\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 6 : D\'erivation }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_Charlotte.tex
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%3 rue de la merci 33000 bordeaux



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 


\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Dérivation}\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cv{Exercices résolus }\\\\

\textbf{\underline{Exercice 3.10 du cours} : \\Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-6x^2+2$. Quels sont les extrema locaux de $f$ ?}\\

\textbf{\textit{Pour trouver les extrema locaux, on étudie le signe de la dérivée.}}\\
$$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$
On a $f'(x)=0 \Longleftrightarrow 3x(x-4)=0 \Longleftrightarrow x=0 \textrm{ ou } x=4$\\
Les extrema locaux possibles pour $f$ sont donc $f(0)$ et $f(4)$. \\
Vérifions que la dérivée change de signe en $0$ et en $4$.\\
On dresse le tableau de signes de $f'$ :\\
\textbf{\textit{On sait qu'un trinôme du type $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines}}
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{4}&&\tx{\infty}\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
}$$
La dérivée $f'$ change de signe en $0$ et en $4$, donc $f(0)$ et $f(4)$ sont des extrema locaux. \\
Plus précisément on a $f(0)=2$ est un maximum local et $f(4)=-30$ est un minimum local.\\\\


\textbf{\underline{Exercice 19 de la fiche JF et 26 de la fiche JD} :\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R-\{-1\}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}$.\newline
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. }
\begin{enumerate}
\item \textbf{Calculer $f(0)$. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées.}\\
$f(0)=10$. 
Donc le point d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des ordonnées est le point $A(0;10)$.\\
\textbf{\textit{$A$ est sur l'axe des ordonnées d'où $x_A=0$ et il est sur $\mathscr C_f$ d'où $y_A=f(0)$.}}\\

\textbf{\item Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisses.}\\
\textbf{\textit{Ce(s) point(s) sont sur l'axe des abscisses d'où $y=0$ et ils sont sur $\mathscr C_f$ d'où leurs coordonnées du type $(x;0)$ avec $x$ tel que $f(x)=0$.}\\}
On doit donc résoudre $f(x)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+7x+10}{x+1}=0 \Longleftrightarrow x^2+7x+10=0 \textrm{ et } x\neq -1$\\
Après calculs on trouve $\Delta=9$ et $x_1=-5$ et $x_2=-2$.\\
Donc les points d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ avec l'axe des abscisse sont  $B(-5;0)$ et $C(-2;0)$.\\

\textbf{\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}\qquad \text{pour tout }x\in\R-\{-1\} $}\\
$ax+b+\dfrac{c}{x+1}=\dfrac{(ax+b)(x+1)+c}{x+1}=\dfrac{ax^2+x(b+a)+b+c}{x+1}$\\
Donc $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1} \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} 
                                                      a=1 \\ b=6 \\ c=4
                                                     \end{array}\right.$\\
Finalement on trouve $f(x)=x+6+\dfrac{4}{x+1}$.\\

\textbf{\item Etudier les limites de $f$ en $-1^+$ et en $-1^-$. 
En déduire que la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale $\mathcal D$ dont on précisera l'équation.}\\
$$\lim\limits_{x\to -1^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -1^+}{\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}}=\lim\limits_{x\to -1^+}{\dfrac{4}{x+1}}=\lim\limits_{X\to 0^+}{\dfrac{4}{X}}=+\infty$$
$$\lim\limits_{x\to -1^-}{f(x)}=\lim\limits_{X\to 0^-}{\dfrac{4}{X}}=-\infty$$
Donc la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale $\mathcal D$ d'équation $x=-1$.\\

\textbf{\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$. La courbe $\mathscr C_f$ admet-elle une asymptote horizontale ?}\\
$$\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{x^2+7x+10}{x+1}}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{x^2}{x}}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{x}=+\infty$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{x}=-\infty$$
Donc la courbe $\mathscr C_f$ n'admet pas d'asymptote horizontale.\\

\textbf{\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Préciser la position relative de $\mathscr C_f$ et de $\Delta$.}\\
\textbf{\textit{Pour cela, on calcule la limite de la différence $f(x)-(x+6)$, puis on regardera le signe de cette différence.}}
$$\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)-(x+6)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{x+6+\dfrac{4}{x+1}-(x+6)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{4}{x+1}}=0$$
$$\lim\limits_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{4}{x+1}}=0$$
Donc la droite $\Delta$ d'équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.\newline
Quand $x\to +\infty$ on a $f(x)-(x+6)=\dfrac{4}{x+1}>0$ donc $C_f$ est au-dessus de $\Delta$.\\ 
Quand $x\to -\infty$ on a $f(x)-(x+6)=\dfrac{4}{x+1}<0$ donc $C_f$ est en-dessous de $\Delta$.\\

\textbf{\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe. En déduire le tableau de variation de $f$.}\\
On pose $u(x)=x^2+7x+10$ et $v(x)=x+1$. Alors $u'(x)=2x+7$ et $v'(x)=1$.\\
Alors $f'(x)=\dfrac{(2x+7)(x+1)-1(x^2+7x+10}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x+7x+7-x^2-7x-10}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}$.\\
Après calculs, on a $\Delta=16$ et $x_1=-3$ et $x_2=1$.\\
On peut alors dresser le tableau suivant :\\
\textbf{\textit{On n'oublie pas la valeur interdite !! De plus, on le complète avec les limites calculées précédemment 
(questions 4 et 5) et les valeurs $f(-3)$ et $f(1)$.}}
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-3}&&&\tx{-1}&&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\txh{f'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&&\dbt&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{1}&\fd&\txb{-\infty}&\dbt&\txh{+\infty}&\fd&\txb{9}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\textbf{\item Déterminer une équation des tangentes $T_{-2}$ et $T_{-3}$ aux points de la courbe $\mathscr C_f$ d'abscisses 
respectives $-2$ et $-3$.}\\
\textbf{\textit{On rappelle l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$}}\\
On a $T_{-2}: y=f'(-2)(x+2)f(-2)$. On calcule donc $f'(-2)=-3$ et $f(-2)=0$. \textit{On retrouve le résultat de la question 2.}\\
Donc $T_{-2}: y=-3(x+2)$\\
De même on a $T_{-3}: y=f'(-3)(x+3)f(3)$. On calcule donc $f'(-3)=0$ et $f(-3)=1$. \textit{Déjà calculés à la question 7.}\\
Donc $T_{-3}: y=1$\\
\textbf{\item Tracer, dans le repère, $\mathcal D$, $\Delta$, $T_{-2}$, $T_{-3}$ et $\mathscr C_f$. (On se limitera à $[-10;-1[\cup]-1;6]$)}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10.1,-10.1)(6.1,16.1)
\def\xmin{-10} \def\xmax{6} \def\ymin{-10} \def\ymax{16}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-10.1,-10.1)(6.1,16.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-5)(6,8)
\psset{xunit=1cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 6 add 4 x 1 add div add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-10}{-1.1}{\F}
\def\G{x 6 add 4 x 1 add div add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-0.99}{6}{\G}
\def\H{0 3 x mul sub 6 sub}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{0}{\H}
\def\I{1}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{-1}{\I}
\def\J{9}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\J}
\def\K{x 6 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-10}{6}{\K}
\psline[linestyle=solid,linecolor=blue](-1,\ymin)(-1,\ymax)

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate} 

\textbf{\underline{Exercice 18 de la fiche JF et 24 de la fiche JD} :\\
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x}$. 
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Résoudre dans $\R$, $f(x)=0$}\\
$$f(x)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2-3x+1}{x}=0 \Longleftrightarrow x^2-3x+1=0 \textrm{ et } x\neq 0$$
Après calculs, on a $\Delta=5$, $x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.\\

\item \textbf{Vérifier que $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x}$.}\\
$x-3+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x(x-3)+1}{x}=\dfrac{x^2-3x+1}{x}=f(x)$\\

\item \textbf{Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $0$. En déduire que $\mathscr C_f$ admet une asymptote $\mathcal D$ dont on précisera une équation.}\\
$$\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\dfrac{x^2-3x+1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\dfrac{1}{x}}=+\infty \qquad\qquad \lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{\dfrac{1}{x}}=-\infty$$
Donc la courbe $\mathscr C_f$ admet une asymptote verticale $\mathcal D$ d'équation $x=0$.\\


\item \textbf{Etudier la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$}\\
$$\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{x^2-3x+1}{x}}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{x^2}{x}}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{x}=+\infty$$

\item \textbf{Calculer $ \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-(x-3)]$. En déduire l'existence d'une asymptote $\Delta$ dont on précisera l'équation et étudier la position de $\Delta$ et $\mathscr C_f$.}\\
$$\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)-(x-3)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{x-3+\dfrac{1}{x}-(x-3)}=\lim\limits_{x\to  +\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$$
Donc la droite $\Delta$ d'équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $\mathscr C_f$ en $+\infty$.\newline
Quand $x\to +\infty$ on a $f(x)-(x+6)=\dfrac{1}{x}>0$ donc $C_f$ est au-dessus de $\Delta$.\\ 

\item \textbf{Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et étudier son signe. En déduire son tableau des variations.}\\
On pose $u(x)=x^2-3x+1$ et $v(x)=x$. Alors $u'(x)=2x-3$ et $v'(x)=1$.\\
Alors $f'(x)=\dfrac{(2x-3)x-1(x^2-3x+1}{x^2}=\dfrac{2x^2-3x-x^2+3x-1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$.\\
On a alors $x^2-1=0 \Longleftrightarrow x=-1 \textrm{ ou } x=1$.\\ 
On peut alors dresser le tableau suivant :\\
\textbf{\textit{On n'oublie pas la valeur interdite !! De plus, on le complète avec les limites calculées précédemment 
et les valeurs $f(-1)$ et $f(1)$.}}
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-1}&&&\tx{0}&&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\txh{f'(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&&\dbt&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{-5}&\fd&\txb{-\infty}&\dbt&\txh{+\infty}&\fd&\txb{-1}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$


\end{enumerate} 

\end{document}