d'objet distincts possédant un certains nombre de propriété commune (par exemple l'ensemble des nombres entiers naturels multiple de 2, ou encore l'ensemble des polynômes de degré 2, $\dots$). On considère ces objets dans leur globalité sans tenir compte d'un ordre éventuel (on ne fera pas la différence entre :$\{1,2\}$ et $\{2,1\}$. Un ensemble se note avec des accolades, par exemple si $E$ est l'ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à $9$ alors :
$$ E=\{0;2;4;6;8\}$$
On utilisera les symboles $\in$ et $\notin$ pour signifier qu'un élément appartient ou non à un ensemble :
$$ 2\in E \qquad \text{ et }3 \notin E$$
Enfin nous noterons $\emptyset $ l'ensemble qui n'a pas d'éléments (ensemble vide).

\newpage
\subsection{Intersection}



\Defc{
\begin{multicols}{2}
L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui sont communs à $A$ et $B$. On note cet ensemble $A\cap B$\newline
Lorsque $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont deux ensembles disjoints
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.570,0) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (0.8cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\end{scope} 
\begin{scope} 
\clip \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\end{scope} 
\end{tikzpicture}
\end{multicols} }




\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{1;2;3;6;7\}$ alors $A\cap B=\{2;4;6\}$}

\Rq{$$ e\in A\cap B \quad \text{signifie} \quad e\in A \text{ et }e \in B$$}
\subsection{Réunion}
\Defc{
\begin{multicols}{2}
La réunion de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$. On le note $A\cup B$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.57,0) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (0.8cm)} 
%\clip \cercleA;
%\clip (-1.05,0) rectangle (1.05,1.7); 
%\clip (-1.5,-1.5) rectangle (1.5,1.5); 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleA; 
%\clip \cercleB;
%\clip (-1.05,-1.7) rectangle (1.05,0); 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
}




\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{1;2;3;6;7\}$ alors $A\cup B=\{0;1;2;3;4;6;8\}$}

\Rq{$$ e\in A\cap B \quad \text{signifie} \quad e\in A \text{ ou }e \in B$$}
\subsection{Inclusion}
\Defc{On dit qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ si tous les éléments de $A$ sont des éléments de $B$. On note :
$$ A\subset B$$
On dit alors que $A$ est une \og partie \fg de $B$ ou que $A$ est un \og sous-ensemble \fg de $B$
}

\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{0;2\}$ alors $B\subset A$. \newline
De plus on a toujours $A\subset A$, $\emptyset \subset A$, $A\subset A\cup B$ et $A\cap B \subset A$ }



\newpage
\subsection{Complémentaire}
\Defc{Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$. On le note 
$$ E-A\qquad \text{ ou }\qquad \bar{A}\qquad \text{ ou encore }\qquad ^C A$$ }

\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $E=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$ alors $ \bar{A}=\{1;3;5\}$ 
\newline De plus on a $A\cup \bar{A}=E$, mais aussi $A\cap \bar{A}=\emptyset$}

\subsection{Partition}
\Defc{Des parties $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\dots$, $A_p$ d'un ensemble $E$ constituent une partition de $E$ si elles sont deux à deux 
disjointes et si leur réunion est $E$.\newline
 Pour tous $i$ et $j$ de $\{1;\dots;p\}$  : $$ i\neq j \Longrightarrow A_i\cap A_j=\emptyset\qquad \text{et}\qquad A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_p=E$$
}

\Exo{Combien de partitions peut-on former avec un ensemble à trois éléments ? à quatre éléments ?}

\subsection{Produit cartésien}
\Defc{Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ où $x$ appartient à $E$ 
et $y$ appartient à $F$. Cet ensemble est noté $E \times F$. 
}

\Expl{
\begin{itemize}
\item Si $E=\{a;b;c\}$ et $F=\{1;2\}$ alors $E\times F=\{(a,1);(a,2);(b,1);(b,2);(c,1);(c,2)\}$
\item Dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ (où $x\in\R$ et $y\in\R$) est le produit cartésien $\R\times \R$ également noté $\R^2$.
\item Le produit cartésien se généralise à plusieurs ensembles : $E_1\times E_2\times \dots \times E_p$. Les éléments sont des p-uplets.
\end{itemize}}

\newpage
\subsection{Cardinal d'un ensemble fini}
\Defc{Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ est appelé cardinal de $E$. Ce nombre est noté Card $E$. 
On convient que Card $(\emptyset) = 0$. }

\Expl{Si $E=\{0;1;2\}$ , alors Card $E=3$ }

\Rq{La notion de cardinal ne s'étend pas aux ensembles infinis, tel $\N$, $\Z$, $\Q$ ou $\R$}
\Exo{Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels strictement inférieur à $10$ qui sont pairs
\newline
Soit $B$ l'ensemble des entiers naturels strictement inférieur à $10$ qui sont divisibles par $3$
\begin{enumerate}
\item Donner les éléments de $A\cap B$ et $A\cup B$
\item Décrire un ensemble $C$ qui soit inclus dans $B$
\item Décrire $\bar{A}$ et $\bar{B}$
\item Trouver un ensemble $D$ tel que $A$ et $D$ soient disjoints
\item On note $E=A\cap B$. Décrire l'ensemble $B\times E$. Quel est son cardinal ?
\end{enumerate}}
\section{Probabilités (discrètes)}
\subsubsection*{Introduction}
Le but de cette partie est de construire un modèle pour décrire les expériences aléatoires. 
De telles expériences sont 
par exemple : le numéro obtenu en lançant un dé, la face obtenue en lançant une pièce de monnaie, la carte 
obtenue en la tirant au hasard d'un jeu, le tirage du loto, etc... Le besoin d'avoir une méthode systématique de 
description de telles expériences est justifié par le fait que certains résultats qui nous sont parfois intuitivement 
évidents et que nous n'arrivons pas toujours a expliquer sont en fait faux ! Comme en témoigne l'exercice 
suivant : \newline
\textit{Pensez-vous que dans un groupe de 30 personnes l'on rencontre fréquemment 2 personnes ayant leur anniversaire le même jour ?\newline 
  Pour avoir au moins une chance sur deux de trouver deux personnes ayant le même anniversaire, combien doit-il y avoir au minimum de personnes dans un groupe ? } 
\subsection*{Problème d'introduction}
\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elle se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux portes mauvaises, tout en conservant celle choisit par le candidat. Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? Quels sont ces chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?}
\subsection{Expériences aléatoires, événements}

\Defc{Une exp\'erience al\'eatoire est un processus dont le r\'esultat est incertain}
\Expl{Le lanc\'e de d\'e ou le lanc\'e d'une pi\`ece de monnaie sont des exp\'eriences dont l'issue est incertaine.}

\subsubsection{Expériences aléatoires, issues, événements, univers}

\Defc{L'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire est appelé \underline{univers}. On a pour habitude de noter cet ensemble $\Omega$}

\Rq{En classe de première l'ensemble $\Omega$ sera presque toujours un ensemble fini.}

\Expl{On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$\newline
On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair : $\Omega=\{P,I\}$
\newline
On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue : $\Omega=\{P,F\}$
\newline
On effectue la même expérience que précédemment en lançant deux pièces de monnaie  : $\Omega=\{PP;PF;FP;FF\} $\newline
Remarquons qu'une même expérience peut déboucher sur deux univers différents suivant les hypothèses faites :
par exemple si on lance deux dés et qu'on fait le produit $P$ ou la somme $S$ des deux chiffres obtenues, on obtient :
$$ \Omega_p=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;24;25;30;36\}$$
$$\Omega_s=\{2;3;4;5;6;7.8;9;10;11;12\}$$ }

\Defc{\begin{itemize}
       \item Un des r\'esultats possibles d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{\'eventualit\'e} ou \textbf{issue}
\item L'ensemble de toutes les \'eventualit\'es d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{univers}
\item Un sous ensemble de l'univers est appel\'e \textbf{\'ev\'enement}, c'est un ensemble constitu\'e d'\'eventualit\'es de l'univers.
      \end{itemize}
}
\Expl{\begin{itemize}
       \item On lance une pi\`ece de monnaie et on regarde la face obtenue, l'univers est alors : $\{pile;face\}$
\item On lance un d\'e cubique et on regarde la face obtenue, l'univers est alors :$\{1;2;3;4;5;6\}$
      \end{itemize}}

\newpage
\subsubsection{Récapitulatif du vocabulaire probabiliste}
\Expl{On lance deux d\'es et l'on consid\`ere la somme obtenue. Le tableau ci-dessous r\'esume le vocabulaire relatif aux \'ev\'enements et le vocabulaire ensembliste}

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{5cm}|p{4cm}|}
\hline \textbf{Vocabulaire} & \textbf{Signification} & \textbf{Illustration} \\
\hline \textbf{L'univers} $\varOmega$, \'ev\'enement \textbf{certain} & L'ensemble des \'eventualit\'es & $\varOmega =$  \\
\hline \textbf{L'ensemble vide} $\emptyset$, \'ev\'enement \textbf{impossible} & L'ensemble qui ne contient aucune \'eventualit\'e & \\
\hline \textbf{\'Eventualit\'e} & L'un des r\'esultats de l'expr\'erience & Obtenir 7 : $\omega=$ \\
\hline \textbf{\'Ev\'enement} & Sous ensemble de l'univers & Obtenir un nombre pair : $A=\dots$ ; ou obtenir une somme inf\'erieure \`a $4$ : $B=$ \\
\hline \'Ev\'enement A \textbf{et} B, $A \cap B$ & \'Ev\'enement constitu\'e des issues communes aux 2 \'ev\'enements & $A \cap B=$ \\
\hline \'Ev\'enement A \textbf{ou} B, $A \cup B$ & \'Ev\'enement constitu\'e de toutes les issues possibles des 2 \'ev\'enements & $A \cup B=$ \\
\hline \'Ev\'enement \textbf{incompatibles} ou \textbf{disjoints}, on note $A \cap B=\emptyset$ & Ce sont des \'ev\'enements qui n'ont aucunes issues en commun & $\dotfill=\emptyset$ \\
\hline \'Ev\'enement \textbf{contraire} ; le contraire de A se note $\bar{A}$ & Ce sont 2 \'ev\'enements incompatibles dont la r\'eunion forme l'univers & $\bar{A}=\dots\dots\dots\dots\dots\dots$  $A \cap \bar{A}=\dots\dots\dots\dots\dots$ et $A \cup \bar{A}=\dots\dots\dots\dots$ \\
\hline

\end{tabular}

\Exop{On jette un d\'e dont les faces sont num\'erot\'es de 1 \`a 6 et on s'interesse au num\'ero sur la face sup\'erieure.
\begin{enumerate}
 \item D\'efinir l'univers $\varOmega$
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : \newline
A : \og obtenir un num\'ero inf\'erieur ou \'egal \`a 2 \fg \newline
B : \og obtenir un num\'ero impair \fg \newline
C : \og obtenir un num\'ero strictement sup\'erieur \`a 4 \fg
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A \cap C$ ; $A \cup C$ ; $C \cap B$ ; $C \cup B$ ; $\bar{A}$ ; $\bar{A} \cup C$ ;  $\bar{A} \cap C$
\item Parmi les \'ev\'enements pr\'ec\'edents, citer deux \'ev\'enements incompatibles qui ne sont pas contraire l'un de l'autre.
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Probabilités}


\subsubsection{Loi de probabilités}
\Defc{On considère une expérience aléatoire d'univers fini $\varOmega$ (avec Card $\varOmega=n$). Définir une loi de probabilité $P$ sur $\varOmega$ c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ un nombre $p_i\in [0;1]$ de sorte que 
\begin{displaymath}
  \overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=1
\end{displaymath}
}

\Rq{\begin{itemize}
\item \begin{displaymath}
  \overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}} p_i=1
\end{displaymath} est une notation pour écrire $p_1+p_2+\dots+p_n=1$
\item Les nombres $p_i$ sont les probabilités des événements élémentaires $\omega_i$
\end{itemize}}



\Expl{On s'intéresse au résultat d'un dé cubique lorsqu'on le lance. L'expérience a $6$ issues possibles et donc l'univers $\varOmega$ est :
$$ \varOmega=\{1;2;3;4;5;6\}$$
Dans le cas d'un dé parfaitement cubique, chaque face a autant de chances qu'une autre d'apparaître et on choisira comme loi de probabilité celle qui a chaque éventualité associe le nombre $ \dfrac{1}{6}$\newline
Considérons un dé ou tous les nombres ont les mêmes chances d'apparitions sauf $1$ et $2$ qui apparaîssent deux fois plus souvent. La loi de probabilité convenant à cette expérience est telle que : 
$$ p_1=p_2 = 2 p_3 = 2p_4=2p_5=2p_6\qquad \text{Notons $a=p_3$, alors $p_1=2a$}$$
Comme   \begin{displaymath}
  \overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=1
\end{displaymath} on a $ 2a+2a+a+a+a+a=1\Longleftrightarrow 8a=1\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$
\newline
Au final on peut résumer la loi de probabilité que l'on choisira pour modéliser cette expérience dans le tableau suivant :
 }
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8}  $ & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\Exop{Soit un dé truqué dont les probabilités des faces d'apparitions sont donnés par le tableau suivant :}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ 0,05$ & $ 0,05 $ & $ 0,1$ & $ 0,1 $ & $ 0,2 $ & $?$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'éventualité : \og le dé tombe sur 6 \fg
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg
\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg
\end{enumerate}

\Defc{La probabilité $P(E)$ d'un événement $E$ est la somme des probabilités des 
événements élémentaires qui le composent.}


\Exop{Lancer de deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité de l'événement A \og obtenir Pile et Face \fg }

\paragraph{Solution :}
L'univers $\varOmega$ est $$ \varOmega=\{PP;PF;FP;FF\}$$
Chaque éventualité a la même probilité, c'est pourquoi $P(A)=\dfrac{1+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

\Rq{Par convention, on pose $P(\emptyset)=0$}
\subsubsection{Loi équiprobable, équiprobabilité}

\Defc{Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} ou que 
la loi de probabilité est \underline{équirépartie}. }

\Ptec{Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$ P(A)=\dfrac{\text{nombre d'éventualités favorables}}{\text{nombre d'éventualités possibles}}=\dfrac{\text{Card} A}{\text{Card} \varOmega}$$}

\Exop{Pour chacune des expériences, calculer la probabilité de l'événement demandée. 
\begin{enumerate}
\item Lancer de deux dés cubiques parfaits. On note $a$ le numéro apparu sur l'un des dés et $b$ le numéro apparu sur l'autre. Quelle est la probabilité de l'événement $B$ \og obtenir $a+b<4$ \fg ?
\item Dans une urne contenant $100$ jetons numérotés de $0$ à $99$, on tire $2$ jetons successivement et avec remise. On note le couple de numéros ainsi obtenu $(a;b)$ où $a$ désigne le numéro du premier jeton et $b$ celui du deuxième. Quelle est la probabilité de l'événement $C$ \og les deux jetons portent des numéros pairs \fg
\end{enumerate}}

\paragraph{Solution :}
\begin{enumerate}
\item Il y a $36$ couples $(a;b)$ possible et l'univers est l'ensemble de ces $36$ couples. Or $$ B=\{(1;1);(1;2);(2;1)\}$$
donc $P(B)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$
\item L'univers est l'ensemble des $10 000$ couples de résultats et chacun a la même probabilité. L'événement $C$ est un événement comportant $50\times 50=2500$ éventualités, par conséquent : $$ P(C)=\dfrac{2500}{10000}=\dfrac{1}{4}$$
\end{enumerate}
\subsubsection{Quelques propriétés}
\Ptec{Si deux événements sont incompatibles, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs probabilités :
$$ \text{Si } A\cap B=\emptyset \text{ alors }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$}

\Dem{Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
Dans le cas contraire, $P(A)$ est la somme des probabilités des éléments de $A$ et $P(B)$ est la somme des probabilités des éléments de $B$. Puisque $A$ et $B$ sont disjoints, $A\cup B$ contient exactement tous les éléments de $A$ et tous ceux de $B$. Par conséquent $P(A)+P(B)$ est égal à la somme des probabilités des élements de $A\cup B$, i.e $P(A\cup B)$}

\Corc{
\begin{itemize}
\item La probabilité de l'événement contraire $\bar{A}$ de $A$ est $P(\bar{A})=1-P(A)$.
\item Si $A\subset B$, alors $P(A)\leq P(B)$
\item $P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$
\end{itemize}
}

\Dem{\begin{itemize}
\item On a $\bar{A}\cup A=\varOmega$ et $\bar{A}\cap A=\emptyset$, par conséquent d'après la propriété précédente :
$$1=P(\varOmega)=P(\bar{A}\cup A)=P(\bar{A})+P(A)\Longleftrightarrow P(\bar{A})=1-P(A)$$
\item Si $A \subset B$, alors $B=A\cup (B-A)$, où $B-A$ est l'ensemble des éventualités de $B$ qui ne sont pas dans $A$. On a aussi $A\cap (B-A)=\emptyset$, par conséquent d'après la propriété précédente :
$$ P(B)=P(A)+P(B-A)\Longrightarrow P(A)\leq P(B)$$
\item Comme $A=(A\cap B)\cup (A-B)$ et $(A\cap B)\cap (A-B)=\emptyset$ (une figure aide souvent à visualiser), il vient :
$$ P(A)=P(A\cap B)+P(A-B)\Longleftrightarrow P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$$ 
\end{itemize}}

\Thc{La propriété de la réunion de deux événements $A$ et $B$ est : $$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$}

\Dem{Il suffit d'écrire que : $A\cup B=(A-B)\cup B$ et comme $(A-B)\cup B=\emptyset$, il vient :
$$ P(A\cup B)=P(A-B)+P(B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)$$}

\Exop{Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ boules noires et $3$ boules vertes. On tire une boule au hasard. Calculer les probabilités des événements $R$, $N$ et $B$ et leur contraire.
une urne contient 3 boules rouges, 2 boules noires et 3 boules vertes. On tire une boule au hasard. 
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements R, N, V, et leur contraire. 
\item Calculer $P(R\cup V)$
\end{enumerate}
}

\Exop{Le jeu de $32$ cartes. On en choisit une au hasard. On note :\newline
R l'événement \og tirer un roi \fg \newline
T l'événement \og tirer un trèfle \fg  \newline
RT l'événement \og tirer le roi de trèfle \fg \newline
Calculer $P(R)$ ; $P(T)$ ; $P(RT)$ ; $P(R \cup T)$ }

\Exop{Dans une famille de cinq enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait plus de filles que de garçons ? \newline
Notons : F l'événement \og il y a plus de filles que de garçons \fg \newline
et G l'événement \og il y a plus de garçons que de filles \fg. 
}

\Exop{Dans un club, plusieurs activités sont proposés dont le tir à l'arc et le golf. Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu'un adhérent choisi au hasard :
\begin{enumerate}
\item pratique le tir à l'arc ? le golf ?
\item pratique l'un au moins des deux sports ?
\item ne pratique ni le tir à l'arc, ni le golf ?
\end{enumerate}}

\newpage

\subsubsection{Arbres de probabilité}
\Expl{Une urne contient $8$ boules, $3$ rouges et $5$ vertes. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. 
On modélise l'expérience par l'arbe suivant :}

\begin{tikzpicture} 
[level 1/.style={level distance=2cm, 
sibling distance=3cm}, 
level 2/.style={level distance=2.5cm, 
sibling distance=1.5cm}] 
\node {} [grow'=right] 
child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
node[right=1cm] {\og obtenir $2$ rouges \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7} = \frac{6}{56}$} 
edge from parent node[above] {$\frac{2}{7}$} 
} 
child {node {\textcolor{green}{verte}} 
node[right=1cm] {\og obtenir $1$ rouge puis une verte \fg $\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7} = \frac{15}{56}$} 
edge from parent node[below] {$\frac{5}{7}$} 
} 
edge from parent node[above] {$\frac{3}{8}$} 
} 
child {node {\textcolor{green}{verte}} 
child {node {\textcolor{red}{rouge}} 
node[right=1cm] {\og obtenir $1$ rouge puis une verte \fg $\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7} = \frac{15}{56}$} 
edge from parent node[above] {$\frac{3}{7}$} 
} 
child {node {\textcolor{green}{verte}} 
node[right=1cm] {\og obtenir $2$ vertes \fg $\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7} = \frac{20}{56}$} 
edge from parent node[below] {$\frac{4}{7}$} 
} 
edge from parent node[below] {$\frac{5}{8}$} 
} 
; 
\end{tikzpicture} 

On utilise trois règles fondamentales pour calculer des probabilités directement sur des arbres, la première est une conséquence directe de la relation $P(\bar{A})=1-P(A)$ et les deux d'après seront justifiées en terminale, lorsqu'on abordera les probabilités conditionnelles. 
\newline
\Ptec{
\textbf{Règle 1} : \textit{La somme des probabilités des branches partant d'une même racine est toujours égale à 1.}\newline
\textbf{Règle 2} : \textit{La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin.}\newline
\textbf{Règle 3} : \textit{La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins correspondant à cet événement.}}

\Exop{En reprenant l'arbre précédent, calculer les probabilités des événements suivants :
\begin{enumerate}
\item A l'événement \og obtenir deux boules rouges \fg
\item B l'événement \og obtenir une boule verte puis une boule rouge\fg
\item C l'événement \og obtenir une boule rouge au deuxième tirage \fg
\item D l'événement \og obtenir une boule verte au deuxième tirage sachant qu'on a tiré une rouge au premier\fg
\item E l'événement \og obtenir une boule rouge au premier tirage \fg
\item F l'événement \og obtenir deux boules de la même couleur \fg
\end{enumerate}}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item On lance un dé. Si le résultat est pair on tire un jeton d'une urne contenant 3 jetons (numérotés 1, 2 et 3). 
Quelle est la probabilité que la somme dé + jeton éventuel soit égale à 5 ? 
\item Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire des boules de l'urne (sans remise) jusqu'à 
obtention d'une boule rouge. Quelle est la probabilité d'obtenir les 3 boules blanches ? 
\item Le lièvre et la tortue : on lance un dé. Si le 6 sort, le lièvre gagne, sinon la tortue avance d'une case. On 
continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant en suivant les cases ci-dessous. Quelle est la situation la plus 
enviable : celle du lièvre ou de la tortue ? 
\end{enumerate}
}
\section{Variable aléatoire}
\subsection{Définitions}
\Defc{$\varOmega$ est l'univers d'une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire $X$ sur $\varOmega$ consiste à associer un réel à chaque éventualité.}

\Rq{$x$ est un réel, l'événement \og $X$ prend la valeur $x$ \fg est noté $(X=x)$}

\Expl{On lance trois pièces de monnaie, que l'on numérote $1$ ; $2$ et $3$. L'univers est alors :
$$ \varOmega=\{PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF\}$$
Imaginons le jeu qui consiste à gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît\newline
La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négaitf) correspondant, est une variable aléatoire sur $\varOmega$}

\subsection{Loi de probabilité, espérance, variance}

\Expl{Si on observe l'exemple précédent, la variable aléatoire $X$ de l'exercice précédent ne peut prendre que $4$ valeurs :
$$-3\qquad -1 \qquad 1 \qquad 3 $$
Le calcul les probabilités des événements $(X=3)$, $(X=1)$, puis $(X=-1)$ et enfin $(X=-3)$ est résumé dans le tableau suivant :}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} gain $x$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $P(X=x)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Ce tableau donne la loi de probabilité du gain.

\Defc{La loi de probabilité de $X$ est la fonction qui à chaque $x_i$ associe le nombre $P(X=x_i)$}

On représente cette loi à l'aide du tableau ci-dessous :
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} gain $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\Defc{L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : $$ E(X)=x_1p_1+x_2+\dots +x_mp_m$$
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ définie par : $$ V(X)=[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ définie par : $$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$}

\Rq{\begin{itemize}
\item L'espérance en probabilité correspond à la moyenne en statistique
\item La variance, tout comme l'écart type, mesure l'écart moyen par rapport à la moyenne. Autrement dit plus l'écart-type (ou la variance) sera grande, plus les valeurs des probabilités de la variable aléatoire seront éloignés de la moyenne et inversement.
\end{itemize}}
\Exop{Reprener l'exemple précédent et calculer l'espérance, la variance et l'écart-type. Interpréter vos résultats.}

\Exop{Pour un jeu, on mise $2 \euro$, puis on lance un dé cubique supposé parfait :
\begin{itemize}
\item Si on obtient le numéro $6$, on gagne $5\euro $
\item Si on obtient le $1$ ou le $3$, la mise est remboursée
\item Dans les autres cas, il ne se passe rien
\end{itemize}
$X$ désigne le gain du joueur. Déterminer la loi de probabilité de $X$ ; $E(X)$ et $\sigma(X)$. Interpréter les résultats.}

\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens} 
{David Hilbert} 
{mathématicien} 





\end{document}