
\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\title{Chapitre 6 : D\'erivation }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Nouvelles commandes

\theoremstyle{plain}

\newcommand{\Cadre}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline {#1} \\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Th}{TH\'EOR\`EME}
\newcommand{\Thc}[1]{\begin{center} \Cadre{\vspace{-6.5mm} \begin{center} 
 	\begin{tabular}{|p{15.5cm}|} \hline \begin{Th} \emph{#1} \end{Th} \\
	\hline \end{tabular} \end{center} } \end{center} \vspace{3mm} }

\newtheorem{Def}{\underline{D\'efinition}}
\newcommand{\Defc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}|} \hline \begin{Def} \emph{#1} \end{Def}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Prop}{Proposition}
\newcommand{\Propc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Prop} \emph{#1} \end{Prop}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Pte}{Propri\'et\'e}
\newcommand{\Ptec}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{||p{16cm}||} \hline \begin{Pte} \emph{#1} \end{Pte}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Cor}{\it{Corollaire}}
\newcommand{\Corc}[1]{\begin{center}\begin{tabular}{|p{16cm}|} \hline \begin{Cor} \emph{#1} \end{Cor}\\ \hline \end{tabular} \end{center}\vspace{3mm}}

\newtheorem{Ex}{\underline{\textbf{Exercice}}}[section]
\newcommand{\Exo}[1]{\begin{Ex} \emph{#1} \end{Ex}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Preuve}[1]{\noindent \underline{D\'emonstration} : \begin{center} \begin{tabular}{|p{16cm}}   {#1} \\  \end{tabular} \end{center}  \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rq}[1]{\textbf{Remarque :} {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Rqs}[1]{\textbf{Remarques :} \begin{itemize} {#1} \end{itemize} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Expl}[1]{\underline{Exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Expls}[1]{\underline{Exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpl}[1]{\underline{Contre-exemple} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Cexpls}[1]{\underline{Contre-exemples} : {#1} \vspace{3mm}}
\newcommand{\Qu}[1]{\Cadre{\underline{Question} : {#1}} \vspace{3mm}}

\newcommand{\Act}[1]{\textit{\underline{Travail de l'\'el\`eve} :} {#1} \vspace{3mm}}

\newtheorem{Appl}{Application}
\newcommand{\Applic}[1]{\begin{Appl} \emph{#1} \end{Appl}}

\newtheorem{Lem}{Lemme}[section]
\newtheorem{Conj}{Conjecture}[section]
\newtheorem*{Conv}{Conventions}
\newtheorem*{Att}{Attention !!}
\newtheorem{q}{Question}


\newcommand\Lignecouleur{{\let\noalign\relax\rowcolor{green!40!red!45}}}
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\setlength{\LongH}{\arraycolsep}
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\newlength{\LongV}
\setlength{\LongV}{4\tabcolsep}
\def\Casehachuree{%
  \begin{pspicture}(0,0)(\the\LongH,\the\LongV)
  %\psline[linewidth=2pt](-\arraycolsep,\the\LongV)(\the\LongH,-1.5\tabcolsep)
  \psline[linewidth=2pt](-\arraycolsep,-1.5\tabcolsep)(\the\LongH,\the\LongV)
  %\psframe[fillstyle=hlines,hatchangle=45,hatchsep=2,linecolor=white](-\arraycolsep,-1.5\tabcolsep)(\the\LongH,\the\LongV)
  \end{pspicture}
}

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} 
\newcommand*{\C}{\mathbb{C}}
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\renewcommand*{\P}{\mathbb{P}}
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\begin{minipage}{15cm}
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\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
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\newcommand{\Cv}[1]{
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\begin{minipage}{16cm}
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\vspace{2mm}
\textsc{\textbf{\begin{Large} {#1} \end{Large}}}
\end{center}
\vspace{-2mm}
\end{minipage}
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\thispagestyle{empty}
{\Large Lyc\'ee Jean Durand, Castelnaudary\hfill
Classe de $1^{\text{\`e}re}$ S}\par

\vfill
\begin{center}
  \begin{minipage}{8cm}
    \hrule\par
    \maketitle
    \hrule\par
  \end{minipage}
\end{center}


\vfill\vfill
\null\hfill ``T\'el\'echarger c'est tuer l'industrie, tuons les tous'' \textsc{Thurston Moore}\\
\null\hfill Derni\`ere modification : \today
\newpage
\pagenumbering{arabic}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{www.wicky-math.fr.nf}
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\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Dérivation}

\tableofcontents 
\clearpage

\setcounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune


Un corps en chute libre, laché sans vitesse initiale a parcouru au bout de $t$ secondes la distance $d(t)$ en mètres exprimée par la formule suivante :
$$d(t)=5t^2 $$

Calculer la distance parcourue par le corps en chute libre au bout de 0, 1, 2, 3, 4, 5 secondes. Tracer la représentation graphique $\mathscr C_d$ de la fonction $d$ sur l'intervalle $[0;5]$.
\begin{flushleft}
\textbf{Partie A : Le point de vue cinématique}
\begin{enumerate}
\item Calculer la vitesse moyenne dans les intervalles de temps $[0;1]$, $[1;2]$, $[2;3]$, $[3;4]$ et $[4;5]$ 
\item Soit $h$ un réel strictement positif. Calculer la vitesse moyenne du corps en chute libre dans les intervalles de 
temps $[t ; t + h]$ et $[t-h ; t]$. (A.N. :$ t = 2$s et $h = 0,1$s) 
\item \og La vitesse instantanée à l'instant t est $v(t) = 10t$ m/s \fg. Expliquer cette affirmation. 
\item \textbf{Application} : un corps est lâché sans vitesse initiale d'une altitude de 25 mètres. Quelle est, en km/h, sa 
vitesse au moment de l'impact avec le sol ? 
\end{enumerate}
\Defc{La quantité $ \dfrac{d(t+h)-d(t)}{h}$ s'appelle le taux de variation de la fonction $d$ entre $t$ et $t+h$ }

\textbf{Partie B : Le point de vue graphique}
\begin{multicols}{2}
On considère la représentation graphique $\mathscr C$ de la fonction $t\longmapsto d(t)$ au voisinage d'un point $M$ de la courbe d'abscisse $t$. On désigne par $M_h$ le point de la courbe d'abscisse $t+h$. ($h$ étant un réel quelconque). 
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(7.1,7.5)
\def\xmin{-2.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-1} \def\ymax{7}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.5,-1.5)(7.1,7.5)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2.6 x 3 sub exp 2 add}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{4.5}{\F}
\def\G{1.15 x mul 0.1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{5}{\G}
\def\H{0.34657 x mul 1.68 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{5}{\H}
 \uput[ur](4.3,6.5){\small $\mathscr C$}
\uput[ur](1.5,2.4){\small M}
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,2.4)(0,2.4)
\uput[ur](3.5,4.8){\small $M_h$}
\psline[linestyle=dotted](4.1,0)(4.1,4.8)(0,4.8)
 \uput[ur](1.8,-1){\small $t$}
 \uput[ur](3.6,-1){\small $t+h$}
\uput[ur](-1.5,2.1){\small $d(t)$}
 \uput[ur](-2.5,4.5){\small $d(t+h)$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient directeur de la droite $(MM_h)$. Quel lien peut-on établir avec la question $A)2.$ ?
\item On considère la droite $\Delta(t)$ passant par $M$ et de pente $10t$. Tracer dans un même repère la courbe $\mathscr C$ et la droite $\Delta(t)$ lorsque $t=0,5$ ; puis lorsque $t=1$. Que constate-t-on ? Quel lien peut-on établir avec la question $A)3.$ ?
\end{enumerate}
\Defc{La quantité $ \Delta(t)$ de pente $v(t)$ et passant par $M$ est tangente à la courbe $\mathscr C$}
\textbf{Partie C : Le point de vue numérique}\newline
A un instant $t$, la vitesse du corps en chute libre est de $v = 24$ m/s. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $t$ ; $d(t)$ ; $d(t + h)$ ; $d(t + h) - d(t)$. 
\item En déduire que $d(t + h) = d(t) + 24h + 5h2$. 
\item La quantité $d(t) + 24h$ est donc une approximation (affine) de $d(t + h)$. Quelle est l'erreur de cette 
approximation lorsque $h = 1$ ; $h = 0,1$ ; $h = 0,01$ ? 
\end{enumerate}
\end{flushleft}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours



\end{document}