
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 7 : Probabilit\'es }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 7}
\rhead{Probabilités}



\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cv{Introduction aux Probabilités }

\section*{Introduction}

\subsection*{Histoire}
\noindent Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première présentation rigoureuse 
(les mathématiciens disent \textit{axiomatique}) en a été proposée trois siècles avant JC par le grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI ème siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux \textbf{probabilités}, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer leurs gains au jeu. \newline

\noindent Ainsi, le Grand Duc de Toscane demanda à Galilée pourquoi il était plus difficile d'obtenir 9 que 10 en ajoutant les résultats de trois dés. 
La grande expérience du Duc en matière de jeu lui avait permis de remarquer ce phénomène, alors que théoriquement, « sur 
le papier », il aurait dû y avoir la même fréquence d’apparition des deux nombres, puisqu’il y a dans chaque cas 6 manières de 
les obtenir.\\
En effet, pour 9 les combinaisons sont : $1+2+6$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, 
$\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. \\
Tandis que pour 10, les combinaisons sont : $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$,
$\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$, $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$. \\

\noindent Comment expliquer cela ? Y aurait-il plusieurs réalités ?

\subsection*{Qu'est ce que le hasard ?}
\noindent Parmi toutes les définitions possibles, en voici deux qui ont influencé la théorie des probabilités :
\begin{itemize}
\item Pour certains, tout a une cause, et le \textbf{hasard} n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la Nature. \\
Cet esprit souffla particulièrement au XVIII$^{\textrm{ème}}$ siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première théorisation des probabilités. Les probabilités sont alors 
déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. \\
Par exemple, un dé a six faces, donc on peut poser 
d’avance que l’événement « obtenir 5 » a une probabilité de 1/6. Cette symétrie, cette « géométrie du hasard » selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourir à l’expérience. Elle implique la notion centrale,
 que nous verrons cette année, d'\textbf{équiprobabilité} : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement équilibré, mais 
doit-on être gêné pour autant ? 
\item Pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématique mais une réalité physique.\\
 La \textit{théorie du chaos}, mise en forme par René Thom en 1955, montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas de prévoir mieux des états possibles futurs. \\
\end{itemize}

\noindent Le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Qui a raison ? Qui a tort ? Le débat est encore ouvert. Nous pouvons néanmoins réunir deux grands groupes :
\begin{itemize}
 \item Ceux qui prônent 
une étude expérimentale des probabilités à l'aide de 
la \textit{Loi des Grands Nombres} (l'idée est que la limite des fréquences observées est égale à la probabilité : plus on fait de mesures, plus
la fréquence se rapproche de la probabilité).
\item Inversement, la géométrie du hasard des Laplaciens (1 chance sur 6 d’obtenir chacune des faces d’un dé) repose sur la parfaite 
symétrie du dé. Mais un dé peut-il être parfaitement symétrique ? Pour le vérifier, il faudrait un grand nombre d'expériences$\dots$\newline
\end{itemize}

\noindent Bref, au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent. Mais il faut les avoir en tête : tout n’est pas équiprobable (voir les dés ci-dessus) et la probabilité ne peut se réduire à la limite des fréquences, ne serait-ce que dans le cas d’une expérience 
qui ne peut se répéter. Quelle est la probabilité de survivre à une guerre nucléaire ? Il semble difficile d'imaginer une série
d’expériences pour s’approcher de cette probabilité$\dots$ \newline

\noindent Même si elles peuvent apparaître antagonistes, ces deux notions ont en commun de postuler que \textbf{l’issue de l’expérience} (comme
le lancer d’un dé) \textbf{est indépendante de l’observateur}. Ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie.  Faute de données sures, en économie on 
estime a priori les probabilités de certains événements élémentaires, puis on utilise ensuite des théorèmes abstraits issus des 
mathématiques. Comme le disait John Stuart Mill :\textit{ we must remember that the probability of an event is not a quality itself, but a 
mere name for the degree of ground which we, or someone else, have for expecting it}.


\subsection*{Remarque finale !}
\noindent A-t-on besoin de savoir tout ça pour réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre tendre enfance, 
vous calculez avec les nombres entiers sans connaître les axiomes de Peano, vous travaillez en 
géométrie euclidienne même si elle ne correspond pas à la réalité : avez-vous déjà rencontré un 
véritable triangle rectrangle ? Et pourtant vous arrivez quand même à démontrer le théorème 
de Pythagore, ou du moins à l'utiliser. 
\newline
Le débat est cependant plus passionné au sujet des probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe 
Kolmogorov, pour enfin les axiomatiser, alors qu'Euclide avait fait cela pour la géométrie 2300 ans plus tôt$\dots$

\epigraphe{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}{réaliste$\dots$}

\section{Théorie des ensembles et dénombrement}
\subsubsection*{Introduction à la théorie des ensembles}
\noindent Les mathématiques utilisent toutes sortes d'ensembles. Certains sont finis (comme l'ensemble des chiffres), d'autres infinis dénombrables (on peut les \og compter \fg, comme l'ensemble $\N$),
d'autres encore infinis non dénombrables, (comme l'ensemble $\mathbf{\dots}$). \\
Le but de cet partie n'est pas de faire une étude complète de la théorie des ensembles (trop complexe) mais de proposer une approche intuitive des notions les plus utilisées de cette théorie. Ainsi, nous ne tenterons pas de définir rigoureusement ce qu'est un ensemble, disons simplement qu'un ensemble s'apparente à une liste (finie ou non) d'objets distincts possédant un certains nombre de propriétés communes 
(par exemple l'ensemble des nombres entiers naturels multiples de 2, l'ensemble des polynômes de degré 3, $\dots$). \\
Un ensemble se note avec des accolades, par exemple si $E$ est l'ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à $9$ alors :
$$ E=\{\dots;\dots;\dots;\dots;\dots\}$$
On considère les objets d'un ensemble dans leur globalité sans tenir compte d'un ordre éventuel : on ne fera pas la différence entre : l'ensemble $E$ et l'ensemble $\{\dots,\dots,\dots,\dots,\dots\}$. \\
On utilisera les symboles $\in$ et $\notin$ pour signifier qu'un élément appartient ou non à un ensemble :
$$ 2 \dots E \qquad \text{ et }3 \dots E$$
Enfin nous noterons $\emptyset $ l'ensemble qui n'a pas d'éléments (appelé $\, \dots\dots\dots\dots\dots \quad \dots\dots\dots\dots$).


\subsection{Intersection}



\Defc{
\begin{multicols}{2}
L'\textbf{intersection} de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui sont communs à $A$ \textbf{et} $B$. On note cet ensemble $A\cap B$.\newline

Lorsque $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont deux ensembles \textbf{disjoints}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.570,0) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (0.8cm)} 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\end{scope} 
\begin{scope} 
\clip \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\end{scope} 
\end{tikzpicture}
 
\end{center}

\end{multicols} }




\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{1;2;3;6;7\}$ alors $A\cap B=\{\dots;\dots;\dots\}$}

\Rq{$$ e\in A\cap B \quad \text{signifie} \quad e\in A  \quad \dots \quad  c \in B$$}
\subsection{Réunion}
\Defc{
\begin{multicols}{2}
La \textbf{réunion} de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui sont dans $A$ \textbf{ou} dans $B$. On le note $A\cup B$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.57,0) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.57,-0) circle (1cm)} 
%\clip \cercleA;
%\clip (-1.05,0) rectangle (1.05,1.7); 
%\clip (-1.5,-1.5) rectangle (1.5,1.5); 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleA; 
%\clip \cercleB;
%\clip (-1.05,-1.7) rectangle (1.05,0); 
\draw[color=black,fill=black!50] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 

\end{center}

\end{multicols}
}




\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{1;2;3;6;7\}$ alors $A\cup B=\{\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots\}$}

\Rq{$$ e\in A\cap B \quad \text{signifie} \quad e\in A \quad \dots \quad c \in B$$}
\subsection{Inclusion}
\Defc{On dit qu'un ensemble $A$ est \textbf{inclus} dans un ensemble $B$ si tous les éléments de $A$ sont des éléments de $B$. On note :
$$ A\subset B$$
On dit alors que $A$ est une \og partie \fg\, de $B$ ou que $A$ est un \og sous-ensemble \fg\, de $B$.
}

\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $B=\{0;2\}$ alors $B\quad \dots \quad A$. }
\Rq{
On a toujours $A\, \dots \, A$, $\quad\emptyset \, \dots \, A$, $\quad A \, \dots \, A\cup B$ et $\quad A\cap B \, \dots \, A$
}


\subsection{Complémentaire}
\Defc{Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$. Le complémentaire de $A$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$. On le note 
$$ E-A\qquad \text{ ou }\qquad \bar{A}\qquad \text{ ou encore }\qquad ^C A$$ }

\Expl{Si $ A=\{0;2;4;6;8\}$ et $E=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$ alors $ \bar{A}=\{\dots;\dots;\dots\}$ }
\Rq{
On a toujours $A\cup \bar{A}=\dots\dots\quad$ et  $\quad A\cap \bar{A}=\dots\dots$}

\subsection{Partition}
\Defc{Des parties $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\dots$, $A_p$ d'un ensemble $E$ constituent une partition de $E$ si elles sont deux à deux 
disjointes et si leur réunion est $E$.\newline
 Pour tous $i$ et $j$ de $\{1;\dots;p\}$  : $$ i\neq j \Longrightarrow A_i\cap A_j=\emptyset\qquad \text{et}\qquad A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_p=E$$
}

\Exop{Combien de partitions peut-on former avec un ensemble à trois éléments ? à quatre éléments ?\\
\textit{Aidez-vous sur des exemples d'ensembles, tels que } $\{a,b,c\}$}

\subsection{Produit cartésien}
\Defc{Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ où $x$ appartient à $E$ 
et $y$ appartient à $F$. Cet ensemble est noté $E \times F$. 
}

\Expls{
\begin{itemize}
\item Dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ (où $x\in\R$ et $y\in\R$)
 est le produit cartésien $\dots\times \dots$, également noté $\R^2$.
\item Si $E=\{a;b;c\}$ et $F=\{1;2\}$ alors \\$E\times F=\{(\dots,\dots);(\dots,\dots);(\dots,\dots);(\dots,\dots);(\dots,\dots);(\dots,\dots)\}$
\end{itemize}}

\Rq{Le produit cartésien se généralise à plusieurs ensembles : $E_1\times E_2\times \dots \times E_p$. \\
Les éléments sont des \og couples \fg\,  quand $p=\dots$, des \og triplets \fg\, quand $p=\dots$ et des \og p-uplets \fg\, dans le cas général (comme des \og quatre-uplets \fg\,, ou encore \textit{quadruplets}).}

\subsection{Cardinal d'un ensemble fini}
\Defc{Le nombre d'éléments d'un ensemble \textit{fini} $E$ est appelé \textbf{cardinal} de $E$. \\
Ce nombre est noté Card $E$. 
On convient que Card $(\emptyset) = 0$. }

\Expl{Si $E=\{0;1;2\}$ , alors Card $E=\dots$ }

\Rq{La notion de cardinal ne s'étend pas aux ensembles infinis, tel $\N$, $\Z$, $\Q$ ou $\R$}

\Exop{Soit $A$ l'ensemble des entiers naturels strictement inférieur à $10$ qui sont pairs
\newline
Soit $B$ l'ensemble des entiers naturels strictement inférieur à $10$ qui sont divisibles par $3$
\begin{enumerate}
\item Donner les éléments de $A\cap B$ et $A\cup B$
\item Décrire un ensemble $C$ qui soit inclus dans $B$
\item Décrire $\bar{A}$ et $\bar{B}$
\item Trouver un ensemble $D$ tel que $A$ et $D$ soient disjoints
\item On note $E=A\cap B$. Décrire l'ensemble $B\times E$. Quel est son cardinal ?
\end{enumerate}}
\section{Probabilités (discrètes)}
\subsubsection*{Introduction}
Le but de cette partie est de construire un modèle pour décrire les expériences aléatoires. De telles expériences sont 
par exemple : le numéro obtenu en lançant un dé, la face obtenue en lançant une pièce de monnaie, la carte 
obtenue en la tirant au hasard d'un jeu, le tirage du loto, etc... \\
Le besoin d'avoir une méthode systématique de 
description de telles expériences est justifié par le fait que certains résultats qui nous sont parfois intuitivement 
évidents et que nous n'arrivons pas toujours a expliquer sont en fait faux ! Comme en témoigne l'exercice 
suivant : \newline
\textit{Pensez-vous que dans un groupe de 30 personnes l'on rencontre fréquemment 2 personnes ayant leur anniversaire le même jour ?\newline 
  Pour avoir au moins une chance sur deux de trouver deux personnes ayant le même anniversaire, combien doit-il y avoir au minimum de personnes dans un groupe ? } 
\subsection*{Problème d'introduction}
\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elle se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux portes mauvaises, tout en conservant celle choisit par le candidat. Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? Quels sont ces chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?}
\subsection{Expériences aléatoires, événements}

\Defc{Une exp\'erience al\'eatoire est un processus dont le r\'esultat est incertain}
\Expl{Le lancer de d\'e ou le lancer d'une pi\`ece de monnaie sont des exp\'eriences dont l'issue est incertaine.}

\subsubsection{Expériences aléatoires, issues, événements, univers}

\Defc{\begin{itemize}
       \item Un des r\'esultats possibles d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{\'eventualit\'e} ou \textbf{issue}
\item L'ensemble de toutes les \'eventualit\'es d'une exp\'erience al\'eatoire est appel\'e \textbf{univers}. \\
On a pour habitude de noter cet ensemble $\Omega$
\item Un sous-ensemble de l'univers est appel\'e \textbf{\'ev\'enement}, c'est un ensemble constitu\'e d'\'eventualit\'es de l'univers.
      \end{itemize}
}

\Rq{En classe de première l'ensemble $\Omega$ sera presque toujours un ensemble fini.}

\Expls{
On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots\}$\newline
On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro de la face obtenue est pair (P) ou impair (I): $\Omega=\{\dots,\dots\}$
\newline
On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue, pile (P) ou face (F) : $\Omega=\{\dots,\dots\}$
\newline
On effectue la même expérience que précédemment en lançant deux pièces de monnaie  :\\ $\Omega=\{\dots\dots;\dots\dots;\dots\dots;\dots\dots\} $\newline
Décrire l'événement $A$ : \og Faire au moins une fois Pile \fg.\\

Remarquons qu'une même expérience peut déboucher sur deux univers différents suivant les hypothèses faites. Il faut donc être précis. 
Par exemple si on lance deux dés et qu'on fait le produit $P$ ou la somme $S$ des deux chiffres obtenues, on obtient :
$$ \Omega_P=\{\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots\}$$
$$\Omega_S=\{\dots;\dots;\dots;\dots;\dots;\dots.\dots;\dots;\dots;\dots;\dots\}$$ }

Décrire les évènements $B_P$ et $B_S$ : \og obtenir un multiple de $3$ \fg\, dans les deux cas.


\subsubsection{Récapitulatif du vocabulaire probabiliste}
\Expl{On lance deux d\'es et l'on consid\`ere la somme obtenue. Le tableau ci-dessous r\'esume le vocabulaire relatif aux \'ev\'enements et le vocabulaire ensembliste}

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{5cm}|p{4cm}|}
\hline \textbf{Vocabulaire} & \textbf{Signification} & \textbf{Illustration} \\
\hline \textbf{L'univers} $\varOmega$, \'ev\'enement \textbf{certain} & L'ensemble des \'eventualit\'es & $\varOmega =$  \\
\hline \textbf{L'ensemble vide} $\emptyset$, \'ev\'enement \textbf{impossible} & L'ensemble qui ne contient aucune \'eventualit\'e & \\
\hline \textbf{\'Eventualit\'e} & L'un des r\'esultats de l'expr\'erience & Obtenir 7 : $\omega=$ \\
\hline \textbf{\'Ev\'enement} & Sous ensemble de l'univers & Obtenir un nombre pair : $A=\dots$ ; ou obtenir une somme inf\'erieure \`a $4$ : $B=$ \\
\hline \'Ev\'enement A \textbf{et} B, $A \cap B$ & \'Ev\'enement constitu\'e des issues communes aux 2 \'ev\'enements & $A \cap B=$ \\
\hline \'Ev\'enement A \textbf{ou} B, $A \cup B$ & \'Ev\'enement constitu\'e de toutes les issues possibles des 2 \'ev\'enements & $A \cup B=$ \\
\hline \'Ev\'enement \textbf{incompatibles} ou \textbf{disjoints}, on note $A \cap B=\emptyset$ & Ce sont des \'ev\'enements qui n'ont aucunes issues en commun & $\dotfill=\emptyset$ \\
\hline \'Ev\'enement \textbf{contraire} ; le contraire de A se note $\bar{A}$ & Ce sont 2 \'ev\'enements incompatibles dont la r\'eunion forme l'univers & $\bar{A}=\dots\dots\dots\dots\dots\dots$  $A \cap \bar{A}=\dots\dots\dots\dots\dots$ et $A \cup \bar{A}=\dots\dots\dots\dots$ \\
\hline

\end{tabular}

\Exop{On jette un d\'e dont les faces sont num\'erot\'es de 1 \`a 6 et on s'interesse au num\'ero sur la face sup\'erieure.
\begin{enumerate}
 \item D\'efinir l'univers $\varOmega$
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : \newline
A : \og obtenir un num\'ero inf\'erieur ou \'egal \`a 2 \fg \newline
B : \og obtenir un num\'ero impair \fg \newline
C : \og obtenir un num\'ero strictement sup\'erieur \`a 4 \fg
\item D\'ecrire les \'ev\'enements suivants : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $A \cap C$ ; $A \cup C$ ; $C \cap B$ ; $C \cup B$ ; $\bar{A}$ ; $\bar{A} \cup C$ ;  $\bar{A} \cap C$
\item Parmi les \'ev\'enements pr\'ec\'edents, citer deux \'ev\'enements incompatibles qui ne sont pas contraire l'un de l'autre.
\end{enumerate}
}

\end{document}
