\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : G\'en\'eralit\'es sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}[section]
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}


\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}

\newcommand{\Rq}[1]{\noindent\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\noindent\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\noindent\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\noindent\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\noindent\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\noindent\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\noindent\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\noindent\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand*{\N}{\mathbb{N}}
\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand*{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand*{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand*{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1S$}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{G\'en\'eralit\'es sur les fonctions}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} Cours : G\'en\'eralit\'es sur les fonctions \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%I. Equations de droites 1. Position du pb
\section{Quelques rappels}
\subsection{Ensemble de d\'efinition}


\Defc{D\'efinir une fonction $f$ sur un ensemble de r\'eels $D$, c'est \underline{associer} \`a tout r\'eel $x\in D$ \underline{un r\'eel et un seul}, not\'e $f(x)$}

\Rq{\begin{itemize}
 \item $D$ sera toujours (\`a notre niveau) un intervalle ou une r\'eunion d'intervalle
\item On dit que $f(x)$ est l'image de $x$ et que $x$ est un ant\'ec\'edent de $f(x)$
\end{itemize}
}

\Exo{\begin{itemize}
 \item Soit la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=x^2-2$ sur $[0;3]$. On note encore : 
\begin{eqnarray*}
f:&[0;3] &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto x^2-2
 \end{eqnarray*}
\newline D\'eterminer l'image de $-5$ et les ant\'ec\'edents \'eventuels de $4$ et $-4$
\item Soit \begin{eqnarray*}
g:&[0;+\infty[ &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto \sqrt{x}+1
 \end{eqnarray*}
D\'eterminer les ant\'ec\'edents \'eventuels de $4$ et $-4$
\end{itemize}
}

\Rq{On ne peut d\'efinir $g$ sur un ensemble plus grand}

\Defc{\underline{L'ensemble de d\'efinition} d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les r\'eels pour lesquels $f(x)$ est calculable}
\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=x^2-3x+1$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
 \item Soit $g$ la fonction d\'efinie par $g(x)=\dfrac{\sqrt{16-x^2}}{4-5x}$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
 \item Soit $h$ la fonction d\'efinie par $h(x)=\sqrt{-x+1}$. Trouver son ensemble de d\'efinition.
\end{enumerate}
}

\subsection{Courbe repr\'esentative}

\Defc{
La \underline{courbe repr\'esentative} d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ o\`u $x$ parcourt $D_f$.}

\Expl{Soit la fonction $a$ d\'efinie par $a(x)=x^3 -3x +1$. Tracer sa courbe repr\'esentative.}


\Rq{Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.7,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){3.5355}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}


\subsection{Parit\'e}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $D_f$ un intervalle sym\'etrique par rapport \`a $0$. On dit que $f$ est \underline{paire} si et seulement si pour tout $x\in D_f$ on a $f(x)=f(-x)$.}

\Expl{Soit $j$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $j(x)=x^2$ est une fonction paire.}

\Ptec{Dans un rep\`ere orthogonal, la courbe repr\'esentative d'une fonction paire est poss\`ede l'axe des ordonn\'ees comme axe de sym\'etrie.}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $D_f$ un intervalle sym\'etrique par rapport \`a $0$. On dit que $f$ est \underline{impaire} ssi pour tout $x\in D_f$ on a $f(x)=-f(-x)$.}

\Expl{Soit $j$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $j(x)=x^3$ est une fonction impaire.}

\Ptec{Dans un rep\`ere orthogonal, la courbe repr\'esentative d'une fonction impaire est poss\`ede l'origine du rep\`ere comme centre de sym\'etrie.}

\Exo{On consid\`ere la fonction $r$ d\'efinie pour tout $x\in \R$ par $r(x)=x(x-2)$.
\begin{enumerate}
 \item \'Etudier la parit\'e de la fonction $r$.
 \item D\'emontrer que $r(x)=(x-1)^2 - 1$.
\item D\'emontrer que la fonction $r$ est minor\'ee par $-1$.
 \item Dans un rep\`ere orthonormal, tracer soigneusement la repr\'esentation graphique $C_r$ de la fonction $r$ (on se limitera \`a l'intervalle $[-1;3]$)
\end{enumerate}
}

\subsection{Variations}


\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est \underline{croissante} (respectivement \underline{strictement croissante}) si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a : 
$$a<b \Longrightarrow f(a)\leq f(b) \qquad \textrm{ (respectivement } a<b \Longrightarrow f(a)< f(b) \textrm{ )}$$}

\Rq{Ant\'ec\'edents et images sont rang\'es dans le m\^eme ordre, on dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre.}

\Expl{
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(2.7,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-4.3)(3.1,2.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x 3 exp mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.5}{3}{\F}
\psdot(-2,-4) \uput[u](-2,0){$a$}\uput[r](0,-4){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-4)(0,-4)

\psdot(1,0.5) \uput[d](1,0){$b$}\uput[r](-1.3,0.5){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}


\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est \underline{d\'ecroissante} (respectivement \underline{strictement d\'ecroissante}) si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a : 
$$a<b \Longrightarrow f(a)\geq f(b) \qquad \textrm{ (respectivement } a<b \Longrightarrow f(a)> f(b) \textrm{ )}$$}

\Rq{Ant\'ec\'edents et images sont rang\'es dans l'ordre inverse, on dit qu'une fonction d\'ecroissante inverse l'ordre.}

\Expl{
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.7,5)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 0.5 x mul div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{5}{\F}
\psdot(0.5,4) \uput[d](0.5,0){$a$}\uput[l](0,4){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,4)(0,4)

\psdot(4,0.5) \uput[d](4,0){$b$}\uput[l](0,0.5){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.5)(0,0.5)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\end{pspicture*}


\end{center}
}

\Rq{On ne parle de fonction croissante ou d\'ecroissante que sur un intervalle, les bornes ouvertes ou ferm\'ees ne jouant aucun r\^ole.}
 
\Rq{On parle de fonction monotone sur un intervalle $I$ si celle-ci y est soit croissante, soit d\'ecroissante.}

\Defc{Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est constante si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ on a $f(a)= f(b)$ }

\Expl{
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(3.7,3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{4}{\F}
\psdot(-1,2) \uput[d](-1,0){$a$}\uput[ul](0,2){$f(a)$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)

\psdot(2,2) \uput[d](2,0){$b$}\uput[ur](0,2){$f(b)$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}


\end{center}
}

\Rq{La repr\'esentation graphique d'une fonction constante est une droite parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees.}


\Exo{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=2x+1$. Montrer que $f$ est croissante.\newline
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-3x+5$. Montrer que $g$ est d\'ecroissante.}


\Exo{Soit $z$ la fonction d\'efinie par $z(x)=\dfrac{3}{x-3}$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est son ensemble de d\'efinition ?
 \item Quelles sont les images de 6 ? 4 ? 0 ?
 \item Quels sont les ant\'ec\'edents de 12 ? 8 ?
 \item D\'emontrer que la fonction est d\'ecroissante sur $[3;+\infty[$ et d\'ecroissante sur $]-\infty;3]$.
 \item Dresser le tableau de variations de $z$.
 \item Tracer la courbe repr\'esentative de $z$.
\end{enumerate}
}

\subsection{Extrema}

\Defc{ Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$et $a\in I$. On dit que $f$ admet un \underline{maximum} en $a$ si, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \leq f(a) $. \newline
$f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$, atteint en $a$.}

\Expl{Quel est le maximum de la fonction $t$ d\'efinie sur $\R$ par $t(x)=-x^2+3$ ? \newline
Pour tout $x$ on a $-x^2 \leq 0 \Longleftrightarrow -x^2 + 3 \leq 3 \Longleftrightarrow t(x) \leq t(0)$. \newline
Donc le maximum de $t$ est 3,  atteint en 0 (pour $x=0$.}

\Defc{ Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$et $a\in I$. On dit que $f$ admet un \underline{minimum} en $a$ si, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \geq f(a) $. \newline
$f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$, atteint en $a$.}

\Expl{Quel est le minimum de la fonction $v$ d\'efinie sur $\R$ par $v(x)=x^2-\sqrt{3}$ ? \newline
Pour tout $x$ on a $x^2 \geq 0 \Longleftrightarrow x^2 + \sqrt{3} \geq \sqrt{3} \Longleftrightarrow v(x) \geq v(0)$. \newline
Donc le minimum de $v$ est $\sqrt{3}$,  atteint en 0 (pour $x=0$.}

\Rq{On parle \underline{d'extremum} lorsque la fonction admet soit minimum, soit maximum.}


\Exo{Quel est le maximum sur $\R$ de la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=-(x-2)^2+4$ ?}

\newpage
\section{Comparaison de deux fonctions}

\Defc{Soit $D$ une partie de $\R$. On dit que $f$ et $g$ sont \underline{\'egales} sur $D$ si : $f(x)=g(x)$, pour tout
$x \in D$. On note $f=g$ sur $D$}

\Expls{Consid\'erons les fonctions $f$, $g$ et $h$ d\'efinies par :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item \begin{eqnarray*}
f:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto \sqrt{x^2}
 \end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
g:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto \mid x \mid
 \end{eqnarray*}
\item \begin{eqnarray*}
h:&\R &\rightarrow \R  \\
&x& \mapsto x
 \end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{multicols}
On a $f=g$ sur $\R$, $f=h$ sur $\R^{+}$ et $g=h$ sur $\R^{+}$.
}

\Exo{Soit $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies par : $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ et $g(x)=x+2$. Sur quel ensemble a-t-on $f=g$ ?}

\Defc{Soit $I$ un intervalle et soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies au moins sur $I$. On dit que :
\begin{enumerate}
 \item $f$ est \underline{inf\'erieure} \`a $g$ sur $I$ lorsque : $f(x)\leq g(x)$ pour tout $x\in I$. On note $f\leq g$ sur $I$
\item $f$ est\underline{positive} ou \underline{n\'egative} sur $I$ lorsque : $f(x)\geqslant0$ (ou $f(x)\leq 0$) pour tout $x\in I$. On not $f\geqslant0$ (ou$f\leq 0$) sur $I$
\item $f$ est \underline{major\'ee} sur $I$ lorsqu'il existe un r\'eel $M$ tel que $f(x)\leq M$ pour tout $x\in I$
\item $f$ est \underline{minor\'ee} sur $I$ lorsqu'il existe un r\'eel $m$ tel que $f(x)\geqslant m$ pour tout $x\in I$
\item $f$ est \underline{born\'ee} sur $I$ lorsqu'elle est \`a la fois major\'ee et minor\'ee.
\end{enumerate}
}

\Rq{La relation d'ordre pour les fonctions n'est pas totale, en ce sens que deux fonctions ne sont pas toujours comparables}
\begin{multicols}{2}
\Expl{On consid\`ere les fonctions $f$ et $g$ sur $\R^{+}$ d\'efinies par $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$\newline
Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas comparables sur $\R^{+}$. En revanche on a : $f\geqslant g$ sur $[0;1]$\newline
De plus $f\leq g $ sur $[1;+\infty[$\newline
Pour prouver ces affirmations il suffit d'\'etudier le signe de la diff\'erence $f-g$ :
$$f(x)-g(x)=x-x^2=x(1-x) $$}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(3.7,6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(4.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\F}
\def\G{x 2 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{4}{\G}
 \uput[ur](3.3,4){$C_f$}
\uput[ur](2.6,5.5){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
On dresse le tableau de signe pour conclure :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x}&\txt{0}&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{1-x}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f-g}&\txt{0}&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
}$$


\Rq{En cons\'equence de l'exemple pr\'ec\'edent : un nombre n'est pas toujours inf\'erieur \`a son carr\'e !}

\Exo{
\begin{enumerate}
 \item D\'emontrer que la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=x(1-x)$ est major\'ee sur $\R$ par $\dfrac{1}{4}$. En d\'eduire que $f$ admet $\dfrac{1}{4}$ comme maximum.
\item D\'emontrer que la fonction $\phi$, d\'efinie par $\phi(x)=3\sin x-1$ est born\'ee sur $\R$
\end{enumerate}
}

\Ptec{Soit $f$ une fonction monotone sur un intervalle $I=[a;b]$ alors $f$ est born\'ee}

\Preuve{Supposons que $f$ est croissante sur $[a;b]$, et soit $x\in I$, on a :
$$a\leq x\leq b$$ et donc : $f(a)\leq f(x) \leq f(b)$. $f$ est donc \`a la fois major\'ee et minor\'ee, elle est donc born\'ee. \newline
Supposons que $f$ est d\'ecroissante sur $[a;b]$, et soit $x\in I$, on a :
$$a\leq x\leq b$$ et donc : $f(a)\geqslant f(x) \geqslant f(b)$. $f$ est donc \`a la fois major\'ee et minor\'ee, elle est donc born\'ee.}
\section{Op\'erations sur les fonctions}
\subsection{Somme, produit, quotient..}
\Defc{$f$ et $g$ sont deux fonctions d\'efinies sur $I$ et $\lambda$ d\'esigne un r\'eel quelconque.
\begin{enumerate}
 \item Les fonctions $f+g$, $fg$, $\lambda f$ et $f+\lambda$ sont les fonctions d\'efinies sur $D$ par :
\begin{multicols}{2}
 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$\newline
$(fg)(x)=f(x) \times g(x)$\newline
$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$\newline
$(f+\lambda)(x)=f(x)+\lambda$
\item Si de plus, pour tout $x\in I$ $g(x)\neq 0$, la fonction not\'ee $\dfrac{f}{g}$ est la fonction d\'efinie sur $I$ par $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Expls{$f$ et $g$ sont les fonctions d\'efinies sur $\R$ par $f(x)=\mid x \mid$ et $g(x)=x-2$. Alors :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $(f+g)(x)=\mid x \mid +x-2$
\item $(fg)(x)=\mid x \mid \times(x-2)$
\item $(3g)(x)=3(x-2)$
\item $(2+g)(x)=2+x-2=x$
\item pour tout $x\neq2$, $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{\mid x \mid}{x-2}$
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\Exo{$f$ et $g$ sont deux fonctions affines et $\lambda$ d\'esigne un r\'eel. D\'emontrer que $f+g$ et $\lambda f$ sont des fonctions affines. Qu'en est-il de $f+\lambda$, $fg$ et $\dfrac{f}{g}$}

\subsection{Sens de variation}
\Ptec{Si $f$ est une fonction monotone sur un intervalle $I$ et $\lambda\in \R$ alors les fonctions $f$ et $f+\lambda$ ont m\^eme sens de variation sur $I$}

\Preuve{Si $f$ est d\'ecroissante sur $I$ :\newline 
Soit $a$ et $b$ deux r\'eels de $I$ tels que $a\leq b$. Comme $f$ est d\'ecroissante sur $I$ on a :
$$ f(a)+\lambda\geqslant f(b)+\lambda$$Donc la fonction $f+\lambda$ est d\'ecroissante sur $I$}

\Expl{La fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=x^3+2x-1$ est strictement croissantes sur $\R$ puisque les fonctions $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto 2x-1$ le sont}


\Thc{Soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies au moins sur le m\^eme intervalle $I$
\begin{itemize}
 \item Si $f$ et $g$ sont croissante (respectivement d\'ecroissante) sur $I$ alors $f+g$ est croissante (respectivement d\'ecroissante) sur $I$
\item Si $f$ est croissante sur $I$ et $\lambda>0$ (respectivement $\lambda<0$) alors la fonction $\lambda f$ est croissante (respectivement d\'ecroissante) sur $I$
\item Si $f$ est d\'ecroissante sur $I$ et $\lambda>0$ (respectivement $\lambda<0$) alors la fonction $\lambda f$ est d\'ecroissante (respectivement croissante) sur $I$
\end{itemize}
}

\Preuve{Soient $a$ et $b$ deux r\'eels de $I$ tels que $a<b$ :
\begin{enumerate}
\item Comme $f$ et $g$ sont croissantes sur $I$ on a : $f(a)\leq f(b)$ et $g(a) \leq g(b)$, en somme :
$$f(a)+g(a) \leq f(b)+g(b)$$
Ainsi $f+g$ est croissante sur $I$.
\item L'in\'egalit\'e $f(a)\leq f(b)$ devient $\lambda f(a) \leq \lambda f(b)$ si $\lambda>0$ et $\lambda f(a) \geqslant \lambda f(b)$ si $\lambda<0$, ce qui prouve le deuxi\`eme r\'esultat 
\end{enumerate}}

\Exo{\'Etudier le sens de variation de la fonction d\'efinie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=-\dfrac{2}{x}$}

\Rq{Il n'y a pas de r\`egle aussi simple pour le produit de deux fonctions. Consid\'erons les fonctions $f$ et $g$ croissantes sur $\R$ d\'efinies par $f(x)=x$ et $g(x)=x^4$ alors le produit $fg(x)=x^5$ est une fonction croissante sur $\R^{+}$ et d\'ecroissante sur $\R^{-}$.}

\Exo{Soient $f$ et $g$ deux fonctions \underline{positives} et croissantes sur un intervalle $I$. D\'emontrer que le produit $fg$ est une fonction croissante sur $I$}

\section{Composition de fonctions}
\subsection{D\'efinition}
Dans cette partie on d\'esigne par $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies respectivement sur $D_f$ et $D_g$.

\Defc{La \underline{fonction compos\'ee} de $g$ suivie de $f$, not\'ee $f\circ g$, est la fonction d\'efinie par : 
$$(f\circ g)(x)=f[g(x)]$$}

\Expls{\begin{enumerate}
        \item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions d\'efinies sur $\R$ par $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2-1$ alors :
$$ f\circ g(x)=f[g(x)]=g(x)+1=x^2-1+1=x^2$$
\item Si $f$ et $g$ sont deux fonctions d\'efinies sur $\R$ et $\R^{*}$ par $f(x)=x+1$ et $g(x)=\dfrac{1}{x}$ alors :
$$ g\circ f(x)=g[f(x)]=\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{x+1}$$
Dans ce deuxi\`eme exemple l'ensemble de d\'efinition de $g\circ f$ ($\R-\{-1\}$) n'est pas le m\^eme que celui de $f$ et de $g$
       \end{enumerate}
}
\newpage
\Exo{Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=2x-1$, $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x)=x^2$ et $h$ la fonction d\'efinie sur $\R^{*}$ par $\dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer $f\circ g$, $g\circ f$, $f\circ h$, $h \circ f$, $h\circ g$ et $g\circ h$
\item D\'eterminer l'ensemble de d\'efinition des fonctions pr\'ec\'edentes
\end{enumerate}
}

\Ptec{L'ensemble de d\'efinition de $f\circ g$ est l'ensemble des r\'eels $x$ tels que : 
$$ x\in D_g\text{ et }g(x)\in D_f$$}

\Preuve{L'ensemble de d\'efinition de $f\circ g$ est l'ensemble des r\'eels $x$ tels que $f\circ g(x)$ est calculable, or $f\circ g(x)=f[g(x)]$.
\newline
Pour que $f\circ g(x)$ soit calculable il faut dans un premier temps que $g(x)$ soit calculable donc : $$x\in D_g$$
Dans un second temps on doit appliquer $f$ au nombre $g(x)$ donc : 
$$ g(x)\in D_f$$
Au final on a bien : $$ x\in D_g\text{ et }g(x)\in D_f$$}

\subsection{Sens de variation}

\underline{Notation} : On note $f(I)$ l'ensemble des valeurs $f(x)$ o\`u $x\in I$

\Thc{\begin{enumerate}
      \item Si $f$ et $g$ ont le m\^eme sens de variation ($f$ sur $I$ et $g$ sur $f(I)$) alors $g\circ f$ est croissante sur $I$
\item Dans le cas contraire $g \circ f$ est d\'ecroissante sur $I$
     \end{enumerate}
}

\Preuve{Cas o\`u $f$ est croissante sur $I$\newline
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels de $I$ tels que $a \leq b$, alors $f(a)$ et $f(b)$ appartiennent \`a $f(I)$ et $f(a)\leq f(b)$
\begin{itemize}
 \item Si $g$ est croissante sur $f(I)$, alors $g[f(a)]\leq g[f(b)]$ i.e $g\circ f(a)\leq g\circ f(b)$, donc $g\circ f$ est croissante sur $I$
\item Si $g$ est d\'ecroissante sur $f(I)$, alors $g[f(a)]\geqslant g[f(b)]$ i.e $g\circ f(a)\geqslant g\circ f(b)$, donc $g\circ f$ est d\'ecroissante sur $I$
\end{itemize}
}

\Expl{\'Etudions le sens de variation de la fonction $h$ d\'efinie par $h(x)=\sqrt{1+x^2}$
\newline
On d\'ecompose $h$ de la fa\c con suivante $h=g\circ f$ o\`u $f(x)=1+x^2$ et $g(x)=\sqrt x$. 
\newline
La fonction $f$ est d\'ecroisante sur $\R^{-}$ et la fonction $g$ est croissante sur $f(\R^{-})=]1;+\infty[$, donc $h$ est d\'ecroissante sur $\R^{-}$.\newline
La fonction $f$ croissante sur $\R^{+}$ et la fonction $g$ est croissante sur $f(\R^{+})=]1;+\infty[$, donc $h$ est croissante sur $\R^{+}$}

\underline{Illustration}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(2.7,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-1.1)(3.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 exp add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{3}{\G}
\def\H{1 x 2 exp add 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{3}{\H}
 \uput[ur](1.2,2){$C_f$}
 \uput[ur](2,2){$C_h$}
 \uput[ur](0,0){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exo{\begin{enumerate}
      \item \'Etudier le sens de variation de la fonction $h$ d\'efinie sur $]-\infty;1]$ par $h(x)=\sqrt{1-x}$.
\item \'Etudier le sens de variation de la fonction $h$ d\'efinie sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $g(x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
     \end{enumerate}
}
\section{Repr\'esentation graphique des fonctions associ\'es}
Dans cette partie on note $f$ une fonction d\'efinie sur $I$ et $C_f$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere $(O ; \vec i, \vec j)$
\subsection{Courbe repr\'esentative de $f+\lambda$}

\Thc{La courbe $C_g$ repr\'esentant la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=f(x)+\lambda$ est l'image de $C_f$ par la translation de vecteur $\lambda\vec j$}

\Preuve{Soit $M(x,f(x))$ un point de la courbe $C_f$, le point de coordonn\'ees $M'(x;f(x)+\lambda)$ est un point de $C_g$. De plus $\overrightarrow{MM'}=\lambda\vec j$}

\Exo{Soit $f$ la fonction \og racine carr\'ee\fg et $C_f$ sa courbe repr\'esentative. Repr\'esenter la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\sqrt{x}+3$}

\underline{Illustration}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0,-1)(4.7,5)
\def\xmin{0} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{x 0.5 exp 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\G}
\def\H{0.73 x mul 2.54 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2.75}{3}{\H}
\def\I{0 0.73 x mul sub 6.92 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{3}{3.25}{\I}


\psline[linestyle=solid,linecolor=black](3,1.73)(3,4.73)

 \uput[ur](3,3){$3\vec j$}
 \uput[ur](3.2,1.2){$C_f$}
 \uput[ur](3.2,4.2){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{Courbe repr\'esentative de $x\mapsto f(x+\lambda)$}
\Thc{La courbe $C_g$ repr\'esentant la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=f(x+\lambda)$ est l'image de $C_f$ par la translation de vecteur $-\lambda\vec i$}

\Preuve{Soit $M(x,f(x))$ un point de la courbe $C_f$. Le d'abscisse $x-\lambda$ de $C_g$ a pour ordonn\'ees : $g(x-\lambda)=f(x)$. Donc $M'(x-\lambda;f(x))$ est un point de $C_g$. De plus $\overrightarrow{MM'}=-\lambda\vec i$}

\Exo{Soit $f$ la fonction \og racine carr\'ee\fg et $C_f$ sa courbe repr\'esentative. Repr\'esenter la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\sqrt{x+2}$}

\underline{Illustration}
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(4.7,5)
\def\xmin{-2} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{x 2 add 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{1.41}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{2}{\H}
\def\I{0 0.7 x mul sub 1.41 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0.2}{\I}
\def\J{0.7 x mul 1.41 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0.2}{\J}

 \uput[ur](0.4,0.9){$-2\vec i$}
 \uput[ur](3.2,1.2){$C_f$}
 \uput[ur](3.2,2.4){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}


\end{center}

\subsection{Courbe repr\'esentative de $x\mapsto -f(x)$}
\Thc{La courbe $C_g$ repr\'esentant la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=-f(x)$ est l'image de $C_f$ par la sym\'etrie d'axe celui des absisses}

\Preuve{Soit $M(x,f(x)$ un point de la courbe $C_f$, le point de coordonn\'ees $M'(x;-f(x))$ est un point de $C_g$. Le milieu $E$ du segment $[MM']$ a pour coordonn\'ees $E(x;0)$, il est donc sur l'axe des abscisses.
\newline 
Cons\'equence : Pour tout point $M$ de $C_f$ d'abscisse $x$ le point $M'$ de $C_g$ d'absisse $x$ est l'image de $M$ par la sym\'etrie d'axe $(Ox)$. }

\Exo{Soit $f$ la fonction \og racine carr\'ee\fg et $C_f$ sa courbe repr\'esentative. Repr\'esenter la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=-\sqrt{x}$}

\underline{Illustration}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(4.7,3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-3.1)(5.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{0 x 0.5 exp sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\G}

 \uput[ur](3.2,1.2){$C_f$}
 \uput[ur](3.2,-1.8){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}


\end{center}
\newpage
\subsection{Courbe repr\'esentative de $x\mapsto f(-x)$}
\Thc{La courbe $C_g$ repr\'esentant la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=f(-x)$ est l'image de $C_f$ par la sym\'etrie d'axe celui des ordonn\'ees}

\Preuve{Soit $M(x,f(x)$ le point de la courbe $C_f$ d'abscisse $x$ et soit $M'(-x;g(-x)=f(x)$ le point d'abscisse $-x$ de $C_g$. Le milieu $E$ du segment $[MM']$ a pour coordonn\'ees $E(0;f(x))$, il est donc sur l'axe des ordonn\'ees.
\newline 
Cons\'equence : Pour tout point $M$ de $C_f$ d'abscisse $x$ le point $M'$ de $C_g$ d'absisse $-x$ est l'image de $M$ par la sym\'etrie d'axe $(Oy)$.}


\Exo{Soit $f$ la fonction \og racine carr\'ee\fg et $C_f$ sa courbe repr\'esentative. Repr\'esenter la fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\sqrt{-x}$}

\underline{Illustration}
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(4.7,3)
\def\xmin{-5} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-3.1)(5.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{5}{\F}
\def\G{0 x sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{0}{\G}

 \uput[ur](3.2,1.2){$C_f$}
 \uput[ur](-3.8,1.2){$C_g$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
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