\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 12 : Homoth\'eties }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 12}
\rhead{Homothéties}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Cours : Homothéties }





\section{Généralités}
\Defc{On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k\neq 0$) la transformation pour 
laquelle un point $M$ du plan a pour image $M'$ tel que $ \overrightarrow{OM}=k \overrightarrow{OM'}$
} 

\Expl{Dans chacun des cas ci-dessous, construire l'image de la figure par l'homothétie de centre O et de 
rapport k. Préciser également s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction. 
}
\Rq{On écrira, dans chaque cas des relations du type $ \overrightarrow{OA'}=1,5 \overrightarrow{OA}$ }
\begin{multicols}{2}
\underline{Cas 1} : $k=1,5$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10.6,-3.6)(4.6,3.6)
\def\xmin{-10.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-10.5,-3.5)(4.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,1.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.0000,-1.0000){C}
\psline(-1.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(2.0000,1.0000)(3.0000,-1.0000)
\psline(3.0000,-1.0000)(-1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-5.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-5.0000,0.0000){O}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\underline{Cas 2} : $k=\dfrac{1}{2}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.6)(4.6,3.6)
\def\xmin{-4.5} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.5,-3.5)(4.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](-3.0000,2.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[180.0000](-3.0000,-2.0000){D}
\psline(-3.0000,2.0000)(3.0000,2.0000)
\psline(3.0000,2.0000)(3.0000,-2.0000)
\psline(3.0000,-2.0000)(-3.0000,2.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(-3.0000,2.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,2.0000)
\psline(-3.0000,-2.0000)(3.0000,-2.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){O}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\underline{Cas 3} : $k=-2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.33cm , yunit=0.33cm}
\begin{pspicture*}(-7.2,-4.2)(7.2,5.5)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{5.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.2,-4.2)(7.2,5.5)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](-3.0000,2.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](3.0000,2.0000){B}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-3.0000,2.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](3.0000,2.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](5.0000,3.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](5.0000,3.0000){O}
\pscircle(0.0000,2.0000){1.0000}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Thc{Le centre $O$, d'une homothétie, un point $M$ et son image $M'$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$}

\Dem{Par définition, la relation $ \overrightarrow{OM}=k \overrightarrow{OM'}$ signifie que les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$ i.e que les droites $\dots \dots$ et $ \dots \dots$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$ i.e que les points $O$, $M$ et $M'$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$
}

\Thc{ Si une homothétie de centre $O$ et de rapport k transforme $M$ en $M'$ et $N$ en $N'$, alors on a : 
$$ \overrightarrow{M'N'}=k \overrightarrow{MN}$$}

\Dem{Par la relation de $\dots \dots \dots \dots \dots$, en introduisant le point $O$ on a:
$$ \overrightarrow{M'N'}= \overrightarrow{M'\dots}+ \overrightarrow{\dots N'}=k ( \overrightarrow{MO}+\dots \dots \dots ) =k (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{\dots N} )=k \overrightarrow{MN} $$}

\Corc{
\begin{enumerate}
\item Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme une droite en une droite $\dots \dots \dots \dots \dots$
\item Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ multiplie les distances par $\dots \dots \dots $
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item D'après le théorème précédent, Si une homothétie de centre $O$ et de rapport k transforme $M$ en $M'$ et $N$ en $N'$ alors :
$$ \dots \dots \dots \dots \dots $$ 
  ce qui signifie que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{\dots N'}$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$ i.e que les droites $\dots \dots$ et $ \dots \dots$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots$
 \item Comme $ \overrightarrow{M'N'}=k \overrightarrow{MN}$ alors $M'N'=\mid k \mid MN$
\end{enumerate}}

\Defc[Rappel]{Deux triangles $T$ et $T'$ sont semblables si l'un est l'agrandissement de l'autre i.e si les longueurs des côtés de $T$ sont $k$ fois celle des côtés de $T'$ où $k>0$ }
\Exop{Démontrer qu'une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable}
\paragraph{\textbf{\underline{Solution}} :}
Considérons l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ qui transforme le triangle $ABC$ en $A'B'C'$
D'après le théorème $2.$ on a :
$$ \overrightarrow{A'B'}=\dots \dots \dots \qquad \overrightarrow{B'C'}=\dots \dots \dots \qquad \text{ et } \dots \dots \dots \dots \dots \dots$$
ce qui prouve que : 
$$ A'B'= \mid k \mid AB  \qquad \text{ , } \qquad \dots \dots \dots \dots \dots \dots \qquad \text{ et } \qquad \dots \dots \dots \dots \dots \dots$$
Les côtés des triangles sont donc $\dots \dots \dots \dots \dots \dots$, ce qui signifie que les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont $\dots \dots \dots \dots \dots \dots$

\newpage

\section{Propriétés}
\Ptec{\begin{enumerate}
\item \textbf{Conservation} : 
\begin{itemize}
\item L'homothétie \textbf{ne conserve pas} les distances
\item L'homothétie conserve : l'alignement, les angles (et en particulier l'angle droit), le milieu d'un segment, les relations de colinéarité.  
\end{itemize}
\item \textbf{Action sur les figures} :
\begin{itemize}
\item Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k\neq 0$) transforme :
\begin{itemize}
\item une droite $d$ en une droite $d'$ parallèle à $d$
\item un segment $[MN]$ en un segment $[M'N']$ parallèle tel que $M'N'=\mid k\mid MN$
\item un cercle $\mathscr C$ de rayon $R$ en un cercle $\mathscr C'$ de rayon $\mid k\mid R$. 
\item un triangle (isocèle, rectangle, équilatéral) en un triangle de même nature. 
\item un quadrilatère (parallélogramme, losange, rectangle, carré) en un quadrilatère de même nature. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{enumerate}}


\Rq{Certaines homothéties sont des transformations déjà connues, c'est ce qui se passe pour certaines valeurs du 
rapport $k$. 
Considérons une homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ $(k\neq 0)$ et un point $M$ du plan. Notons $M'$ son image.
\begin{enumerate}
\item Si $k=1$, on a par définition $ \overrightarrow{OM'}=k \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OM}$, donc $M=M'$. On dit alors que $h$ est \underline{l'identité}
\item Si $k=-1$, on a alors $ \overrightarrow{OM'}=k \overrightarrow{OM}= -\overrightarrow{OM}$, donc $O$ est le $\dots \dots \dots \dots \dots$ du segment $[MM']$ donc $h$ est la $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ de centre $O$
\item Si $ \mid k\mid >1$ l'homothétie réalise un $\dots \dots \dots \dots \dots$
\item Si $\mid k \mid <1$ l'homothétie réalise une $\dots \dots \dots \dots \dots$ 
\end{enumerate}}

\Rq{L'unique point fixe d'une homothétie différente de l'identité est son centre.}

\section{Deux exercices corrigés pour mieux comprendre}
\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\Exop{Soit $ABCD$ un parallélogramme. On construit les points suivants :
\begin{itemize}
\item $A'$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$
\item $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$
\item $C'$ le symétrique de $B$ par rapport à $C$
\end{itemize}
Démontrer que les quatre points $A'$, $B'$, $C'$ et $D$ sont alignés}
\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-4.2)(7.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-4.2)(7.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-1.0000,0.0000)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[-160.0000](-1.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[160.0000](-2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[20.0000](2.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[-20.0000](3.0000,0.0000){D}
\psline(-1.0000,0.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,-2.0000){A'}
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,2.0000){C'}
\uput{0.3000}[90.0000](0.4615,-1.6923){B'}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,-2.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.4615,-1.6923)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](6.0000,2.0000)
\psline(0.0000,-2.0000)(8.0000,3.3333)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7692,0.1538)
\psline(-2.0000,2.0000)(-0.7692,0.1538)
\psline(-0.9356,0.4035)(-0.6860,0.5699)(-0.5196,0.3203)
\uput{0.3000}[0.0000](-0.7692,0.1538){H}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,1.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](0.5000,1.0000){O}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{minipage} 

\paragraph{\textbf{\underline{Solution}} :}
Notons $H$ le projeté orthogonale de $B$ sur $[AC]$ et $O$ le centre du parallélogramme. \newline
Les points $A$, $H$, $O$ et $C$ sont alignés sur la droite $(AC)$. De plus on a :
\begin{itemize}
\item $A'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$, on a : $ \overrightarrow{BA'}=2 \overrightarrow{BA}$
\item $B'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AC)$, on a : $ \overrightarrow{BB'}=2 \overrightarrow{BH}$
\item $O$ est le centre du parallélogramme, on a : $ \overrightarrow{BD}=2 \overrightarrow{BO}$
\item $C'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$, on a : $ \overrightarrow{BC'}=2 \overrightarrow{BC}$
\end{itemize}
Par conséquent l'homothétie de centre $B$ et de rapport $2$ transforme les points $A$, $H$, $O$ et $C$ en $A'$, $B'$, $D$ et $C'$. Comme une homothétie conserve l'alignement, les points $A'$, $B'$, $D$ et $C'$ sont alignés. 



\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\Exop{
Les carrés $ABCD$ et $A'B'C'D'$ ont des côtés deux à deux parallèles, comme sur la figure ci-contre. Les droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ et $(DD')$ sont-elles concourantes ?}
\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[160.0000](-2.0000,2.0000){A}
\uput{0.3000}[20.0000](2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[-160.0000](-2.0000,-2.0000){D}
\psline(-2.0000,2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(2.0000,-2.0000)
\psline(2.0000,-2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(-2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-1.5000,1.0000){\small A'}
\uput{0.3000}[90.0000](0.5000,1.0000){B'}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.5000,-1.0000){C'}
\uput{0.3000}[-90.0000](-1.5000,-1.0000){D'}
\psline(-1.5000,1.0000)(0.5000,1.0000)
\psline(0.5000,1.0000)(0.5000,-1.0000)
\psline(0.5000,-1.0000)(-1.5000,-1.0000)
\psline(-1.5000,-1.0000)(-1.5000,1.0000)
\psline(0.0000,-2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,-0.6667)(8.0000,6.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](-1.0000,0.0000){O}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{minipage} 

\paragraph{\textbf{\underline{Solution}} :}
On considère le point $O$, intersection des droites $(AA')$ et $(BB')$. On souhaite savoir si ce point est aussi sur $(CC')$ et $(DD')$.
\begin{enumerate}
\item \underline{Montrons que l'homothétie de centre $O$ qui transforme $A$ en $A'$, transforme $B$ en $B'$} \newline
Considérons l'homothétie $h$ de centre $O$ qui transforme $A$ en $A'$. On a alors :
$$h(A)=A'\Longleftrightarrow \overrightarrow{OA'}=k \overrightarrow{OA} \qquad \text{ où $k =\dfrac{OA'}{OA}$}$$
Comme $(A'B')//(AB)$ on applique le théorème de Thalès dans le triangle $OAB$ et on obtient :
$$ \dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{OB'}{OB}=\dfrac{A'B'}{AB}=k $$
Par conséquent $OB'=kOB$, et comme les points $O$, $B'$ et $B$ sont alignés dans cet ordre : $$ \overrightarrow{OB'}=k \overrightarrow{OB}$$
On vient de montrer que $B'=h(B)$.
\item \underline{Montrons que $h$ transforme $C$ en $C'$ et $D$ en $D'$}\newline
On a vu dans la question précédente que $A'B'=kAB$, de plus comme les carrés $ABCD$ et $A'B'C'D'$ ont des côtés deux à deux parallèles, les longueurs de leurs côtés sont aussi proportionnelles et on a :
$$ \overrightarrow{B'C'}=k \overrightarrow{BC}  \qquad \text{ et } \overrightarrow{A'D'}=k \overrightarrow{AD}$$
D'après le théorème $2.$, le point $h(C)$ est tel que : $ \overrightarrow{B'h(C)}=k \overrightarrow{BC}$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{B'h(C)}=\overrightarrow{B'C'}\Longleftrightarrow h(C)=C'$$
De même, d'après le théorème $2.$, le point $h(D)$ est tel que : $ \overrightarrow{A'h(D)}=k \overrightarrow{AD}$, par conséquent :
$$ \overrightarrow{A'h(D)}=\overrightarrow{A'D'}\Longleftrightarrow h(D)=D'$$
\item \underline{Concluons !! :}\newline
D'après le théorème $1.$ $O$, $C$ et $C'$ sont alignés donc $$ O \in (CC')$$
De même $O$, $D$ et $D'$ sont alignés donc $$ O \in (DD')$$
Par conséquent les droites sont concourantes en $O$

\end{enumerate}


\section{Applications}
\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\Exop{Dans la figure ci-contre, les droites $(AE)$ et 
$(CF)$ sont parallèles, ainsi que les droites $(BE)$ et $(DF)$. 
Quelle est l'image du point $B$ par l'homothétie de 
centre $O$ qui transforme $A$ en $C$ ? \textit{(Justifier)}
}
\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(8.2,4.2)
\def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.2,-1.2)(8.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[-90.0000](2.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](2.5000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.0000,0.0000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){O}
\psline(-2.0000,0.0000)(8.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](2.0000,1.0000){E}
\psline(-2.0000,-1.0000)(8.0000,4.0000)
\psline(2.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(2.5000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\uput{0.3000}[90.0000](6.0000,3.0000){F}
\psline(6.0000,3.0000)(6.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](7.5000,0.0000){D}
\psline(6.0000,3.0000)(7.5000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage} 

\Exop{Soit $\mathscr C$ un cercle de centre $O$ et $ A$ un point de $\mathscr C$. Construire l'image du cercle $\mathscr C$ par l'homothétie :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item de centre $O$ et de rapport $ \dfrac{3}{4} $
\item de centre $O$ et de rapport $ -2$
`\item de centre $A$ et de rapport $ \dfrac{3}{2} $
\item de centre $A$ et de rapport $-1 $
\item de centre $A$ et de rapport $1 $
\item de centre $O$ et de rapport $-1 $
\end{enumerate}
\end{multicols} }

\Exop{Soient $[AB]$ et $[CD]$ deux segments parallèles de longueurs différentes, avec $(AB)\neq (CD)$. 
\begin{enumerate}
\item Construire le centre $\varOmega_1$ de l'homothétie $h_1$ qui transforme $A$ en $C$ et $B$ en $D$.
\item Soit $h_2$, différente de $h_1$, qui transforme $[AB]$ en $[CD]$, construire son centre $\varOmega_2$.
\item Si $AB = 3$ et $CD = 4.5$, quels sont les rapports de $h_1$ et $h_2$ ? 
\end{enumerate}
}


\Exop{$\mathscr C$ est un cercle de diamètre $[AB]$. A tout point $M$ de $\mathscr C$ distinct de $A$ et $B$, on associe le centre de  gravité $G$ du triangle $ABM$. \newline
Quel est le lieu du point $G$ lorsque $M$ décrit $\mathscr C$ privé de $A$ et $B$ ? \textit{(Utiliser les homothéties)}}

\epigraphe{Chaque fois que j’écoutais Banshee Beat d’Animal Collective, je prenais conscience que l’homme n’était pas simplement destiné à répandre la souffrance et la laideur sur le monde. Il pleuvait, il tombait des cordes, mais cette musique frôlait le miracle. Il y avait un moment où forcément l’on posait son verre et où l’on commençait à danser – en remerciant Dieu de ne connaître ni guerres ni famines etc. –, à se déhancher, à laisser poindre un sourire de satisfaction.}{Philippe Dijan}{écrivain} 


\end{document}