\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Classe de $1^{\text{\’ere}}$ STG}
\author{D. Zancanaro}
\date{2011-2012}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
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\newcommand{\Annee}{2011-2012}	

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\TITRE{Pourcentage2.eps}{0.3}

\debutAiDav

\section{Proportion}

Un petit clin d'oeil à notre ministre pour commencer :

\Exoi{\hfill \textit{Problème de Luc Chatel}\\
$10$ objets identiques coûtent ensemble $22$ $\euro$. Combien coûtent $15$ de ces objets ?}
\subsection{Proportion et pourcentage}

\Act{L'an pass\'e, 29 \'el\`eves de terminale 1 et 26 \'el\`eves de terminale 2 ont obtenu le bac. 
\begin{itemize}
 
\item ``la classe de terminale 1 a obtenu de meilleurs r\'esultats que la classe de terminale 2 ! 
\item Je ne suis pas d'accord ! La terminale 1 pr\'esentait 35 candidats alors que la terminale 2 n'en pr\'esentait que 31 ! ''
\newline
Commenter ces affirmations, apr\`es avoir calcul\'e les proportions d\'el\`eves ayant r\'eussi dans chacune des deux classes
\end{itemize}
}
\Defc{Soit $E$ un ensemble fini. On consid\`ere une partie $A$ d'un ensemble $E$. On appelle proportion de $A$ dans $E$, le quotient du nombre d'\'el\'ements de $A$ par le nombre d'\'el\'ements de $E$}

\Expl {Une classe de $30$ \'el\`eves comportent $9$ filles. La proportion de filles dans la classe est donc de $\dfrac{9}{30}$. Quelle est la proportion de gar\c con dans cette classe ?}

\Rq{Les proportions s'expriment sous forment de pourcentages. 
$$\dfrac{9}{30}=\dfrac{3}{10}=\dfrac{30}{100}=30\%$$
}

\Exoi{En $2003$, les baccalaur\'eats technologiques repr\'esentaient $28\%$ des baccalaur\'eats et la section STT repr\'esentait $53\%$ des baccalaur\'eats technologiques. Quelle est la proportion de STT en France ?}

\Exoi{Au distributeur de boisson, $26\%$ des \'el\`eves prennent du caf\'e, $46\%$ prennent du chocolat chaud et $28\%$ prennent un soda. Un \'el\`eve ne prend qu'une boisson. Combien prennent une boisson chaude ?}

\Exoi{Calculer l'effectif \`a partir d'une proportion 
\begin{enumerate}
 \item Dans un petit port de 720 habitants, 5 habitants sur 6 vivent de la p\^eche. Combien d'habitants vivent de la p\^eche ?
\item Dans un village voisin, 697 habitants vivent de l'agriculture, ce qui repr\'esente $82\%$ de la population. Combien y-a-t-il d'habitants dans ce village ?
\end{enumerate}
}
\subsection{Proportions et r\'eunion}
\Act{Sur 1000 personnes interrog\'ees, 420 ont d\'eclar\'e poss\'eder un ordinateur et 730 ont d\'eclar\'e poss\'ederun t\'el\'eviseur ; parmi elles, 345 poss\`edent les deux.
Le tableau suivant indique tous les r\'esultats de ce sondage. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
 \hline & ont un ordinateur & n'ont pas d'ordinateur & total \\
\hline ont un t\'el\'eviseur & 345 & 385 & 730 \\
\hline n'ont pas de t\'el\'eviseur & 75 & 195 & 270 \\
\hline Total & 420 & 580 & 1000 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On d\'esigne par : \newline
$E$ la population des personnes ayant r\'epondu au sondage et $n_{E}$ son effectif ; \newline
$A$ la sous population des personnes qui poss\`edent un ordinateur et $n_{A}$ son effectif ; \newline
$B$ la sous population des personnes qui poss\`edent un t\'el\'eviseur et $n_{B}$ son effectif ; \newline
$A\cap B$ la sous population des personnes qui poss\`edent un ordinateur et un t\'el\'eviseur, et $n_{A\cap B}$ son effectif ; \newline
$A\cup B$ la sous population des personnes qui poss\`edent un ordinateur ou un t\'el\'eviseur (c'est-\`a-dire qui poss\`edent au moins l'un des deux appareils), et $n_{A\cup B}$ son effectif.
\begin{enumerate}
 \item Utiliser le tableau pour calculer le nombre de personnes qui poss\`edent un ordinateur ou un t\'el\'eviseur ; en d\'eduire une \'egalit\'e reliant $n_{A \cup B}$ \`a $n_{A}$, $n_{B}$ et $n_{A\cap B}$.
\item On note $p_A$, $P_B$, $P_{A \cap B}$ et $P_{A \cup B}$ les proportions des sous-populations $A$, $B$, $A \cap B$ et $A \cup B$ dans la population $E$. Calculer ces proportions ; en d\'eduire une \'egalit\'e reliant $p_{A \cup B}$ \`a $P_A$, $p_B$ et $p_{A \cap B}$
\end{enumerate}
}

\Defc{On consid\`ere de sous-population $A$ et $B$ d'une m\^eme population $E$.\newline
$A \cap B$ est la sous population des individus qui appartiennent \`a $A$ et $B$ ($A \cap B$ est \textbf{l'intersection} de $A$ et de $B$). \newline
$A \cup B$ est la sous population des individus qui appartiennent \`a $A$ ou \`a $B$, c'est-\`a-dire qui appartiennent au moins \`a l'une des deux ($A \cup B$ est \textbf{l'union} de $A$ et de $B$). 
}

\Expl{Soit $E=\{0;1;2;3;4;5\}$ ; $A=\{2;3;4\}$ et $B=\{0;1;2\}$ alors : 
\begin{itemize}
 \item $A$ et $B$ sont deux sous-populations de $E$
\item $A \cap B =\{2\}$
\item $A \cup B=\{0;1;2;3;4\}$
\end{itemize}
}

\Ptec{On consid\`ere deux sous-populations $A$ et $B$ d'une m\^eme population $E$, on note $p_A$, $p_B$, $p_{A \cap B} $ et $p_{A \cup B}$ les proportions de $A$, $B$, $A \cap B$ et $A \cup B$ alors on a : \[
                                                                                                                                                      p_{A \cup B}=p_A+p_B-p_{A \cap B}
                                                                                                                                                     \]
}

\Exo{\`A la suite de plaintes de consommateurs, un fabricant d'appareils m\'enagers inspecte les 500 derniers appareils qui viennent d'\^etre fabriqu\'es. Il constae que $25$ ont un d\'efaut $a$, $19$ ont un d\'efaut $b$ et $12$ ont un d\'efaut $c$. Parmi ces appareils d\'efectueux $5$ ont \`a la fois les d\'efauts $a$ et $b$, les autres n'ont qu'une seul d\'efaut.
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer la proportion d'appareils inspect\'es ayant le d\'efaut $a$ ou le d\'efaut $b$
\item D\'eterminer la proportion d'appareils inspect\'es ayant le d\'efaut $b$ ou le d\'efaut $c$
\end{enumerate}
}

\Exo{Applications ! 
\begin{enumerate}
 \item Un club sportif propose plusieurs activit\'es, entre autres le yoga et le judo. Parmi les $90$ membres du club, $25$ pratiquent le judo, $31$ le yoga et $7$ pratiquent les deux. Calculer la proportion des membres du club qui pratiquent le judo et le yoga.
\item Dans ce m\^eme club, $10$ membres pratiquent le tir \`a l'arc, mais ne pratiquent pas le judo. Calculer la propotion des membres du club qui pratiquent le judo ou le tir \`a l'arc.
\end{enumerate}
}
\subsection{Proportions de proportions}
\Act{\textbf{R\'epartition des g\'en\'erations} \newline
Dans cette activit\'e, `` la population des $0-60$ ans'' signifie la population des personnes qui ont $60$ ans ou moins. 
\begin{enumerate}
 \item Dans un village de $350$ habitants, la proportion de la sous-population des $0-60$ ans est $p'=0,8$. Calculer le nombre d'habitants qui sont dans la tranche d'\^age $0-60$ ans.
\item La proportion de la population des $0-19$ ans dans la population des $0-60$ ans est $p=0,35$. Calculer le nombre d'habitants qui sont dans la tranche d'\^age des $0-19$ ans.
\item Calculer la proportion $Q$ de la sous-population des $0-19$ ans dans la population du village. V\'erifier que $Q=pp'$
\item On note $F$ la population du village, $E$ la population des $0-60$ ans, $A$ la population des $0-19$ ans et $n_F$, $n_E$ et $n_A$ leurs effectifs respectifs. Recopier, puis compl\'eter le sch\'ema suivant :
\begin{center}
 \fbox{$n_F=\dots\dots\dots$}\hspace{10mm}
$\overset{\times 0,8}{\longrightarrow}\hspace{10mm}$
\fbox{$n_E=\dots\dots\dots$}\hspace{10mm}
$\overset{\times 0,35}{\longrightarrow}\hspace{10mm}$
\fbox{$n_A=\dots\dots\dots$}
\end{center}
\end{enumerate}


}
\Ptec{Si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$ et $p'$ celle de $E$ dans $F$, alors \textbf{la proportion $Q$ de $A$ dans $F$} est : $Q=pp'$}

\Expl{Dans une famille, $\dfrac{2}{3}$ des membres sont musiciens et, parmi ces derniers $\dfrac{3}{4}$ jouent du violon. La proportion des membres de la famille qui jouent du violon est alors : $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}$}

\Exo{Lors d'une \'election, $70\%$ des \'electeurs inscrits ont effectivement vot\'e.
\begin{enumerate}
 \item Le candidat X a obtenu $38\%$ des voix des \'electeurs qui ont vot\'e. Calculer la proportion des \'electeurs qui ont vot\'e X parmi les \'electeurs inscrits.
\item Le candidat Y a obtenu $38,5\%$ des voix des \'electeurs inscrits. Calculer la proportion des \'electeurs qui ont vot\'e Y parmi les \'electeurs qui ont vot\'e.
\end{enumerate}
}

\Exo{Un lyc\'ee polyvalent comporte des sections d'enseignement technologique (STG,...) et des sections d'enseignement g\'en\'eral (L,S,...).
\begin{enumerate}
 \item La proportion d\'el\`eves de la section STG parmi les \'el\`eves de l'enseignement technologique est $0,6$ ; la proportion d'\'el\`eves de l'enseignement technologique parmi les \'el\`eves du lyc\'ee est $0,8$. Calculer la proportion d\'el\`eves du lyc\'ee qui sont en STG.
\item Ce lyc\'ee a une \'equipe de natation synchronis\'ee (pratiqu\'ee exclusivement par les filles). La proportion des pratiquantes de natation synchronis\'ee parmi les filles qui font du sport au lyc\'ee est \'egale \`a $15\%$. La proportion des pratiquantes de natation synchronis\'ee parmi les \'el\`eves (gar\c cons et filles) qui font du sport au lyc\'ee est $9\%$. Quelle est la proportion de filles parmi les \'el\`eves qui font du sport au lyc\'ee ?
\end{enumerate}
}


                                                                                                                      
\pagebreak

\section{\'Evolution d'une quantit\'e}
\subsection{Taux d\'evolution}
\Act{On peut lire dans un journal : \newline
``le prix du produit X, qui est pass\'e de $500\euro$ \`a $502\euro$, n'a pratiquement pas boug\'e'' et plus loin : \newline
``hausse impressionnante du prix du produit Y, qui est pass\'e de $2\euro$ \`a $3\euro$.''
\begin{enumerate}
 \item Calculer les variations de prix, exprim\'ees en euros, des produits X etY : ces r\'esultats expliquent-ils les \'ecrits du journal ?
\item \'Ecrire, sous forme de pourcentage, la variation relative $\dfrac{502-500}{500}$ du prix de X, puis celle du prix Y. Ces r\'esultats expliquent-ils les \'ecrits du journal ?'
\end{enumerate}
}
\Defc{On consid\`ere la valeur initiale $V_{i}$ et la valeur finale $V_{f}$ d'une quantit\'e. On appelle taux d'\'evolution de la quantit\'e : $t=\dfrac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}$}

\Rq{Le taux d'\'evolution repr\'esente la variation de la quantit\'e relativement \`a la quantit\'e de d\'epart.}

\Expl{Dans l'exemple qui pr\'ec\`ede le taux d'\'evolution est $t=\dfrac{15-20}{15}=-0,25$. Le prix du disque a donc baiss\'e de $25\%$}

\Rq{le taux d'\'evolution est positif dans le cas d'une augmentation et n\'egatif dans le cas d'une diminution.}

\Exo{\textbf{Comment d\'eterminer la variation absolue et le taux d'\'evolution d'un nombre \`a un autre ?} 
\begin{enumerate}
 \item La capacit\'e d'un stade est pass\'ee de $15000$ \`a $21000$. calculer la variation absolue et le taux d'\'evolution  de la capacit\'e du stade.
\item L'entreprise qui a effectu\'e les travaux employait $800$ personnes il y a un an ; elle en emploie aujourd'hui $700$. Calculer la variation absolue et le taux d'\'evolution de l'effectif de l'entreprise.
\end{enumerate}
}
\Exo{Applications ! 
\begin{enumerate}
 \item Le montant de la redevance de l'audiovisuel \'etait de $114,49\euro$ en $2001$ et de $116,50\euro$ en $2004$. Calculer la variation absolue et le taux d\'evolution de cette taxe entre $2001$ et $2004$.
\item Un b\'eb\'e qui pesait $2,800 $ kg \`a la naissance p\`ese $2,660$ kg \`a 3 jours. Calculer le taux d'\'evolution du poids du b\'eb\'e entre les deux pes\'ees.
\end{enumerate}
}
\subsection{Coefficient multiplicateur}

\Act{Le prix d'un produit, qui valait $12\euro$, a \'et\'e multipli\'e par $1,5$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est le prix actuel de ce produit ?
\item Calculer le taux d'\'evolution $t$ entre le prix initial et le prix actuel ; v\'erifier que $1+t=1,5$
\end{enumerate}
}

\Defc{On consid\`ere la valeur initiale $V_{i}$ et la valeur finale $V_{f}$ d'une quantit\'e. On appelle coefficient d'\'evolution de la quantit\'e : $c=\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$}

\Rq{Le coefficient d'\'evolution n'est rien d'autre que le coefficient multiplicateur permettant de passer de la quantit\'e initial \`a la quantit\'e finale.}

\Expl{Un disque co\^utant $20\euro$ est baiss\'e \`a $15\euro$. Quel est le coefficient d'\'evolution ?}



\Exo{$77 580$ ont \'et\'e d\'elivr\'es en $1995$. Entre les ann\'ees $1995$ et $2001$, le nombre de BTS d\'elivr\'es par an a augment\'e de $26,6\%$. 
\begin{enumerate}
 \item Trouver le nombre de BTS d\'elivr\'es en $2001$
\item Quel est le coefficient d'\'evolution ?
\end{enumerate}
}

\Exo{La production dans le secteur m\'etallurgique \'etait, en France, de $75717$ millions d'euros en $2002$. Sur l'ann\'ee $2003$, la baisse de la production dans ce secteur a \'et\'e de $5,6\%$.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la production du secteur m\'etallurgue en $2003$ ?
\item Quel est le coefficient d'\'evolution ? 
\end{enumerate}
}

\Exo{Un VTT affich\'e \`a $450\euro$ est sold\'e \`a $399\euro$
\begin{enumerate}
 \item A combien est sold\'e le VTT ?
\item Quel est le coefficient d'\'evolution ? 
\end{enumerate}
}

\Rq{Le coefficient d'\'evolution est sup\'erieur \`a 1 dans le cas d'une augmentation et inf\'erieur \`a 1 dans le cas d'une r\'eduction.}

\Ptec{On a la relation suivante liant coefficient d'\'evolution $c$ et taux d'\'evolution $t$ : $c=1+t$}

\underline{Preuve} : 
\[1+t=1+\dfrac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}=\dfrac{V_{i}}{V_{i}}+\dfrac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}=\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=c\]

\Exo{Un lecteur DVD co\^utant $100\euro$ voit son prix augment\'e de $10\%$ puis diminuer de $10\%$. Calculer le prix final.}

\Exo{Si une action baisse de $10\%$, quelle hausse devra-t-elle subir le lendemain pour retrouver sa valeur initiale ?}
\Exo{Un magasin r\'eduit de $10\%$ le prix des jeans et augmente de $10\%$ celui des pulls. 
\begin{enumerate}
 \item Calculer le prix apr\`es r\'eduction d'un jean dont le prix initial \'etait de $50\euro$.
\item Calculer le prix avant augmentation d'un pull dont le prix actuel est $44\euro$
\end{enumerate}
}
\subsection{\'Evolutions successives et r\'eciproque }

\Act{\textbf{C'est vraiment la f\^ete !}
\begin{enumerate}
 \item Pour f\^eter l'ouverture de son garage, un concessionnaire automobile fait une r\'edution de $10\%$ sur un mod\`ele de voiture dont le pirx initial est $12 000 \euro$. Apr\`es discussion, un client obtient une remise supplm\'entaire de $5\%$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le prix de la voiture apr\`es la premi\`ere r\'eduction, puis le prix final.
\item Calculer le taux d'\'evolution du prix initial de la voiture au prix paye par le client ; la r\'eduction totale est-elle de $15\%$ ? 
\end{enumerate}
\item Pour la m\^eme occasion, le concessionnaire augmente les salaires des employ\'es de $2,5\%$
\begin{enumerate}
 \item Quel est le nouveau salaire d'un employ\'e qui gagnait $14 000 \euro$ ?
\item Calculer le tax d'\'evolution du nouveau salaire \`a l'ancien (c'est-\`a-dire $1400\euro$) ; ce taux est-il \'egal \`a $-2,5\%$ ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}
}


\Ptec{Si une quantit\'e subit $n$ \'evolutions successives $t_{1}$, $t_{2}$,...,$t_{n}$ alors :
\begin{itemize}
 \item le coefficient d'\'evolution (global) est $c=c_{1}\times c_{2}\times... \times c_{n}$, donc comme $c=1+t$
\item le taux d'\'evolution (global) est $1+t=(1+t_{1})(1+t_{2})...(1+t_{n})$
\end{itemize}
}

\Exo{Un article subit une hausse de $10\%$ puis une baisse de $20\%$. Quel est son taux d'\'evolution global ?}
\Exo{Le chiffre d'affaires de la soci\'et\'e Hortus a augment\'e de $5\%$ en janvier $2005$ par rapport \`a d\'ecembre $2004$ et a baiss\'e de $4\%$ en f\'evrier $2005$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer le coefficient d'\'evolution pour les deux premiers mois.
\item En d\'eduire le taux d'\'evolution
\end{enumerate}
}

\Exo{Un article subit une inflation (hausse) annuelle de $2\%$ pendant $10$ ans. Quel est son taux d'\'evolution global ?}

\Exo{Lors d'une journ\'ee, le cours d'une action a augment\'e de $10\%$, puis baiss\'e de $9,5\%$. Calculer le taux d'\'evolution de cette action lors de cette journ\'ee, du cours initial au cours terminal ; le cours a-t-il augment\'e ou baiss\'e lors de cette journ\'ee ?}

\Exo{Le cours d'une action a augment\'e de $10\%$. Calculer le taux d'\'evolution qu'il faudrait appliquer pour que l'action revienne \`a son cours initial.}
\Exo{Le prix d'un produit d'usage courant a baiss\'e de $4\%$, puis \`a nouveau de $5\%$. Calculer le taux d'\'evolution de ce produit, du prix initial au prix final.}
\Exo{Le prix d'un produit d'usage courant a baiss\'e de $6\%$. Calculer le taux d'\'evolution qu'il faudrait appliquer au produit pour que le produit revienne \`a son prix initial (arrondir \`a $0,0A \%$ pr\`es).}
\end{document}