
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 5 : Les Limites }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_Charlotte.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Les Limites}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cv{Cours : Les Limites}
\section{Approche Intuitive}
\subsection{Calculatoire}
Consid\'erons la fonction $f$ d\'efinie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par :
$$f(x)=\dfrac{3x-4}{x-1} $$
\begin{itemize}
\item Calculons les valeurs de $f(x)$ \begin{scriptsize} (on arrondira \`a $10^{-2}$ pr\`es par d\'efaut)\end{scriptsize} lorsque $x$ devient de plus en plus grand :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{9}{| >{\centering}m{1cm}} |}
\hline
   $x$ & 2 & 5 & 10 & 50 & 100 & 1000 & 10000 & 100000 \tabularnewline\hline
 $f(x)$ & 2 & $2,75$ & $2,89$ & $2,98 $ & $ 2,99 $ & $2,99$ & $2,99$ & $2,99$ \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
On constate que lorsque les nombres $x$ deviennent de plus en plus grands, les nombres $f(x)$ s'approchent aussi pr\`es que voulu du nombre $3$. \newline
\textbf{On dira que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est \'egale \`a $3$}
\item Calculons maintenant les valeurs de $f(x)$ lorsque la variable $x$ s'approche de plus en plus de la valeur interdite $1$ :
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{15}{| >{\centering}m{0.8cm}} |}
\hline
   $x$ & 0,5 & 0,8 & 0,9 & 0,99 & 0,999 & 0,9999 & 1 & 1,0001 & 1,001 & 1,01 & 1,1 & 1,2 & 1,5 & 2 \tabularnewline\hline
 $f(x)$ & 5 & $8$ & $13$ & $103 $ & $ 1003 $ & $10003$ & V.I & $-9997$ & $-997$ & $-97$  & $-7$ & $-2$ & $1$ & $2$ \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
On constate cette fois que, selon le c\^ot\'e dont on s'approche de la valeur interdite $1$ (droite ou gauche), les nombres $f(x)$ n'ont pas du tout le m\^eme comportement (puisque \`a gauche de $1$ les nombres $f(x)$ sont de plus en plus proche de $+\infty$ tandis qu'\`a droite de $1$ ils se rapprochent de $-\infty$.\newline
\textbf{On dira que la fonction $f$ n'a pas de limite en $1$}\newline
Cependant on nuancera de la mani\`ere suivante :
\begin{center}
 La limite de $f$ en $1$ \`a \textbf{gauche} est \'egale \`a $+\infty$\end{center}
 \begin{center}
 La limite de $f$ en $1$ \`a \textbf{droite} est \'egale \`a $-\infty$
\end{center}
\subsection{Graphique}
\'Evidemment toutes ces consid\'erations calculatoires peuvent avoir un appui graphique :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-3.1)(6.1,7.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{6} \def\ymin{-3} \def\ymax{7}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.1,-3.1)(6.1,7.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{3 x mul 4 sub x 1 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{8}{\G}
\uput[ur](-1.5,3.5){ $\mathscr C_f$}
\uput[ur](2.5,1.6){ $\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On constate graphiquement que : 
\begin{itemize}
\item $\mathscr C_f$ se rapproche de la droite d'\'equation $y=3$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : on dit donc que :
\begin{center}
la limite de $f$ en $\pm\infty$ est \'egale \`a $3$
\end{center}
\item De m\^eme $\mathscr C_f$ se rapproche de la droite d'\'equation $x=1$ \`a gauche de la valeur interdite, on dit donc que :
\begin{center}
la limite \`a gauche de $f$ en $1$ est \'egale \`a $+\infty$
\end{center}
\item De m\^eme $\mathscr C_f$ se rapproche de la droite d'\'equation $x=1$ \`a droite de la valeur interdite, on dit donc que :
\begin{center}
la limite \`a droite de $f$ en $1$ est \'egale \`a $-\infty$
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
\section{D\'efinition}
\subsection{Limites en $+\infty$}
On consid\`ere une fonction $f$ au moins d\'efinie sur un intervalle du type $[a;+\infty[$ 

\Defc{\textit{Intuitives} :
\newline
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, alors si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus :
\begin{itemize}
\item grands \footnote{Par l'expression de \og de plus en plus grands \fg il faut comprendre aussi grands que voulu} on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ et on note :
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ 
\item grands en valeurs absolues mais n\'egatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ et on note $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ 
\item proches \footnote{Par l'expression de \og de plus en plus proches \fg il faut comprendre aussi proches que voulu} d'un r\'eel $l$, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ et on note $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=l$ 
\end{itemize}} 

\Defc{\textit{Plus rigoureuses} :\newline
\begin{itemize}
\item Si pour tout r\'eel positif $\varepsilon$, il existe un r\'eel $\eta$ tel que : 
$$ x>\eta \Longrightarrow f(x) >\varepsilon $$
alors on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ et on note :
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ 
\item Si pour tout r\'eel n\'egatif $\varepsilon$, il existe un r\'eel $\eta$ tel que : 
$$ x>\eta \Longrightarrow f(x) <\varepsilon $$
alors on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ et on note :
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ 
\item Si pour tout r\'eel strictement positif $\varepsilon$, il existe un r\'eel $\eta$ tel que : 
$$ x>\eta \Longrightarrow f(x) \in ]l-\varepsilon;l+\varepsilon [ $$
alors on dit que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ et on note :
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=l$ 
\end{itemize} }
\newpage
\Expls{
\begin{multicols}{2}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}2+\dfrac{1}{x} =2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 1 x div add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\def\G{2}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dotted,plotpoints=1000]{-7}{7}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=4,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x^2} =0$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 exp div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x} =+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 2 div exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}x^2 =+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}-3x =-\infty$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 3 x mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}x^3 =+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{x^2}{2} =-\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 2 exp 2 div sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}
\newpage
\Cexpl{Il existe des fonctions qui n'ont pas de limite en $+\infty$, c'est le cas de la fonction $\sin$ :
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-15.1,-2.1)(15.1,2.1)
\def\xmin{-15} \def\xmax{15} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-15.1,-2.1)(15.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-25}{25}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=40,Dy=40,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}

\end{center}}

\subsection{Limites en $-\infty$}
On consid\`ere une fonction $f$ au moins d\'efinie sur un intervalle du type $]-\infty;a]$ 

\Defc[Intuitives]{
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais n\'egatives, alors si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus :
\begin{itemize}
\item grands on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ et on note :
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$ 
\item grands en valeurs absolues mais n\'egatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ et on note $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$ 
\item proches d'un r\'eel $l$, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$ et on note $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=l$ 
\end{itemize}} 

\Expls{
\begin{multicols}{2}
On a $\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x} =0$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to -\infty}2+\dfrac{1}{x} =2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 1 x div add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\def\G{2}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dotted,plotpoints=1000]{-7}{7}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=4,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to -\infty}x^2 =+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to -\infty}x^3 =-\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 3 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}
\newpage
\Cexpl{La fonction $\sin$ n'admet pas non plus de limite en $-\infty$ :
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-15.1,-2.1)(15.1,2.1)
\def\xmin{-15} \def\xmax{15} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-15.1,-2.1)(15.1,2.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x SIN}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-25}{25}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=40,Dy=40,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}

\end{center}}

\subsection{Limites en $a$ o\`u $a\in \R$}

On consid\`ere une fonction $f$ d\'efinie sur un domaine contenant $a$ ou sur un domaine dont $a$ est une borne.\\

\Defc[Intuitives]{
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $a$, alors si les nombres $f(x)$ deviennent de plus en plus :
\begin{itemize}
\item grands on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ et on note :
$\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$ 
\item grands en valeurs absolues mais n\'egatifs, on dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$ et on note $\lim\limits_{x \to a}f(x)=-\infty$ 
\item proches d'un r\'eel $l$, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $a$ et on note $\lim\limits_{x \to a}f(x)=l$ 
\end{itemize}
} 



\Expls{
\begin{multicols}{2}
On a $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} =+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 exp div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to 0}-\dfrac{x^2}{2} =0$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 2 exp 2 div sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to 0}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} =-\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 1 x 1 2 div exp div sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{7}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=40,Dy=40,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a $\lim\limits_{x \to 2} x^2-5x =-6$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-6.6)(7.1,1.6)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-6.5} \def\ymax{1.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-6.6)(7.1,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 5 x mul sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\def\G{0 6 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dotted,plotpoints=1000]{0}{7}{\G}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red](2,-6)(2,0)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=40,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}



\Cexpl{Il existe des fonctions qui n'ont pas de limite en $a$, c'est le cas de la fonction inverse, voir le paragraphe suivant.}
\subsection{Limites \`a droite et limite \`a gauche}
\Rq{La fonction inverse n'a pas de limite en $0$, car si $x$ s'approche de $0$, les nombres $\dfrac{1}{x}$ n'entrent pas dans le cadre de la d\'efinition donn\'ee au paragraphe $2.3$. 
\newline 
Cependant, on peut parler de limite \og \`a droite \fg  et de limite \og \`a gauche \fg : on note alors $0^{+}$ pour signifier que $x$ s'approche de $0$ par valeur sup\'erieure et $O^{-}$ pour signifier que $x$ s'approche de $0$ par valeur inf\'erieure.
\begin{multicols}{2}
Ainsi, on a : $$\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} =-\infty$$ 
$$\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} =+\infty$$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=40,Dy=40,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Exop{On donne les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ d\'efinies ci-dessous : 
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=x^2+1$
\item $g(x)=-2x^3+5$
\item $h(x)=x-2+\dfrac{1}{x}$
\item $k(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$
\end{itemize}
D\'eterminer les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to 0} f(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} g(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to 0^+} h(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to 0^-} h(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} h(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to 1^+} k(x) =$
\item $ \lim\limits_{x \to 1^-} k(x) =$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{multicols}}

\Cadre{Dans cet exercice, on utilise par exemple le fait que si deux fonctions $f$ et $g$ ont pour limite $a$ et $b$ alors la somme $f+g$ a pour limite $a+b$. Quand est-il du produit et du quotient de deux fonctions ? La partie suivante \og op\'erations sur les limites \fg pr\'ecisent le champs de validit\'e de ces raisonnements.}

\section{Op\'erations sur les limites}
 \Cadre{Le point d'interrogation signifie \og forme ind\'etermin\'ee \fg, on ne peut pas donner de r\'eponse dans le cas g\'en\'eral, cela d\'epend des situations.}
 
\subsection{Limites d'une somme}
On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ ayant des limites finies ou infinies, la fonction somme $f+g$ admet une limite dans chacun des cas d\'ecrits par le tableau suivant :
\begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $f$}{lim $g$} & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $l'$ & $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
  \Exop{D\'eterminer les limites suivantes :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( x+\dfrac{1}{x^2}-1 \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} ( x^3+x-5 )$
\item $ \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x^2}+3x-4 \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} ( x^2+x-5 )$
\end{enumerate}
  \end{multicols}}
  
  \Rq{Dans le dernier cas, on trouve une forme ind\'etermin\'ee, on pourra lever l'ind\'etermination en se ramenant \`a un produit. Mais voyons tout d'abord comment calculer la limite d'un produit.}
 


\subsection{Limites d'un produit}
On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ ayant des limites finies ou infinies, la fonction produit $fg$ admet une limite dans chacun des cas d\'ecrits par le tableau suivant :
\begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $f$}{lim $g$} & $l\neq 0$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $l'\neq 0$ & $l\times l'$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $\pm\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $\pm\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \newline
  Si $l=0$ et si $l'\in \R$ alors le produit $fg$ tend vers $0$ 
  \end{center}
  
  \Exop{D\'eterminer les limites suivantes :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} (-5x^2)$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} ( -2x(x-3) )$
\item $ \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}(3x+\sqrt{x)} \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} ( x^2+x-5 )$
\end{enumerate}
  \end{multicols}}
\subsection{Limites d'un quotient}
On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ ayant des limites finies ou infinies, la fonction produit $\dfrac{f}{g}$ admet une limite dans chacun des cas d\'ecrits par le tableau suivant :
\begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |>{\centering}m{3cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{lim $f$}{lim $g$} & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ \tabularnewline \hline
      $l'\neq 0$ & $\dfrac{l}{l'}$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
      $+\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
      $-\infty$ & $0$ & ? & ? \tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \newline
  Si $l'=0$ et si $l \neq 0$ alors le quotient $ \dfrac{f}{g} $ tend vers $\pm \infty$ 
  \end{center}
  

  
  \Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}

  \Exop{D\'eterminer les limites suivantes :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\dfrac{-3}{2x^2+3} \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{1}{x(x-2)} \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{x}(3x+\sqrt{x)} \right)$
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \right)$
\end{enumerate}
  \end{multicols}}
  
\section{Asymptotes}
\subsection{Asymptote horizontale}
\Defc{Si $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=k$ (respectivement $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=k$), on dit que la droite d'\'equation $y=k$ est une asymptote horizontale \`a la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ (respectivement en $-\infty$)
}
\Expl{
\begin{multicols}{2}
$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2+\dfrac{1}{x}\right) =2$, donc la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=2+\dfrac{1}{x}$ admet une asymptote horizontale d'\'equation $y=2$ en $+\infty$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 1 x div add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\def\G{2}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dotted,plotpoints=1000]{-7}{7}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=4,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}
\newpage
\subsection{Asymptote verticale}
\Defc{Si une fonction $f$ admet une limite infinie \`a gauche ou \`a droite en un r\'eel $a$, alors on dit que la droite d'\'equation $x=a$ est une asymptote verticale \`a la courbe $\mathscr C_f$
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
$\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =+\infty$ (et $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =-\infty$), donc la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ admet une asymptote verticale d'\'equation $x=2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}


\subsection{Asymptote oblique}
\Defc{La droite d'\'equation $y=ax+b$ est une asymptote \`a la repr\'esentation graphique $\mathscr C_f$  de $f$ en $\pm\infty$ si et seulement si 
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x)-(ax+b)] =0$$
}

\Exop{On note $f(x)=\dfrac{2x^2+9x+8}{x+3}$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)=2x+3-\dfrac{1}{x+3}$
\item Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item En d\'eduire que la droite $\Delta$ d'\'equation $y=2x+3$ est une asymptote oblique \`a $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.32cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-8.1)(4.1,8.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{4} \def\ymin{-8} \def\ymax{8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-10.1,-10.1)(10.1,10.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{-3.00001}{\F}
\def\G{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.9999}{20}{\G}
\def\H{2 x mul 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{20}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=50,Dy=50,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\section{Th\'eor\`eme de comparaison}
\subsection{Th\'eor\`eme de majoration, minoration}
\Thc{\textit{Admis}\newline
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$ :
\begin{itemize}
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x)\geq u(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x) \leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =-\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =-\infty$
\end{itemize}}

\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-x+\sin x$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ (Poser $v(x)=-x+1$)
\item Soit $g(x)=\dfrac{ \sqrt{1+x^2} }{x^2}$. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$ (Poser $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$)
\end{enumerate}}
\subsection{Th\'eor\`eme des gendarmes}
\Thc{\textit{Admis}\newline
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$.
\newline
Si pour $x$ assez grand, on a $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =l$, alors : 
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =l$$}
\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}
\Exop{
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^{+}$ par : $f(x)=1+\dfrac{\sin x}{x}$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ (Poser $u(x)=1-\dfrac{1}{x}$ et $v(x)=1+\dfrac{1}{x}$).
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\end{document}