\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2009-2010}

\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{L'espace}	
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\newcommand{\Annee}{2009-2010}	
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
\setcounter{NumLecon}{10}
\debutdwicky{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il combine les techniques du graffiti et du pochoir pour faire passer ses messages, qui mêlent souvent politique, humour et poésie comme Ernest Pignon-Ernest ou Blek le rat. Les pochoirs de Banksy sont des images humoristiques, parfois combinés avec des slogans. Le message est généralement antimilitariste, anticapitaliste ou antisystème. Ses personnages sont souvent des rats, des singes, des policiers, des soldats, des enfants ou des personnes âgées.\\
Il s'est forgé une certaine notoriété dans les milieux alternatifs et les médias traditionnels s'intéressent aussi à lui. Il a notamment travaillé sur le film Les Fils de l'homme2 et a réalisé en 2003 la pochette du disque de Blur, Think Tank.\\
Banksy a fondé le projet \og Santa's Ghetto \fg en réalisant des peintures sur le mur de Gaza afin de redonner espoir aux habitants palestiniens et israéliens. Aidé par d'autres artistes, comme Ron English, un Américain, le mur de séparation prend petit à petit les couleurs d'une toile artistique géante, comme avec l'image de la petite Vietnamienne brûlée au napalm qui tient par la main Mickey Mouse et Ronald McDonald.\\
Concernant ce projet, Banksy raconte dans son livre Wall and Piece, qu'un jour, alors qu'il peignait sur le mur de séparation, un habitant est venu lui dire : \og vous embellissez le mur \fg. Banksy, flatté : \og Merci, c'est gentil \fg, fut aussitôt coupé par le vieil homme : \og On ne veut pas que ce mur soit beau, on ne veut pas de ce mur, rentrez chez vous \fg.}
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\TITRE{}{Leçon }{ Les vecteurs dans}{\Ch}{}{fusee.eps}

\begin{Abstract}
Nous allons développer dans cette leçon une des grandes nouveautés : le lien entre algèbre et géométrie, deux domaines jusqu'ici étrangers. On exploite pour cela nos connaissances nouvelles sur les vecteurs. L'an prochain on exploitera le produit scalaire, et l'année d'après vous verrez  qu'un  \og ensemble de vecteurs \fg dans lequel on peut définir un produit scalaire est appelé espace euclidien. 
\end{Abstract}


\section{Vecteurs de l'espace}
La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise sans difficultés à l'espace. 
\subsection{Vecteurs colinéaires, parallélisme et alignement}
\Defc{Les vecteurs non nuls, $ \overrightarrow{AB}$, $ \overrightarrow{CD}$ sont colinéaires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles }
\Rq{Cela signifie que les deux vecteurs ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur $\vec u$}

\Thc{Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\vec u=k\vec v$}

\Rq{La colinéarité est utile pour démontrer que :
\begin{enumerate}
\item deux droites sont parallèles
\item trois points sont alignés : $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires si et seulement si $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{enumerate}}

\Thc{On considère $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. La droite $(AB)$ est l'ensemble des points de l'espace tels que les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{AB}$ sont colinéaires i.e des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}$, $x$ étant un réel quelconque. }

\begin{center}
\includegraphics{distance.11}
\end{center}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de l'arête $[FG]$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le point $M$ tel que : $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AM}$$
\item Démontrer que $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CB}$$
\end{enumerate}}

\Exop{$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. Démontrer que $J$, $D$ et $G$ sont alignés}
\subsection{Vecteurs coplanaires}
\Thc{$A$, $B$ et $C$ sont trois ponts de l'espace non alignés. \newline
Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ définis par $$ \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$$}
\begin{center}
\includegraphics{distance.1}
\end{center}
\Rq{On dit alors que les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont des vecteurs directeurs du plan $(ABC)$ }

\Dem{
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Montrons que si $M\in (ABC)$ alors $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$\newline
Comme $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et forment une base du plan $(ABC)$ et donc $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ est un repère du plan $(ABC)$. Par conséquent, si $M$ est un point du plan $(ABC)$ il existe un unique couple de réels tel que : $$ \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}$$
\item[$\Leftarrow$] Montrons que si $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$ alors $M\in (ABC)$
\newline
Puisque, $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ est un repère du plan $(ABC)$, il existe dans ce plan un unique point $N$ de coordonnées $(x;y)$ tel que $\overrightarrow{AN}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} $, d'où $ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AN} \Longleftrightarrow M=N$, on a donc $$ M\in (ABC)$$
\end{itemize}
}

\Defc{Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces vecteurs situées dans un même plan.}
\begin{center}
\includegraphics{distance.3}
\end{center}
\Rq{
\begin{enumerate}
\item Attention, le fait qu'initialement les premiers représentants choisis ne soient pas dans un même plan n'empêche absolument pas les vecteurs d'être coplanaires. Cela signifie seulement que l'on n'a pas choisi les "bons" représentants. Par exemple, dans un cube, ABCDEFGH, les points A, B, C, G, et H ne sont pas coplanaires mais les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ , $ \overrightarrow{AC}$  et $ \overrightarrow{GH}$  sont coplanaires. Il suffit pour s'en apercevoir de changer de représentant pour le vecteur  $ \overrightarrow{GH}$ et prendre le vecteur $ \overrightarrow{CD}$.
\item En revanche, si on a utilisé 4 points seulement, pour écrire des représentants des trois vecteurs, les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si les quatre points sont coplanaires.
\end{enumerate}}

\Thc{On considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.\newline
Les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :$$ \vec w=a\vec u+b\vec v$$}
\Dem{Choisissons un point $M$ et considérons les points $A$, $B$ et $C$ tels que :
$$ \overrightarrow{MA}=\vec u \qquad \overrightarrow{MB}=\vec v \qquad \overrightarrow{MC}=\vec w$$
Puisque $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, ce sont des vecteurs directeurs du plan $(MAB)$. Comme les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires, il existe $M$ tel que $C \in (MAB)$, ce qui est équivalent d'après le théorème précédent,  au fait qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que : 
$$ \overrightarrow{MC}=a \overrightarrow{MA}+b \overrightarrow{MB}\Longleftrightarrow \vec w=a\vec u+b\vec v$$ }

\Rq{La notion de vecteurs coplanaires est importante pour prouver :
\begin{enumerate}
\item l'appartenance d'un point à un plan : le point $C$ appartient au plan $(AOB)$ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{OA}$, $ \overrightarrow{OB}$ et $ \overrightarrow{OC}$ sont coplanaires
\begin{center}
\includegraphics{distance.3}
\end{center}
\item le parallélisme d'une droite $d$ et d'un plan $P$ : la droite $d$ est parallèle au plan $P$ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{u}$, $ \overrightarrow{v}$ et $ \overrightarrow{w}$ sont coplanaires, $\vec v$ et $\vec w$ désignent une base de $P$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\includegraphics{distance.5}
\end{center}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EB]$ et $J$ le milieu de $[FG]$. \newline
Démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ et $ \overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires. }

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(IJH)$
\item Démontrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$ sont parallèles
\end{enumerate}}

\newpage
\section{Repérage dans l'espace}
\subsection{Repère de l'espace}
\Defc{
Soient trois points $O$, $I$, $J$ non align\'es et $K$ un point n'appartenant pas au plan $(OIJ)$. On dit que $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ (o\`u $\vec i = \overrightarrow{OI}$ , $\vec j = \overrightarrow{OJ}$ et $\vec k = \overrightarrow{OK}$) est un rep\`ere de l'espace.\newline
}
\begin{center}
\includegraphics{distance.7}
\end{center}
\Rq{\begin{enumerate}
\item Le triplet $(\vec i, \vec j, \vec k)$ est appelé base des vecteurs de l'espace.
\item Si les droites $(OI)$, $(OJ)$ et $(OK)$ sont deux à deux orthogonales et si $\mid \mid\vec i \mid \mid=\mid \mid \vec j\mid \mid=\mid \mid\vec k\mid \mid=1$ on dit que le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ est orthonormée
\end{enumerate}}

\subsection{Coordonnées d'un point}

\Thc{Dans un rep\`ere $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ de l'espace, pour tout point $M$ il existe un unique triplet de nombres réels $(x;y;z)$ tel que $$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$
On appelle ce triplet les coordonn\'ees de $M$, respectivement nomm\'ees \textit{abscisse}, \textit{ordonn\'ee} et \textit{c\^ote} de $M$.\newline
$(x;y;z)$ sont aussi les coordonn\'ees du vecteurs $\overrightarrow{OM}$. On \'ecrit souvent : $\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z                                                     \end{array} \right)$
}
\begin{center}
\includegraphics{distance.12}
\end{center}
\Dem{Les vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont non coplanaires donc le plan $(O; \vec i, \vec j)$ et la droite passant par $M$ et dirigée par $\vec k$ ne sont pas parallèles. Considérons $M'$ leur point d'intersection, $M'$ est donc dans le plan $(O;\vec i, \vec j)$, donc il existe deux réels tels que : $$\overrightarrow{OM'}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} $$
Les vecteurs $ \overrightarrow{MM'}$ et $\vec k$ sont colinéaires, donc il existe un réel $z$ tel que : $$ \overrightarrow{MM'}=z\vec k$$
D'après la relation de Chasles :
$$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+ \overrightarrow{M'M}$$
ce qui donne :
$$ \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$. Nous admettrons l'unicité de cette écriture. }




\subsection{Coordonnées d'un vecteur}
\Defc{$(O; \vec i, \vec j, \vec k)$ est un repère. Au vecteur $\vec u$ associons le point $M$ tel que : $ \overrightarrow{OM}=\vec u$.\newline
Les coordonnées du vecteur $\vec u$ sont alors les coordonnées du point $M$. Par conséquent, tout vecteur $\vec u$ s'écrit de manière unique :
$$ \vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$$ }

\subsection{Calculs sur les coordonnées}
Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisème coordonnée. 

\Thc{
Dans un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ donné, si les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont pour coordonnées $\vec u(x;y;z)$ et $\vec v(x';y';z')$, alors
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel, $k$ le vecteur $k\vec u$ a pour coordonnées $(kx;ky;kz)$
\item Le vecteur $\vec u+\vec v$ a pour coordonnées $(x+x';y+y',z+z')$.\newline
Si $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(x;y;z)$ et $B(x';y';z')$ alors :
\item Le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x'-x;y'-y;z'-z)$
\item Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :
$$\left(\dfrac{x+x'}{2};\dfrac{y+y'}{2};\dfrac{z+z'}{2}\right)$$
\end{enumerate}
}

\Dem{A titre d'exemple, voici une démonstration d'une des propriétés ci-dessus (toutes se démontrent de la même manière !!)
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} &=& -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \\
& = &-x \vec i -y\vec j - z \vec k + x'\vec i + y' \vec j +z'\vec k \\
&=& (x'-x)\vec i + (y'-y)\vec j + (z'-z)\vec k  
\end{eqnarray*}
Par conséquent, le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x'-x;y'-y;z'-z)$
}

\Exop{Un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ étant donné, on considère les points $A(1;2;-3)$, $B(-1;3;3)$ et $C(4;-1;2)$. $D$ est un point tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, calculer les coordonnées de $D$, puis celles du centre $I$ de ce parallélogramme.}

\Exop{$ABCDIJKL$ est un parallélépipède ; $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. Démontrer, analytiquement, en choisissant un repère, que les points $D$, $G$ et $J$ sont alignés.}

\section{Distance dans l'espace}
\Thc[Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$]
{
\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\vec u(x;y;z)$ a pour norme $\mid \mid u\mid\mid =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
\item On considère deux points $A(x;y;z)$ et $B(x';y';z')$ alors :
$$ AB=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}$$
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\includegraphics{distance.8}
\end{center}
\Dem{
\begin{enumerate}
\item Il existe trois réels tels que :
$$ \overrightarrow{u}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$$
Considérons le point $M$ du plan tel que $ \overrightarrow{OM}=\vec u$ et le point $N$, projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(O; \vec i, \vec j)$ on a alors :$ \overrightarrow{OM}= x\vec i+y\vec j+z\vec k$, $ \overrightarrow{ON}=x\vec i+y\vec j$ et $ \overrightarrow{NM}=z\vec k$. 
\newline 
Le triangle $OMN$ est donc rectangle en $N$ et d'après le théorème de Pythagore :
$$ OM^2=ON^2+NM^2=x^2+y^2+z^2\Longleftrightarrow \mid \mid u\mid\mid =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$
\item Comme $AB=\mid \mid \overrightarrow{AB} \mid \mid$, il suffit d'appliquer le $1)$
\end{enumerate} }



\Exop{Dans un repère orthonormal $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$, on considère les points :
$$ A(2;3;2) \qquad, B(-2;-1;2) \qquad \text{ et }\qquad  C(-2;3;-2)$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$
\item Préciser la nature du triangle $ABC$
\end{enumerate}}

\Exop{Dans un repère orthonormal $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$, on considère le point $A$ de coordonnées $(1;2;-4)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la sphère $S$ de centre $O$ et de rayon $5$
\item Déterminer une équation de la sphère $S'$ de centre $O'$ contenant le point $A$
\end{enumerate}}

\Exop{Dans un repère orthonormal $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$, on considère $C$ le cylindre d'axe $(O;\vec i)$ et de rayon $32$\newline
Déterminer une équation cartésienne du cylindre}

\newpage
\section{Sections d'un solide par un plan}
Tous les résultats énoncés dans cette partie seront admis et aucune démonstration ne sera présentée, de plus on s'intéresse au cas où l'intersection est non vide.
\subsection{Sections planes d'un cube}
La section d'un cube par un plan $\mathscr P$ peut être de la nature suivante :

\begin{tabular}{cc|cc}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{enumerate}
\item Un \textbf{carré} lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des faces :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.3}
\end{center}
\item Un \textbf{triangle} (éventuellement réduit à un point) :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.5}
\end{center}
\item Un \textbf{pentagone} : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.8}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{minipage}
&&&
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{enumerate}
\item Un \textbf{rectangle} (éventuellement un segment) lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des arêtes.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.4}
\end{center}
\item Un \textbf{trapèze}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.6}
\end{center}
\item Un \textbf{hexagone} : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.7}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\\
\end{tabular}














\subsection{Sections planes d'une sphère}
La section entre une sphère $\mathscr S$ et un plan $\mathscr P$ est un cercle (éventuellement réduit à un point).
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics{sectioncercle.3}
\end{center}
\begin{center}
\includegraphics{cerclesec.1}
\end{center}
\end{multicols}


\subsection{Sections planes d'un cône}

\Defc{Les sections d'un plan $\mathscr P$ et d'un cône $\mathscr C$ forment une famille de courbes planes, appelées coniques}



\Rq{Selon les positions relatives du plan et du cône on obtient trois catégories de côniques :
\begin{enumerate}
\item les coniques \textbf{propres}, quand le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe du cône, et ne passe pas par son sommet. On distingue trois sortes de coniques propres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône :
\begin{enumerate}
\item si cet angle est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse;
\item si l'angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, c'est une hyperbole;
\item et si les deux angles sont égaux, c'est une parabole.
\end{enumerate}
\item les coniques \textbf{partiellement dégénérées} :
\begin{enumerate}
\item l'intersection est un cercle quand le plan est perpendiculaire à l'axe du cône;
\item l'intersection est une hyperbole équilatère \footnote{Une hyperbole est dite équilatère si  si ses deux asymptotes sont perpendiculaires. C'est le cas de la représentation graphique de la fonction inverse par exemple.} quand l'angle d'inclinaison du plan est inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône;
\end{enumerate}
\item et les coniques \textbf{totalement dégénérées}, quand le plan contient le sommet du cône :
\begin{enumerate}
\item l'intersection est un couple de droites sécantes, si l'angle d'inclinaison du plan avec l'axe du cône est inférieur à l'angle d'ouverture du cône ;
\item l'intersection est réduite à une droite si ces angles sont égaux.
\item enfin elle est réduite à un point si l'angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

Ci-dessous une figure illustrant le cas des coniques propres et dégénérées :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{coniques_cone.eps}
\end{center}


Enfin le cas d'une intersection entre un plan et un cône qui aboutit sur une hyperbole :

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{conique_hyperbole.eps}
\end{center}


\epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 

\end{document}