\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.2}

\title{Chapitre 4 : Trigonom\'etrie, angles et rep\'erage }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}[section]
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

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\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

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\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
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\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
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\newcommand{\Cj}[1]{
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=yellow]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
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\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Trigonom\'etries, angles et rep\'erages}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cj{Cours : Trigonom\'etries, angles et rep\'erages}
\section{Introduction}
Les origines de la trigonom\'etrie remontent aux civilisations d'\'Egypte antique, de M\'esopotamie et de la vall\'ee de l'Indus, 
il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient bas\'e la trigonom\'etrie sur un syst\`eme num\'erique \`a base 60.
 Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier math\'ematicien \`a utiliser la g\'eom\'etrie et la trigonom\'etrie pour l'astronomie. 
La plupart de ses travaux sont aujourd'hui d\'etruits.
La premi\`ere utilisation de sinus appara\^it dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., o\`u le sinus de
 $ \dfrac{\pi}{4}$ est correctement calcul\'e comme $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dans un probl\`eme de construction d'un cercle
 de m\^eme aire qu'un carr\'e donn\'e (le contraire de la quadrature du cercle).
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.50]{fig2.eps} 
\end{center}
Lorsque qu'on cherche une rue sur un plan de ville, on rep\`ere le rectangle o\`u se trouve cette 
rue gr\^ace \`a une lettre qui d\'efinit une colonne et un nombre qui d\'efinit une ligne du quadrillage 
sur le plan. Les marins ou les g\'eographes rep\`erent un point sur la Terre gr\^ace \`a sa longitude 
et sa latitude. Les astronomes ont besoin, eux, de trois mesures pour rep\'erer un objet spatial, 
par exemple deux angles d\'efinissant une direction et une distance caract\'erisant l'\'eloignement 
de l'objet sur la direction. 
Le rep\'erage est donc indispensable d\`es lors qu'on cherche \`a d\'efinir la position d'un objet dans un espace. Les rep\`eres que nous
 avons utilis\'e jusqu'\`a pr\'esent sont dit cart\'esiens, adjectif cr\'e\'e 
en hommage \`a Descartes (1596 - 1650) math\'ematicien et philosophe fran\c cais qui inventa en 
m\^eme temps que Fermat (1601 - 1665) mais ind\'ependamment de lui, le syst\`eme de coordonn\'ees 
que nous utilisons couramment. Les rep\`eres cart\'esiens utilis\'es jusqu'\`a pr\'esent permettent de 
positionner des points dans un plan. Ils peuvent \^etre compl\'et\'es par une troisi\`eme coordonn\'ee 
permettant de se rep\'erer dans l'espace \`a trois dimensions. Ces rep\`eres ne sont pourtant pas 
les seuls permettant de positionner des objets, nous allons d\'ecouvrir dans ce chapitre comment 
se rep\'erer sur un plan avec un angle et un rayon : gr\^ace aux coordonn\'ees polaires.
\section{Mesure d'un angle en radian}
\subsection{Le cercle trigonom\'etrique}

\Defc{Un cercle de rayon $1$, orient\'e, sur lequel est fix\'e un point \og d'origine $I$ \fg est appel\'e 
\underline{cercle trigonom\'etrique}.}
\vspace*{-1.2cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(2.8,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){J}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){O}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline(1.4000,1.4000)(1.3000,1.2000)
\psline(1.4000,1.4000)(1.6500,1.4500)
\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$+$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace*{-1cm}
Consid\'erons un cercle trigonom\'etrique de centre $O$ et $I$, $J$ deux points de ce cercle tels que $(OI)\perp (IJ)$. On d\'efinit alors un rep\`ere orthonorm\'e $(O;\vec i; \vec j)$ tel que $\vec i=\overrightarrow{OI}$ et $\vec j = \overrightarrow{OJ}$.
 




\subsection{Rep\'erage d'un point sur le cercle trigonom\'etrique}
Il y a trois mani\`eres de rep\'erer un point $M$ sur un cercle :
\begin{itemize}
 \item Par ses coordonn\'ees dans le rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$
 \item Par la mesure de l'angle orient\'e $\widehat{IOM}$
 \item Par la mesure de l'arc orient\'e $\wideparen{IM}$
\end{itemize}
\vspace*{2mm}

\Rq{Nous allons \'etablir un lien entre ces trois mani\`eres de rep\'erer un point sur le cercle trigonom\'etrique.}


\subsection{Les angles en radian}
\subsubsection{Principe}

On consid\`ere un rep\`ere orthonorm\'e $(0 ;\vec i, \vec j)$\newline

\underline{\textbf{Principe}} : Plut\^ot que d'utiliser une unit\'e de mesure d'angle arbitraire, le degr\'e, on essaye de construire une unit\'e de mesure des angles qui d\'epend de l'unit\'e de longueur du rep$\grave{e}$re choisit. \newline
Consid\'erons un angle $ \widehat{ABC}=90°$, on construit alors le cercle $\mathscr{C}$ de centre $B$ et de rayon $1$, puis on associe le rep$\grave{e}$re orthonorm\'e $(0 ;\vec i, \vec j)$ comme suit :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(4.2,3.8)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,3.0000){C}
\psline(2.0000,0.0000)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,3.0000)
%\psline(2.0000,0.0000)(0.0000,3.0000)
\psline(0.3000,0.0000)(0.3000,0.3000)(0.0000,0.3000)
\pscircle(0.0000,0.0000){1.0000}
\uput{0.3000}[-60.0000](1.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[150.0000](0.0000,1.0000){J}

\endpsclip
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
La mesure de l'arc $\wideparen{IJ}$, dans le rep\`ere orthonorm\'e $(0 ;\vec i, \vec j)$ est alors identique, quelque soit l'angle droit choisit au d\'epart. De plus la longueur de cet arc, est \'egale au quart du p\'erim$\grave{e}$tre du cercle $\mathscr{C}$, i.e elle vaut 
$$ \dfrac{1}{4}\times 2\pi=\dfrac{\pi}{2}$$
On dira que l'angle $\widehat{ABC}$ mesure $\dfrac{\pi}{2}$ radians et on notera $\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2} $ rad. \newline
En orientant le cercle $\mathscr{C}$, on peut alors effectuer la distinction suivante :
$$ \widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2} \text{ rad et } \widehat{CBA}=-\dfrac{\pi}{2} \text{ rad}$$ 

\subsubsection{Enroulement de $\R$ sur le cercle trigonom\'etrique}
Dans un rep\`ere $(O; \vec i, \vec j)$ on consid\`ere le cercle trigonom\'etrique de centre $O$ et de rayon $1$. Sur ce cercle le \underline{sens direct ou positif} est contraire au sens des aiguilles d'une montre et le \underline{sens indirect ou n\'egatif}  suit le sens de rotation des aiguilles d'une montre.
\newline
Afin d'exploiter l'id\'ee expos\'ee dans le paragraphe pr\'ec\'edent nous avons ajout\'e $\grave{a}$ notre figure une droite gradu\'ee $d$ d'origine $I$ parall$\grave{e}$le $\grave{a}$ $(O;\vec{j})$ et de m\^eme unit\'e que le rep$\grave{e}$re. \newline
La droite $d$ repr\'esente l'ensemble des nombres r\'eels,  \`a chaque r\'eel $x$ correspond sur $d$ le point $M$ d'abscisse $x$ sur la droite $d$. En \og enroulant \fg $d$ sur le cercle trigonom\'etrique $\grave{a}$ chaque point de $d$ va correspondre un unique point sur le cercle trigonom\'etrique.\newline
Ainsi le point $M$ d'absisse $1$ sur la droite $d$ se retrouve sur le point $M'$ du cercle $\mathscr{C}$. $1$ est alors une mesure de l'angle orient\'e $\wideparen{IM'}$ et donc l'angle orient\'e $ \widehat{IOM'}=1$ rad

\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.7)(2.2,2.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){A}
%\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,3.0000){C}
\psline(2.0000,0.0000)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,3.0000)
\psline(0.2000,0.0000)(0.2000,0.2000)(0.0000,0.2000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\uput{0.3000}[-60.0000](1.0000,0.0000){I}
\uput{0.3000}[150.0000](0.0000,1.0000){J}
\psline(1.0000,-2.0000)(1.0000,6.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,1.0000)
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,1.0000){M}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5400,0.8400)
\uput{0.3000}[0.0000](0.5400,0.8400){M'}
\psline(0.5400,0.8400)(-1.0000,1.8000)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace*{-5mm}

\Rq{Le point d'abscisse $1+2\pi$ de la droite $d$ se retrouve aussi sur le point $M'$, c'est aussi le cas du point d'abscisse $1-2\pi$ ou encore $1+4\pi$ et plus g\'en\'eralement de tous les points d'abscisse $1+2k\pi$ o$\grave{u}$ $k\in\R$. Autrement dit la mesure de l'angle orient\'e  $\widehat{IOM'}$ vaut :
$$  \widehat{IOM'}= 1 \text{ rad}= 1+2\pi \text{ rad}= 1-2\pi\text{ rad} = 1+2k\pi \text{ rad o$\grave{u}$ }k\in\R$$
Un angle en radian admet une infinit\'e de mesure mais une seul qui appartient $\grave{a}$ l'intervalle $]-\pi;\pi]$, on dit qu'il s'agit de la \underline{mesure principale} d'un angle en radian}
%\newpage
Ci-dessous, quelques mesures principales d'angles en radians sur le cercle trigonom\'etrique : 
\vspace*{-5mm}
\begin{center}
\psset{xunit=4cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.4)(2.2,1.4)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){4.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){$0$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$\dfrac{\pi}{2}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-45.0000](0.7070,-0.7070){$-\dfrac{\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[135.0000](-0.7070,0.7070){$\dfrac{3\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-135.0000](-0.7070,-0.7070){$\dfrac{-3\pi}{4}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.8660,0.5000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8660,0.5000){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.8660,-0.5000)
\uput{0.3000}[-30.0000](0.8660,-0.5000){$-\dfrac{\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.8660,0.5000)
\uput{0.3000}[150.0000](-0.8660,0.5000){$\dfrac{5\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.8660,-0.5000)
\uput{0.3000}[-150.0000](-0.8660,-0.5000){$\dfrac{-5\pi}{6}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.5000,0.8660)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8660){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.5000,-0.8660)
\uput{0.3000}[-60.0000](0.5000,-0.8660){$-\dfrac{\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.5000,0.8660)
\uput{0.3000}[120.0000](-0.5000,0.8660){$\dfrac{2\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-0.5000,-0.8660)
\uput{0.3000}[-120.0000](-0.5000,-0.8660){$\dfrac{-2\pi}{3}$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](-1.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[-180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\dfrac{\pi}{2}$}

\endpsclip
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Ptec{Les mesures d'angles en degr\'es et en radians sont proportionnelles, on rappelle le tableau suivant :
}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c||c||c||c||c||c||c||c|}
\hline
 mesure en degr\'es & O & $30$ & $45$ & $60$ & 90 & 180 & 270 & 360 \\\hline
 mesure en radians & 0 rad & $ \dfrac{\pi}{6}$ rad & $ \dfrac{\pi}{4} $ rad & $ \dfrac{\pi}{3}$ rad & $ \dfrac{\pi}{2}$ rad & $\pi$ rad & $ \dfrac{3\pi}{2} rad$ & $ 2\pi$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Expl{Consid\'erons le point $A$ sur le cercle trigonom\'etrique associ\'e au r\'eel $x=\dfrac{7\pi}{4} $. En pla\c cant $A$ sur le cercle on peut facilement trouver la mesure principale de l'angle en radian : ici, $ \dfrac{7\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{\pi}{4}$ }

\Exo{Les r\'eels $ \dfrac{7\pi}{5}$ et $ - \dfrac{13\pi}{5}$ sont-ils des mesures d'un m\^eme angle orient\'e en radians ? }


\section{Les angles de vecteurs non nuls}
\subsection{D\'efinition}

\Defc{$\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\vec u= \overrightarrow{OA}$ et $\vec v= \overrightarrow{OB}$\newline
Les mesures en radians de l'angle orient\'e $(\vec u;\vec v)$ sont les mesures en radians de l'angle orient\'e $\widehat{AOB}$ }

\Rq{D\'esormais nous distinguerons angle g\'eom\'etrique et angle orient\'e ;
un angle g\'eom\'etrique est toujours \textbf{positif}. Ce n'est pas le cas d'un angle orient\'e, qui peut \^etre n\'egatif et dont le signe d\'epend de l'orientation choisie.}

\Expl{Si l'orientation choisie est le sens trigonom\'etrique on a :}
\begin{multicols}{3}
\underline{Angle g\'eom\'etrique } :
 \newline
 \newline
$\widehat{ACB}=\widehat{BCA}=\dfrac{\pi}{3}$  

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.3,-0.5)(2.7,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(2.0000,0.0000)
\psline(-2.0000,1.5000)(2.0000,1.5000)
\psline(2.0000,0.0000)(2.0000,1.5000)
\psline(-2.0000,0.0000)(-2.0000,1.5000)
\uput{0.3000}[200.0000](-2.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[-20.0000](2.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[160.0000](-2.0000,1.5000){C}
\uput{0.3000}[20.0000](2.0000,1.5000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](-1.7000,0.1000){\begin{small}$\dfrac{\pi}{3}$\end{small}}
\psline(-2.0000,1.5000)(2.0000,0.0000)
\psarc(-2.0000,1.5000){0.5000}{-90.0000}{-20.5560}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\underline{Angle orient\'e } : (angle entre 2 vecteurs)
\newline
\newline
$(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=-\dfrac{\pi}{3}$ ; $( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} )=\dfrac{\pi}{3}$
(mesures principales)
\end{multicols}

\Rq{Un angle a une infinit\'e de mesures. Sur la figure ci-dessus on aurait pu \'ecrire : 
$$ (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=\dfrac{5\pi}{3} \qquad ( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} )= \dfrac{7\pi}{3}$$
Toutes les mesures s'obtiennent en ajoutant $2k\pi$ o\`u $k\in\Z$. On note alors : 
$$ (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=-\dfrac{\pi}{3} (2\pi)\qquad ( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} )
= \dfrac{\pi}{3}(2\pi)$$
}

\vspace*{-5mm}

\subsection{Propri\'et\'es}

\Ptec{\textit{Relation de Chasles (admise) : }\newline
Soit $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs non nuls. On a :
$$ (\vec u, \vec v)+ (\vec v, \vec w)= (\vec u, \vec w) (2\pi)$$}

\underline{Illustration} :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.2)(3.2,2.7)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.5000,3.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-1.5000,0.2000)

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,1) \uput[d](1,0.5){\small $\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,3) \uput[l](-0.3,1.7){\small $\vec v$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1.5,0.2) \uput[l](-0.3,-0.3){\small $\vec w$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exo{Sur le cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$ de centre $O$, munie du rep\`ere orthonorm\'ee $(0,I,J)$, les points $A$ et $B$ sont tels que : 
$$ \widehat{IOA}=45° \qquad \text{ et } \widehat{IOB}=-120°$$
Donner une mesure en radians des angles orient\'es :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $( \overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OA} )$
\item $( \overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OB} )$
\item $( \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OA} )$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Corc{Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ et pour tout $k\neq 0$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=-( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u} )(2\pi)$
\item $( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{-v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi (2\pi)$
\item $( k\overrightarrow{u} , k\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )(2\pi)$
\item  $( -\overrightarrow{u} , -\overrightarrow{v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )(2\pi)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\underline{Illustration} :
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(3.2,3.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.5000,3.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(-2.0000,-1.0000)

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,1) \uput[d](1,0.5){\small $\vec u$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,3) \uput[l](-0.3,1.7){\small $\vec v$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-2,-1) \uput[l](-0.7,-0.8){\small $-\vec u$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
\Preuve{\begin{enumerate}
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
$$ (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(\vec u,\vec u) (2\pi)$$
Or $ (\vec u,\vec u) (2\pi)=0(2\pi)$ d'o\`u : $\qquad (\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=0 (2\pi)$, et finalement :
$$  ( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )=-( \overrightarrow{v} , \overrightarrow{u} )(2\pi)$$
\item D'apr\`es la relation de Chasles on a : 
$$ (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=(-\vec u,\vec u) (2\pi)$$
Or $ (-\vec u,\vec u) (2\pi)=\pi(2\pi)$ d'o\`u : $\qquad (-\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec u)=\pi (2\pi)$, et finalement :
$( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{-v} )=( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} )+\pi (2\pi)$
\item En utilisant deux fois la relation de Chasles on a :
$$ (k\vec u,k\vec v)=(k\vec u,\vec u)+(\vec u,\vec v)+(\vec v; k\vec v) (2\pi)$$
\underline{Cas 1} : $ k>0$ \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ ont le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=0(2\pi) $. De m\^eme $(\vec v; k\vec v)=0(2/pi) $, et donc :
$$ (k\vec u,k\vec v)=(\vec u,\vec v) (2\pi)$$ 
\underline{Cas 2} : $ k<0$ \newline
Dans ce cas, les vecteurs $k\vec u$ et $\vec u$ n'ont pas le m\^eme sens et donc : $(k\vec u,\vec u)=\pi(2\pi) $. De m\^eme $(\vec v; k\vec v)=\pi(2/pi) $, et donc :
$$ (k\vec u,k\vec v)=2\pi + (\vec u,\vec v) (2\pi)$$ 
ce qui donne : $$  (k\vec u,k\vec v)=(\vec u,\vec v) (2\pi)$$
\item On applique la propri\'et\'e pr\'ec\'edente pour $k=-1$
\end{enumerate}}

\Exo{$ABC$ est un triangle de sens direct. D\'emontrer que la somme de ses angles orient\'es est \'egales \`a $\pi$\newline
Notons $$\theta=( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )+( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} )$$
Comme $ ( \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC} )=( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} ) (2\pi)$, on peut \'ecrire : 
$$ \theta=( \overrightarrow{BC} , \overrightarrow{BA} )+( \overrightarrow{BA} , \overrightarrow{CA} )+( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} )(2\pi)$$
i.e :
$$ \theta=( \overrightarrow{BC}  , \overrightarrow{CB} )(2\pi)=\pi (2\pi)$$}


\section{La trigonom\'etrie}
\subsection{D\'efinition du cosinus, sinus et de la tangente}
\subsubsection{D\'efinition du cosinus et sinus d'un nombre r\'eel}
\Defc{Soit $x$ un nombre r\'eel et $M$ son point associ\'e sur un cercle trigonom\'etrique muni d'un rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$. \newline
On appelle cosinus de $x$, not\'e $cos(x)$, l'abscisse du point $M$ dans $(O;\vec i; \vec j)$. \newline
On appelle sinus de $x$, not\'e $sin(x)$, l'ordonn\'ee du point $M$ dans $(O;\vec i; \vec j)$. }
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm , yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.5)(2.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,1.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.5000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.8600)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$M(x)$}
\psline(0.0000,0.0000)(0.5000,0.8600)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](0,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](0.5,0)(0.5,0.86)
\uput{0.3000}[60.0000](0.4000,-0.24){$\cos x$}
\uput{0.3000}[60.0000](-0.35,0.7100){$\sin x$}
\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.8,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace*{-1.5cm}
\subsubsection{D\'efinition de la tangente d'un nombre r\'eel}
\noindent Soit $\Delta$ la droite (verticale) d'\'equation $x=1$ dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$ et $H$ le point  d\'efini par 
$H=(OM)\cap \Delta$
Ce point $H$ existe d\`es lors que $\Delta$ et $(OM)$ ne sont pas parall\`eles, i.e $M$ n'est ni en $J$ ni en $J'$, autrement dit d\`es que 
$\theta \neq \dfrac{\pi}{2}(2\pi)$ .
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm , yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.5)(2.2,2.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.0000,1.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){2.5000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.8600)
\uput{0.3000}[10.0000](0.5000,0.8600){$M(\theta)$}
\uput{0.3000}[60.0000](000,1){$J$}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,-1){$J'$}
\psline(0.0000,0.0000)(2.000,3.4400)
%\psline(0.5000,0.8600)(0.5000,0.0000)
%\psline(0.5000,0.8600)(0.0000,0.8600)
\uput{0.3000}[60.0000](0.4000,-0.24){$\cos \theta$}
\uput{0.3000}[60.0000](-0.35,0.7200){$\sin \theta$}
\psarc(0.0000,0.0000){0.5000}{0.0000}{59.8265}
\uput{0.3000}[60.0000](0.15,000){$\theta$}
\uput{0.3000}[60.0000](1,1.6){$H$}
\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.8,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psline[linestyle=solid,linecolor=black](1,-1.3)(1,2)
\psline[linestyle=solid,linecolor=black](0,1)(0,2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](0,1.72)(1,1.72)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](0,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](0.5,0)(0.5,0.86)
\uput{0.3000}[60.0000](-0.35,1.62){$\tan \theta$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Defc{On appelle tangente de $\theta$, not\'e $\tan \theta$, l'ordonn\'ee du point $H$ dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$}

\Ptec{\vspace*{-5mm}
$$ \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
\vspace*{-7mm}
}

\Preuve{On applique le th\'eor\`eme de Thales et on obtient directement :
$$ \dfrac{\sin \theta}{\tan \theta}=\dfrac{\cos \theta}{1}\Longleftrightarrow  \tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} $$
\vspace*{-8mm}
}

\Exo{On donne $\tan \left(\dfrac{\pi}{12}\right)=2-\sqrt{3}$
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. D\'emontrer que :
$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x} $
\item En d\'eduire que $\tan \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=2+\sqrt{3}$
\end{enumerate}
}

\subsubsection{D\'efinition du cosinus, sinus et tangente d'un angle orient\'e} 
\Cadre{Si $(\vec u, \vec v)=\theta$ alors on a : $$ \cos (\vec u, \vec v)=\cos \theta$$
$$ \sin (\vec u, \vec v)=\sin \theta$$
$$ \tan (\vec u, \vec v)=\tan \theta \text{ si } \theta\neq \dfrac{\pi}{2}(\pi)$$
\vspace*{-4mm}
}

\subsection{Cosinus, sinus et tangente d'un angle remarquable}
Le tableau ci-dessous rappelle les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente pour des valeurs particuli\`eres de l'angle $\theta$ (en radians) :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.5cm}} |}
\hline 
$\theta$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos \theta$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 0  & $-1$ \tabularnewline\hline
$\sin \theta$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0  \tabularnewline\hline
$\tan \theta $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Preuve{Pour calculer les valeurs de $\sin \dfrac{\pi}{4}$ et de $\cos \dfrac{\pi}{4}$ on exploite la diagonale d'un carr\'e de c\^ot\'e $1$
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.5)(3.2,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(2.0000,-2.0000)
\psline(2.0000,-2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(-2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[180.0000](-2.0000,2.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,-2.0000){C}
\uput{0.3000}[-180.0000](-2.0000,-2.0000){D}
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psarc(-2.0000,-2.0000){0.5000}{0.0000}{45.0000}
\psline(2.0000,-1.7000)(1.7000,-1.7000)(1.7000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-2.0000){1}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,0.0000){$\sqrt{2}$}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){1}
\uput{0.3000}[15.0000](-1.8000,-1.8000){$\frac{\pi}{4}$}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center} 
Dans le triangle $DCB$ rectangle en $C$, il vient :
$$ \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{BC}{BD}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{DC}{BD}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 
De plus $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
\newline
Pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ on exploite naturellement la configuration du triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e $1$ avec un de ses hauteurs qui au passage, d'apr\`es le th\'eor\`eme de Pythagore mesure : 
$$ \sqrt{ 1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(3.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(3.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(-2.0000,0.0000)(2.0000,0.0000)
\psline(2.0000,0.0000)(0.0000,3.5000)
\psline(0.0000,3.5000)(-2.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[180.0000](-2.0000,0.0000){A}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,3.5000){C}
\psline(-0.0300,0.1500)(-0.0300,-0.1500)
\psline(0.0300,0.1500)(0.0300,-0.1500)
\psline(0.8846,1.6495)(1.1451,1.7984)
\psline(0.8549,1.7016)(1.1154,1.8505)
\psline(-0.8549,1.7016)(-1.1154,1.8505)
\psline(-0.8846,1.6495)(-1.1451,1.7984)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,0.0000){H}
\psline(0.0000,3.5000)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0000,0.3000)(-0.3000,0.3000)(-0.3000,0.0000)
\psarc(-2.0000,0.0000){0.5000}{0.0000}{60.2551}
\psarc(0.0000,3.5000){0.5000}{-119.7449}{-90.0000}
\uput{0.3000}[-90.0000](-1.0000,0.0000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,1.8000){$1$}
\uput{0.3000}[-60.0000](0.0000,1.7500){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\uput{0.3000}[20.0000](-1.8000,0.2000){$\frac{\pi}{3}$}
\uput{0.3000}[270.0000](-0.2000,3.3000){$\frac{\pi}{6}$}

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
Dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$ on a :
$$ \sin \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{1}{2} \qquad \cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$ \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{1}{2} \qquad \tan \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{CH}{AH}=\sqrt{3}$$}
Pour les autres cas d'angles remarquables, on retrouve les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente en utilisant le cercle trigonom\'etrique  par sym\'etrie comme l'indique la figure suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=4cm , yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){4.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){0}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$\frac{\pi}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8600,0.5000){$\frac{\pi}{6}$}
\psline(0.8600,0.5000)(-0.8600,-0.5000)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\frac{\pi}{4}$}
\psline(0.7070,0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$\frac{\pi}{3}$}
\psline(0.5000,0.8600)(-0.5000,-0.8600)
\psline(-0.7070,0.7070)(0.7070,-0.7070)
\psline(-0.8600,0.5000)(0.8600,-0.5000)
\psline(-0.5000,0.8600)(0.5000,-0.8600)
	
\endpsclip
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.09,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.09,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.09,0.5)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.86,-0.09)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.707,-0.09)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.5,-0.09)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.5,-0.86)(0.5,-0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.86,-0.5)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.86,0.5)(-0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.707,0.707)(-0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.5,0.86)(-0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.5000,0.0000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.7070,0.0000){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.8600,0.0000){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.86,-0.22)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.707,-0.22)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.5,-0.22)(0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[180.0000](0.000,0.5000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.8600){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.15,0.86)(-0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.19,0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.19,0.5)(-0.86,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\subsection{Relations trigonom\'etriques}
\Ptec{\'el\'ementaires du sinus et du cosinus :
\begin{enumerate}
\item Pour tout r\'eel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ (Pythagore)
 \item Pour tout r\'eel $x$ on a $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x  \leq 1$
 \item Pour tout r\'eel $x$ on a $\cos(x+2k\pi)=\cos x$ et $\sin (x+2k\pi)=\sin x$ o\`u $k\in\Z$
\end{enumerate}
}

\Preuve{\'Evident}

\Exo{Sachant que $ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. \newline
Calculer  $ \sin \dfrac{\pi}{12}$, puis montrer que $ \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ $\quad^($ \footnote{On montrera que 
$2-\sqrt{3}=\dfrac{(1-\sqrt{3})^2}{2}$}$^)$}

\Ptec{$\forall \theta \in \R$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos \theta=\cos (-\theta)$
\item $ \sin (-\theta)=-\sin \theta$
\item $ \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin (\pi-\theta)=\sin \theta$
\item $ \cos (\pi+\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin(\pi+\theta)=-\sin \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos \theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Preuve{On obtient cette propri\'et\'e par une lecture astucieuse du cercle trigonom\'etrique :
\begin{center}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.3)(2.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8600,0.5000){$\theta$}
\uput{0.3000}[-30.0000](0.8600,-0.5000){$-\theta$}
\uput{0.3000}[150.0000](-0.8600,0.5000){$\pi-\theta$}
\uput{0.3000}[210.0000](-0.8600,-0.5000){$\pi+\theta$}
\psline(0.8600,0.5000)(-0.8600,-0.5000)
\psline(0.8600,-0.5000)(-0.8600,0.5000)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$\frac{\pi}{2}-\theta$}
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)

\endpsclip
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.86,0.5)(-0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.86,-0.5)(-0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.86,-0.5)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-0.86,-0.5)(-0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.5,-0)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0,0.86)(0.5,0.86)
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Exo{Simplifier les expressions suivantes : $\cos (-\pi-\theta)$, $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$, $\cos^2(-x)+\sin^2(\pi-x)$}

\Exo{
Exprimer \`a l'aide de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ les expressions suivantes :
\begin{itemize}
 \item $A=\cos(x+\pi)-\cos(-x)+5\cos(x)$
 \item $B=\sin(\pi-x)+2\sin(x+2\pi)+\sin(x+3\pi)$
 \item $C=\sin(\pi+x)cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos(\pi+x)$
 \item $D=\sin(x+11\pi)+\sin(11\pi-x)-\cos(11\pi-x)$
\end{itemize}
}
\newpage
\subsection{\'Equations trigonom\'etriques}
\subsubsection{R\'esolution de l'\'equation $\cos x=a$, $a\in \R$}
Distinguons plusieurs cas : 
\begin{itemize}
\item Si $\mid a \mid>1$, l'\'equation n'a pas de solution car pour tout $x \in \R$ on a $-1\leq \cos x \leq 1$
\item Si $\mid a \mid <1$, la perpendiculaire \`a $(O,\vec i)$ passant par $H(a;0)$ coupe le cercle trigonom\'etrique en deux points
 ; il existe donc deux points $M$ et $N$ du cercle trigonom\'etrique ayant pour absisse $a$. L'\'equation  $\cos x=a$ admet donc
 deux solutions dans $]-\pi;\pi]$, $\alpha$ et donc $-\alpha$ o\`u $\alpha \in [0;\pi]$, les solutions dans $\R$ s\'ecrivent alors $\alpha+2k\pi$ et $-\alpha+2k\pi$
 o\`u $k\in\Z$.
 \begin{multicols}{2}
 \begin{center}
 \psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){M$(\alpha)$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-45.0000](0.7070,-0.7070){N$(-\alpha)$}
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,0.7070)
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,-0.7070)
\psline(0.7070,0.7070)(0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-70.0000](0.7070,0.0000){H$(a,0)$}
\psline(0.4070,0.0000)(0.4070,0.3000)(0.7070,0.3000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.0000)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[135.0000](-0.7070,0.7070){M$(\alpha)$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-135.0000](-0.7070,-0.7070){N$(-\alpha)$}
\psline(0.0000,0.0000)(-0.7070,0.7070)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.7070,-0.7070)
\psline(-0.7070,0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-30.0000](-0.7070,0.0000){H$(a,0)$}
\psline(-0.4070,0.0000)(-0.4070,0.3000)(-0.7070,0.3000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7070,0.0000)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \end{multicols}
 \item Si $a=1$ les points $M$ et $N$ d\'efinis pr\'ec\'edemment sont confondus et ont pour absisses $1$.\newline
 L'\'equation $\cos x=a$ admet donc une unique solution dans $]-\pi;\pi]$ : $x=0$. Dans $\R$ les solutions s'\'ecrivent $2k\pi$ o\`u $k\in\Z$
 \item Si $a=-1$ les points $M$ et $N$ d\'efinis pr\'ec\'edemment sont confondus et ont pour absisses $-1$.\newline
 L'\'equation $\cos x=a$ admet donc une unique solution dans $]-\pi;\pi]$ : $x=\pi$. Dans $\R$ les solutions s'\'ecrivent $\pi+2k\pi$ o\`u $k\in\Z$
\end{itemize}

\Ptec{\textit{Synth\`ese} \newline
Soit $x$ et $y$ deux r\'eels alors : 
$$\cos x=\cos y \Longleftrightarrow x=\pm y+2k\pi \qquad \text{o\`u } k\in \Z$$}

\newpage
\subsubsection{R\'esolution de l'\'equation $\sin x=a$, $a\in \R$}
Distinguons plusieurs cas : 
\begin{itemize}
\item Si $\mid a \mid>1$, l'\'equation n'a pas de solution car pour tout $x \in \R$ on a $-1\leq \sin x \leq 1$
\item Si $\mid a \mid <1$, la perpendiculaire \`a $(O,\vec j)$ passant par $H(0;a)$ coupe le cercle trigonom\'etrique en deux points
 ; il existe donc deux points $M$ et $N$ du cercle trigonom\'etrique ayant pour ordonn\'ee $a$. L'\'equation  $\sin x=a$ admet donc
 deux solutions dans $]-\pi;\pi]$, $\alpha$ et $\pi-\alpha$ o\`u $\alpha\in]-\pi;\pi]$\footnote{Attention : une solution est $\alpha$, l'autre est la mesure principale de $\pi-\alpha$ qui peut \^etre \'eventuellement diff\'erente de $\pi-\alpha$}, les solutions dans $\R$ s\'ecrivent alors $\alpha+2k\pi$ et $\pi-\alpha+2k\pi$
 o\`u $k\in\Z$.
 \begin{multicols}{2}
 \begin{center}
 \psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){M$(\alpha)$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[135.0000](-0.7070,0.7070){N$(\pi-\alpha)$}
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,0.7070)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.7070,0.7070)
\psline(0.7070,0.7070)(-0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[30.0000](0.0000,0.7070){H$(0,a)$}
\psline(0.0000,0.4070)(0.3000,0.4070)(0.3000,0.7070)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,0.7070)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\psset{xunit=3cm , yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-45.0000](0.7070,-0.7070){M$(\alpha)$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-135.0000](-0.7070,-0.7070){N$(\pi-\alpha)$}
\psline(0.0000,0.0000)(0.7070,-0.7070)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.7070,-0.7070)
\psline(0.7070,-0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[-30.0000](0.0000,-0.7070){H$(0,a)$}
\psline(0.0000,-0.4070)(0.3000,-0.4070)(0.3000,-0.7070)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,-0.7070)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \end{multicols}
 \item Si $a=1$ les points $M$ et $N$ d\'efinis pr\'ec\'edemment sont confondus et ont pour ordonn\'ees $1$.\newline
 L'\'equation $\sin x=a$ admet donc une unique solution dans $]-\pi;\pi]$ : $x=\dfrac{\pi}{2}$. Dans $\R$ les solutions s'\'ecrivent $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ o\`u $k\in\Z$
 \item Si $a=-1$ les points $M$ et $N$ d\'efinis pr\'ec\'edemment sont confondus et ont pour ordonn\'ee $-1$.\newline
 L'\'equation $\sin x=a$ admet donc une unique solution dans $]-\pi;\pi]$ : $x=-\dfrac{\pi}{2}$. Dans $\R$ les solutions s'\'ecrivent $-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ o\`u $k\in\Z$
\end{itemize}

\Ptec{\textit{Synth\`ese} \newline
Soit $x$ et $y$ deux r\'eels alors : 
$$\sin x=\sin y \Longleftrightarrow x= y+2k\pi \qquad \text{ ou }x=\pi-y+2k\pi \qquad \text{avec } k\in \Z$$}

\Expl{R\'esoudre $\sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\cos(x)=\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$}

\newpage
\Exo{\`A l'aide d'une figure, r\'esoudre les \'equations et in\'equations suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\item $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\cos(x)\geq \dfrac{1}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\sin(x)<\dfrac{1}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\end{enumerate}
}

\Exo{On consid\`ere l'\'equation $(E)$ : $\sin x=\cos \dfrac{\pi}{3}$
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation $(E)$
\item R\'esoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'\'equation $(E)$
\end{enumerate}}


\section{Rep\'erage d'un point du plan}
\subsection{Rep\'erage cart\'esien}
\Defc{Un rep\`ere cart\'esien du plan est constitu\'e d'un point $O$ appel\'e \underline{origine} et deux deux vecteurs $\vec i$ et $\vec j$ non colin\'eaires. On le note $(O;\vec i, \vec j)$
\begin{itemize}
\item Les coordonn\'ees d'un point $M$ du plan sont l'unique couple $(x;y)$ tel que $ \overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j$
\item Les coordonn\'ees d'un vecteur $\vec u$ du plan sont l'unique couple $(x;y)$ tel que $ \vec u=x\vec i+y\vec j$
\end{itemize}}

\Rq{Les droites $(O, \vec i)$ et $(O, \vec j)$ sont appel\'es les axes du rep\`ere. Si les axes sont perpendiculaires, on dit que le rep\`ere est \underline{orthogonal}. Si de plus, les vecteurs $\vec i$ et $\vec j$ sont de m\^emes normes, on dit que le rep\`ere est \underline{orthonormal} ou \underline{orthonorm\'ee} }

\Ptec{Soit $A(x_a;y_a)$ et $B(x_b;y_b)$ deux points du plan. On a alors :
\begin{enumerate}
\item $ \overrightarrow{AB}(x_b-x_a;y_b-y_a)$
\item Si le rep\`ere est orthonorm\'ee $AB=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$
\end{enumerate}}

\subsection{Rep\'erage polaire}

\Defc{Pour se rep\'erer dans le plan avec des coordonn\'ees polaires on a besoin d'un point O et d'un vecteur unitaire $\vec i$. Ce couple $(O;\vec i)$ est appel\'e \underline{rep\`ere polaire} du plan. $O$ est le \underline{p\^ole} et la demi-droite $[O;\vec i)$ \underline{l'axe polaire}.\newline
Soit $M$ un point distinct du point $O$. \newline
Tout couple $(\rho,\theta)$ avec $\rho>0$ tel que $OM=\rho$ et $(\vec i, \overrightarrow{OM})=\theta $ est un couple de \underline{coordonn\'ees polaires}.
 }
 \begin{center}
\psset{xunit=1.6cm , yunit=1.6cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-0.2)(2.2,1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0,-0)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1.5,0.5) \uput[d](1.7,0.8){ \small $ M $}
\psline(-1.2,-0)(1.2,-0)
\psarc(0.0000,0.0000){0.5000}{0.0000}{18.4349}
\uput[d](0.6,0.3){ \small $ \theta $}
\uput[d](0.8,0.6){ \small $ \rho $}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\Rq{
\begin{itemize}
\item Le principe des coordonn\'ees polaires donc \`a donner un \og cap \fg : l'angle form\'e avec le vecteur $\vec i$ et une distance appel\'e aussi rayon.
\item Les coordonn\'ees polaires ne sont pas uniques. Par exemple $(2;0)$ et $(2;2\pi)$ rep\`ere le m\^eme point. En revanche, en imposant \`a $\theta$ d'\^etre dans $]-\pi;\pi]$, les coordonn\'ees polaires sont alors uniques
\item Le rep\'erage en coordonn\'ees polaires permet de donner l'\'equation de certaines lignes tr\`es facilement. Par exemple $\rho=3$ est l'\'equation du cercle de centre $O$ et de rayon $3$. Par contre l'\'equation caract\'erisant une parabole est plus difficile \`a donner $\dots$
\end{itemize}}


\subsection{Changement de type de rep\'erage}

On consid\`ere une rep\`ere cart\'esien $(O;\vec i, \vec j)$ orthonorm\'e et le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$. Soit $M$ un point du plan, on note $(x;y)$ ses coordonn\'ees dans le rep\`ere cart\'esien et $(\rho;\theta)$ ses coordonn\'ees dans le rep\`ere polaire.

\Ptec{\textit{Passage des coordonn\'ees cart\'esiennes aux coordonn\'ees polaires :}
$$ \rho=\sqrt{x^2+y^2} $$
$\theta$ est alors une mesure de l'angle tel que $\cos \theta =\dfrac{x}{\rho}$ et $\sin \theta = \dfrac{y}{\rho}$ }


\Ptec{\textit{Passage des coordonn\'ees polaires aux coordonn\'ees cart\'esiennes :}
$$ x=\rho\cos \theta\qquad y=\rho\sin \theta$$}

\Preuve{$\rho=OM=\sqrt{x^2+y^2}$. $\mathscr C$ est le cercle trigonom\'etrique de centre $O$. La demi-droite $[OM)$ coupe $\mathscr C$ en $N$.\newline
Les vecteurs $ \overrightarrow{OM}$ et $ \overrightarrow{ON}$ sont colin\'eaires et de m\^eme sens donc $$ (\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{ON})=(\overrightarrow{OI} , \overrightarrow{OM} )=\theta$$
Le point $N$, image du r\'eel $\theta$ sur le cercle $\mathscr C$, a pour coordonn\'ees $(\cos \theta; \sin \theta)$ dans $(O;\vec i, \vec j)$. Or $ \overrightarrow{OM}=\rho \overrightarrow{ON}$ donc les coordonn\'ees de $M$ sont $(\rho\cos \theta,\rho\sin\theta)$, c'est-\`a-dire $x=\rho\cos \theta$ et $y=\rho \sin\theta$}

\Exo{Soit $(O;\vec i, \vec j)$ un rep\`ere orthonormal du plan. Soit $A\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ et $B(-5;5)$dans ce rep\`ere. Soit $C\left(2;\dfrac{2\pi}{3}\right)$ dans le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les coordonn\'ees polaires de $A$ et $B$
\item D\'eterminer les coordonn\'ees cart\'esiennes de $C$
\end{enumerate}
 }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\end{document}